隨機(jī)過程及其應(yīng)用

隨機(jī)過程及其應(yīng)用第一頁，共十四頁，2022年，8月28日(1)零初值：x(0)=0(2)平穩(wěn)增量：即任給,0<h,x(t)-x(s)與x(t+h)-x(s+h)同分布(3)獨(dú)立增量：即對任何正整數(shù)n和任意非負(fù)實(shí)數(shù)：有相互獨(dú)立(4)單跳躍：即limP(x((t+h)-x(t)2)/h=0(t0)(5)隨機(jī)性：即0<P(x(t+h)-x(t)=0)<1且P(x(t+h)-x(t)0)=1(t,h0)若{x(t),t0}滿足上述五個(gè)假設(shè)，則稱之為伯松過程第二頁，共十四頁，2022年，8月28日注意：伯松過程的狀態(tài)空間S={0,1,2,…},參數(shù)集合T=[0,+)定理3.1:若{x(t),t0}為伯松過程，則存在一個(gè)0,使得P(x(a+t)-x(a)=k)=P(x(t)=k)=,k=0,1,2,

稱為伯松過程的強(qiáng)度。E(x(1))=—單位時(shí)間內(nèi)到達(dá)系統(tǒng)的顧客平均數(shù).第三頁，共十四頁，2022年，8月28日對伯松過程而言,任給t,x(t)~參數(shù)為的伯松隨機(jī)變量，故而得名。例2：一個(gè)航班有300個(gè)座位，提前30天訂票，票價(jià)有5個(gè)等級，分別為800元、750元、700元、650元、600元，顧客的到達(dá)是強(qiáng)度為=2人/小時(shí)的伯松過程，試確定銷售策略使得該航班的收入最大。定理3.2:設(shè){M(1,t),t0},{M(2,t),t0},…,{M(n,t),t0}為n個(gè)相互獨(dú)立的且具有相同強(qiáng)度>0的伯松過程，第四頁，共十四頁，2022年，8月28日令M(t)=M(1,t)+M(2,t)+…+M(n,t),則{M(t),t0}為強(qiáng)度n的伯松過程。設(shè)第n個(gè)到達(dá)系統(tǒng)的顧客的時(shí)刻為(n),則T(n)=(n)-(n-1)表第n個(gè)和第n-1個(gè)顧客相繼到達(dá)的時(shí)間間隔。下面的定理3.3描述了伯松過程的一個(gè)等價(jià)定義。定理3.3{x(t),t0}是強(qiáng)度為的伯松過程的等價(jià)條件為{T(n),n=1,2,…}是相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)序列，且其分布是參數(shù)為的負(fù)指數(shù)分布。第五頁，共十四頁，2022年，8月28日泊松過程的定數(shù)結(jié)束檢驗(yàn)法檢驗(yàn)：H0:過程{x(t),t0}為泊松過程.H1:過程{x(t),t0}不是泊松過程其方法如下：(1)對一個(gè)顧客流，首先確定一個(gè)較大的數(shù)n,然后觀察并紀(jì)錄顧客相繼到達(dá)的時(shí)刻s(1)<s(2)<…<s(n)(2)計(jì)算v=[(s(1)+s(2)+…+s(n-1))/((n-1)s(n))-0.5]第六頁，共十四頁，2022年，8月28日(3)對于給定的水平,由N(0,1)查雙側(cè)百分位點(diǎn)Z(/2).若v落在區(qū)間(-Z(/2),Z(/2))內(nèi)則接受Ho,否則拒絕Ho.例3:某工廠有大批同類機(jī)床,機(jī)床發(fā)生故障可視為顧客的到達(dá),現(xiàn)對該故障流作定數(shù)結(jié)束檢驗(yàn),取n=6,并記錄到故障的相繼發(fā)生時(shí)刻分別為194,209,250,279,312,493(小時(shí))試在水平=0.05下判斷該故障是否為泊松流.解:因Z(/2)=1.96,計(jì)算當(dāng)n=6時(shí)第七頁，共十四頁，2022年，8月28日V=0.036落入?yún)^(qū)間(-1.96,1.96),故該故障流可認(rèn)為是泊松流.二、廣義泊松過程若{x(t),t0}僅滿足泊松過程中的條件(1)、(3)、(4)、(5)，則稱其為非平穩(wěn)泊松過程。定理3.4:若{x(t),t0}是非平穩(wěn)泊松過程，且滿足limP(x(t+h)=k)=P(x(t)=k)及l(fā)imP(x(t+h)-x(t)0)/h=(t)(t0)其中(t)是[0,+)上的非負(fù)可積函數(shù)。則x(t)是參數(shù)為m(t)泊松隨機(jī)變量，m(t)=.第八頁，共十四頁，2022年，8月28日例4：設(shè)x(t)表[0,t)內(nèi)通過磨子橋路口的機(jī)動(dòng)車數(shù)(),則{x(t),t0}就是一個(gè)非平穩(wěn)泊松過程。平穩(wěn)泊松過程與非平穩(wěn)泊松過程的差別在于：泊松過程的(t)=常數(shù)，非平穩(wěn)泊松過程的(t)不是常數(shù)。設(shè){x(t),t0}是一強(qiáng)度為入的泊松過程，{Z(n),n=1,2,…}是一串相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)序列，且{Z(n)}與{x(t),t0}也相互獨(dú)立，令當(dāng)x(t)=0時(shí)，y(t)=0當(dāng)x(t)>0時(shí)，y(t)=Z(1)+Z(2)+…+Z(x(t))第九頁，共十四頁，2022年，8月28日則稱{y(t),t0}為復(fù)合泊松過程。定理3.5:設(shè){y(t),t0}是一個(gè)復(fù)合泊松過程，則：(1){y(t),t0}具有獨(dú)立增量(2){y(t),t0}具有平穩(wěn)增量(3)令Z(1)的特征函數(shù)為f(u)則y(t)的特征函數(shù)為(4)若E則E(y(t))=tE(Z(1)),var(y(t))=tE(Z(1))例5設(shè)某人壽保險(xiǎn)公司保險(xiǎn)單持有人在時(shí)刻第十頁，共十四頁，2022年，8月28日

