福建省泉州外國語學校、東海中學2021-2022學年九年級上學期期中數(shù)學試卷（解析版）

福建省泉州外國語學校、東海中學2021-2022學年九年級上學期期中數(shù)學試卷考試注意事項：1、考生須誠信考試,遵守考場規(guī)則和考試紀律，并自覺服從監(jiān)考教師和其他考試工作人員

管理；

2、監(jiān)考教師發(fā)卷后，在試卷指定的地方填寫本人準考證號、姓名等信息；考試中途考生不準以任何理由離開考場；

3、考生答卷用筆必須使用同一規(guī)格同一顏色的筆作答(作圖可使用鉛筆)，不準用規(guī)定以外的筆答卷，不準在答卷上作任何標記?？忌鷷鴮懺诖痤}卡規(guī)定區(qū)域外的答案無效。4、考試開始信號發(fā)出后,考生方可開始作答。一、選擇題：共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．若x＝2能使下列二次根式有意義，則這個二次根式可以是（）A． B． C． D．2．下列各式中，與是同類二次根式的是（）A． B． C． D．3．若，則＝（）A． B． C． D．4．用配方法解一元二次方程：x2﹣6x﹣6＝0，應(yīng)當化為（）A．（x﹣3）2＝3 B．（x﹣3）2＝6 C．（x+3）2＝15 D．（x﹣3）2＝155．如圖，已知AB∥CD∥EF，若AC＝6，CE＝2，BD＝3，則BF的長為（）A．6 B．5.5 C．4 D．4.56．若關(guān)于x的方程（m+2）x|m|+2x﹣1＝0是一元二次方程，則m等于（）A．﹣2 B．2 C．﹣2或2 D．17．如圖，在4×7的方格中，點A，B，C，D在格點上，線段CD是由線段AB位似放大得到，則它們的位似中心是（）A．點P1 B．點P2 C．點P3 D．點P48．小明同學是一位古詩文的愛好者，在學習了一元二次方程這一章后，改編了蘇軾詩詞《念奴嬌?赤壁懷古》：“大江東去浪淘盡，千古風流人物．而立之年督東吳，早逝英年兩位數(shù)．十位恰小個位三，個位平方與壽同．哪位學子算得快，多少年華數(shù)周瑜？”假設(shè)周瑜去世時年齡的十位數(shù)字是x，則可列方程為（）A．10x+（x﹣3）＝（x﹣3）2 B．10（x+3）+x＝x2 C．10x+（x+3）＝（x+3）2 D．10（x+3）+x＝（x+3）29．如圖，O是△ABC的重心，AN，CM相交于點O，那么△MON與△BMN的面積的比是（）A．1：2 B．2：3 C．1：3 D．1：410．若x1是方程ax2﹣4x﹣c＝0（a≠0）的一個根，設(shè)p＝（ax1﹣2）2，q＝ac+5，則p與q的大小關(guān)系為（）A．p＜q B．p＝q C．p＞q D．不能確定二．填空題：共6小題，每小題4分，共24分．11．計算+的結(jié)果是．12．一元二次方程x2﹣x＝0的解是．13．已知點A（a，1）與點B（﹣3，b）關(guān)于原點對稱，則ab的值為．14．已知關(guān)于x方程x2﹣6x+a＝0有一個根為4，則a＝．15．如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝10，BC＝8，點D在BC上，以AC為對角線的平行四邊形ADCE中，則DE的最小值是．16．如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，點M、N分別在邊AD和BC上，沿MN折疊四邊形ABCD，使點A、B分別落在A1、B1處，得四邊形A1B1NM，點B1在DC上，過點M作ME⊥BC于點E，連接BB1，則下列結(jié)論：①∠MNB1＝∠ABB1；②△MEN∽△BCB1；③；④若點B1是CD的中點，則AM＝，其中，正確結(jié)論的序號是．（把所有正確結(jié)論的序號都在填在橫線上）三．解答題：共9小題，共86分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17．（8分）計算：|．18．（8分）解方程：3x（2x+3）＝4x+6．19．（8分）已知＝b+8，求a+b的平方根．20．（8分）已知：如圖，△ABC中，BD平分∠ABC交AC于D．（1）在線段AB上求作一點E，使得DE＝EB（不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）在（1）中，若DE＝2，AB＝5，求BC的長．21．（8分）已知α，β是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0的兩個不相等的實數(shù)根．（1）求k的取值范圍；（2）若α2﹣α+k＝3，試求k的值．22．如圖，∠ABC＝45°，點P為△ABC內(nèi)的一個動點，已知∠BPA＝∠BPC＝135°．（1）求證：△CPB∽△BPA；（2）若AC⊥BC，試求的值．