二重積分的計算小結(jié)

二重積分的計算小結(jié)之阿布豐王創(chuàng)作時間：二O二一年七月二十九日一、知識要點回顧1．二重積分的界說；二重積分的幾何意義及其物理模型.二重積分9)f(x，歹)〃的幾何意義就是以9)為底，以(s)為頂?shù)那斨w的體積,其物理模型就是一個曲頂柱體.二重積分在直角坐標(biāo)系下的計算若積分區(qū)域D是由兩條直線x=a,x=b,以及兩條曲線y=el(x),y二e2(x)(el(x) 2(x),a<x<b)所圍成，則JJ您y)dxdyJbdxM)f(x,ydy(D) =a e1(x)若區(qū)域D是由兩條直線y二c,y=d以及兩條曲線x=el(y),x=e2(y)(el(y)<e2(y),c<y<d)所圍成，則極坐標(biāo)下二重積分的計算法x=rcos0,y=rsin0如果區(qū)域D是由從極點動身的兩條射線0",0=P(?<P)和兩條曲線r=r1(0)，r=r2(0)(r1(0)<r2(0))所圍成，貝I」5．曲線坐標(biāo)下二重積分的計算法設(shè)函數(shù)x二x(u‘v),y二y(u，v)在直角坐標(biāo)平面uOrv上的封閉區(qū)域d，上連續(xù),有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),而且雅克比行列式則時間：二O二一年七月二十九日二?二重積分的計算舉例dSimdxdy1.?計算二重積分Dy，其中d為由直線y=x與曲線x二y2所圍成的區(qū)域.解：畫出積分域如圖所示解方程組解得圖中的兩個交點為(0,0),(1,1),D可暗示為D={(x,y)I0<y<1,y2<x<y},于是rrsin(兀X2+y2)JJ dxdy2?計算二重積分D產(chǎn)+y2的值，其中D={(x,y)11<x2+y2<4}解：由對稱性可以只考慮第一象限的積分域采納極坐標(biāo).則積分區(qū)域釀成D二{(p,9)11<p<2,0<0<2兀}于是3,計算二重積分的值的年夜小，其中D是由x軸，y軸以及x+y=2所圍成的封閉區(qū)域.解：如圖1,由題意，可設(shè)則可得v一uv+ux二 y二 2,2圖1 pv=2圖2u= =V0丫 u所以積分區(qū)域釀成圖2中的封閉區(qū)域，從而于是5.計算二次積分"所以積分區(qū)域釀成圖2中的封閉區(qū)域，從而于是5.計算二次積分"分析若直接計算題目所給的二次積分，將首先遇到求e-x2的原函數(shù)的問題，它是無法計算的，因此，應(yīng)將二次積分先還原為二重積分，再根據(jù)積分區(qū)域的特點，選擇適當(dāng)?shù)姆椒?解由所給的二次積分，我們得積分區(qū)域D=D1UD2,其中兀D是一個中心角為7，半徑為R的扇形（圖5）.因此可以采納極坐標(biāo)計算,在極坐標(biāo)系下，有因此小結(jié)㈠計算在直角坐標(biāo)系下二重積分的值的過程中，圖5 應(yīng)正確選擇積分的形式,是先對X積分還是先對Y積分，選擇正確的積分形式可以提高解題的效率和準(zhǔn)確度.

㈡計算極坐標(biāo)系下二重積分值的步伐：①首先把積分區(qū)域的鴻溝方程用極坐標(biāo)暗示；確定p0的范圍，即在極坐標(biāo)系下暗示積分區(qū)域；用PCOS9,Psin9分別代換被積函數(shù)中的x，y,并把面積兀素用pdpde替