專題6.4 角-重難點題型（教師版含解析）2022年七年級數(shù)學(xué)上冊舉一反三系列（浙教版）

路華教育淘寶店鋪：/微信號：Minzimin001專題6.4角-重難點題型【浙教版】【知識點1角的概念】定義一：有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，這個公共端點是角的頂點，這兩條射線是角的兩條邊．定義二：一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)而形成的圖形，射線旋轉(zhuǎn)時經(jīng)過的平面部分是角的內(nèi)部．【知識點2角的表示方法】表示方法A圖例A記法適用范圍用三個大寫字母表示BOBOAOB或BOA任何情況下都適應(yīng).表示端點的字母必須寫在中間.用一個大寫字母表示AAA以這個點為頂點的角只有一個.用數(shù)字表示111任何情況下都適用.但必須在靠近頂點處加上弧線表示角的范圍，并注上數(shù)字或希臘字母.用希臘字母表示【題型1角的定義及其表示方法】【例1】（2021春?成武縣期末）下列說法中，正確的是（）A．兩條射線組成的圖形叫做角 B．有公共端點的兩條線段組成的圖形叫做角 C．角可以看做是由一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)而形成的圖形 D．角可以看做是由一條線段繞著它的端點旋轉(zhuǎn)而形成的圖形【解題思路】根據(jù)角的動態(tài)定義解答：一條射線繞著它的端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所形成的圖形叫做角．所旋轉(zhuǎn)射線的端點叫做角的頂點，開始位置的射線叫做角的始邊，終止位置的射線叫做角的終邊．【解答過程】解：A、有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，故錯誤；B、根據(jù)A可得B錯誤；C、角可以看做是由一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)而形成的圖形，正確；D、據(jù)C可得D錯誤．故選：C．【變式1-1】（2021秋?成華區(qū)期中）如圖，用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎緢D中的角：銳角有∠BAD，∠ADC，∠B，∠C，鈍角有∠BAC，∠BDA，直角有∠DAC．【解題思路】圖中每個角的頂端及兩邊都用大寫英文字母表示，可以在每一個頂點處，找角，再按角的大小分類．【解答過程】解：可以用3個大寫英文字母，或1個大寫英文字母，表示各個角，銳角有∠BAD，∠ADC，∠B，∠C；鈍角有∠BAC，∠BDA；直角有∠DAC．【變式1-2】（2021春?濰坊期中）如圖所示，下列說法錯誤的是（）A．∠DAO可用∠DAC表示 B．∠COB也可用∠O表示 C．∠2也可用∠OBC表示 D．∠CDB也可用∠1表示【解題思路】根據(jù)角的表示方法進行判斷．【解答過程】解：A、∠DAO可用∠DAC表示，本選項說法正確；B、∠COB不能用∠O表示，本選項說法錯誤；C、∠2也可用∠OBC表示，本選項說法正確；D、∠CDB也可用∠1表示，本選項說法正確；故選：B．【變式1-3】（2021春?寧陽縣期末）如圖，下列各個圖形中，能用∠1，∠AOB，∠O三種方法表示同一角的圖形是（）A． B． C． D．【解題思路】根據(jù)角的表示方法判斷即可．【解答過程】解：A、圖形中的∠1，能用∠AOB表示，但不能用∠O表示，本選項不符合題意；B、圖形中的∠1，能用∠AOB，∠O表示，本選項符合題意；C、圖形中的∠1，能用∠AOB表示，但不能用∠O表示，本選項不符合題意；D、圖形中的∠1，能用∠AOB表示，但不能用∠O表示，本選項不符合題意；故選：B．