23．華為手機歷來都是中國人特別喜歡的國產(chǎn)品牌手機，重慶時代天街的華為官方旗艦店年初推出了“華為nova8”和“華為Mate40Pro”兩款爆款手機，兩款手機的售價分別是3000元和6600元，在今年上半年共售出1200臺，總銷售額為6120000元．（1）該官方旗艦店今年上半年銷售“華為Mate40Pro”多少臺；（2）由于“華為Mate40Pro”深受消費者的喜愛，下半年該官方旗艦店決定將“華為Mate40Pro”的售價在上半年的基礎(chǔ)上降低了100元，“華為nova8”的價格在上半年的基礎(chǔ)上增加了a%，預(yù)估“華為Mate40Pro”的銷量比上半年增加a%，“華為nova8”的銷量比上半年減少2a%，預(yù)計銷售總額比上半年少70000元，求a的值．24．（13分）如圖，在正方形ABCD中，點M是邊BC上的一點（不與B、C重合），點N在邊CD延長線上，且滿足∠MAN＝90°，聯(lián)結(jié)MN，AC，MN與邊AD交于點E．（1）求證：AM＝AN；（2）如果∠CAD＝2∠NAD，求證：AM2＝AB?AE；（3）MN和AC相交于O點，若BM＝1，AB＝3，試猜想線段OM，ON的數(shù)量關(guān)系并證明．25．（13分）已知直線y＝﹣2x+4與交y軸于點A，交x軸于點B，直線CD經(jīng)過點C（﹣1，0），交y軸于點D，若AB∥CD．（1）求直線CD的解析式；（2）如圖（1）若點E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點，求證：E，O，F(xiàn)三點共線；（3）如圖（2）點M為線段BC上一動點（不與B，C重合），直線AM交CD于點N，求△ABM與△CNM面積和的最小值．

參考答案與試題解析一、選擇題：共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．若x＝2能使下列二次根式有意義，則這個二次根式可以是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件：被開方數(shù)為非負數(shù)逐一判斷即可．解：A．當x＝2時，x﹣1＝2﹣1＝1＞0，有意義，符合題意；B．當x＝2時，1﹣x＝1﹣2＝﹣1＜0，無意義，不符合題意；C．當x＝2時，x﹣3＝2﹣3＝﹣1＜0，無意義，不符合題意；D．當x＝2時，﹣x＝﹣2＜0，無意義，不符合題意；故選：A．【點評】本題主要考查二次根式有意義的條件，二次根式中的被開方數(shù)是非負數(shù)．2．下列各式中，與是同類二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】將各個二次根式化成最簡二次根式后，選被開方數(shù)為2的根式即可．解：＝2，因此選項A不符合題意；＝3，因此選項B符合題意；＝2，因此選項C不符合題意；＝2，顯然與不是同類二次根式，因此選項D不符合題意；故選：B．【點評】本題考查同類二次根式的意義，將二次根式化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同的二次根式是同類二次根式．3．若，則＝（）A． B． C． D．【分析】設(shè)a＝5k，b＝2k，代入式子化簡求解即可解決問題．解：∵＝，∴可以假設(shè)a＝5k，b＝2k，∴＝＝，故選：C．【點評】本題考查比例的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握比例的性質(zhì)：學會利用參數(shù)解決問題．4．用配方法解一元二次方程：x2﹣6x﹣6＝0，應(yīng)當化為（）A．（x﹣3）2＝3 B．（x﹣3）2＝6 C．（x+3）2＝15 D．（x﹣3）2＝15【分析】先把常數(shù)項移項，再方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方，再配方即可．解：x2﹣6x﹣6＝0，移項得x2﹣6x＝6，方程兩邊同時加上9得，x2﹣6x+9＝15，配方得（x﹣3）2＝15，故選：D．【點評】本題考查了用配方法解一元二次方程，掌握用配方法解一元二次方程的步驟是解題的關(guān)鍵．5．如圖，已知AB∥CD∥EF，若AC＝6，CE＝2，BD＝3，則BF的長為（）A．6 B．5.5 C．4 D．4.5【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理得到＝，然后根據(jù)比例的性質(zhì)求BF．解：∵AB∥CD∥EF，∴＝，即＝，∴BF＝4．故選：C．【點評】本題考查了平行線分線段成比例：三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例．6．