石大數(shù)學(xué)教育學(xué)課件04數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本理論

第四章數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本理論

所謂數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)理論，是以學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)作為研究對(duì)象，揭示其自身的性質(zhì)、特點(diǎn)、過(guò)程和規(guī)律的學(xué)問(wèn)。它主要研究的內(nèi)容有學(xué)習(xí)的意義和分類、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程理論，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與心理學(xué)、教育學(xué)的關(guān)系等。第一節(jié)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的概念及其特點(diǎn)一、學(xué)習(xí)的概念

學(xué)生的學(xué)習(xí)定義為：在教師的指導(dǎo)下，有目的、有計(jì)劃、有組織、有步驟地獲得知識(shí)，形成技能，發(fā)展思維的過(guò)程。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是指學(xué)生在教育的情境中，以數(shù)學(xué)語(yǔ)言為中介，自覺(jué)地積極主動(dòng)地掌握數(shù)學(xué)概念、法則、定理、公式，形成數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展數(shù)學(xué)技能和思想品質(zhì)的過(guò)程。二、學(xué)生學(xué)習(xí)的特點(diǎn)學(xué)生的學(xué)習(xí)旨在獲得人類已有知識(shí)。學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程是一種基本規(guī)定的程序。學(xué)生的學(xué)習(xí)是在教師的指導(dǎo)下進(jìn)行的。學(xué)生的學(xué)習(xí)是以學(xué)習(xí)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能為主。三、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的特點(diǎn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是從理論（或間接經(jīng)驗(yàn)）到實(shí)踐，再由實(shí)踐上升到理論的過(guò)程。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是從具體到抽象，再由抽象到具體的過(guò)程。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是邏輯思維發(fā)展的過(guò)程。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是數(shù)學(xué)美的鑒賞過(guò)程。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個(gè)辯證的理性認(rèn)識(shí)過(guò)程。四、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的分類加涅（1）信號(hào)學(xué)習(xí)（2）刺激—反應(yīng)學(xué)習(xí)（3）連鎖學(xué)習(xí)（4）言語(yǔ)聯(lián)結(jié)學(xué)習(xí)（5）辨別學(xué)習(xí)（6）概念學(xué)習(xí)（7）原理學(xué)習(xí)（8）問(wèn)題解決學(xué)習(xí)2奧蘇伯爾（從認(rèn)知過(guò)程出發(fā)，把學(xué)習(xí)分成3類）（1）符號(hào)學(xué)習(xí)（2）概念學(xué)習(xí)（3）命題學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的分類3.布魯姆（依學(xué)習(xí)目標(biāo)分類）（1）知識(shí)學(xué)習(xí)（2）理解學(xué)習(xí)（3）應(yīng)用學(xué)習(xí)（4）分析學(xué)習(xí)（5）綜合學(xué)習(xí)（6）評(píng)價(jià)學(xué)習(xí)4.曹才翰（依數(shù)學(xué)內(nèi)容的表現(xiàn)形式將學(xué)習(xí)分類）（1）數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)（2）數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)學(xué)習(xí)（3）創(chuàng)造性數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)學(xué)習(xí)第二節(jié)教育心理學(xué)與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)

學(xué)習(xí)過(guò)程是學(xué)生掌握知識(shí)、發(fā)展智能、培養(yǎng)素質(zhì)的過(guò)程，是學(xué)習(xí)者主體發(fā)揮主觀能動(dòng)性的過(guò)程。對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程進(jìn)行深入了解和分析，是教育心理學(xué)研究的重點(diǎn)。對(duì)學(xué)習(xí)的研究在國(guó)外曾出現(xiàn)過(guò)三種學(xué)習(xí)理論，即行為主義的學(xué)習(xí)理論，認(rèn)知學(xué)派的學(xué)習(xí)理論和建構(gòu)主義觀點(diǎn)的學(xué)習(xí)理論。我國(guó)古代有一些哲學(xué)家和教育學(xué)家，他們通過(guò)自身的實(shí)踐，總結(jié)出來(lái)了一些學(xué)習(xí)理論，也值得我們借鑒。

一、行為主義的學(xué)習(xí)理論

也叫聯(lián)結(jié)主義的學(xué)習(xí)理論，把學(xué)習(xí)看成是刺激與反應(yīng)之間形成聯(lián)結(jié)的過(guò)程，學(xué)習(xí)過(guò)程的研究就是：“給出已知的刺激，觀察學(xué)習(xí)者的反應(yīng)，從而探索人們的行為規(guī)律”。二十世紀(jì)五、六十年代前，在國(guó)外主要盛行的是聯(lián)結(jié)主義，其主要代表人物有桑代克、斯金納等。1．桑代克的聯(lián)結(jié)主義試誤說(shuō)

