2022-2023學(xué)年湖北省孝感市等三地九年級（下）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2022-2023學(xué)年湖北省孝感市等三地九年級（下）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共8個小題，每小題3分，共24分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的）1．中國是最早采用正負(fù)數(shù)表示相反意義的量，并進(jìn)行負(fù)數(shù)運算的國家．若零上10℃記作+10℃，則零下10℃可記作（）A．10℃ B．0℃ C．﹣10℃ D．﹣20℃2．若x＝﹣1是方程x2+x+m＝0的一個根，則此方程的另一個根是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．23．如圖，一條河的兩岸互相平行，為了測量河的寬度PT（PT與河岸PQ垂直），測量得P，Q兩點間距離為m米，∠PQT＝α，則河寬PT的長為（）A．msinα B．mcosα C．mtanα D．4．如圖，△ABC的三邊AB，BC，CA長分別是20，30，40，其三條角平分線將△ABC分為三個三角形，則S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（）A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：55．如圖，點E，F(xiàn)，G，H分別為四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點．下列三種說法：①四邊形EFGH一定是平行四邊形；②若AC＝BD，則四邊形EFGH是菱形；③若AC⊥BD，則四邊形EFGH是矩形．其中正確的是（）A．① B．①② C．①③ D．①②③6．如圖1，點A，B，C是數(shù)軸上從左到右排列的三個點，分別對應(yīng)的數(shù)為﹣5，b，4，某同學(xué)將刻度尺如圖2放置，使刻度尺上的數(shù)字0對齊數(shù)軸上的點A，發(fā)現(xiàn)點B對應(yīng)刻度1.8cm，點C對齊刻度5.4cm．則數(shù)軸上點B所對應(yīng)的數(shù)b為（）A．3 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣37．定義：min{a，b}＝，若函數(shù)y＝min{x+1，﹣x2+2x+3}，則該函數(shù)的最大值為（）A．0 B．2 C．3 D．48．如圖，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ACB的角平分線AD，BE相交于點P，過P作PF⊥AD交BC的延長線于點F，交AC于點H，則下列結(jié)論：①∠APB＝135°；②AD＝PF+PH；③DH平分∠CDE；④S四邊形ABDE＝S△ABP；⑤S△APH＝S△ADE，其中正確的結(jié)論有（）個．A．2 B．3 C．4 D．5二、填空題（本大題共8個小題，每小題3分，共24分）9．2022年2月4日北京冬奧會開幕，據(jù)統(tǒng)計當(dāng)天約有57000000人次訪問了奧林匹克官方網(wǎng)站和APP，打破了冬奧會歷史紀(jì)錄，這個訪問量可以用科學(xué)記數(shù)法表示為人次．10．一元二次方程（x﹣2）（x+7）＝0的根是．11．如圖是一個正方體的展開圖，將它拼成正方體后，“神”字對面的字是．12．若點P（2，a）關(guān)于x軸的對稱點為Q（b，1），則（a+b）3的值是．13．如圖所示，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°．直線l經(jīng)過點A，過點B作BE⊥l于點E，過點C作CF⊥l于點F．若BE＝2，CF＝5，則EF＝．14．如圖，l1∥l2∥l3，直線a、b與l1、l2、l3分別相交于點A、B、C和點D、E、F．若AB＝5，DE＝2，AC＝15，則EF＝．