兩數(shù)和乘以這兩數(shù)的差

兩數(shù)和乘以這兩數(shù)的差第一頁，共二十八頁，2022年，8月28日回顧與思考回顧&

思考?(m+a)(n+b)=如果m=n，且都用x表示，那么上式就成為:多項(xiàng)式乘法法則是:用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)再把所得的積相加。mn+mb+an+ab

=(x+a)(x+b)x2+(a+b)x+ab

這是上一節(jié)學(xué)習(xí)的一種特殊多項(xiàng)式的乘法——

兩個(gè)相同字母的二項(xiàng)式的乘積.如果(x+a)(x+b)中的a、b再有某種特殊關(guān)系，又將得到什么特殊結(jié)果呢?這就是從本課起要學(xué)習(xí)的內(nèi)容．

第二頁，共二十八頁，2022年，8月28日平方差公式計(jì)算下列各題:做一做(1)(x+3)(x?3)；(2)(1+2a)(1?2a)；(3)(x+4y)(x?4y)(4)(y+5z)(y?5z)；=x2?9;=1?4a2;=x2?16y2;=y2?25z2;觀察

&

發(fā)現(xiàn)

觀察以上算式及其運(yùn)算結(jié)果，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？用自己的語言敘述你的發(fā)現(xiàn)。=x2?32;=12?(2a)2;=x2?(4y)2;=y2?(5z)2.(a+b)(a?b)=a2?b2.兩數(shù)和與這兩數(shù)差的積,等于這兩數(shù)的平方的差.用式子表示，即：第三頁，共二十八頁，2022年，8月28日3.觀察這個(gè)公式，說說它左右兩邊的特征.(a+b)(a-b)=a2-b2特征:兩個(gè)數(shù)的和這兩個(gè)數(shù)的差這兩數(shù)的平方差第四頁，共二十八頁，2022年，8月28日(a+b)(a-b)=a2-b2特征:兩個(gè)二項(xiàng)式相乘第五頁，共二十八頁，2022年，8月28日(a+b)(a-b)=a2-b2特征:相同第六頁，共二十八頁，2022年，8月28日(a+b)(a-b)=a2-b2特征:相反數(shù)第七頁，共二十八頁，2022年，8月28日(a+b)(a-b)=a2-b2特征:平方差第八頁，共二十八頁，2022年，8月28日(a+b)(a-b)=a2-b2特征:(相同項(xiàng))2-(相反項(xiàng))2第九頁，共二十八頁，2022年，8月28日初識平方差公式(a+b)(a?b)=x2?b2

(1)

公式左邊兩個(gè)二項(xiàng)式必須是相同兩數(shù)的和與差相乘；且左邊兩括號內(nèi)的第一項(xiàng)相等、第二項(xiàng)符號相反[互為相反數(shù)(式)];(2)公式右邊是這兩個(gè)數(shù)的平方差；即右邊是左邊括號內(nèi)的第一項(xiàng)的平方

減去第二項(xiàng)的平方.(3)

公式中的a和b可以代表數(shù)，也可以是代數(shù)式．

特征結(jié)構(gòu)｛第十頁，共二十八頁，2022年，8月28日=-

=

-

.4.請你用圖形說明它的正確性.第十一頁，共二十八頁，2022年，8月28日1、兩數(shù)和乘以它們的差公式：(a＋b)(a－b)=a2－b2兩數(shù)和與它們的差的積，等于這兩數(shù)的平方差。條件：⑴二項(xiàng)式×二項(xiàng)式；⑵兩個(gè)二項(xiàng)式中，有一項(xiàng)完全相同，另一項(xiàng)互為相反數(shù)的項(xiàng)。結(jié)論：⑴兩項(xiàng)的平方差；⑵

(完全相同項(xiàng))2－(互為相反項(xiàng))2

簡記：＝＋－（）（）－２２表示一個(gè)單項(xiàng)式或者多項(xiàng)式“”〖

〗注意：

5.請用語言敘述這個(gè)公式.（也叫平方差公式）第十二頁，共二十八頁，2022年，8月28日首先請你仔細(xì)觀察下圖，你能用下面的圖解釋兩數(shù)和乘以它們的差公式嗎？ABCD第十三頁，共二十八頁，2022年，8月28日例題解析例題學(xué)一學(xué)例1

利用平方差公式計(jì)算：(1)(5+6x)(5?6x)；(2)(x+2y)(x?2y);(3)(?m+n)(?m?n).解:

(1)(5+6x)(5?6x)=55第一數(shù)a52平方?6x6x第二數(shù)b平方要用括號把這個(gè)數(shù)整個(gè)括起來，

注意當(dāng)“第一(二)數(shù)”是一分?jǐn)?shù)或是數(shù)與字母的乘積時(shí),再平方;

()26x=25?