若關(guān)于x的方程（m+2）x|m|+2x﹣1＝0是一元二次方程，則m等于（）A．﹣2 B．2 C．﹣2或2 D．1【分析】根據(jù)一元二次方程的定義求解即可．解：由題意，得|m|＝2，m+2≠0，解得m＝2，故選：B．【點評】本題利用了一元二次方程的概念．只有一個未知數(shù)且未知數(shù)最高次數(shù)為2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特別要注意a≠0的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識點．7．如圖，在4×7的方格中，點A，B，C，D在格點上，線段CD是由線段AB位似放大得到，則它們的位似中心是（）A．點P1 B．點P2 C．點P3 D．點P4【分析】延長CA、DB交于點P1，根據(jù)位似中心的概念得到答案．解：延長CA、DB交于點P1，則點P1為位似中心，故選：A．【點評】本題考查的是位似變換的概念，如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且對應(yīng)頂點的連線相交于一點，對應(yīng)邊互相平行，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心．8．小明同學是一位古詩文的愛好者，在學習了一元二次方程這一章后，改編了蘇軾詩詞《念奴嬌?赤壁懷古》：“大江東去浪淘盡，千古風流人物．而立之年督東吳，早逝英年兩位數(shù)．十位恰小個位三，個位平方與壽同．哪位學子算得快，多少年華數(shù)周瑜？”假設(shè)周瑜去世時年齡的十位數(shù)字是x，則可列方程為（）A．10x+（x﹣3）＝（x﹣3）2 B．10（x+3）+x＝x2 C．10x+（x+3）＝（x+3）2 D．10（x+3）+x＝（x+3）2【分析】設(shè)周瑜去世時年齡的十位數(shù)字是x，根據(jù)“十位恰小個位三，個位平方與壽同”知10×十位數(shù)字+個位數(shù)字＝個位數(shù)字的平方，據(jù)此列出方程可得答案．解：假設(shè)周瑜去世時年齡的十位數(shù)字是x，則可列方程為10x+（x+3）＝（x+3）2，故選：C．【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．9．如圖，O是△ABC的重心，AN，CM相交于點O，那么△MON與△BMN的面積的比是（）A．1：2 B．2：3 C．1：3 D．1：4【分析】利用三角形重心的性質(zhì)得到MO：MC＝1：3和點N是BC的中點，從而得到△MON和△MNC的面積比、△BMN和△CMN的面積比，然后綜合兩個面積比求得結(jié)果．解：∵點O是△ABC的重心，∴MO：MC＝1：3，點N是BC的中點，∴S△MON：S△MNC＝1：3，S△BMN：S△MNC＝1：1，∴S△MON：S△MBN＝1：3，故選：C．【點評】本題考查了三角形重心的性質(zhì)和三角形中線的性質(zhì)，熟知三角形的重心將中線分為1：2兩部分是解題的關(guān)鍵．10．若x1是方程ax2﹣4x﹣c＝0（a≠0）的一個根，設(shè)p＝（ax1﹣2）2，q＝ac+5，則p與q的大小關(guān)系為（）A．p＜q B．p＝q C．p＞q D．不能確定【分析】把x1代入方程ax2﹣4x﹣c＝0得ax12﹣4x1＝c，作差法比較可得．解：∵x1是方程ax2﹣4x﹣c＝0（a≠0）的一個根，∴ax12﹣4x1＝c，則p﹣q＝（ax1﹣2）2﹣（ac+5）＝a2x12﹣4ax1+4﹣ac﹣5＝a（ax12﹣4x1）﹣ac﹣1＝ac﹣ac﹣1＝﹣1，∴p﹣q＜0，∴p＜q．故選：A．【點評】本題主要考查一元二次方程的解得概念及作差法比較大小，熟練掌握能使方程成立的未知數(shù)的值叫做方程的解是根本，利用作差法比較大小是解題的關(guān)鍵．二．填空題：共6小題，每小題4分，共24分．11．計算+的結(jié)果是．【分析】直接化簡二次根式，進而合并得出答案．解：原式＝+2＝3．故答案為：．【點評】此題主要考查了二次根式的加減，正確化簡二次根式是解題關(guān)鍵．12．一元二次方程x2﹣x＝0的解是x1＝0，x2＝1．【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可．解：x2﹣x＝0，x（x﹣1）＝0，∴x＝0或x﹣1＝0，∴x1＝0，x2＝1，故答案為：x1＝0，x2＝1．【點評】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法，解決本題的關(guān)鍵是掌握用因式分解法解一元二次方程的步驟．13．已知點A（a，1）與點B（﹣3，b）關(guān)于原點對稱，則ab的值為﹣3．【分析】直接利用關(guān)于原點對稱點的性質(zhì)得出a，b的值，進而得出答案．