【題型2角的度量】【例2】（2021秋?延邊州期末）用量角器測量∠AOB的度數(shù)，操作正確的是（）A．B．C． D．【解題思路】根據(jù)量角器的使用方法解答．【解答過程】解：用量角器度量角的方法是：把量角器的中心與角的頂點重合，0刻度線與邊的一邊重合，角的另一邊所經(jīng)過的量角器上所顯示的刻度就是被量角的度數(shù)．觀察選項，只有選項C符合題意．故選：C．【變式2-1】（2021?石景山區(qū)二模）如圖，用量角器度量∠AOB，可以讀出∠AOB的度數(shù)為（）A．30° B．60° C．120° D．150°【解題思路】根據(jù)平角的定義和角的和差即可得到結(jié)論．【解答過程】解：看內(nèi)圈的數(shù)字可得：∠AOB＝120°，故選：C．【變式2-2】（2021春?長安區(qū)期末）如圖，直線a，b相交于點O，將半圓形量角器的圓心與點O重合，發(fā)現(xiàn)表示60°的刻度與直線a重合，表示138°的刻度與直線b重合，則∠1＝°．【解題思路】由量角器的刻度顯示即可得到張角的度數(shù)，再由對頂角相等可得答案．【解答過程】解：根據(jù)量角器的刻度顯示及對頂角相等可得：∠1＝138°﹣60°＝78°．故答案為：78．【變式2-3】（2021秋?通州區(qū)期末）射線OA，OB，OC，OD的位置如圖所示，可以讀出∠COB的度數(shù)為（）A．50° B．40° C．70° D．90°【解題思路】根據(jù)量角器可得∠AOC和∠AOB的度數(shù)，進而可得∠COB的度數(shù)．【解答過程】解：∠COB＝∠AOC﹣∠AOB＝140°﹣50°＝90°，故選：D．【題型3角的單位及其換算】【例3】計算：（1）90°﹣36°12′15″；（2）32°17′53″+42°42′7″；（3）53°÷8．【解題思路】（1）角度的相減，把度、分、秒分別相減，不夠減時，借1゜當(dāng)作60′，并入原數(shù)相減；（2）角度的相加，也要把度、分、秒分別相加，注意滿60要進位；（3）角度的除法，先從度開始，余數(shù)由度化成分來除，重復(fù)上一步驟將除后余下的分化成秒來除；【解答過程】解：（1）90°﹣36°12′15″＝89°59′60″﹣36°12′15″＝53°47′45″．（2）32°17′53″+42°42′7″＝74°59′60″＝75°．（3）53°÷8＝6°37′30″．【變式3-1】（2021秋?溧水區(qū)期末）已知∠α＝25°15′，∠β＝25.15°，則∠α＞∠β．（填“＞”“＜”或“＝”號）【解題思路】首先把：∠β＝25.15°化為25°9′，然后再比較即可．【解答過程】解：∠β＝25.15°＝25°9′，∵25°15′＞25°9′，∴∠α＞∠β，故答案為：＞．【變式3-2】（2016秋?崇川區(qū)期末）計算72°34′÷2+18°33′×4＝110°29′．【解題思路】先算乘除法，再算減法即可求解．【解答過程】解：72°34′÷2+18°33′×4＝36°17′+74°12′＝110°29′．故答案為：110°29′．【變式3-3】（2021秋?南開區(qū)期末）如圖1是一個14的圓（∠AOB＝90°），芳芳第一次在圖1中畫了一條線，將圖1等分成2份，第二次又加了兩條線，將圖1等分成4份，第三次由加了四條線，將圖1等分成8份，第四次又加了八條線，將圖1等分成16份，如圖2所示，則第n（n＞1）次可將圖1等分成2n份，當(dāng)n＝5時，圖1中的每份的角度是2°48′45″【解題思路】從特殊到一般，探究規(guī)律后即可解決問題．