15．當(dāng)自變量﹣1≤x≤3時，函數(shù)y＝|x﹣k|（k為常數(shù)）的最小值為k+3，則滿足條件的k的值為．16．如圖，在等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，點D在BC邊上，DE與AC相交于點F，AH⊥DE，垂足是G，交BC于點H．下列結(jié)論中：①AC＝CD；②AD2＝BC?AF；③若AD＝3，DH＝5，則BD＝3；④AH2＝DH?AC，正確的是．三、解答題（本大題共8個小題，共72分）17．解方程：（1）（x﹣1）2﹣4＝0；（2）（x+1）2＝2（x+1）．18．已知，如圖，△ABC中，AB＝4，BC＝8，D為BC邊上一點，BD＝2．求證：△ABD∽△CBA．19．如圖，小明同學(xué)用自制的直角三角形紙板DEF測量樹的高度AB，他調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊DF持水平，并且邊DE與點B在同一直線上，已知紙板的兩條邊DF＝0.5m，EF＝0.3m，測得邊DF離地面的高度AC＝1.5m，CD＝10m，求樹高AB．20．2022年冬奧會在我國北京和張家口舉行，如圖所示為冬奧會和冬殘會的會徽“冬夢”“飛躍”，吉祥物“冰墩墩”“雪容融”，將四張正面分別印有以上4個圖案的卡片（卡片的形狀、大小、質(zhì)地都相同）背面朝上洗勻．（1）若從中隨機抽取一張卡片，則抽取的卡片上的圖案恰好為吉祥物“冰墩墩”的概率是；（2）若從中一次同時隨機抽取兩張卡片，請用畫樹狀圖或列表的方法，求抽取的兩張卡片上的圖案正好一張是會徽另一張是吉祥物的概率．21．如圖，C，D是以AB為直徑的半圓上的兩點，∠CAB＝∠DBA，連結(jié)BC，CD．（1）求證：CD∥AB．（2）若AB＝4，∠ACD＝30°，求陰影部分的面積．22．建設(shè)美麗城市，改造老舊小區(qū)．某市2019年投入資金1000萬元，2021年投入資金1440萬元，現(xiàn)假定每年投入資金的增長率相同．（1）求該市改造老舊小區(qū)投入資金的年平均增長率；（2）2021年老舊小區(qū)改造的平均費用為每個80萬元．2022年為提高老舊小區(qū)品質(zhì)，每個小區(qū)改造費用增加15%．如果投入資金年增長率保持不變，求該市在2022年最多可以改造多少個老舊小區(qū)？23．閱讀材料并完成習(xí)題：在數(shù)學(xué)中，我們會用“截長補短”的方法來構(gòu)造全等三角形解決問題．請看這個例題：如圖1，在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，若AC＝2cm，求四邊形ABCD的面積．解：延長線段CB到E，使得BE＝CD，連接AE，我們可以證明△BAE≌△DAC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得AE＝AC＝2，∠EAB＝∠CAD，則∠EAC＝∠EAB+∠BAC＝∠DAC+∠BAC＝∠BAD＝90°，得S四邊形ABCD＝S△ABC+S△ADC＝SABC+SABE＝S△AEC，這樣，四邊形ABCD的面積就轉(zhuǎn)化為等腰直角三角形EAC面積．（1）根據(jù)上面的思路，我們可以求得四邊形ABCD的面積為cm2．（2）請你用上面學(xué)到的方法完成下面的習(xí)題．如圖2，已知FG＝FN＝HM＝GH+MN＝2cm，∠G＝∠N＝90°，求五邊形FGHMN的面積．24．在△ABC中，∠B＝90°，D為BC延長線上一點，點E為線段AC，CD的垂直平分線的交點，連接EA，EC，ED．（1）如圖1，當(dāng)∠BAC＝50°時，則∠AED＝°；（2）當(dāng)∠BAC＝60°時，①如圖2，連接AD，判斷△AED的形狀，并證明；②如圖3，直線CF與ED交于點F，滿足∠CFD＝∠CAE．P為直線CF上一動點．當(dāng)PE﹣PD的值最大時，用等式表示PE，PD與AB之間的數(shù)量關(guān)系為，并證明．

