控制系統(tǒng)仿真技術(shù)-連續(xù)系統(tǒng)模型描述

控制系統(tǒng)仿真技術(shù)-連續(xù)系統(tǒng)模型描述系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的重要性系統(tǒng)仿真分析必須已知數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)設(shè)計(jì)必須已知數(shù)學(xué)模型本課程數(shù)學(xué)模型是基礎(chǔ)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的獲取建模方法：從已知的物理規(guī)律出發(fā)，用數(shù)學(xué)推導(dǎo)的方式建立起系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型辨識(shí)方法：由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的分類系統(tǒng)模型非線性線性連續(xù)離散混合單變量多變量定常時(shí)變1.1連續(xù)系統(tǒng)模型描述

連續(xù)系統(tǒng)----系統(tǒng)狀態(tài)變化在時(shí)間上是連續(xù)的，可以用方程式（常微分方程、偏微分方程、差分方程）描述系統(tǒng)模型。

一個(gè)系統(tǒng)可以定義成如下集合結(jié)構(gòu)：T：時(shí)間基，描述系統(tǒng)變化的時(shí)間坐標(biāo)T為整數(shù)則稱為離散時(shí)間系統(tǒng)，T為實(shí)數(shù)則稱為連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)X：輸入集，代表外部環(huán)境對系統(tǒng)的作用。X被定義為，其中，X即代表n個(gè)實(shí)值的輸入變量。Ω：輸入段集，描述某個(gè)時(shí)間間隔內(nèi)輸入模式，是(X,T)的子集。Q：內(nèi)部狀態(tài)集，是系統(tǒng)內(nèi)部結(jié)構(gòu)建模的核心。δ：狀態(tài)轉(zhuǎn)移函數(shù)，定義系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)是如何變化的。它是映射：λ：輸出函數(shù)，它是映射：輸出函數(shù)給出了一個(gè)輸出段集。Y：輸出段集，系統(tǒng)通過它作用于環(huán)境。連續(xù)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型典型形式

常微分方程

傳遞函數(shù)

狀態(tài)空間描述

權(quán)函數(shù)（脈沖過渡函數(shù)）1.1.1常微分方程--輸入/輸出模型

……..（1）其中n為系統(tǒng)的階次，為系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)，為輸入函數(shù)的結(jié)構(gòu)參數(shù)，它們均為實(shí)常數(shù)

1.1.2傳遞函數(shù)----輸入/輸出模型

若系統(tǒng)的初始條件為零，對（1）式兩邊取拉氏變換后稍加整理：

……..(2)

(2)式稱為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。

1.1.3狀態(tài)空間描述----狀態(tài)結(jié)構(gòu)水平

系統(tǒng)內(nèi)部模型――狀態(tài)空間模型。狀態(tài)空間描述的一般形式為：

狀態(tài)方程

:(3)

輸出方程

:(4)1.1.4離散時(shí)間模型

(1)差分方程

轉(zhuǎn)成遞推方程(2)脈沖傳遞函數(shù)系統(tǒng)初始條件為0，即1.1.4離散時(shí)間模型

(3)脈沖響應(yīng)序列(4)離散狀態(tài)空間模型系統(tǒng)受到一個(gè)理想脈沖序列的作用，其響應(yīng)為系統(tǒng)的權(quán)序列對下面的控制系統(tǒng)描述，需要放在計(jì)算機(jī)上求解常微分方程

傳遞函數(shù)狀態(tài)空間描述

方法一：ODE23,ODE45可解一階微分方程組，狀態(tài)空間描述是一階微分方程組常微分方程，傳遞函數(shù)狀態(tài)空間表達(dá)式方法二：離散時(shí)間模型易程序化，在計(jì)算機(jī)上求解

連續(xù)時(shí)間模型離散時(shí)間模型連續(xù)時(shí)間模型常微分方程

傳遞函數(shù)狀態(tài)空間描述

離散時(shí)間模型差分方程

脈沖傳遞函數(shù)離散狀態(tài)空間描述

1.2連續(xù)模型結(jié)構(gòu)變換

連續(xù)系統(tǒng)仿真要將這個(gè)系統(tǒng)的模型在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)出來，首先要把系統(tǒng)的各種描述形式轉(zhuǎn)換成內(nèi)部模型--狀態(tài)空間模型，我們將其稱為模型結(jié)構(gòu)變換。