索取保險(xiǎn)金的權(quán)利。設(shè)是相互獨(dú)立的具有公共分布的隨機(jī)變量，再設(shè)在[0，t）內(nèi)死亡的個(gè)數(shù)為，是一個(gè)強(qiáng)度為的泊松過程，則保險(xiǎn)公司在[0，t）內(nèi)準(zhǔn)備支付的總保險(xiǎn)金額為第十一頁，共十四頁，2022年，8月28日例6設(shè)保險(xiǎn)公司開業(yè)時(shí)的本金為，單位時(shí)間的營運(yùn)成本為，[0，t）內(nèi)投保的人數(shù)為是一個(gè)強(qiáng)度為的泊松過程。第i個(gè)投保人的保費(fèi)收入為，設(shè)獨(dú)立同分布。則在[0，t）內(nèi)保險(xiǎn)公司的收入為：

第十二頁，共十四頁，2022年，8月28日例7：設(shè)[0,t)內(nèi)到達(dá)商場的顧客數(shù)Z(t),且{Z(t),t0}是強(qiáng)度為的泊松過程；進(jìn)入商場的第n個(gè)顧客是否購物是隨機(jī)的，設(shè)為x(n),且{x(n)}獨(dú)立同分布，P(x(n)=1)=P(第n個(gè)人購了物）=p,P(x(n)=0)=q當(dāng)“x(n)=1”時(shí)第n個(gè)顧客的購物金額是隨機(jī)的，設(shè)為w(n),并設(shè){w(n)}是獨(dú)立同分布的故進(jìn)入商場的第n個(gè)顧客（不論他購物與否）的購物金額為x(n)w(n).設(shè)y(t)表[0,t)時(shí)段內(nèi)某商場的銷售額，則第十三頁，共十四頁，2022年，8月28日Y(t)=x(1)w(1)+x(2)w(2)+…x