美國(guó)心理學(xué)家桑代克認(rèn)為學(xué)習(xí)是刺激和反應(yīng)的聯(lián)結(jié)，即學(xué)習(xí)就是形成一定的“刺激一反應(yīng)”聯(lián)結(jié)(S—R聯(lián)結(jié))，而這種聯(lián)結(jié)主要是通過(guò)試誤建立的，就是說(shuō)，在重復(fù)的嘗試中，錯(cuò)誤的反應(yīng)逐漸被摒除，正確的反應(yīng)則不斷得到加強(qiáng)，直至最后形成了固定的“刺激一反應(yīng)”聯(lián)結(jié)，因而把學(xué)習(xí)可看成是一種試誤的過(guò)程。

桑代克的學(xué)習(xí)理論多數(shù)是出自對(duì)動(dòng)物的實(shí)驗(yàn)，并將動(dòng)物實(shí)驗(yàn)推及人類，因而他的理論存在著刻板和機(jī)械的傾向，忽視了人的學(xué)習(xí)的社會(huì)性、主觀能動(dòng)作用和學(xué)習(xí)過(guò)程中理解的作用。盡管如此，桑代克的學(xué)習(xí)理論對(duì)當(dāng)今學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，引導(dǎo)學(xué)生在嘗試的過(guò)程中應(yīng)用推理和批判的方法，在概念、原理、法則學(xué)習(xí)之后予以必要的重復(fù)練習(xí)并在以后的學(xué)習(xí)中加以應(yīng)用，重視學(xué)習(xí)者對(duì)學(xué)習(xí)的心理準(zhǔn)備等方而，值得我們借鑒。2．斯金納的操作性條件反射學(xué)習(xí)

斯金納繼承和發(fā)展了桑代克的聯(lián)結(jié)主義學(xué)習(xí)理論，他提出了“刺激一反應(yīng)一強(qiáng)化”的學(xué)習(xí)模式。他研究了人類行為(反應(yīng))與外部條件(刺激)的關(guān)系，他認(rèn)為在操作性活動(dòng)條件的場(chǎng)合，強(qiáng)化刺激和反應(yīng)的形式是關(guān)聯(lián)的。如果在操作性活動(dòng)發(fā)生之后，隨即呈現(xiàn)強(qiáng)化刺激物，反應(yīng)就會(huì)增強(qiáng)；如果在操作性活動(dòng)發(fā)生之后，沒(méi)有強(qiáng)化刺激物出現(xiàn)，反應(yīng)就會(huì)減弱。斯金納的操作性條件反射學(xué)習(xí)說(shuō)，它是將動(dòng)物實(shí)驗(yàn)推及人類的，因而對(duì)人的復(fù)雜的學(xué)習(xí)行為難以作出令人滿意的解釋。

二、認(rèn)知學(xué)派的學(xué)習(xí)理論

認(rèn)知學(xué)派認(rèn)為，行為主義的“刺激一反應(yīng)”學(xué)習(xí)理論把人的學(xué)習(xí)等同于動(dòng)物的學(xué)習(xí)，而對(duì)人的復(fù)雜的學(xué)習(xí)行為難以作出令人滿意的解釋。他們認(rèn)為行為主義只關(guān)注輸入和輸出變量，對(duì)學(xué)習(xí)過(guò)程中的復(fù)雜多樣的心理過(guò)程無(wú)從了解。

認(rèn)知學(xué)派提出“輸入一加工一輸出”的學(xué)習(xí)模式，重點(diǎn)研究信息的獲取、加工、存儲(chǔ)、使用的過(guò)程，研究輸入和輸出之間的各種可變因素。認(rèn)知主義學(xué)派的代表人物有格式塔學(xué)派、托爾曼、加涅、布魯納、奧蘇伯爾、皮亞杰、馬登等。

3．布魯納的認(rèn)知一發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)理論

布魯納是美國(guó)教育心理學(xué)家，他把學(xué)習(xí)看做是認(rèn)知過(guò)程，看做是學(xué)生主動(dòng)獲取知識(shí)和不斷發(fā)展智慧的過(guò)程。他認(rèn)為，學(xué)習(xí)就是類目及其編碼系統(tǒng)的形成，教師應(yīng)當(dāng)向?qū)W生提供具體的東西，以便讓學(xué)生“發(fā)現(xiàn)”自己的組織(編碼系統(tǒng))。布魯納的學(xué)習(xí)理論強(qiáng)調(diào)理解的作用，強(qiáng)調(diào)認(rèn)知結(jié)構(gòu)與教材結(jié)構(gòu)的結(jié)合，強(qiáng)調(diào)學(xué)生的主動(dòng)性、獨(dú)立性。并主張“發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)”，認(rèn)為學(xué)生在一定情境中，對(duì)學(xué)習(xí)材料的親身體驗(yàn)，通過(guò)內(nèi)部動(dòng)機(jī)的作用，從而發(fā)現(xiàn)、認(rèn)識(shí)、理解、掌握知識(shí)，才是學(xué)習(xí)者最重要的環(huán)節(jié)。

布魯納的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)實(shí)驗(yàn)

布魯納還進(jìn)行了大量的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)實(shí)驗(yàn)，從中總結(jié)出了四個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)原理：