解：∵點A（a，1）與點B（﹣3，b）關(guān)于原點對稱，∴a＝3，b＝﹣1，故ab＝﹣3．故答案為：﹣3．【點評】此題主要考查了關(guān)于原點對稱點的性質(zhì)，正確記憶關(guān)于原點對稱點的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．14．已知關(guān)于x方程x2﹣6x+a＝0有一個根為4，則a＝8．【分析】由方程的解的定義，把x＝4代入已知方程，列出關(guān)于a的新方程，通過解新方程即可求得a的值．解：依題意，得42﹣6×4+a＝0，解得，a＝8．故答案是：8．【點評】本題考查的是一元二次方程的根即方程的解的定義．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．即用這個數(shù)代替未知數(shù)所得式子仍然成立．15．如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝10，BC＝8，點D在BC上，以AC為對角線的平行四邊形ADCE中，則DE的最小值是6．【分析】平行四邊形ADCE的對角線的交點是AC的中點O，當OD⊥BC時，OD最小，即DE最小，根據(jù)三角形中位線定理即可求解．解：平行四邊形ADCE的對角線的交點是AC的中點O，當OD⊥BC時，OD最小，即DE最?。逴D⊥BC，∠B＝90°，∴OD∥AB，又∵平行四邊形ADCE中，OC＝OA，DE＝2OD，∴OD是△ABC的中位線，∴OD＝AB，AB＝2OD，∴DE＝AB．∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝10，BC＝8，∴AB＝＝6，∴DE＝6．故答案為6．【點評】此題考查的是平行四邊形的性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，勾股定理，正確理解DE最小的條件是解題的關(guān)鍵．16．如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，點M、N分別在邊AD和BC上，沿MN折疊四邊形ABCD，使點A、B分別落在A1、B1處，得四邊形A1B1NM，點B1在DC上，過點M作ME⊥BC于點E，連接BB1，則下列結(jié)論：①∠MNB1＝∠ABB1；②△MEN∽△BCB1；③；④若點B1是CD的中點，則AM＝，其中，正確結(jié)論的序號是①②③．（把所有正確結(jié)論的序號都在填在橫線上）【分析】由折疊可知∠MNB1＝∠BNM，MN⊥BB1，再由角的互余關(guān)系判定①正確；證△MEN∽△BCB1，判定②正確；由相似三角形的性質(zhì)可得＝＝，為定值，判定③正確；再由相似三角形的性質(zhì)和勾股定理可得AM＝，判定④不正確；從而求解．解：由折疊可知：∠MNB1＝∠BNM，MN⊥BB1，∴∠BNM+∠B1BN＝90°，∵∠ABB1+∠B1BN＝90°，∴∠BNM＝∠ABB1，∴∠MNB1＝∠ABB1，故①正確；∵ME⊥BC，∴∠MNE+∠NME＝90°，由折疊的性質(zhì)可得：MN⊥BB1，∴∠MNE+∠B1BN＝90°，∴∠NME＝∠BB1N，∴△MEN∽△BCB1，故②正確；由②可知：＝，∵ME＝AB＝2，BC＝4，∴＝＝，為定值，故③正確；∵△MEN∽△BCB1，∴＝＝，∴NE＝B1C，若點B1是CD的中點，則B1C＝DC，∴NE＝DC＝×2＝，設(shè)BN＝x，則NC＝4﹣x，B1N＝x，在Rt△B1NC中，由勾股定理可得x2＝（4﹣x）2+12，解得：x＝，∴AM＝BE＝BN﹣NE＝﹣＝，故④不正確．故答案為：①②③．【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、翻折的性質(zhì)、勾股定理等知識，熟練掌握翻折變換的性質(zhì)和矩形，1性質(zhì)，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．三．解答題：共9小題，共86分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17．（8分）計算：|．【分析】原式利用負整數(shù)指數(shù)冪法則，二次根式乘法法則，以及絕對值的代數(shù)意義計算即可得到結(jié)果．解：原式＝2﹣﹣（﹣2）＝2﹣2﹣+2＝4﹣3．【點評】此題考查了二次根式的混合運算，以及負整數(shù)指數(shù)冪，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．18．（8分）解方程：3x（2x+3）＝4x+6．【分析】整理后，利用因式分解法求解即可．