基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則

基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則學(xué)習(xí)導(dǎo)航學(xué)習(xí)目標(biāo)重點(diǎn)難點(diǎn)

重點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求解導(dǎo)函數(shù).難點(diǎn):運(yùn)用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則進(jìn)行復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo).新知初探?思維啟動(dòng)f′(x)±g′(x)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)做一做1.已知f(x)＝x3＋2x,則f′(x)＝________.

2.已知f(x)＝xlnx,則f′(x)＝________.

答案:lnx＋1答案:3x2＋2

2.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則一般地,對于兩個(gè)函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x),如果通過變量u,y可以表示成x的函數(shù),那么稱這個(gè)函數(shù)為函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)的___________,記作y＝f(g(x)).復(fù)合函數(shù)y＝f(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y＝f(u),u＝g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為yx′＝y(tǒng)u′·ux′,即y對x的導(dǎo)數(shù)等于____________與___________的乘積.復(fù)合函數(shù)y對u的導(dǎo)數(shù)u對x的導(dǎo)數(shù)想一想函數(shù)y＝cos3x是如何復(fù)合的？其導(dǎo)數(shù)是多少？提示:y＝cos3x是由函數(shù)y＝cosu,u＝3x復(fù)合而成的.例1【點(diǎn)評】解決函數(shù)的求導(dǎo)問題,應(yīng)先分析所給函數(shù)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),選擇正確的公式和法則,對較為復(fù)雜的求導(dǎo)運(yùn)算,一般綜合了和、差、積、商幾種運(yùn)算,在求導(dǎo)之前應(yīng)先將函數(shù)化簡,然后求導(dǎo),以減少運(yùn)算量.變式訓(xùn)練例2【點(diǎn)評】利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的步驟:(1)分解復(fù)合函數(shù)為基本初等函數(shù),適當(dāng)選取中間變量;(2)求每一層基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù);(3)每層函數(shù)求導(dǎo)后,需把中間變量轉(zhuǎn)化為自變量的函數(shù).變式訓(xùn)練題型三求曲線的切線方程

已知函數(shù)f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲線y＝f(x)在點(diǎn)(2,－6)處的切線方程;(2)直線l為曲線y＝f(x)的切線,且經(jīng)過原點(diǎn),求直線l的方程及切點(diǎn)坐標(biāo).【解】

(1)可判定點(diǎn)(2,－6)在曲線y＝f(x)上.∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1,∴f(x)在點(diǎn)(2,－6)處的切線的斜率為k＝f′(2)＝13.例3【名師點(diǎn)評】

(1)求曲線在某點(diǎn)處的切線方程的步驟:(2)求曲線的切線方程時(shí),一定要注意已知點(diǎn)是否為切點(diǎn).若切點(diǎn)沒有給出,一般是先把切點(diǎn)設(shè)出來,然后根據(jù)其他條件列方程,求出切點(diǎn),再求切線方程.變式訓(xùn)練3.已知拋物線f(x)＝ax2＋bx－7經(jīng)過點(diǎn)(1,1),且在點(diǎn)(1,1)處的拋物線的切線方程為4x－y－3＝0,求a,b的值.備選例題2.求過點(diǎn)(1,－1)與曲線f(x)＝x3－2x相切的直線方程.本題易漏方法感悟2.求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù),關(guān)鍵在于搞清楚復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu),同時(shí)還要處理好以下環(huán)節(jié):(1)中間變量的選擇應(yīng)是基本函數(shù)結(jié)構(gòu);(2)正確分析函數(shù)的復(fù)合層次;(3)一般是從最外層開始,由外及里,一層層地求導(dǎo).失誤防范1.要明確兩個(gè)函數(shù)積與商的求導(dǎo)公式中符號的