(1)建構(gòu)原理；

(2)符號(hào)原理；

(3)比較和變式原理；

(4)關(guān)聯(lián)原理。這四條原理對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)研究具有重要的參考價(jià)值。4．奧蘇伯爾的認(rèn)知接受學(xué)習(xí)理論

奧蘇伯爾認(rèn)為：學(xué)生的學(xué)習(xí)主要是通過(guò)語(yǔ)言形式理解知識(shí)的意義，接受系統(tǒng)的知識(shí)，他提出了“有意義學(xué)習(xí)”的概念，要使學(xué)習(xí)成為有意義的學(xué)習(xí)，必須具備三個(gè)條件：

(1)學(xué)習(xí)材料對(duì)學(xué)生有潛在意義；

(2)學(xué)習(xí)者認(rèn)知結(jié)構(gòu)中具備適當(dāng)?shù)挠^念用來(lái)同化新知識(shí)；

(3)學(xué)習(xí)者要具有有意義學(xué)習(xí)的心愿。

有意義學(xué)習(xí)

有意義學(xué)習(xí)是掌握事物的意義，把握事物內(nèi)部實(shí)質(zhì)性聯(lián)系的學(xué)習(xí)。一個(gè)內(nèi)容是否有意義，與學(xué)習(xí)者頭腦中的認(rèn)知結(jié)構(gòu)有關(guān)系，學(xué)習(xí)過(guò)程是在原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過(guò)程；原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)對(duì)于新的學(xué)習(xí)始終是一個(gè)最關(guān)鍵的因素；一切新的學(xué)習(xí)都是在過(guò)去的學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上產(chǎn)生的，接受新的知識(shí)總是通過(guò)與原來(lái)的有關(guān)知識(shí)相互聯(lián)系、相互作用，然后才形成新的知識(shí)結(jié)構(gòu)。5．加涅的信息加工學(xué)習(xí)理論

加涅是美國(guó)著名心理學(xué)家，他把人的學(xué)習(xí)過(guò)程看做類似于計(jì)算機(jī)的操作，提出了學(xué)習(xí)的信息加工理論。加涅把學(xué)習(xí)看成是一個(gè)復(fù)雜的、不斷抽象的模式體系，即把學(xué)習(xí)新知識(shí)看成是新的信息輸入進(jìn)來(lái)，和原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)相聯(lián)系，并對(duì)它進(jìn)行信息加工處理，形成一個(gè)高一級(jí)的模式體系。加涅按照由簡(jiǎn)到繁、從低到高的原則，還把學(xué)習(xí)分成8個(gè)層次(見(jiàn)本章第一節(jié)“四、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的分類”)，他的學(xué)習(xí)理論重視知識(shí)的系統(tǒng)性，重視循序漸進(jìn)，重視新舊知識(shí)的聯(lián)系和學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有著一定的指導(dǎo)作用。三、建構(gòu)主義觀點(diǎn)的學(xué)習(xí)理論

20世紀(jì)80年代以來(lái)，在認(rèn)知理論基礎(chǔ)上逐漸形成了建構(gòu)主義觀點(diǎn)的學(xué)習(xí)理論，建構(gòu)主義與認(rèn)知主義在性質(zhì)上的差異表現(xiàn)為：前者是一種認(rèn)識(shí)理論。后者是關(guān)于如何從事心理學(xué)研究的一種主張或立場(chǎng)。建構(gòu)主義的意義在于“對(duì)認(rèn)識(shí)活動(dòng)本質(zhì)的哲學(xué)分析”，是認(rèn)知心理學(xué)研究的一個(gè)直接結(jié)果。

建構(gòu)主義認(rèn)為，認(rèn)識(shí)并非是對(duì)客觀實(shí)在的被動(dòng)反映，而是主體以已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)的主動(dòng)建構(gòu)過(guò)程，其核心所在有兩點(diǎn)：

(1)所有知識(shí)都是建構(gòu)出來(lái)的；

(2)在建構(gòu)過(guò)程中，主體已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)發(fā)揮了特別重要的作用。且認(rèn)知結(jié)構(gòu)處于不斷地發(fā)展之中。

現(xiàn)代建構(gòu)主義與教學(xué)活動(dòng)之間存在密切的聯(lián)系，因此，其觀念在教育工作者中獲得了廣泛重視。不少學(xué)者認(rèn)為，建構(gòu)主義對(duì)傳統(tǒng)的教學(xué)思想提出了嚴(yán)峻的挑戰(zhàn)。

按照建構(gòu)主義的觀點(diǎn)看待數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)教學(xué)，學(xué)生需要對(duì)每一個(gè)數(shù)學(xué)概念構(gòu)造自己的理解，使得“教”的作用不再是演講、解釋，或者企圖去“傳送”知識(shí)，而是為促使學(xué)生進(jìn)行心智建構(gòu)創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)環(huán)境和條件。這種教學(xué)方法的關(guān)鍵，是將每一個(gè)數(shù)學(xué)慨念，按皮亞杰的認(rèn)識(shí)理論分解成許多發(fā)展性的步驟，這些步驟的確定要基于對(duì)學(xué)生的觀察和談話。四、中國(guó)的學(xué)習(xí)理論