常微分方程

傳遞函數(shù)狀態(tài)空間描述

1.2模型結(jié)構(gòu)變換

狀態(tài)空間描述

1.2.1輸入/輸出水平模型到內(nèi)部模型的變換

假設(shè)一連續(xù)系統(tǒng)，它的數(shù)學(xué)模型如(5)式所示

（a0=1）(5)

今引進(jìn)n個(gè)狀態(tài)變量：則有輸入/輸出水平模型到內(nèi)部模型的變換（續(xù)）將上述n個(gè)一階微分方程寫成矩陣形式可得（6）輸入/輸出水平模型到內(nèi)部模型的變換（續(xù)）取a0=11能控標(biāo)準(zhǔn)I形能控標(biāo)準(zhǔn)I形舉例，3階系統(tǒng)+ye+++++x2x1x3c1-a1c0c2-a2c0b3-a3c0-a3-a2-a1c0取a0=12能觀標(biāo)準(zhǔn)II形能觀標(biāo)準(zhǔn)II形舉例x2x1x3u+++++y+123-a3-a2-a1+0+輸入/輸出水平模型到內(nèi)部模型的變換（續(xù)）

外部模型變換到內(nèi)部模型不唯一，所以仿真模型也不唯一。一個(gè)系統(tǒng)有多種實(shí)現(xiàn)，最小實(shí)現(xiàn)的充要條件是(A、B、C)為完全能控且完全能觀測。

1.2.2系統(tǒng)狀態(tài)初始值變換

如果系統(tǒng)是非零初始條件，那么從外部模型變換到內(nèi)部內(nèi)部模型還必須考慮如何將給定的初始條件轉(zhuǎn)變?yōu)橄鄳?yīng)的狀態(tài)變量的初始值。若系統(tǒng)是由如下一般形式的n階微分方程來描述：系統(tǒng)初始條件為：

伴隨方程法

一階微分方程組的狀態(tài)變量記為，如果它們滿足如下關(guān)系：

（8）（9）（10）（11）該狀態(tài)方程與原方程等價(jià)。

伴隨方程法（續(xù)）

伴隨方程法顯式地表示了狀態(tài)變量與原輸入/輸出變量及其高階導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，因而易于進(jìn)行初始值的轉(zhuǎn)換。這樣得到狀態(tài)方程及輸出方程：（15）其中

伴隨方程法（續(xù)）設(shè)a0=1,初值轉(zhuǎn)換方程：伴隨方程有多種形式，因而得到的狀態(tài)方程也不唯一。那么，實(shí)現(xiàn)這種初值轉(zhuǎn)換的條件是什么呢？(肖天元，P29）

1.2.3典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)：結(jié)構(gòu)圖

控制系統(tǒng)由許多元件組合而成，這些元件的物理結(jié)構(gòu)和作用原理是多種多樣的，但拋開具體結(jié)構(gòu)和物理特點(diǎn)，從傳遞函數(shù)的數(shù)學(xué)模型來看，可以劃分成幾種典型環(huán)節(jié)，常用的典型環(huán)節(jié)有比例環(huán)節(jié)、慣性環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)、微分環(huán)節(jié)、振蕩環(huán)節(jié)、延遲環(huán)節(jié)等。

1.比例環(huán)節(jié)

環(huán)節(jié)輸出量與輸入量成正比，不失真也無時(shí)間滯后的環(huán)節(jié)稱為比例環(huán)節(jié)，也稱無慣性環(huán)節(jié)。輸入量與輸出量之間的表達(dá)式為c(t)=Kr(t)比例環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為

式中K為常數(shù)，稱為比例環(huán)節(jié)的放大系數(shù)或增益。

2.慣性環(huán)節(jié)(非周期環(huán)節(jié))慣性環(huán)節(jié)的動(dòng)態(tài)方程是一個(gè)一階微分方程

其傳遞函數(shù)為

式中T——慣性環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)

K——慣性環(huán)節(jié)的增益或放大系數(shù)

2.積分環(huán)節(jié)

輸出量正比于輸入量的積分的環(huán)節(jié)稱為積分環(huán)節(jié)，其動(dòng)態(tài)特性方程

其傳遞函數(shù)

式中Ti為積分時(shí)間常數(shù)。

4.微分環(huán)節(jié)

理想微分環(huán)節(jié)的特征輸出量正比于輸入量的微分，其動(dòng)態(tài)方程

其傳遞函數(shù)

式中Td稱微分時(shí)間常數(shù)

