高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí).2導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用課件

考點(diǎn)一

導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性考點(diǎn)清單考向根底設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),f'(x)是f(x)的導(dǎo)數(shù),那么f'(x)>0f(x)在(a,b)內(nèi)①單調(diào)遞增

f'(x)<0f(x)在(a,b)內(nèi)②單調(diào)遞減

f'(x)=0f(x)在(a,b)內(nèi)為常數(shù)函數(shù)注:(1)f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)為此規(guī)律成立的一個(gè)前提條件;(2)對(duì)于在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)的函數(shù)f(x)來說,f‘(x)>0是f(x)在(a,b)上為遞增函數(shù)

的充分不必要條件;f’(x)<0是f(x)在(a,b)上為遞減函數(shù)的充分不必要條

件.例如:f(x)=x3在整個(gè)定義域R上為增函數(shù),但f‘(x)=3x2,f’(0)=0,所以在x

=0處并不滿足f‘(x)>0,即并不是在定義域中的任意一點(diǎn)處都滿足f'(x)>0.考向突破考向一

利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性(區(qū)間)例1函數(shù)f(x)=?(x>0且x≠1),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.解析解法一:(解不等式法)函數(shù)的定義域?yàn)?0,1)∪(1,+∞),f

'(x)=-

,由f

'(x)>0得lnx+1<0,∴0<x<

.由f'(x)<0得lnx+1>0,∴x>

.又∵x≠1,∴

<x<1或x>1.∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是

,單調(diào)遞減區(qū)間是

和(1,+∞).解法二:(列表法)函數(shù)的定義域?yàn)?0,1)∪(1,+∞),f'(x)=-

,令f'(x)=0,得x=

.列表如下:x

(1,+∞)f'(x)+0——∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是

,單調(diào)遞減區(qū)間是

,(1,+∞).考向二

由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍例2

(2021課標(biāo)Ⅰ文,12,5分)函數(shù)f(x)=ax3-3x2+1,假設(shè)f(x)存在唯一的

零點(diǎn)x0,且x0>0,那么a的取值范圍是?()A.(2,+∞)

B.(1,+∞)

C.(-∞,-2)

D.(-∞,-1)解析

a=0時(shí),不符合題意.a≠0時(shí),f'(x)=3ax2-6x,令f'(x)=0,得x1=0,x2=

.若a>0,分析可知f(x)有負(fù)數(shù)零點(diǎn),不符合題意.則a<0,又f(0)=1>0知,此時(shí)必有f

>0,即a×

-3×

+1>0,化簡得a2>4,又a<0,所以a<-2,故選C.答案

C考點(diǎn)二

導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極(最)值考向根底1.函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)定義設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0附近有定義,如果對(duì)x0附近的所有的點(diǎn),都有①

f(x)<f(x0)

,則f(x0)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極大值,記作f(x)極大值=f(x0);如果對(duì)x0附近的所有的點(diǎn),都有②

f(x)>f(x0)

,則f(x0)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極小值,記作

f(x)極小值=f(x0).極大值與極小值統(tǒng)稱為極值結(jié)論設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù).(1)如果在x0附近的左側(cè)f'(x)>0,右側(cè)f'(x)<0,那么f(x0)是極大值;(2)如果在x0附近的左側(cè)f'(x)<0,右側(cè)f'(x)>0,那么f(x0)是極小值;(3)如果在x0附近的左、右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)值③同號(hào)

,那么f(x0)④不是極值

利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的步驟(1)求f'(x);(2)求方程f'(x)=0的根;(3)判斷f'(x)在方程的根的左、右兩側(cè)值的符號(hào);(4)利用結(jié)論求出極值注:(1)在函數(shù)的整個(gè)定義域內(nèi),函數(shù)的極值不一定唯一,在整個(gè)定義

域內(nèi)可能有多個(gè)極大值和極小值;(2)極大值與極小值沒有必然關(guān)系,極大值可能比極小值還小;(3)導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)(例如:f(x)=x3,f'(x)=3x2,當(dāng)x=0時(shí),f'(0)

=0,但x=0不是函數(shù)的極值點(diǎn));(4)對(duì)于處處可導(dǎo)的函數(shù)極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)必為零.2.函數(shù)的最大值與最小值(1)函數(shù)的最大值與最小值:在⑤閉區(qū)間[a,b]

上連續(xù)的函數(shù)f(x),在[a,

b]上必有⑥最大值與最小值

;但在開區(qū)間(a,b)內(nèi)連續(xù)的函數(shù)f(x)不

一定有最大值與最小值.(ii)將f(x)的各⑧極

值與⑨

f(a)、f(b)

比較,其中最大的一個(gè)是最

大值,最小的一個(gè)是最小值.(2)設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),求f(x)在[a,b]上的最大值與最