我國(guó)古代，就有許多杰出的教育家，他們辦學(xué)授徒，培養(yǎng)人才，在他們的教育實(shí)踐中，概括總結(jié)出了許多重要的學(xué)習(xí)理論，這些學(xué)習(xí)理論的特點(diǎn)：(1)從人才成長(zhǎng)的高度出發(fā)來(lái)探索學(xué)習(xí)與人才成長(zhǎng)的規(guī)律；(2)注意學(xué)習(xí)知識(shí)與思想、意志、品德的培養(yǎng)相結(jié)合，德智體美互相協(xié)調(diào)發(fā)展；(3)主張把學(xué)習(xí)過(guò)程建立在人的全部心理活動(dòng)基礎(chǔ)上，發(fā)揮智力因素與非智力因素的“群體效應(yīng)”；(4)在認(rèn)識(shí)過(guò)程中，重視思維的核心作用，主張學(xué)思結(jié)合、記思結(jié)合；(5)在知識(shí)的掌握過(guò)程中，主張學(xué)用結(jié)合，重在實(shí)踐；(6)在學(xué)習(xí)方法上，主張?jiān)诮處煹膯l(fā)幫助下，由學(xué)生自己主動(dòng)地、獨(dú)立地獲取知識(shí)。

我國(guó)的學(xué)習(xí)理論的主要論點(diǎn)有：立志、樂(lè)學(xué)、持恒、博學(xué)、慎思、自得、篤行。

關(guān)于學(xué)習(xí)過(guò)程，先秦時(shí)期的思孟學(xué)派，在總結(jié)先哲們的學(xué)習(xí)理論的基礎(chǔ)上提出了“博學(xué)之，審問(wèn)之，慎思之，明辨之，篤行之”五階段的學(xué)習(xí)過(guò)程理論，其中博學(xué)是基礎(chǔ)，審問(wèn)、慎思、明辨是關(guān)鍵，篤行是結(jié)果。南宋教育家朱熹在繼承前人的基礎(chǔ)上，更加重視“立志”的作用，并強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)中的“時(shí)習(xí)”。他提出了“立志一博學(xué)一審問(wèn)一慎思一明辨一時(shí)習(xí)一篤行”七階段的學(xué)習(xí)過(guò)程理論。

近些年來(lái)，我國(guó)不少學(xué)者在總結(jié)、繼承我國(guó)古代學(xué)習(xí)過(guò)程理論的基礎(chǔ)上，指出了學(xué)習(xí)過(guò)程應(yīng)建立在智力因素和非智力因素的共同基礎(chǔ)上，提出了學(xué)習(xí)過(guò)程結(jié)構(gòu)模式的主線有兩條(見(jiàn)圖4—2)：一條是圍繞智力因素展開(kāi)的，即學(xué)、思、習(xí)、行等條件對(duì)“知行統(tǒng)一”過(guò)程發(fā)生作用，其中學(xué)與思又分為博學(xué)、審問(wèn)、慎思、明辨四個(gè)階段；另一條是圍繞非智力因素展開(kāi)的，即以情、意為主的條件對(duì)“知行統(tǒng)一”過(guò)程發(fā)生影響與作用。

五、各種學(xué)習(xí)理論在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的應(yīng)用

每一種學(xué)習(xí)理論都有其所長(zhǎng)和所短，這和他們探討學(xué)習(xí)的角度不同有關(guān)。如行為主義從刺激一反應(yīng)來(lái)探討行為的變化，認(rèn)知主義側(cè)重研究通過(guò)理解與認(rèn)識(shí)來(lái)獲得意義和意象。

要將各種學(xué)習(xí)理論適當(dāng)?shù)貞?yīng)用在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，就必須將各種學(xué)習(xí)理論作一綜合的整理，根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)的層次和學(xué)生的思維水平確定學(xué)習(xí)過(guò)程的各個(gè)環(huán)節(jié)。

第三節(jié)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程一、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的變化過(guò)程1．?dāng)?shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的現(xiàn)代觀點(diǎn)

對(duì)于數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的認(rèn)識(shí)，有許多不同的看法，在我國(guó)數(shù)學(xué)教育界，具有代表性的看法有下面兩種：（1）數(shù)學(xué)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，即學(xué)生頭腦中的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)，它由兩部分組成，一是最基本的知識(shí)；二是其他知識(shí)與最基本的知識(shí)的聯(lián)系。(2)數(shù)學(xué)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，是學(xué)生頭腦中的數(shù)學(xué)知識(shí)按照自己理解的深度、廣度，結(jié)合自己的感覺(jué)、知覺(jué)、記憶、思維、聯(lián)想等認(rèn)知特點(diǎn)而組合成的—個(gè)具有內(nèi)部規(guī)律的整體結(jié)構(gòu)。以上兩種說(shuō)法，都具有一定的合理性，只不過(guò)，前一個(gè)觀點(diǎn)注重考慮的是某一個(gè)階段學(xué)生的整體認(rèn)知結(jié)構(gòu)水平，而后一個(gè)觀點(diǎn)注重強(qiáng)調(diào)其個(gè)別差異。這里主要采用后一種觀點(diǎn)．?dāng)?shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)有以下特點(diǎn)：