【解答過程】解：第一次在圖1中畫了一條線，將圖1等分成2份，第二次又加了兩條線，將圖1等分4＝22份，第三次由加了四條線，將圖1等分成8＝23份，第四次又加了八條線，將圖1等分成16＝24份，第n（n＞1）次可將圖1等分成2n份．當(dāng)n＝5時，圖1中的每份的角度是90°×125=2°故答案為2n，2°48′45″【知識點3鐘表上有關(guān)夾角問題】鐘表中共有12個大格，把周角12等分、每個大格對應(yīng)30°的角，分針1分鐘轉(zhuǎn)6°，時針每小時轉(zhuǎn)30°，時針1分鐘轉(zhuǎn)0.5°，利用這些關(guān)系，可幫助我們解決鐘表中角度的計算問題．【題型4鐘面上角的特征】【例4】鐘面上從2點到4點有幾次時針與分針的夾角為60°？分別是幾點幾分？【解題思路】根據(jù)時針、分針轉(zhuǎn)動的速度可知分針比時針每分鐘轉(zhuǎn)動的快5.5°，時針與分針的夾角為60°，依此列方程求解．【解答過程】解：第一次正好為兩點整；第二次設(shè)為兩點x分時，時針與分針的夾角為60°，則5.5x＝60×2，解之得x＝21911第三次設(shè)為三點y分時，時針與分針的夾角為60°，則5.5y＝90﹣60，解之得y＝5511第四次設(shè)為3點z分，時針與分針的夾角為60°，則5.5z＝90﹣60+60×2，解之得z＝27311故鐘面上從2點到4點時針與分針的夾角為60°，分別是2點整，2點21911分，3點5511分，3點27【變式4-1】（2021秋?北碚區(qū)期末）鐘表在7點55分時，它的時針和分針所構(gòu)成的角（小于平角）的度數(shù)是（）A．122.5° B．117.5° C．87.5° D．92.5°【解題思路】根據(jù)鐘面平均分成12份，可得每份是30°．7點55分時，時針分針間隔（3+5【解答過程】解：7點55分時，時針與分針的夾角的度數(shù)是30°×（3+560）＝故選：D．【變式4-2】（2021春?靜安區(qū)期末）早晨8：00以后，時鐘的分針和時針第一次垂直的準確時間是（）A．8點23113分 B．8點25分 C．8點27311分 D．【解題思路】根據(jù)分針旋轉(zhuǎn)的速度乘分針旋轉(zhuǎn)的時間，可得分針的旋轉(zhuǎn)角，根據(jù)秒針旋轉(zhuǎn)的速度成秒針旋轉(zhuǎn)的時間，可得秒針的旋轉(zhuǎn)角，根據(jù)分針的旋轉(zhuǎn)角減去秒針的旋轉(zhuǎn)角，可得答案．【解答過程】解：設(shè)t分后時鐘的分針和時針第一次垂直，依題意有6t﹣0.5t＝360﹣120﹣90，解得t＝27311故早晨8：00以后，時鐘的分針和時針第一次垂直的準確時間是8點27311故選：C．【變式4-3】（2021秋?武昌區(qū)期末）某同學(xué)晚上6點多鐘開始做作業(yè)，他家墻上時鐘的時針和分針的夾角是120°，他做完作業(yè)后還是6點多鐘，且時針和分針的夾角還是120°，此同學(xué)做作業(yè)大約用了（）A．40分鐘 B．42分鐘 C．44分鐘 D．46分鐘【解題思路】根據(jù)分針每分鐘轉(zhuǎn)6°，時針每分鐘轉(zhuǎn)0.5°，可列方程求解．【解答過程】解：設(shè)開始做作業(yè)時的時間是6點x分，∴6x﹣0.5x＝180﹣120，解得x≈11；再設(shè)做完作業(yè)后的時間是6點y分，∴6y﹣0.5y＝180+120，解得y≈55，∴此同學(xué)做作業(yè)大約用了55﹣11＝44分鐘．故選：C．【知識點4方向角】在航行和測繪等工作中，經(jīng)常要用到表示方向的角．例如，圖中射線OA的方向是北偏東60°；射線OB的方向是南偏西30°．這里的“北偏東60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方向角．【題型5方向角】【例5】（2021秋?