參考答案一、選擇題（本大題共8個小題，每小題3分，共24分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的）1．中國是最早采用正負(fù)數(shù)表示相反意義的量，并進(jìn)行負(fù)數(shù)運算的國家．若零上10℃記作+10℃，則零下10℃可記作（）A．10℃ B．0℃ C．﹣10℃ D．﹣20℃【分析】根據(jù)正數(shù)和負(fù)數(shù)可以用來表示具有相反意義的量解答即可．解：∵零上10℃記作+10℃，∴零下10℃記作：﹣10℃，故選：C．【點評】本題考查了正數(shù)和負(fù)數(shù)，熟練掌握正數(shù)和負(fù)數(shù)可以用來表示具有相反意義的量是解題的關(guān)鍵．2．若x＝﹣1是方程x2+x+m＝0的一個根，則此方程的另一個根是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可求出答案．解：設(shè)x2+x+m＝0另一個根是α，∴﹣1+α＝﹣1，∴α＝0，故選：B．【點評】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練運用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，本題屬于基礎(chǔ)題型．3．如圖，一條河的兩岸互相平行，為了測量河的寬度PT（PT與河岸PQ垂直），測量得P，Q兩點間距離為m米，∠PQT＝α，則河寬PT的長為（）A．msinα B．mcosα C．mtanα D．【分析】根據(jù)垂直定義可得PT⊥PQ，然后在Rt△PQT中，利用銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計算即可解答．解：由題意得：PT⊥PQ，∴∠APQ＝90°，在Rt△APQ中，PQ＝m米，∠PQT＝α，∴PT＝PQ?tanα＝mtanα（米），∴河寬PT的長度是mtanα米，故選：C．【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．4．如圖，△ABC的三邊AB，BC，CA長分別是20，30，40，其三條角平分線將△ABC分為三個三角形，則S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（）A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：5【分析】利用角平分線上的一點到角兩邊的距離相等的性質(zhì)，可知三個三角形高相等，底分別是20，30，40，所以面積之比就是2：3：4．解：過點O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，∵點O是內(nèi)心，∴OE＝OF＝OD，∴S△ABO：S△BCO：S△CAO＝?AB?OE：?BC?OF：?AC?OD＝AB：BC：AC＝2：3：4，故選：C．【點評】本題主要考查了角平分線上的一點到兩邊的距離相等的性質(zhì)及三角形的面積公式．做題時應(yīng)用了三個三角形的高是相等的，這點是非常重要的．5．如圖，點E，F(xiàn)，G，H分別為四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點．下列三種說法：①四邊形EFGH一定是平行四邊形；②若AC＝BD，則四邊形EFGH是菱形；③若AC⊥BD，則四邊形EFGH是矩形．其中正確的是（）A．① B．①② C．①③ D．①②③【分析】根據(jù)三角形中位線定理得到EH∥BD，GF∥BD，EF∥AC，EH＝BD，EF＝AC，根據(jù)平行四邊形、菱形、矩形的判定定理判斷即可．解：∵點E，F(xiàn)，G，H分別為四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點，∴EH∥BD，GF∥BD，EF∥AC，EH＝BD，EF＝AC，∴四邊形EHGF是平行四邊形，故①符合題意；若AC＝BD，則EF＝EH，∴平行四邊形EHGF是菱形，故②符合題意；若AC⊥BD，則EF⊥EH，∴平行四邊形EHGF是矩形，故③符合題意；故選：D．