①它是學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)寫(xiě)其心理結(jié)構(gòu)相互作用的

產(chǎn)物。②它存在于學(xué)生的頭腦之中，其主要的組織是已有的數(shù)學(xué)知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)。③不同的學(xué)生，其數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的內(nèi)容和組織方面有不同的特征。④數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)可按抽象程度的不同和內(nèi)容、性質(zhì)的不同，分為許多不同的層次。學(xué)生的大腦是一個(gè)數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的集合，大腦一旦接受到刺激(例如數(shù)學(xué)信息)，其數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)就開(kāi)始進(jìn)行辨別、區(qū)分、加工、處理，從而會(huì)做出相應(yīng)的反應(yīng)。⑤數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)是一種積極的組織，大腦一旦接受到新的數(shù)學(xué)信息，就會(huì)自動(dòng)地用相應(yīng)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)對(duì)新信息進(jìn)行加工處理。⑥數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)還是一個(gè)不斷變化的動(dòng)態(tài)組織，隨著數(shù)學(xué)活動(dòng)的進(jìn)行，其數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)將不斷地分化和重組，并逐漸調(diào)整得更為精確、層次更高、結(jié)構(gòu)更復(fù)雜、內(nèi)容更豐富。⑦數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)具有多項(xiàng)功能。例如，學(xué)生既能利用它來(lái)掌握新的數(shù)學(xué)知識(shí)，獲取新的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，又能借助于它創(chuàng)造性地解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。2．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一般過(guò)程

現(xiàn)代認(rèn)知學(xué)習(xí)理論認(rèn)為，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程乃是新的學(xué)習(xí)內(nèi)容與學(xué)生原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)相互作用而形成新的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過(guò)程。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一般認(rèn)知過(guò)程可分為以下四個(gè)階段：

(1)輸入階段學(xué)習(xí)起源于學(xué)習(xí)情境，輸入階段實(shí)質(zhì)上就是給學(xué)生創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)情境，提供新的學(xué)習(xí)內(nèi)容。在這一學(xué)習(xí)情境中學(xué)生原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)和新的學(xué)習(xí)內(nèi)容之間發(fā)生認(rèn)知沖突，在心理上產(chǎn)生學(xué)習(xí)新知識(shí)的需要(即“心向”)。（2）相互作用階段

產(chǎn)生學(xué)習(xí)需要后，學(xué)生原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)和新的學(xué)習(xí)內(nèi)容發(fā)生作用，并以同化和順應(yīng)兩種基本形式，進(jìn)入相互作用階段。所謂同化，就是把新學(xué)習(xí)的內(nèi)容納入到原有數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去，從而擴(kuò)大原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過(guò)程。

所謂順應(yīng)，就是當(dāng)原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)不能接納新的學(xué)習(xí)內(nèi)容時(shí)，必須改組或部分改組原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，以適應(yīng)新的學(xué)習(xí)內(nèi)容的過(guò)程。

相互作用階段的結(jié)果是產(chǎn)生了新的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的雛形。(3)操作階段

在產(chǎn)生新的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)雛形的基礎(chǔ)上，通過(guò)練習(xí)、應(yīng)用等活動(dòng)，使新的學(xué)習(xí)內(nèi)容得以鞏固，從而形成新的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過(guò)程。通過(guò)這一階段的學(xué)習(xí)，學(xué)生學(xué)到了一定的數(shù)學(xué)技能，使新數(shù)學(xué)知識(shí)與原數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)之間產(chǎn)生較為密切的聯(lián)系。（4）輸出階段

基于第三階段學(xué)生對(duì)初步形成的新的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的認(rèn)知(即數(shù)學(xué)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的元認(rèn)知)，通過(guò)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，使初步形成的新的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)趨于完善，最終形成新的良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，學(xué)生的數(shù)學(xué)能力得到發(fā)展，從而達(dá)到良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的預(yù)期目標(biāo)。

要順利完成四個(gè)階段任務(wù)，數(shù)學(xué)教師首先要確定和貫徹?cái)?shù)學(xué)教學(xué)的原則，重視學(xué)生在學(xué)習(xí)中的主體地位，通過(guò)多種教學(xué)方式創(chuàng)設(shè)良好的情境；要了解學(xué)生已知了什么，掌握到何種程度，心理狀態(tài)如何，然后考慮數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的難易程度、呈現(xiàn)序列等，確定學(xué)生建立新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的切人點(diǎn)和生長(zhǎng)點(diǎn)，確保學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)與新的數(shù)學(xué)知識(shí)的相互作用。

二、數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程1．原名及公理的學(xué)習(xí)過(guò)程(1)原名的學(xué)習(xí)