它的單位階躍響應(yīng)曲線

5.二階振蕩環(huán)節(jié)(二階慣性環(huán)節(jié))二階環(huán)節(jié)的動(dòng)態(tài)方程為其傳遞函數(shù)式中為無阻尼自然振蕩角頻率，ζ為阻尼比。

6.延遲環(huán)節(jié)(時(shí)滯環(huán)節(jié))

延遲環(huán)節(jié)是輸入信號加入后，輸出信號要延遲一段時(shí)間τ后才重現(xiàn)輸入信號，其動(dòng)態(tài)方程為其傳遞函數(shù)是一個(gè)超越函數(shù)

式中τ稱延遲時(shí)間

1.2.4分解結(jié)構(gòu)水平轉(zhuǎn)換--面向結(jié)構(gòu)圖的模型變換

對于任何一個(gè)典型環(huán)節(jié)，可以抽象成：

進(jìn)一步，寫成一階微分方程的形式N個(gè)典型環(huán)節(jié)時(shí)，例如：

1.2.4分解結(jié)構(gòu)水平轉(zhuǎn)換--面向結(jié)構(gòu)圖的模型變換

n個(gè)典型環(huán)節(jié)時(shí)，寫成矩陣形式

1.2.4分解結(jié)構(gòu)水平轉(zhuǎn)換--面向結(jié)構(gòu)圖的模型變換

n個(gè)典型環(huán)節(jié)時(shí)，寫成矩陣形式

上面各環(huán)節(jié)中，將各個(gè)環(huán)節(jié)聯(lián)起來后，一個(gè)環(huán)節(jié)的輸出和其他環(huán)節(jié)的輸入發(fā)生了聯(lián)系，怎么來描述這些聯(lián)系呢？用連接矩陣來描述?？刂葡到y(tǒng)的連接矩陣123+45-控制系統(tǒng)的連接矩陣=+11111-11123+45-面向結(jié)構(gòu)圖系統(tǒng)方程描述

面向結(jié)構(gòu)圖系統(tǒng)方程描述（續(xù)） (21)

W稱為系統(tǒng)的連接矩陣，它描述了系統(tǒng)內(nèi)部各環(huán)節(jié)連接情況，每個(gè)元素

表示第j個(gè)環(huán)節(jié)的輸出到第i個(gè)環(huán)節(jié)的輸入之間的聯(lián)接系數(shù)．稱為外部輸入的連接矩陣，它描述了外部輸入對系統(tǒng)的作用情況。對單輸入系統(tǒng)，是一個(gè)列矢量，表示外部輸入信號Y0作用在第j個(gè)環(huán)節(jié)上的作用系數(shù)。在上圖中，Y0只作用在第一個(gè)環(huán)節(jié)上，故。若為多輸入系統(tǒng)則也是一個(gè)矩陣，它的列數(shù)等于輸入量的個(gè)數(shù)。

系統(tǒng)方程轉(zhuǎn)換

將(21)式代入(20)式，則可得：（22）（23）其中：Q=B－DW，P=CW－A，V1=CW0

，V2=DW0

如果Q陣的逆存在，那么對(23)式兩邊左乘Q－1，則得：（24）這是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的一階常微分方程組。

系統(tǒng)方程轉(zhuǎn)換（續(xù)）說明：（1）矩陣方程的右端有兩項(xiàng)與外加作用信號有關(guān)，一項(xiàng)是，另一項(xiàng)。若外加作用函數(shù)是單位階躍陣，此時(shí)

，為了便于計(jì)算，就要求V2是零向量。如果外加作用信號是階躍信號，那么必須限制外加作用信號所用的那個(gè)環(huán)節(jié)Di=0。（2）只有當(dāng)Q陣能求逆時(shí)，才能獲得(24)式。當(dāng)系統(tǒng)中各環(huán)節(jié)不存在純微分環(huán)節(jié)和/或純比例環(huán)節(jié)時(shí)就能保證Q陣可以求逆。（3）關(guān)于Q的逆陣不存在時(shí)的結(jié)構(gòu)變換.