【點評】本題考查的是中點四邊形，掌握三角形中位線定理、平行四邊形、菱形、矩形的判定定理是解題的關(guān)鍵．6．如圖1，點A，B，C是數(shù)軸上從左到右排列的三個點，分別對應(yīng)的數(shù)為﹣5，b，4，某同學(xué)將刻度尺如圖2放置，使刻度尺上的數(shù)字0對齊數(shù)軸上的點A，發(fā)現(xiàn)點B對應(yīng)刻度1.8cm，點C對齊刻度5.4cm．則數(shù)軸上點B所對應(yīng)的數(shù)b為（）A．3 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3【分析】根據(jù)刻度尺上的刻度與數(shù)軸上得單位長度的比值不變求解．解：∵5.4÷（4+5）＝0.6（cm），∴1.8÷0.6＝3，∴﹣5+3＝﹣2，故選：C．【點評】本題考查了數(shù)軸，刻度尺上的刻度與數(shù)軸上得單位長度的比值不變是解題的關(guān)鍵．7．定義：min{a，b}＝，若函數(shù)y＝min{x+1，﹣x2+2x+3}，則該函數(shù)的最大值為（）A．0 B．2 C．3 D．4【分析】根據(jù)題意畫出函數(shù)圖象，通過數(shù)形結(jié)合求解．解：x+1＝﹣x2+2x+3，解得x＝﹣1或x＝2．∴y＝，把x＝2代入y＝x+1得y＝3，∴函數(shù)最大值為y＝3．故選：C．【點評】本題考查二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解題關(guān)鍵是熟練掌握不等式與函數(shù)的關(guān)系．8．如圖，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ACB的角平分線AD，BE相交于點P，過P作PF⊥AD交BC的延長線于點F，交AC于點H，則下列結(jié)論：①∠APB＝135°；②AD＝PF+PH；③DH平分∠CDE；④S四邊形ABDE＝S△ABP；⑤S△APH＝S△ADE，其中正確的結(jié)論有（）個．A．2 B．3 C．4 D．5【分析】①正確．利用三角形內(nèi)角和定理以及角平分線的定義即可解決問題．②正確．證明△ABP≌△FBP，推出PA＝PF，再證明△APH≌△FPD，推出PH＝PD即可解決問題．③錯誤．利用反證法，假設(shè)成立，推出矛盾即可．④錯誤，可以證明S四邊形ABDE＝2S△ABP．⑤正確．由DH∥PE，利用等高模型解決問題即可．解：在△ABC中，∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠CBA＝90°，又∵AD、BE分別平分∠BAC、∠ABC，∴∠BAD+∠ABE＝（∠CAB+∠CBA）＝45°，∴∠APB＝180°﹣（∠BAD+∠ABE）＝135°，故①正確．∴∠BPD＝180°﹣∠APB＝45°，又∵PF⊥AD，∴∠FPB＝90°+45°＝135°，∴∠APB＝∠FPB，在△ABP和△FBP中，，∴△ABP≌△FBP（ASA），∴∠BAP＝∠BFP，AB＝FB，PA＝PF，∴∠PAH＝∠BAP＝∠PFD，在△APH和△FPD中，，∴△APH≌△FPD（ASA），∴PH＝PD，∴AD＝AP+PD＝PF+PH．故②正確．∵△ABP≌△FBP，△APH≌△FPD，∴S△APB＝S△FPB，S△APH＝S△FPD，PH＝PD，∵∠HPD＝90°，∴∠HDP＝∠DHP＝45°＝∠BPD，∴HD∥EP，∴S△EPH＝S△EPD，∴S△APH＝S△AED，故⑤正確，∵S四邊形ABDE＝S△ABP+S△AEP+S△EPD+S△PBD＝S△ABP+（S△AEP+S△EPH）+S△PBD＝S△ABP+S△APH+S△PBD＝S△ABP+S△FPD+S△PBD＝S△ABP+S△FBP＝2S△ABP，故④不正確．若DH平分∠CDE，則∠CDH＝∠EDH，∵DH∥BE，∴∠CDH＝∠CBE＝∠ABE，∴∠CDE＝∠ABC，∴DE∥AB，這個顯然與已知條件不符，故③錯誤，綜上所述，正確的結(jié)論有3個，故選：B．【點評】本題考查了角平分線的判定與性質(zhì)，三角形全等的判定方法，三角形內(nèi)角和定理，三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．