原名又稱原始概念，是數(shù)學(xué)中的無(wú)定義概念。給概念下定義時(shí)，用到的概念必須是以前定義過(guò)的概念，這樣順次上溯，勢(shì)必出現(xiàn)不能用前述方式定義的概念，這樣的概念就稱為原名(或原始概念)。原名雖不能用其他概念來(lái)定義，但卻是定義其他概念的基礎(chǔ)，在數(shù)學(xué)中，“點(diǎn)”、“直線”、“平面”、“立體”、“集合”、邏輯學(xué)中的“邏輯”等都是原名。原名的學(xué)習(xí)

在教與學(xué)的過(guò)程中對(duì)原名一般是采取描述法和抽象法明確概念的，用直觀說(shuō)明或者指明對(duì)象的方法。例如“由一類事物組成的集體稱為一個(gè)集合”，這是對(duì)集合概念的說(shuō)明而不是集合的定義。又如，用拉緊的繩和由小孔中射入的光線來(lái)抽象出直線的概念，這就是一種直觀說(shuō)明與抽象法的綜合應(yīng)用；又如“0，l，2，3，4，…叫做自然數(shù)”，這就是指明對(duì)象的方法。(2)公理的學(xué)習(xí)

數(shù)學(xué)公理是無(wú)條件承認(rèn)的相互制約的規(guī)定，

是一些不證自明的命題，在理論形式上，公理是邏輯推理的大前提，是數(shù)學(xué)理論系統(tǒng)需要用作自己的出發(fā)點(diǎn)的少數(shù)思想的規(guī)定，它們的真實(shí)性不是由邏輯推理來(lái)證明的，而是經(jīng)過(guò)人們長(zhǎng)期的實(shí)踐來(lái)檢驗(yàn)和證實(shí)的。在數(shù)學(xué)公理的學(xué)習(xí)過(guò)程中，首先，應(yīng)當(dāng)充分了解什么是公理，體會(huì)到引入公理的必要性；理解并記憶公理的具體內(nèi)容，并在推理和計(jì)算中熟練的給予應(yīng)用。2．概念的學(xué)習(xí)過(guò)程

(1)數(shù)學(xué)概念的意義和特點(diǎn)

概念是反映事物本質(zhì)屬性的最基本的思維形式，任何一門(mén)學(xué)科都是以基本的概念為基礎(chǔ)的，在學(xué)習(xí)過(guò)程中，如果概念不清，將導(dǎo)致思維的混亂。數(shù)學(xué)概念是反映現(xiàn)實(shí)世界的空間形式、數(shù)量關(guān)系及事物的本質(zhì)屬性的思維形式。數(shù)學(xué)中的命題是由概念構(gòu)成的，數(shù)學(xué)中的推理和證明又是由命題構(gòu)成的。數(shù)學(xué)概念具有抽象性的特點(diǎn)，它的抽象性和具體性又是相對(duì)的。

數(shù)學(xué)概念不僅產(chǎn)生于客觀世界中的具體事物，而且產(chǎn)生于“思維結(jié)果”(例如，零指數(shù)冪、零階乘、無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)等)，就概念的引入及其反映屬性與現(xiàn)實(shí)內(nèi)容相脫離來(lái)看，具有相對(duì)獨(dú)立性；數(shù)學(xué)中的多數(shù)概念都是在原始概念(原名)的基礎(chǔ)上形成的，并且須以邏輯定義，并以語(yǔ)言形式使之固定。在一個(gè)數(shù)學(xué)分支中，諸概念形成一個(gè)結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)母拍铙w系，并將概念之間的邏輯聯(lián)系清晰地表達(dá)出來(lái)。（2）學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的兩種基本形式

數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)可分為以下兩種基本形式：①概念的形成在教學(xué)條件下，從大量具體實(shí)例出發(fā)，從學(xué)生實(shí)際經(jīng)驗(yàn)的肯定例證中，以歸納的方法概括出一類事物的本質(zhì)屬性，即概念形成。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，對(duì)于初次接觸的或較難理解的概念往往采用概念形成的學(xué)習(xí)方式。以減少學(xué)習(xí)上的困難。例如，對(duì)于初次接觸“變量”和“函數(shù)”的初中生，可以用概念形成的方式讓他們獲得這兩個(gè)概念。

②概念同化

學(xué)生在學(xué)習(xí)直接用定義形式陳述的概念時(shí)，

他們主動(dòng)地與其認(rèn)知結(jié)構(gòu)中原有的有關(guān)概念相互聯(lián)系，相互作用，并領(lǐng)會(huì)新概念的本質(zhì)屬性，從而獲得新概念，這種獲得概念的方式叫做概念同化。這一過(guò)程中，同樣要進(jìn)行積極的思維，但這與概念形成有所不同。首先，概念同化的學(xué)習(xí)，應(yīng)著重分析概念定義中的每一個(gè)字、詞、句，做到“咬文嚼字”，明確概念。并將新概念的本質(zhì)屬性與原有認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)中的適當(dāng)概念相聯(lián)系，明確新概念是原有概念的“限定”，并能把它從原有概念中分離出來(lái)。其次，要把新概念與原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)概念融合在一起．納入認(rèn)知結(jié)構(gòu)中．以便于記憶和應(yīng)用。(3)概念形成與概念同化的區(qū)別與聯(lián)系