1.3在MATLAB中數(shù)學(xué)模型的表示

線性系統(tǒng)理論中常用的數(shù)學(xué)模型有:

微分方程、傳遞函數(shù)、狀態(tài)空間表達(dá)式等這些模型之間又有著某些內(nèi)在的等效關(guān)系。MATLAB主要使用傳遞函數(shù)和狀態(tài)空間表達(dá)式來描述線性時(shí)不變系統(tǒng)(LinearTimeInvariant簡記為LTI)。

1.3.1傳遞函數(shù)

單輸入單輸出線性連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

其中m≤n。G(s)的分子多項(xiàng)式的根稱為系統(tǒng)的零點(diǎn),分母多項(xiàng)式的根稱為系統(tǒng)的極點(diǎn)。令分母多項(xiàng)式等于零,得系統(tǒng)的特征方程:D(s)=a0sn+a1sn－1+……+an－1s+an=0系統(tǒng)的傳遞函數(shù)在MATLAB下可由其分子和分母多項(xiàng)式唯一地確定出來,其格式為

sys=tf(num,den)其中num（numerator)為分子多項(xiàng)式，

den（denominator)為分母多項(xiàng)式

num=［b0,b1,b2,…,bm］；den=［a0,a1,a2,…,an］；傳遞函數(shù)在MATLAB中的表示對于其它復(fù)雜的表達(dá)式,如可由下列語句來輸入

>>num=conv(［1,1］,conv(［1,2,6］,［1,2,6］));>>den=conv(［1,0,0］,conv(［1,3］,［1,2,3,4］));>>G=tf(num,den)

Transferfunction:系統(tǒng)的傳遞函數(shù)中可能存在延遲環(huán)節(jié)，如

如上:傳遞函數(shù)有延遲環(huán)節(jié)時(shí)>>num=conv(［1,1］,conv(［1,2,6］,［1,2,6］));>>den=conv(［1,0,0］,conv(［1,3］,［1,2,3,4］));>>G=tf(num,den)

>>G.ioDelay=3;或者：>>set(G,’ioDelay’,3);傳遞函數(shù)矩陣：MIMO系統(tǒng)1.3.2傳遞函數(shù)的特征根及零極點(diǎn)圖

傳遞函數(shù)G(s)輸入之后,分別對分子和分母多項(xiàng)式作因式分解,則可求出系統(tǒng)的零極點(diǎn),MATLAB提供了多項(xiàng)式求根函數(shù)roots(),其調(diào)用格式為

roots(p)其中p為多項(xiàng)式。

例如,多項(xiàng)式p(s)=s3+3s2+4

>>p=［1,3,0,4］;%p(s)=s3+3s2+4>>r=roots(p)%p(s)=0的根

r=-3.3533

0.1777+1.0773i0.1777-1.0773i反過來,若已知特征多項(xiàng)式的特征根,可調(diào)用MATLAB中的poly()函數(shù),來求得多項(xiàng)式降冪排列時(shí)各項(xiàng)的系數(shù),如上例

>>poly(r)p=1.00003.00000.00004.0000

而polyval函數(shù)用來求取給定變量值時(shí)多項(xiàng)式的值,其調(diào)用格式為

polyval(p,a)其中p為多項(xiàng)式;a為給定變量值

例如,求n(s)=(3s2+2s+1)(s+4)在s=－5時(shí)值：>>n=conv(［3,2,1］,［1,4］);>>value=polyval(n,-5)

value=－66［p,z］=pzmap(num,den)其中,p─傳遞函數(shù)G(s)=numden的極點(diǎn)

z─傳遞函數(shù)G(s)=numden的零點(diǎn)例如,傳遞函數(shù)

傳遞函數(shù)在復(fù)平面上的零極點(diǎn)圖采用pzmap()函數(shù)來完成,零極點(diǎn)圖上,零點(diǎn)用“?！北硎?極點(diǎn)用“×”表示。其調(diào)用格式為

用MATLAB求出G(s)的零極點(diǎn),H(s)的多項(xiàng)式形式,及G(s)H(s)的零極點(diǎn)圖

>>numg=［6,0,1］;deng=［1,3,3,1］;>>z=roots(numg)

z=0+0.4082i

0－0.4082i

%G(s)的零點(diǎn)>>p=roots(deng)p=－1.0000+0.0000i

－1.0000+0.0000i%G(s)的極點(diǎn)－1.0000+0.0000i

>>n1=［1,1］;n2=［1,2］;d1=［1,2*i］;d2=［1,-2*i］;d3=［1,3］;>>numh=conv(n1,n2);denh=conv(d1,conv(d2,d3));>>printsys(numh,denh)numh/denh=%H(s)表達(dá)式>>num=conv(numg,numh),den=conv(denh,deng)>>pzmap(num,den)%零極點(diǎn)圖>>title(‘pole-zeroMap’)G(s)H(s)的零極點(diǎn)圖