二、填空題（本大題共8個小題，每小題3分，共24分）9．2022年2月4日北京冬奧會開幕，據(jù)統(tǒng)計當(dāng)天約有57000000人次訪問了奧林匹克官方網(wǎng)站和APP，打破了冬奧會歷史紀(jì)錄，這個訪問量可以用科學(xué)記數(shù)法表示為5.7×107人次．【分析】用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)時，一般形式為a×10n，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，且n比原來的整數(shù)位數(shù)少1，據(jù)此判斷即可．解：57000000人次＝5.7×107人次．故答案為：5.7×107．【點評】此題主要考查了用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)，一般形式為a×10n，其中1≤|a|＜10，確定a與n的值是解題的關(guān)鍵．10．一元二次方程（x﹣2）（x+7）＝0的根是x1＝2，x2＝﹣7．【分析】利用解一元二次方程﹣因式分解法，進(jìn)行計算即可解答．解：（x﹣2）（x+7）＝0，x﹣2＝0或x+7＝0，x1＝2，x2＝﹣7，故答案為：x1＝2，x2＝﹣7．【點評】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟練掌握解一元二次方程﹣因式分解法是解題的關(guān)鍵．11．如圖是一個正方體的展開圖，將它拼成正方體后，“神”字對面的字是月．【分析】根據(jù)圖形，可以直接寫出“神”字對面的字．解：由圖可得，“神”字對面的字是“月”，故答案為：月．【點評】本題考查正方體相對兩個面上的文字，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．12．若點P（2，a）關(guān)于x軸的對稱點為Q（b，1），則（a+b）3的值是1．【分析】根據(jù)關(guān)于x軸對稱點的坐標(biāo)特點：縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，橫坐標(biāo)不變，可得a＝﹣1，b＝2，進(jìn)而可得答案．解：∵點P（2，a）關(guān)于x軸的對稱點為Q（b，1），∴a＝﹣1，b＝2，∴（a+b）3＝（﹣1+2）3＝1，故答案為：1．【點評】此題主要考查了關(guān)于x軸對稱點的坐標(biāo)特點，點P（x，y）關(guān)于x軸的對稱點P′的坐標(biāo)是（x，﹣y）．13．如圖所示，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°．直線l經(jīng)過點A，過點B作BE⊥l于點E，過點C作CF⊥l于點F．若BE＝2，CF＝5，則EF＝7．【分析】根據(jù)同角的余角相等推導(dǎo)出∠BAE＝∠ACF，再利用AAS判定△ABE≌△CAF即可求解．解：由題意可知，CF⊥EF，BE⊥EF，∴∠CFA＝∠AEB＝90°，∴∠FCA+∠CAF＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAE+∠CAF＝90°，∴∠BAE＝∠ACF，在△ABE和△CAF中，，∴△ABE≌△CAF（AAS），∴AF＝BE，F(xiàn)C＝AE，∴EF＝AE+AF＝BE+FC，∵BE＝2，CF＝5，∴EF＝7，故答案為：7．【點評】本題主要考查全等三角形的判定及性質(zhì)，熟練掌握同角的余角相等是解答此題的關(guān)鍵．14．如圖，l1∥l2∥l3，直線a、b與l1、l2、l3分別相交于點A、B、C和點D、E、F．若AB＝5，DE＝2，AC＝15，則EF＝4．【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式，把已知數(shù)據(jù)代入計算求出DF，進(jìn)而求出EF．