概念形成主要依靠的是對(duì)具體事物的抽象，

概念同化則主要依靠的是學(xué)生對(duì)新舊知識(shí)的聯(lián)系；且概念形成與人類自發(fā)形成概念的方式接近，而概念同化則是具有一定邏輯思維水平的人自覺(jué)學(xué)習(xí)概念的主要方式。中學(xué)階段，在低年級(jí)，概念形成的形式用得比較多；在高年級(jí)，概念同化是獲得概念的主要方式；但對(duì)較難理解的或新學(xué)科(新內(nèi)容)開(kāi)始時(shí)的一些概念，仍采取概念形成的學(xué)習(xí)方式。概念形成與概念同化的區(qū)別與聯(lián)系

在數(shù)學(xué)概念的實(shí)際學(xué)習(xí)過(guò)程中，概念形成與概念同化這兩種方式往往又是結(jié)合使用的，這樣既符合學(xué)生學(xué)習(xí)概念時(shí)由具體到抽象的認(rèn)識(shí)規(guī)律，掌握形式化的數(shù)學(xué)概念背后的事實(shí)，又能使學(xué)生在有限的時(shí)間內(nèi)較快地理解概念所反映的事物的本質(zhì)屬性，掌握更多的數(shù)學(xué)概念，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效益。(4)影響數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的因素

在數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)中，不同的學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的接受和理解程度也不相同。影響數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的因素很多，

①學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念時(shí)，學(xué)生總是從他們?cè)械恼J(rèn)知結(jié)構(gòu)出發(fā)，去認(rèn)知、理解和區(qū)分事物的各種聯(lián)系和性質(zhì)。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)是否合理、科學(xué)，深度、廣度如何，都影響著學(xué)生對(duì)概念的學(xué)習(xí)。

②有關(guān)新概念的感性材料和感性經(jīng)驗(yàn)概念形成和概念同化，主要依賴的是對(duì)感性材料和經(jīng)驗(yàn)的抽象概括。

③抽象概括的能力水平

抽象概括是概念形成必不可少的步驟，也是概念同化的關(guān)鍵，所以，小學(xué)生學(xué)習(xí)概念直接受到他們抽象概括水平的制約。低年級(jí)學(xué)生只能根據(jù)事物的直觀形象形成概念，中年級(jí)學(xué)生已能利用表象的概括形成概念，而高年級(jí)學(xué)生則能通過(guò)對(duì)一類事物的本質(zhì)特征和內(nèi)部聯(lián)系的概括而獲得概念。若學(xué)生的概括能力差，就不能抓住對(duì)象的本質(zhì)屬性，不能明確概念的內(nèi)涵和外延。沒(méi)有抽象和概括，就不可能形成概念。④語(yǔ)言表達(dá)能力

任何一個(gè)概念都是用詞或符號(hào)來(lái)表達(dá)的。定義都是用文字語(yǔ)言和數(shù)學(xué)符號(hào)來(lái)表達(dá)的，可見(jiàn)語(yǔ)言表達(dá)已經(jīng)成為概念學(xué)習(xí)的重要一環(huán)。3．?dāng)?shù)學(xué)定理(公式、法則)的學(xué)習(xí)過(guò)程學(xué)好數(shù)學(xué)定理(這里包括公式、法則等)是判斷、推理和進(jìn)一步論證的關(guān)鍵。數(shù)學(xué)定理是經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)證明確認(rèn)其真實(shí)性的命題。數(shù)學(xué)定理的學(xué)習(xí)，應(yīng)當(dāng)了解定理的由來(lái)，認(rèn)識(shí)定理的條件和結(jié)論，掌握定理的證明方法，熟悉定理的適用范圍和應(yīng)用時(shí)的注意事項(xiàng)；并在此基礎(chǔ)上把握定理間的內(nèi)在聯(lián)系，把所學(xué)的知識(shí)系統(tǒng)化。

數(shù)學(xué)定理學(xué)習(xí)的關(guān)鍵是搞清楚數(shù)學(xué)定理結(jié)構(gòu)中各概念之間的關(guān)系。新定理的學(xué)習(xí)與原數(shù)學(xué)認(rèn)

知結(jié)構(gòu)中有關(guān)知識(shí)存在著三種關(guān)系：下位關(guān)系、上位關(guān)系和并列關(guān)系。

①下位關(guān)系與下位學(xué)習(xí)

如果原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中有層次上高于新定理的知識(shí)，那么新定理和原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)知識(shí)就構(gòu)成下位關(guān)系。此時(shí)，新定理可以直接和原數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)知識(shí)發(fā)生聯(lián)系，直接納入原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，充實(shí)原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，這樣的學(xué)習(xí)叫下位學(xué)習(xí)。在下位學(xué)習(xí)中，新定理和原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的作用方式主要是同化。②上位關(guān)系和上位學(xué)習(xí)