小值的步驟如下:(i)求f(x)在(a,b)內(nèi)的⑦極值

;知識(shí)拓展1.假設(shè)函數(shù)f(x)的圖象連續(xù)不斷,那么f(x)在[a,b]上一定有最值.2.假設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上是單調(diào)函數(shù),那么f(x)一定在區(qū)間端點(diǎn)處取得最值.3.假設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn),那么相應(yīng)的極值點(diǎn)一定是函

數(shù)的最值點(diǎn).考向突破考向一

利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值例

1

(2021陜西文,15,5分)函數(shù)y=xex在其極值點(diǎn)處的切線方程為

.解析由y=xex可得y'=ex+xex=ex(x+1),從而可得y=xex在(-∞,-1)上遞減,在

(-1,+∞)上遞增,所以當(dāng)x=-1時(shí),y=xex取得極小值-e-1,因?yàn)閥'|x=-1=0,故切線方

程為y=-e-1,即y=-

.答案

y=-

考向二

利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值例2

(2021江蘇,11,5分)假設(shè)函數(shù)f(x)=2x3-ax2+1(a∈R)在(0,+∞)內(nèi)有且只

有一個(gè)零點(diǎn),那么f(x)在[-1,1]上的最大值與最小值的和為

.解析∵f(x)=2x3-ax2+1,∴f'(x)=6x2-2ax=2x(3x-a).若a≤0,則x>0時(shí),f'(x)>0,∴f(x)在(0,+∞)上為增函數(shù).又f(0)=1,∴f(x)在(0,

+∞)上沒有零點(diǎn),∴a>0.當(dāng)0<x<

時(shí),f'(x)<0,f(x)為減函數(shù);當(dāng)x>

時(shí),f'(x)>0,f(x)為增函數(shù),∴x>0時(shí),f(x)有極小值,為f?=-?+1.∵f(x)在(0,+∞)內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn),∴f?=0,∴a=3.∴f(x)=2x3-3x2+1,那么f'(x)=6x(x-1).當(dāng)x變化時(shí),f'(x),f(x)的變化情況如下表:x-1(-1,0)0(0,1)1f'(x)

+

-

f(x)-4增1減0∴f(x)在[-1,1]上的最大值為1,最小值為-4.∴最大值與最小值的和為-3.答案-3考點(diǎn)三

導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用考向根底生活中的優(yōu)化問題(1)生活中經(jīng)常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題,這些問

題通常稱為優(yōu)化問題,導(dǎo)數(shù)在這一類問題中有著重要的作用,它是求函

數(shù)最大(小)值的有力工具.(2)解決優(yōu)化問題的根本思路:

方法1

利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性問題1.利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系:在某個(gè)區(qū)間(a,b)內(nèi),如果f'(x)>0,那么函數(shù)y=f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增;

如果f'(x)<0,那么函數(shù)y=f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.2.求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟

方法技巧3.假設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間A上是單調(diào)增(減)函數(shù),那么f'(x)≥0(f'(x)≤0)在A上

恒成立,然后別離參數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題,或直接轉(zhuǎn)化為f'(x)min≥0(f'(x)max≤0).例1函數(shù)f(x)=-2a2lnx+?x2+ax(a∈R).(1)當(dāng)a=1時(shí),求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程;(2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.解析函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),f'(x)=-

+x+a.(1)當(dāng)a=1時(shí),f(1)=

,f'(1)=-2+1+1=0,所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為y=

.(2)f'(x)=

=

,①當(dāng)a=0時(shí),f'(x)=x>0,f(x)在定義域(0,+∞)上單調(diào)遞增;②當(dāng)a>0時(shí),令f'(x)=0,得x1=-2a(舍去),x2=a,當(dāng)x變化時(shí),f'(x),f(x)的變化情況如下表:x(0,a)a(a,+∞)f'(x)-0+f(x)↘

↗此時(shí),f(x)在區(qū)間(0,a)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(a,+∞)上單調(diào)遞增;③當(dāng)a<0時(shí),令f'(x)=0,得x1=-2a,x2=a(舍去),當(dāng)x變化時(shí),f'(x),f(x)的變化情況如下表:x(0,-2a)-2a(-2a,+∞)f'(x)-0+f(x)↘