解：∵l1∥l2∥l3，∴＝，∵AB＝5，DE＝2，AC＝15，∴＝，解得：DF＝6，∴EF＝DF﹣DE＝4，故答案為：4．【點評】本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運用定理、找準(zhǔn)對應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．15．當(dāng)自變量﹣1≤x≤3時，函數(shù)y＝|x﹣k|（k為常數(shù)）的最小值為k+3，則滿足條件的k的值為﹣2．【分析】分x≥k及x＜k兩種情況去絕對值，再根據(jù)函數(shù)的增減性，結(jié)合最小值為k+3列出方程，即可得答案．解：當(dāng)x≥k時，函數(shù)y＝|x﹣k|＝x﹣k，此時y隨x的增大而增大，而﹣1≤x≤3時，函數(shù)的最小值為k+3，∴x＝﹣1時取得最小值，即有﹣1﹣k＝k+3，解得k＝﹣2，（此時﹣1≤x≤3，x≥k成立），當(dāng)x＜k時，函數(shù)y＝|x﹣k|＝﹣x+k，此時y隨x的增大而減小，而﹣1≤x≤3時，函數(shù)的最小值為k+3，∴x＝3時取得最小值，即有﹣3+k＝k+3，此時無解，故答案為：﹣2．【點評】本題考查去絕對值及一次函數(shù)的最小值，解題的關(guān)鍵是分x≥k和x＜k去絕對值．16．如圖，在等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，點D在BC邊上，DE與AC相交于點F，AH⊥DE，垂足是G，交BC于點H．下列結(jié)論中：①AC＝CD；②AD2＝BC?AF；③若AD＝3，DH＝5，則BD＝3；④AH2＝DH?AC，正確的是②③．【分析】①根據(jù)等腰直角三角形可知∠B＝∠ACB＝45°，若AC＝CD，則∠ADC＝∠CAD＝67.5°，這個根據(jù)已知得不出來，所以①錯誤；②證明△AEF∽△ABD，列比例式可作判斷；④證明△ADH∽△BAH，列比例式可作判斷；③先計算AH的長，由④中得到的比列式計算可作判斷．解：①∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B＝∠ACB＝45°，∵∠ADC＝∠B+∠BAD，而∠BAD的度數(shù)不確定，∴∠ADC與∠CAD不一定相等，∴AC與CD不一定相等，故①錯誤；②∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∵∠B＝∠AED＝45°，∴△AEF∽△ABD，∴＝，∵AE＝AD，AB＝BC，∴AD2＝AF?AB＝AF?BC，∴AD2＝AF?BC，故②正確；④∵∠DAH＝∠B＝45°，∠AHD＝∠AHD，∴△ADH∽△BAH，∴＝，∴AH2＝DH?BH，而BH與AC不一定相等，故④不一定正確；③∵△ADE是等腰直角三角形，∴∠ADG＝45°，∵AH⊥DE，∴∠AGD＝90°，∵AD＝3，∴AG＝DG＝，∵DH＝5，∴GH＝＝＝，∴AH＝AG+GH＝2，由④知：AH2＝DH?BH，∴（2）2＝5BH，∴BH＝8，∴BD＝BH﹣DH＝8﹣5＝3，故③正確；本題正確的結(jié)論有：②③故答案為：②③．【點評】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定，計算線段的長或進(jìn)行比例式的變形，屬于中考填空題中的壓軸題．三、解答題（本大題共8個小題，共72分）17．解方程：（1）（x﹣1）2﹣4＝0；（2）（x+1）2＝2（x+1）．【分析】（1）利用直接開平方法求解即可；（2）利用因式分解法求解即可．解：（1）∵（x﹣1）2﹣4＝0，∴（x﹣1）2＝4，則x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2，解得x1＝3，x2＝﹣1；（2）∵（x+1）2﹣2（x+1）＝0，∴（x+1）（x﹣1）＝0，則x+1＝0或x﹣1＝0，解得x1＝﹣1，x2＝1．【點評】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵．18．已知，如圖，△ABC中，AB＝4，BC＝8，D為BC邊上一點，BD＝2．