如果新學(xué)習(xí)的定理在概括程度上高于原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)知識(shí)，這種關(guān)系叫上位關(guān)系。此時(shí)，新定理中概念之間的關(guān)系是通過(guò)歸納、概括比它層次低的已有知識(shí)獲得的。也就是說(shuō)，要通過(guò)對(duì)已有知識(shí)的歸納、綜合與概括，將原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)改變?yōu)樾碌恼J(rèn)知結(jié)構(gòu)，這樣的學(xué)習(xí)叫上位學(xué)習(xí)。由于上位學(xué)習(xí)必須通過(guò)改造原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)才能完成，所以，一般說(shuō)來(lái)，上位學(xué)習(xí)比下位學(xué)習(xí)困難。在上位學(xué)習(xí)中，新定理與原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)作用的方式主要是順應(yīng)。③并列關(guān)系與并列學(xué)習(xí)

如果新學(xué)習(xí)的定理與原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)有一定聯(lián)系，但是，既不能構(gòu)成下位關(guān)系，也不能構(gòu)成上位關(guān)系，新定理和原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)知識(shí)的這種關(guān)系稱為并列關(guān)系。此時(shí)，學(xué)習(xí)新定理的關(guān)鍵便在于尋找這種聯(lián)系，使它們?cè)谝欢ㄒ饬x上進(jìn)行類比、這樣的學(xué)習(xí)叫做并列學(xué)習(xí)。例如，不等式的有關(guān)定理和原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中方程的有關(guān)知識(shí)之間的關(guān)系即是如此。三、數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的學(xué)習(xí)過(guò)程1．?dāng)?shù)學(xué)活動(dòng)的概念

數(shù)學(xué)活動(dòng)可分為廣義的數(shù)學(xué)活動(dòng)和狹義的數(shù)學(xué)活動(dòng)。廣義的數(shù)學(xué)活動(dòng)是指學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、研究數(shù)學(xué)、教授數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)等活動(dòng)，它要受時(shí)代的哲學(xué)、經(jīng)濟(jì)、文化、科學(xué)、技術(shù)、人際關(guān)系等社會(huì)環(huán)境因素的影響，因此它必須包括交流、討論、評(píng)價(jià)和修正等過(guò)程，同時(shí)它又反過(guò)來(lái)影響社會(huì)各領(lǐng)域；數(shù)學(xué)活動(dòng)的概念

狹義的數(shù)學(xué)活動(dòng)則是指在校學(xué)生參與的所有數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和實(shí)踐等活動(dòng)，它既包含數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)技能訓(xùn)練等過(guò)程，又包含針對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)專題或?qū)嶋H問(wèn)題，組織和指導(dǎo)學(xué)生通過(guò)閱讀、觀察、探索、假設(shè)、驗(yàn)證、推廣、應(yīng)用及討論、交流等一系列活動(dòng)，培養(yǎng)和發(fā)展他們分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力的實(shí)踐過(guò)程。這里所說(shuō)的數(shù)學(xué)活動(dòng)主要是指狹義的數(shù)學(xué)活動(dòng)。2．?dāng)?shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的學(xué)習(xí)過(guò)程

數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是在數(shù)學(xué)活動(dòng)中積累起來(lái)的感性認(rèn)識(shí)，其外在表現(xiàn)是某項(xiàng)數(shù)學(xué)技能。數(shù)學(xué)技能是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，通過(guò)訓(xùn)練而形成的一種外部動(dòng)作或內(nèi)部心智的活動(dòng)方式，它往往表現(xiàn)為完成數(shù)學(xué)任務(wù)所需要的動(dòng)作的協(xié)調(diào)和心智過(guò)程的自動(dòng)化。數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的學(xué)習(xí)過(guò)程實(shí)際上就是數(shù)學(xué)技能的形成過(guò)程。

根據(jù)技能的表現(xiàn)形式可以將數(shù)學(xué)技能分為外部操作技能和內(nèi)部心智技能。運(yùn)用工具作圖、測(cè)量、使用計(jì)算工具(算盤(pán)、數(shù)學(xué)用表、計(jì)數(shù)器、計(jì)算機(jī))等的技能都是動(dòng)作技能，而數(shù)的計(jì)算技能、式的恒等變形技能、解方程、解不等式、推理論證技能、運(yùn)用數(shù)學(xué)方法的技能等都是心智技能。雖然操作技能與心智技能的形成過(guò)程有本質(zhì)的區(qū)別，但是兩種技能的形成都必須經(jīng)過(guò)教師的示范和學(xué)生反復(fù)的模仿練習(xí)。因此，數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的學(xué)習(xí)離不開(kāi)模仿接受的方法。

模仿是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不可忽視的學(xué)習(xí)方法，教科書(shū)中的敘述、圖形、證明的書(shū)寫(xiě)格式，以及教師的講解、板演操作示范等都是學(xué)生模仿的