↗此時(shí),f(x)在區(qū)間(0,-2a)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(-2a,+∞)上單調(diào)遞增.例2函數(shù)f(x)=ex(x2-a),a∈R.(1)當(dāng)a=1時(shí),求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程;(2)假設(shè)函數(shù)f(x)在(-3,0)上單調(diào)遞減,試求a的取值范圍.解析由題意可知f'(x)=ex(x2+2x-a).(1)因?yàn)閍=1,所以f(0)=-1,f'(0)=-1,所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程為y-(-1)=-(x-0),即x+y+1=0.(2)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(-3,0)上單調(diào)遞減,所以當(dāng)x∈(-3,0)時(shí),f‘(x)=ex(x2+2x-a)≤0恒成立,即當(dāng)x∈(-3,0)時(shí),x2+2x-a≤0恒成立.設(shè)g(x)=x2+2x-a,x∈(-3,0),顯然,當(dāng)x∈(-3,-1)時(shí),函數(shù)g(x)=x2+2x-a單調(diào)遞減,當(dāng)x∈(-1,0)時(shí),函數(shù)g(x)=x2+2x-a單調(diào)遞增.所以“當(dāng)x∈(-3,0)時(shí),x2+2x-a≤0恒成立”等價(jià)于

即

所以a≥3.方法2

利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的極值、最值問題1.解決函數(shù)極值問題的一般思路:

2.函數(shù)的最大值、最小值是比較整個(gè)定義域內(nèi)的函數(shù)值得出來的,函數(shù)

的極值是比較極值點(diǎn)附近的函數(shù)值得出來的,極值只能在區(qū)間內(nèi)一點(diǎn)處

取得,最值那么可以在端點(diǎn)處取得,有極值未必有最值,有最值未必有極值,

極值可能成為最值.例3求函數(shù)f(x)=lnx-ax,a∈R的極值.解析函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞).求導(dǎo),得f'(x)=

-a=

.若a≤0,則f'(x)>0,f(x)是(0,+∞)上的增函數(shù),無極值;若a>0,則令f'(x)=0,可解得x=

.當(dāng)x∈

時(shí),f'(x)>0,f(x)在

上是增函數(shù);當(dāng)x∈

時(shí),f'(x)<0,f(x)在

上是減函數(shù).∴當(dāng)x=

時(shí),f(x)有極大值,極大值為f

=ln

-1=-lna-1.綜上所述,當(dāng)a≤0時(shí),f(x)無極值;當(dāng)a>0時(shí),f(x)的極大值為-lna-1,無極小值.方法3

利用導(dǎo)數(shù)解決不等式問題1.利用導(dǎo)數(shù)證明不等式假設(shè)證明f(x)<g(x),x∈(a,b),可以構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)-g(x),如果能證明F(x)在

(a,b)上的最大值小于0,即可證明f(x)<g(x),x∈(a,b).2.利用導(dǎo)數(shù)解決不等式的恒成立問題“恒成立〞與“存在性〞問題可看作一類問題,一般都可通過求相關(guān)函

數(shù)的最值來解決,如:當(dāng)f(x)在x∈D上存在最大值和最小值時(shí),假設(shè)f(x)≥g

(a)對(duì)于x∈D恒成立,應(yīng)求f(x)在x∈D上的最小值,將原條件轉(zhuǎn)化為g(a)≤

f(x)min,假設(shè)f(x)≤g(a)對(duì)于x∈D恒成立,應(yīng)求f(x)在x∈D上的最大值,將原條

件轉(zhuǎn)化為g(a)≥f(x)max;假設(shè)存在x∈D,使得f(x)≥g(a)成立,應(yīng)求f(x)在x∈D

上的最大值,將原條件轉(zhuǎn)化為g(a)≤f(x)max,假設(shè)存在x∈D,使得f(x)≤g(a)成立,應(yīng)求f(x)在x∈D上的最小值,將原條件轉(zhuǎn)化為g(a)≥f(x)min.例4函數(shù)f(x)=lnx-?.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)證明:當(dāng)x>1時(shí),f(x)<x-1.解題導(dǎo)引

解析(1)f'(x)=?-x+1=?,x∈(0,+∞).由f'(x)>0得?解得0<x<?.故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是?.(2)證明:令F(x)=f(x)-(x-1),x∈(1,+∞),那么有F'(x)=?.當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),F'(x)<0,所以F(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減,故當(dāng)x>1時(shí),F(x)<F(1)=0,即當(dāng)x>1時(shí),f(x)<x-1.方法4

利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的零點(diǎn)問題利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)的方法:(1)①求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;②根據(jù)函數(shù)f(x)的性質(zhì)作出圖象;③判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).(2)①求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;②分類討論,判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).注意:研究零點(diǎn)時(shí),首先要確認(rèn)有沒有零點(diǎn),如果有,再研究有幾個(gè);研究

零點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí),對(duì)于函數(shù)自變量趨向無窮時(shí)函數(shù)值的描述,一般采用選取

某個(gè)特殊的函數(shù)值來說明符號(hào)正負(fù)的方法.例5函數(shù)f(x)=x3-9