求證：△ABD∽△CBA．【分析】利用相似三角形的判定解答即可【解答】證明：∵AB＝4，BC＝8，BD＝2，∴．∵∠ABD＝∠CBA，∴△ABD∽△CBA．【點評】本題主要考查了相似三角形的判定；熟記兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似是解決問題的關(guān)鍵．19．如圖，小明同學(xué)用自制的直角三角形紙板DEF測量樹的高度AB，他調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊DF持水平，并且邊DE與點B在同一直線上，已知紙板的兩條邊DF＝0.5m，EF＝0.3m，測得邊DF離地面的高度AC＝1.5m，CD＝10m，求樹高AB．【分析】先在Rt△DEF中，由勾股定理求得DE，再利用Rt△DEF和Rt△BCD相似求得BC的長，加上小明同學(xué)的身高即可求得樹高AB．解：∵∠DEF＝∠DCB＝90°，∠EDF＝∠CDB，∴△DEF∽△DCB，∴＝，在Rt△DEF中，∵DF＝0.5m，EF＝0.3m，由勾股定理得DE＝＝0.4（m），∵CD＝10m，∴＝，∴BC＝7.5（m），∴AB＝AC+BC＝1.5+7.5＝9（m），答：樹高AB是9m．【點評】本題考查了相似三角形的應(yīng)用和勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是證得△DEF∽△DCB．20．2022年冬奧會在我國北京和張家口舉行，如圖所示為冬奧會和冬殘會的會徽“冬夢”“飛躍”，吉祥物“冰墩墩”“雪容融”，將四張正面分別印有以上4個圖案的卡片（卡片的形狀、大小、質(zhì)地都相同）背面朝上洗勻．（1）若從中隨機抽取一張卡片，則抽取的卡片上的圖案恰好為吉祥物“冰墩墩”的概率是；（2）若從中一次同時隨機抽取兩張卡片，請用畫樹狀圖或列表的方法，求抽取的兩張卡片上的圖案正好一張是會徽另一張是吉祥物的概率．【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）根據(jù)題意畫出樹狀圖得出所有等可能的情況數(shù)，找出符合條件的情況數(shù)，然后根據(jù)概率公式即可得出答案．解：（1）抽取的卡片上的圖案恰好為吉祥物“冰墩墩”的概率是；故答案為：；（2）把“冬夢”“飛躍”“冰墩墩”“雪容融”圖案的卡片分別記為A、B、C、D，畫樹狀圖如下：共有12種等可能的結(jié)果，其中兩張卡片的圖案正好一張是會徽另一張是吉祥物的有8種，則兩張卡片上的圖案正好一張是會徽另一張是吉祥物的概率是＝．【點評】此題考查了列表法與樹狀圖法；正確畫出樹狀圖是解題的關(guān)鍵，用到的知識點為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．21．如圖，C，D是以AB為直徑的半圓上的兩點，∠CAB＝∠DBA，連結(jié)BC，CD．（1）求證：CD∥AB．（2）若AB＝4，∠ACD＝30°，求陰影部分的面積．【分析】（1）根據(jù)圓周角定理可得，∠ACD＝∠DBA，由已知條件可得∠CAB＝∠ACD，再根據(jù)平行線的判定方法即可得出答案；（2）連結(jié)OD，過點D作DE⊥AB，垂足為E．由∠ACD＝30°，可得∠ACD＝∠CAB＝30°，根據(jù)圓周角定理可得∠AOD＝∠COB＝60°，即可得出∠COD＝180°﹣∠AOD﹣∠COB＝60°，∠BOD＝180°﹣∠AOD＝120°，即可算出S扇形BOD＝的面積，在Rt△ODE中，根據(jù)三角函數(shù)可算出DE＝cos30°OD的長度，即可算出S△BOD＝的面積，根據(jù)S陰影＝S扇形BOD﹣S△BOD代入計算即可得出答案．【解答】（1）證明：∵＝，∴∠ACD＝∠DBA，又∵∠CAB＝∠DBA，∴∠CAB＝∠ACD，∴CD∥AB．（2）如圖，連結(jié)OD，過點D作DE⊥AB，垂足為E．∵∠ACD＝30°，∴∠AOD＝60°，∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝120°，∴S扇形BOD＝．