解：方程整理得：3x（2x+3）﹣2（2x+3）＝0，分解因式得：（3x﹣2）（2x+3）＝0，可得3x﹣2＝0或2x+3＝0，解得：，．【點評】本題考查了解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根據(jù)方程的特點靈活選用合適的方法．19．（8分）已知＝b+8，求a+b的平方根．【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件列出不等式，解不等式求出a，進而求出b，根據(jù)平方根的概念計算即可．解：由題意得：a﹣17≥0，17﹣a≥0，解得：a＝17，則b＝﹣8，∴a+b＝9，∵9的平方根是±3，∴a+b的平方根是±3．【點評】本題考查的是二次根式有意義的條件、平方根的概念，掌握二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)是解題的關(guān)鍵．20．（8分）已知：如圖，△ABC中，BD平分∠ABC交AC于D．（1）在線段AB上求作一點E，使得DE＝EB（不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）在（1）中，若DE＝2，AB＝5，求BC的長．【分析】（1）利用基本作圖作BD的垂直平分線即可；（2）先由BE＝DE＝2得到∠EBD＝∠EDB，再證∠EDB＝∠CBD，所以DE∥BC，則可判斷△ADE∽△ACB，然后利用相似比計算BC的長．解：（1）如圖，點E為所作；（2）∵BE＝DE＝2，∴∠EBD＝∠EDB，AE＝AB﹣BE＝3，∵BD平分∠ABC，∴∠EBD＝∠CBD，∴∠EDB＝∠CBD，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ACB，∴＝，即＝，∴BC＝．【點評】本題考查了作圖﹣復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．21．（8分）已知α，β是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0的兩個不相等的實數(shù)根．（1）求k的取值范圍；（2）若α2﹣α+k＝3，試求k的值．【分析】（1）根據(jù)題意可得Δ＞0，再代入相應(yīng)數(shù)值解不等式即可；（2）根據(jù)一元二次方程根的定義以及根與系數(shù)的關(guān)系可得α2﹣2α+k＝0，α+β＝2，αβ＝k，即可得到α2﹣α＝α﹣k，根據(jù)α2﹣α+k＝3可得關(guān)于α的值，然后根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系整理后可即可解出k的值．解：（1）根據(jù)題意得Δ＝（﹣2）2﹣4k＝4﹣4k＞0，解k＜1，∴k的取值范圍是k＜1；（2）∵α，β是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0的兩根，∴α2﹣2α+k＝0，α+β＝2，αβ＝k，∴α2﹣α＝α﹣k，∵α2﹣α+k＝3，∴α﹣k+k＝3，∴α＝3，∴β＝﹣1，∴k＝3×（﹣1）＝﹣3．故k的值為﹣3．【點評】本題主要考查了一元二次方程根的定義、根的判別式，以及根與系數(shù)的關(guān)系，關(guān)鍵是掌握一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：（1）Δ＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）Δ＝0?方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）Δ＜0?方程沒有實數(shù)根．以及根與系數(shù)的關(guān)系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時，x1+x2＝﹣，x1?x2＝．22．如圖，∠ABC＝45°，點P為△ABC內(nèi)的一個動點，已知∠BPA＝∠BPC＝135°．（1）求證：△CPB∽△BPA；（2）若AC⊥BC，試求的值．【分析】（1）由三角形內(nèi)角和定理得出∠ABP+∠BAP＝45°，由∠ABP+∠CBP＝∠MBN＝45°，推出∠BAP＝∠CBP，即可得出結(jié)論；（2）由AC⊥BC，∠MBN＝45°，得出△ACB是等腰直角三角形，則AB＝BC，由△CPB∽△BPA，得出＝＝＝＝，設(shè)PC＝a，則BP＝a，AP＝2a，求出∠APC＝90°，由勾股定理得出AC＝＝＝a，即可得出結(jié)果．