沂水縣期末）如圖，A地和B地都是海上觀測站，B地在A地正東方向，從A地發(fā)現(xiàn)它的北偏東60°方向有一艘船C，同時，從B地發(fā)現(xiàn)船C在它的北偏東30°方向，此時在C船上觀測A，B兩地．下列說法正確的是（）A．A地在C船南偏西30°方向 B．A地在C船北偏西60°方向 C．B地在C船南偏西30°方向 D．B地在C船北偏西60°方向【解題思路】直接利用方向角的定義得出正確的語句．【解答過程】解：∵從A地發(fā)現(xiàn)它的北偏東60°方向有一艘船C，∴A地在C船南偏西60°方向．∵從B地發(fā)現(xiàn)船C在它的北偏東30°方向，∴B地在C船南偏西30°方向．故選：C．【變式5-1】（2021?路南區(qū)三模）小麗在小華北偏東40°的方向，則小華在小麗的（）A．南偏西50° B．北偏西50° C．南偏西40° D．北偏西40°【解題思路】根據(jù)方向角的定義和平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答過程】解：如果小麗在小華北偏東40°的位置上，那么小華在小麗的南偏西40°，故選：C．【變式5-2】（2021秋?河?xùn)|區(qū)期末）學(xué)校，電影院，公園在平面圖上的標點分別是A，B，C，電影院在學(xué)校的正東方向，公園在學(xué)校的南偏西25°方向，那么平面圖上的∠CAB等于（）A．115° B．155° C．25° D．65°【解題思路】根據(jù)方位角的概念，正確畫出方位圖表示出方位角，即可求解．【解答過程】解：從圖中發(fā)現(xiàn)平面圖上的∠CAB＝∠1+∠2＝115°．故選A．【變式5-3】（2021?河北模擬）對于題目：“如圖1，已知A，B為兩個海島，點B在點A的正東方向，若燈塔C在海島A北偏東65°的方向上，在海島B北偏西35°的方向上，請畫出燈塔C的位置．”甲、乙兩人分別作出了如下解答：甲：先以A為參照點，作南偏東25°，再以B為參照點，作南偏西65°，畫出圖形如圖2．乙：先以A為參照點，作東偏北25°，再以B為參照點，作西偏北55°，畫出圖形如圖3．下列判斷正確的是（）A．甲的說法和畫圖都正確 B．乙的說法正確，畫圖錯誤 C．乙的說法和畫圖都正確 D．甲乙的說法都錯誤【解題思路】根據(jù)方向角定義即可進行判斷．【解答過程】解：根據(jù)方向角定義可知：燈塔C在海島A北偏東65°的方向上，在海島B北偏西35°的方向上，畫出燈塔C的位置如圖3．故選：D．【題型6角的計數(shù)問題】【例6】（2021春?萊山區(qū)期末）如圖，已知∠MON，在∠MON內(nèi)畫一條射線時，則圖中共有3個角；在∠MON內(nèi)畫兩條射線時，則圖中共有6個角；在∠MON內(nèi)畫三條射線時，則圖中共有10個角；……．按照此規(guī)律，在∠MON內(nèi)畫20條射線時，則圖中角的個數(shù)是（）A．190 B．380 C．231 D．462【解題思路】∠MON內(nèi)畫1條、2條、3條射線時可以數(shù)出角的個數(shù)分別有3個、6個、10個角，當(dāng)畫n條時，由規(guī)律得到角的個數(shù)的表達式，進而得出結(jié)論．【解答過程】解：由題可得，畫n條射線所得的角的個數(shù)為：1+2+3+…+（n+1）=12（n+1）（n∴當(dāng)n＝20時，12（n+1）（n+2）=12×21×故選：C．【變式6-1】（2021秋?鳳翔縣期末）如圖所示，小于平角的角有9個．【解題思路】在數(shù)角的個數(shù)時為了防止不重不漏，可數(shù)完一條邊上的角再數(shù)另一條邊上的角．【解答過程】解：小于平角的角共有9個：∠AOB，∠AOC，∠AOD，∠BOC，∠BOD，∠BOE，∠COD