高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí).4直線平面垂直的判定與性質(zhì)課件

考點(diǎn)

直線、平面垂直的判定與性質(zhì)考點(diǎn)清單考向根底1.線面垂直的判定及性質(zhì)類別文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直(即線線垂直?線面垂直)

?l⊥α如果兩條平行直線中的一條垂直于一個(gè)平面,那么另一條也垂直于這個(gè)平面

?②

b⊥α

性質(zhì)如果一條直線和一個(gè)平面垂直,則這條直線垂直于平面內(nèi)任意一條直線(即線面垂直?線線垂直)

?③

a⊥b

垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行

?④

a∥b

2.面面垂直的判定與性質(zhì)類別文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定兩個(gè)平面相交,如果它們所成的二面角是直二面角,就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直

∠AOB是二面角α-l-β的平面角,且∠AOB=⑤90°

,則α⊥β如果一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線,則這兩個(gè)平面互相垂直(即線面垂直?面面垂直)

?⑥

α⊥β

性質(zhì)如果兩個(gè)平面垂直,則其中一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個(gè)平面

?⑦

l⊥α

如果兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面,那么它們的交線垂直于第三個(gè)平面

?⑧

l⊥γ

知識(shí)拓展線線垂直、線面垂直、面面垂直之間的關(guān)系:

考向突破考向一

線面垂直的判定與性質(zhì)的應(yīng)用例1

(2021課標(biāo)Ⅲ文,10,5分)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為棱CD的中

點(diǎn),那么?()A.A1E⊥DC1

B.A1E⊥BDC.A1E⊥BC1

D.A1E⊥AC解析∵A1B1⊥平面BCC1B1,BC1?平面BCC1B1,∴A1B1⊥BC1,又BC1⊥B1

C,且B1C∩A1B1=B1,∴BC1⊥平面A1B1CD,又A1E?平面A1B1CD,∴BC1⊥A1

E.應(yīng)選C.答案

C例2

(2021安徽,5,5分)m,n是兩條不同直線,α,β是兩個(gè)不同平面,那么

以下命題正確的選項(xiàng)是?()A.假設(shè)α,β垂直于同一平面,那么α與β平行B.假設(shè)m,n平行于同一平面,那么m與n平行C.假設(shè)α,β?,那么在α內(nèi)?與β平行的直線D.假設(shè)m,n?,那么m與n?垂直于同一平面解析假設(shè)α,β垂直于同一個(gè)平面γ,那么α,β可以都過(guò)γ的同一條垂線,即α,β可

以相交,故A錯(cuò);假設(shè)m,n平行于同一個(gè)平面,那么m與n可能平行,也可能相交,

還可能異面,故B錯(cuò);假設(shè)α,β不平行,那么α,β相交,設(shè)α∩β=l,在α內(nèi)存在直線a,

使a∥l,那么a∥β,故C錯(cuò);從原命題的逆否命題進(jìn)行判斷,假設(shè)m與n垂直于同

一個(gè)平面,由線面垂直的性質(zhì)定理知m∥n,故D正確.答案

D考向二

面面垂直的判定與性質(zhì)的應(yīng)用例3如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形,點(diǎn)E是棱PC的中

點(diǎn),平面ABE與棱PD交于點(diǎn)F.(1)求證:AB∥EF;(2)假設(shè)PA=AD,且平面PAD⊥平面ABCD,試證明AF⊥平面PCD;(3)在(2)的條件下,線段PB上是否存在點(diǎn)M,使得EM⊥平面PCD(直接給

出結(jié)論,不需要說(shuō)明理由)

解析(1)證明:因?yàn)榈酌鍭BCD是正方形,所以AB∥CD.又因?yàn)锳B?平面PCD,CD?平面PCD,所以AB∥平面PCD.又因?yàn)锳,B,E,F四點(diǎn)共面,且平面ABEF∩平面PCD=EF,所以AB∥EF.(2)證明:在正方形ABCD中,CD⊥AD,又因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,CD?平面ABCD,所以CD⊥平面PAD.又AF?平面PAD,所以CD⊥AF.由(1)可知AB∥EF,又因?yàn)锳B∥CD,所以CD∥EF.因?yàn)辄c(diǎn)E是棱PC的中點(diǎn),所以點(diǎn)F是棱PD的中點(diǎn).在△PAD中,因?yàn)镻A=AD,所以AF⊥PD.又因?yàn)镻D∩CD=D,所以AF⊥平面PCD.(3)不存在.方法1