【解答】（1）證明：∵∠BPA＝135°，∴∠ABP+∠BAP＝180°﹣135°＝45°，∵∠ABP+∠CBP＝∠ABC＝45°，∴∠ABP+∠BAP＝∠ABP+∠CBP，∴∠BAP＝∠CBP，∵∠BPA＝∠BPC，∴△CPB∽△BPA；（2）解：∵AC⊥BC，∠ABC＝45°，∴△ACB是等腰直角三角形，∴AB＝BC，∵△CPB∽△BPA，∴＝＝＝＝，設(shè)PC＝a，則BP＝a，AP＝2a，∵∠APC＝360°﹣135°﹣135°＝90°，∴AC＝＝＝a，∴＝＝．【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識；熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．23．華為手機歷來都是中國人特別喜歡的國產(chǎn)品牌手機，重慶時代天街的華為官方旗艦店年初推出了“華為nova8”和“華為Mate40Pro”兩款爆款手機，兩款手機的售價分別是3000元和6600元，在今年上半年共售出1200臺，總銷售額為6120000元．（1）該官方旗艦店今年上半年銷售“華為Mate40Pro”多少臺；（2）由于“華為Mate40Pro”深受消費者的喜愛，下半年該官方旗艦店決定將“華為Mate40Pro”的售價在上半年的基礎(chǔ)上降低了100元，“華為nova8”的價格在上半年的基礎(chǔ)上增加了a%，預(yù)估“華為Mate40Pro”的銷量比上半年增加a%，“華為nova8”的銷量比上半年減少2a%，預(yù)計銷售總額比上半年少70000元，求a的值．【分析】（1）設(shè)該官方旗艦店今年上半年銷售“華為nova8”x臺，“華為Mate40Pro”y臺，利用總價＝單價×數(shù)量，結(jié)合今年上半年銷售兩種手機1200臺且總銷售額為6120000元，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出該官方旗艦店今年上半年銷售兩種手機的數(shù)量；（2）利用銷售總額＝銷售單價×銷售數(shù)量，結(jié)合預(yù)計下半年銷售總額比上半年少70000元，即可得出關(guān)于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出a的值．解：（1）設(shè)該官方旗艦店今年上半年銷售“華為nova8”x臺，“華為Mate40Pro”y臺，依題意得：，解得：．答：該官方旗艦店今年上半年銷售“華為Mate40Pro”700臺．（2）依題意得：3000（1+a%）×500（1﹣2a%）+（6600﹣100）×700（1+a%）＝6120000﹣70000，整理得：300a2﹣4500a＝0，解得：a1＝15，a2＝0（不合題意，舍去）．答：a的值為15．【點評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程．24．（13分）如圖，在正方形ABCD中，點M是邊BC上的一點（不與B、C重合），點N在邊CD延長線上，且滿足∠MAN＝90°，聯(lián)結(jié)MN，AC，MN與邊AD交于點E．（1）求證：AM＝AN；（2）如果∠CAD＝2∠NAD，求證：AM2＝AB?AE；（3）MN和AC相交于O點，若BM＝1，AB＝3，試猜想線段OM，ON的數(shù)量關(guān)系并證明．【分析】（1）由正方形的性質(zhì)可得AB＝AD，由“ASA”可證△ABM≌△ADN，可得AM＝AN；（2）由題意可得∠CAM＝∠NAD＝22.5°，∠ACB＝∠MNA＝45°，即可證△AMC∽△AEN，即可證AM2＝AE?AC，再根據(jù)AC＝AB可得結(jié)論；（3）先求出AM，進而求出MF＝NF＝AF＝，再判斷出△BAM∽△BFO，進而求出FO，即可得出結(jié)論．【解答】證明（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠CAD＝∠ACB＝45°，∠BAD＝∠CDA＝∠B＝90°，∴∠BAM+∠MAD＝90°，∵∠MAN＝90°，∴∠MAD+∠DAN＝90°，∴∠BAM＝∠DAN，∵AD＝AB，∠ABC＝∠ADN＝90°，∴△ABM≌△ADN（ASA），∴AM＝AN；（2）∵AM＝AN，∠MAN＝90°，∴∠MNA＝45°，∵∠CAD＝2∠NAD＝45°，∴∠NAD＝22.5°∴∠CAM＝∠MAN﹣∠CAD﹣∠NAD＝22.5°∴∠CAM＝∠NAD，∠ACB＝∠MNA＝45°，∴△AMC∽△AEN，∴＝，∴AM?AN＝AC?AE，∵AN＝AM，AC＝AB，∴AM2＝AB?AE；（3）ON＝2OM，理由如下：如圖，在Rt△ABM中，BM＝1，AB＝3，根據(jù)勾股定理得，AM＝＝．過點A作AF⊥MN于F，∴∠OFA＝∠B＝90°．由（1）知，AM＝AN，∵∠MAN＝90°，∴FA＝NF＝MF＝＝，∠MAF＝45°．∵AC是正方形ABCD的對角線，∴∠BAC＝45°＝∠MAF．∴∠BAM＝∠FAO．∴△B