零極點(diǎn)圖如圖所示：1.3.3控制系統(tǒng)的方框圖模型

若已知控制系統(tǒng)的方框圖,使用MATLAB函數(shù)可實(shí)現(xiàn)方框圖轉(zhuǎn)換。

1.串聯(lián)

如圖所示G1(s)和G2(s)相串聯(lián),在MATLAB中可用串聯(lián)函數(shù)series()來求G1(s)G2(s),其調(diào)用格式為

［num,den］=series(num1,den1,num2,den2)其中：2.并聯(lián)

如圖所示G1(s)和G2(s)相并聯(lián),可由MATLAB的并聯(lián)函數(shù)parallel()來實(shí)現(xiàn),其調(diào)用格式為

［num,den］=parallel(num1,den1,num2,den2)其中：3.反饋

反饋連接如圖所示。使用MATLAB中的feedback()函數(shù)來實(shí)現(xiàn)反饋連接,其調(diào)用格式為

［num,den］=feedback(numg,deng,numh,denh,sign)式中：sign為反饋極性,若為正反饋其為1,若為負(fù)反饋其為－1或缺省。例如

G(s)=,H(s)=,負(fù)反饋連接。

>>numg=［1,1］;deng=［1,2］;>>numh=［1］;denh=［1,0］;>>［num,den］=feedback(numg,deng,numh,denh,－1);>>printsys(num,den)num/den=

MATLAB中的函數(shù)series,parallel和feedback可用來簡化多回路方框圖。另外,對于單位反饋系統(tǒng),MATLAB可調(diào)用cloop()函數(shù)求閉環(huán)傳遞函數(shù),其調(diào)用格式為

［num,den］=cloop(num1,den1,sign)

零極點(diǎn)模型實(shí)際上是傳遞函數(shù)模型的另一種表現(xiàn)形式，其原理是分別對原系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分子、分母進(jìn)行分解因式處理，以獲得系統(tǒng)的零點(diǎn)和極點(diǎn)的表示形式。在MATLAB中零極點(diǎn)增益模型用[Z,P,K]矢量組表示。即：Z=[z1,z2,…,zm]P=[p1,p2,...,pn]K=[k]G=zpk(Z,P,K)1.3.4控制系統(tǒng)的零極點(diǎn)模型

1.3.4控制系統(tǒng)的零極點(diǎn)模型與時(shí)間常數(shù)模型轉(zhuǎn)換MATLAB控制系統(tǒng)工具箱提供了零極點(diǎn)模型與時(shí)間常數(shù)模型之間的轉(zhuǎn)換函數(shù),其調(diào)用格式分別為

［z,p,k］=tf2zp(num,den)［num,den］=zp2tf(z,p,k)其中第一個(gè)函數(shù)可將傳遞函數(shù)模型轉(zhuǎn)換成零極點(diǎn)表示形式,而第二個(gè)函數(shù)可將零極點(diǎn)表示方式轉(zhuǎn)換成傳遞函數(shù)模型。

例如

G(s)=用MATLAB語句表示：>>num=［12241220］;den=［24622］;>>［z,p,k］=tf2zp(num,den)z=－1.9294

－0.0353＋0.9287i

－0.0353－0.9287i

p=－0.9567＋1.2272i－0.9567－1.2272i－0.0433＋0.6412i－0.0433－0.6412i

k=6即變換后的零極點(diǎn)模型為G(s)=

可以驗(yàn)證MATLAB的轉(zhuǎn)換函數(shù),調(diào)用zp2tf()函數(shù)將得到原傳遞函數(shù)模型。

>>［num,den］=zp2tf(z,p,k)num=06.000012.00006.000010.0000den=1.00002.00003.00001.00001.0000即

部分分式形式

在MATLAB中部分分式模型用[R,P,H]矢量組表示。即：R=[r1,r2,…,rn]P=[p1,p2,...,pn]H=[h0,h1,…,h

][num,den]=residue(R,P,H)[R,P,H]=residue(num,den)1.3.5狀態(tài)空間表達(dá)式

狀態(tài)空間表達(dá)式是描述系統(tǒng)特性的又一種數(shù)學(xué)模型,它由狀態(tài)方程和輸出方程構(gòu)成,即

x(t)=Ax(t)+Bu(t)

y(t)=Cx(t)+Du