證明線面垂直的方法1.線面垂直的定義.2.線面垂直的判定定理(a⊥b,a⊥c,b?α,c?α,b∩c=M?a⊥α).3.平行線垂直平面的傳遞性(a∥b,b⊥α?a⊥α).4.面面垂直的性質(zhì)(α⊥β,α∩β=l,a?β,a⊥l?a⊥α).5.面面平行的性質(zhì)(a⊥α,α∥β?a⊥β).6.面面垂直的性質(zhì)(α∩β=l,α⊥γ,β⊥γ?l⊥γ).方法技巧例1

S是Rt△ABC所在平面外的一點(diǎn),且SA=SB=SC,D為斜邊AC的中點(diǎn).(1)求證:SD⊥平面ABC;(2)假設(shè)AB=BC,求證:BD⊥平面SAC.證明(1)如圖所示,取AB的中點(diǎn)E,連接SE,DE,

∴AB⊥平面SDE.又SD?平面SDE,∴AB⊥SD.在△SAC中,SA=SC,D為AC的中點(diǎn),∴SD⊥AC.又AC,AB?平面ABC,且AC∩AB=A,∴SD⊥平面ABC.(2)由于AB=BC,所以BD⊥AC,由(1)可知,SD⊥平面ABC,且BD?平面ABC,∴SD⊥BD,又SD,AC?平面SAC,且SD∩AC=D,∴BD⊥平面SAC.在Rt△ABC中,D,E分別為AC,AB的中點(diǎn),∴DE∥BC,∵BC⊥AB,∴DE⊥AB,∵SA=SB,∴SE⊥AB.又DE,SE?平面SDE,且SE∩DE=E,方法2

證明面面垂直的方法1.利用判定定理.在審題時(shí)要注意直觀判斷哪條直線可能是垂線,充分利

用等腰三角形底邊上的中線垂直于底邊,勾股定理的逆定理等.2.用定義法證明.只需判定兩平面所成的二面角為直二面角.3.客觀題中也可應(yīng)用“兩個(gè)平行平面中的一個(gè)垂直于第三個(gè)平面,那么另

一個(gè)也垂直于第三個(gè)平面〞進(jìn)行證明.例2如圖,在三棱錐P-ABC中,D,E,F分別為棱PC,AC,AB的中點(diǎn).已知PA

⊥AC,PA=6,BC=8,DF=5.求證:平面BDE⊥平面ABC.

證明因?yàn)镈,E,F分別為棱PC,AC,AB的中點(diǎn),PA=6,BC=8,所以DE∥PA,

DE=

PA=3,EF=

BC=4.又因?yàn)镈F=5,所以DF2=DE2+EF2,所以∠DEF=90°,即DE⊥EF.又PA⊥AC,DE∥PA,所以DE⊥AC.因?yàn)锳C∩EF=E,AC?平面ABC,EF?平面ABC,所以DE⊥平面ABC.又DE?平面BDE,所以平面BDE⊥平面ABC.解題導(dǎo)引

方法3

翻折問(wèn)題的處理方法平面圖形翻折為空間圖形問(wèn)題的解題關(guān)鍵是看翻折前后線線位置關(guān)系

的變化,根據(jù)翻折的過(guò)程找到翻折前后線線位置關(guān)系中沒(méi)有變化的量和

發(fā)生變化的量,這些不變的量和變化的量反映了翻折后的空間圖形的結(jié)

構(gòu)特征.例3

(2021陜西文,18,12分)如圖1,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD

=?,AB=BC=?AD=a,E是AD的中點(diǎn),O是AC與BE的交點(diǎn).將△ABE沿BE折起到圖2中△A1BE的位置,得到四棱錐A1-BCDE.(1)證明:CD⊥平面A1OC;(2)當(dāng)平面A1BE⊥平面BCDE時(shí),四棱錐A1-BCDE的體積為36?,求a的值.

解題導(dǎo)引

解析(1)證明:在題圖1中,因?yàn)锳B=BC=

AD=a,E是AD的中點(diǎn),∠BAD=

,所以BE⊥AC.即在題圖2中,BE⊥A1O,BE⊥OC,又A1O∩OC=O,從而BE⊥平面A1OC,又BCDE,所以四邊形BCDE為平行四邊形,所以CD∥BE,所以CD⊥平面A1OC.(2)因?yàn)槠矫鍭1BE⊥平面BCDE,且平面A1BE∩平面BCDE=BE,A1O⊥BE,A1O?平面A1BE