最后的結(jié)果又要去掉括號。36x2;(2)(x+2y)(x?2y)=xxx2?()22y2y2y=x2

?4y2;(3)(?m+n)(?m?n)=?m?m?m()2?nnn2=m2

?n2.第十四頁，共二十八頁，2022年，8月28日【例1】計(jì)算：

（1）

（2）

（3）

（4）要分清是哪兩個(gè)數(shù)的和乘以這哪兩數(shù)的差哦！知識應(yīng)用第十五頁，共二十八頁，2022年，8月28日拓展練習(xí)本題是公式的變式訓(xùn)練，以加深對公式本質(zhì)特征的理解．

運(yùn)用平方差公式計(jì)算：(4a1)(4a1)．

(用兩種方法)

運(yùn)用平方差公式時(shí)，要緊扣公式的特征，找出相等的“項(xiàng)”和符號相反的“項(xiàng)”，然后應(yīng)用公式．法一利用加法交換律，變成公式標(biāo)準(zhǔn)形式。

(4a?1)(4a?1)==(1)2?(4a)2=1?16a2。法二提取兩“?”號中的“?”號，

變成公式標(biāo)準(zhǔn)形式。

(4a?1)(4a?1)=

(4a+1)

(4a?1)(4a?1)=(4a)2?1?

計(jì)算時(shí)千萬別忘了你提出的“”號、添括號；

注意[]=1?16a2。(4a?1)(4a?1)?1?4a?1+4a第十六頁，共二十八頁，2022年，8月28日下面兩題能用兩數(shù)和乘以它們的差公式?如果能，答案應(yīng)該是多少？⑴(2m＋n)(n－2m)⑵(-a-b)(-a＋b)=n2-(2m)2=n2-4m2

=(-a)2-b2=a2-b2能力提升：

=

(n＋2m)(n－2m)（注意：交換兩項(xiàng)的位置，滿足公式的特征）第十七頁，共二十八頁，2022年，8月28日開放題：觀察：(－2x＋y)()，在括號內(nèi)填入怎樣的代數(shù)式，才能運(yùn)用兩數(shù)和乘以它們的差公式進(jìn)行計(jì)算？

解：⑴(－2x＋y)(－2x－y)⑵(－2x＋y)(2x＋y)=(－2x)2－(y)2=(y)2－(－2x)2=y2－4x2=4x2－y2第十八頁，共二十八頁，2022年，8月28日練習(xí):1、請你判斷以下的計(jì)算是否正確，并說明理由；⑴、(m＋3n)(m－3n)=m2－3n2()⑵、(－m＋3n)(m－3n)=m2－9n2()⑶、(－m－3n)(－m＋3n)=m2－9n2()⑷、(m－3n)2=m2－9n2()××√×第十九頁，共二十八頁，2022年，8月28日=(2x)2－()2

=4x2－=(－x)2－22

=x2－42、計(jì)算：⑴、(2x＋)(2x－)⑵、(－

x＋2)(－x－2)⑶、(－2x＋y)(2x＋y)⑷、(y－x)(－x－y)=y2－(2x)2=y2－4x2=(－x)2－y2=x2－y2解:第二十頁，共二十八頁，2022年，8月28日1998×2002=(2000－2)×(2000＋2)=(2000)2－

22=4000000

－

4

=3999996比一比，看誰算得又簡便又快：

計(jì)算：1998×2002知識應(yīng)用方法一：直接計(jì)算；1998×2002=3999996方法二：構(gòu)造公式計(jì)算；寫成兩數(shù)和乘以這兩數(shù)的差的形式可以使運(yùn)算簡便！第二十一頁，共二十八頁，2022年，8月28日街心花園有一塊邊長為a米的正方形草坪，經(jīng)統(tǒng)一規(guī)劃后，南北方向要加長2米，而東西方向要縮短2米。問改造后的長方形草坪的面積是多少？知識應(yīng)用2：(a＋2)(a－2)=a2－4解：答：改造后的長方形草坪的面積是(a2－4)平方米。（規(guī)劃前）（規(guī)劃后）第二十二頁，共二十八頁，2022年，8月28日1.下列多項(xiàng)式相乘，哪些可用平方差公式？怎樣用公式計(jì)算？

1)(a+b)(-b+a)2)(ab+1)(-ab+1)3)(a+b)(b-c)4)(-2xy+z)(-2xy-z)5)(a+b)(-a-b)6)(a2-3bc)(3bc+a2)2.(a+b+c)(a+b-c),是否可用平方差公式計(jì)算？怎樣應(yīng)用公式計(jì)算？第二十三頁，共二十八頁，2022年，8月28日2.(a+b+c)(a+b-c),是否可用平方差公式計(jì)算？怎樣應(yīng)用公式計(jì)算？解：(a+b+c)(a+b-c)=[(a+b)+c][(a+b)-c]=(a+b)2-c2=(a+b)(a+b)–c2=(a2+ab+ab+b2)–c2

=(a2+2ab+b2)–c2

=a2+2ab+b2–c2第二十四頁，共二十八頁，2022年，8月28日3.將下列各式變形為可利用平方差公式計(jì)算的形式：1)(a+2b+3)(a+2b-3)2)(a+2b-3)(a-2b+3)3)(a-2b+3)(a-2b-3)4)(a-2b-3)(a+2b-3)5)(3a-5b-2c)(-3a-5b+2c)6)(x+y+m+n)(x+y-m-n)[(a+2b)+3][(a+2b)-3][a+(2b-3)][a-(2b-3)][(a-2b)+3][(a-2b)-3][(a-3)-2b][(a-3)+2b][(-5b)+(3a-2c)][(-5b)-(3a-2c)][(x+y)+(m+n)][(x+y)-(m+n)]第二十五頁，共二十八頁，2022年，8月28日4.下列各式哪些能用平方差公式計(jì)算？怎樣用？1)(a-b+c)(a-b-c)2)(a+2b-3)(a-2b