在Rt△ODE中，∵DE＝sin60°?OD＝＝，∴S△BOD＝＝＝，∴S陰影＝S扇形BOD﹣S△BOD＝．∴S陰影＝．【點評】本題主要考查了扇形面積的計算，平行線的性質(zhì)與判定及圓周角定理，熟練掌握扇形面積的計算，平行線的性質(zhì)與判定及圓周角定理進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．22．建設(shè)美麗城市，改造老舊小區(qū)．某市2019年投入資金1000萬元，2021年投入資金1440萬元，現(xiàn)假定每年投入資金的增長率相同．（1）求該市改造老舊小區(qū)投入資金的年平均增長率；（2）2021年老舊小區(qū)改造的平均費用為每個80萬元．2022年為提高老舊小區(qū)品質(zhì)，每個小區(qū)改造費用增加15%．如果投入資金年增長率保持不變，求該市在2022年最多可以改造多少個老舊小區(qū)？【分析】（1）設(shè)該市改造老舊小區(qū)投入資金的年平均增長率為x，利用2021年投入資金金額＝2019年投入資金金額×（1+年平均增長率）2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；（2）設(shè)該市在2022年可以改造y個老舊小區(qū)，根據(jù)2022年改造老舊小區(qū)所需資金不多于2022年投入資金金額，即可得出關(guān)于y的一元一次不等式，解之取其中的最大整數(shù)值即可得出結(jié)論．解：（1）設(shè)該市改造老舊小區(qū)投入資金的年平均增長率為x，依題意得：1000（1+x）2＝1440，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合題意，舍去）．答：該市改造老舊小區(qū)投入資金的年平均增長率為20%．（2）設(shè)該市在2022年可以改造y個老舊小區(qū)，依題意得：80×（1+15%）y≤1440×（1+20%），解得：y≤，又∵y為整數(shù)，∴y的最大值為18．答：該市在2022年最多可以改造18個老舊小區(qū)．【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式．23．閱讀材料并完成習(xí)題：在數(shù)學(xué)中，我們會用“截長補短”的方法來構(gòu)造全等三角形解決問題．請看這個例題：如圖1，在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，若AC＝2cm，求四邊形ABCD的面積．解：延長線段CB到E，使得BE＝CD，連接AE，我們可以證明△BAE≌△DAC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得AE＝AC＝2，∠EAB＝∠CAD，則∠EAC＝∠EAB+∠BAC＝∠DAC+∠BAC＝∠BAD＝90°，得S四邊形ABCD＝S△ABC+S△ADC＝SABC+SABE＝S△AEC，這樣，四邊形ABCD的面積就轉(zhuǎn)化為等腰直角三角形EAC面積．（1）根據(jù)上面的思路，我們可以求得四邊形ABCD的面積為2cm2．（2）請你用上面學(xué)到的方法完成下面的習(xí)題．如圖2，已知FG＝FN＝HM＝GH+MN＝2cm，∠G＝∠N＝90°，求五邊形FGHMN的面積．【分析】（1）根據(jù)題意，可以計算出等腰直角三角形AEC的面積，從而可以得到四邊形ABCD的面積；（2）根據(jù)題意，作出合適的輔助線，然后三角形全等的判定和性質(zhì)，可以求得四邊形HFOM的面積，從而可以得到五邊形FGHMN的面積．解：（1）由題意可得，AE＝AC＝2，∠EAC＝90°，則△EAC的面積是：＝2（cm2），即四邊形ABCD的面積為2cm2，故答案為：2；（2）連接FH、FM，延長MN到O，截取NO＝GH，在△GFH和△NFO中，，∴△GFH≌△NFO（SAS），∴FH＝FO，∵FG＝FN＝HM＝GH+MN＝2cm，GH＝NO，∴HM＝OM，在△HFM和△OFM中，，∴△HFM≌△OFM（SSS），∵△OFM的面積是：＝2cm2，∴△HFM的面積是2cm2，∴四邊形HFOM的面積