工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)第一章同濟第五版ppt課件

1、用消元法解二元線性方程組用消元法解二元線性方程組 .,22221211212111bxaxabxaxa 1 2 :122a ,2212221212211abxaaxaa :212a ,1222221212112abxaaxaa ，得，得兩式相減消去兩式相減消去2x一、二階行列式的引入一、二階行列式的引入;212221121122211baabxaaaa ）（，得，得類似地，消去類似地，消去1x,211211221122211abbaxaaaa ）（時時，當(dāng)當(dāng)021122211 aaaa方程組的解為方程組的解為，211222112122211aaaabaabx ）（3.2112221121121

2、12aaaaabbax 由方程組的四個系數(shù)確定由方程組的四個系數(shù)確定. 由四個數(shù)排成二行二列橫排稱行、豎排由四個數(shù)排成二行二列橫排稱行、豎排稱列的數(shù)表稱列的數(shù)表)4(22211211aaaa)5(42221121121122211aaaaaaaa行行列列式式，并并記記作作）所所確確定定的的二二階階稱稱為為數(shù)數(shù)表表（表表達(dá)達(dá)式式 即即.2112221122211211aaaaaaaaD 11a12a22a12a主對角線主對角線副對角線副對角線2211aa .2112aa 二階行列式的計算二階行列式的計算假設(shè)記假設(shè)記,22211211aaaaD .,22221211212111bxaxabxaxa

3、對于二元線性方程組對于二元線性方程組系數(shù)行列式系數(shù)行列式 .,22221211212111bxaxabxaxa,22211211aaaaD .,22221211212111bxaxabxaxa,2221211ababD .,22221211212111bxaxabxaxa,22211211aaaaD .,22221211212111bxaxabxaxa,2221211ababD .,22221211212111bxaxabxaxa.2211112babaD 那么二元線性方程組的解為那么二元線性方程組的解為,2221121122212111aaaaababDDx 留意留意 分母都為原方程組的系數(shù)

4、行列式分母都為原方程組的系數(shù)行列式.2221121122111122aaaababaDDx . 12,12232121xxxx求解二元線性方程組求解二元線性方程組解解1223 D)4(3 , 07 112121 D,14 121232 D,21 DDx11 , 2714 DDx22 . 3721 二、三階行列式二、三階行列式333231232221131211)5(339aaaaaaaaa列列的的數(shù)數(shù)表表行行個個數(shù)數(shù)排排成成設(shè)設(shè)有有,312213332112322311322113312312332211)6(aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaa

5、aaaa6 6式稱為數(shù)表式稱為數(shù)表5 5所確定的三階行列式所確定的三階行列式. .323122211211aaaaaa .312213332112322311aaaaaaaaa (1)(1)沙路法沙路法三階行列式的計算三階行列式的計算322113312312332211aaaaaaaaa D333231232221131211aaaaaaaaaD . .列標(biāo)列標(biāo)行標(biāo)行標(biāo)333231232221131211aaaaaaaaaD 333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa .322311aaa 留意留意 紅線上三元素的乘積冠以正號，藍(lán)線上三紅線上三元素的乘積冠以正號，

6、藍(lán)線上三元素的乘積冠以負(fù)號元素的乘積冠以負(fù)號闡明闡明1 對角線法那么只適用于二階與三階行列式對角線法那么只適用于二階與三階行列式322113aaa 312312aaa 312213aaa 332112aaa 假設(shè)三元線性方程組假設(shè)三元線性方程組 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa的系數(shù)行列式的系數(shù)行列式333231232221131211aaaaaaaaaD , 0 利用三階行列式求解三元線性方程組利用三階行列式求解三元線性方程組 2. 2. 三階行列式包括三階行列式包括3!3!項項, ,每一項都是位于不同行每一項都是位于

7、不同行, ,不同列的三個元素的乘積不同列的三個元素的乘積, ,其中三項為正其中三項為正, ,三項為三項為負(fù)負(fù). . ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,3332323222131211aabaabaabD 假設(shè)記假設(shè)記333231232221131211aaaaaaaaaD 或或 121bbb ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,3332323222131211aabaabaabD 記記,3332323222131211aabaabaabD 即即 ;,

8、333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa333231232221131211aaaaaaaaaD ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,3333123221131112abaabaabaD 得得 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa333231232221131211aaaaaaaaaD ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,

9、3333123221131112abaabaabaD 得得 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa.3323122221112113baabaabaaD ,3333123221131112abaabaabaD .3323122221112113baabaabaaD 那么三元線性方程組的解為那么三元線性方程組的解為:,11DDx ,22DDx .33DDx 333231232221131211aaaaaaaaaD ,3332323222131211aabaabaabD 2-43-122-4-21D 計計算算三三階階行行列列式式按

10、對角線法那么，按對角線法那么，有有 D4)2()4()3(12)2(21 )3(2)4()2()2(2411 24843264 .14 . 094321112 xx求解方程求解方程方程左端方程左端1229184322 xxxxD, 652 xx解解得得由由052 xx3.2 xx或或例例4 4 解線性方程組解線性方程組 . 0, 132, 22321321321xxxxxxxxx由于方程組的系數(shù)行列式由于方程組的系數(shù)行列式111312121 D 111 132 121 111 122 131 5 , 0 同理可得同理可得1103111221 D, 5 1013121212 D,10 01111

11、22213 D, 5 故方程組的解為故方程組的解為:, 111 DDx, 222 DDx. 133 DDx 二階和三階行列式是由解二元和三元線性方二階和三階行列式是由解二元和三元線性方程組引入的程組引入的.對角線法那么對角線法那么二階與三階行列式的計算二階與三階行列式的計算.2112221122211211aaaaaaaa ,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa三、小結(jié)三、小結(jié) 使使求一個二次多項式求一個二次多項式,xf .283, 32, 01 fff解解設(shè)所求的二

12、次多項式為設(shè)所求的二次多項式為 ,2cbxaxxf 由題意得由題意得 , 01 cbaf , 3242 cbaf ,28393 cbaf得一個關(guān)于未知數(shù)得一個關(guān)于未知數(shù) 的線性方程組的線性方程組,cba,又又, 020 D.20,60,40321 DDD得得, 21 DDa, 32 DDb13 DDc故所求多項式為故所求多項式為 . 1322 xxxf一、概念的引入一、概念的引入引例引例用用1、2、3三個數(shù)字，可以組成多少個沒三個數(shù)字，可以組成多少個沒有反復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？有反復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？解解1 2 3123百位百位3種放法種放法十位十位1231個位個位12 32種放法種放法1種放法種放法種

13、放法種放法.共有共有6123 二、全陳列及其逆序數(shù)二、全陳列及其逆序數(shù)同的排法？同的排法？，共有幾種不，共有幾種不個不同的元素排成一列個不同的元素排成一列把把 n問題問題定義定義把把 個不同的元素排成一列，叫做這個不同的元素排成一列，叫做這 個個元素的全陳列或陳列元素的全陳列或陳列.nn 個不同的元素的一切陳列的種數(shù)，通常個不同的元素的一切陳列的種數(shù)，通常用用 表示表示.nnP由引例由引例1233 P. 6 nPn )1( n)2( n123 !.n 同理同理 在一個陳列在一個陳列 中，假設(shè)中，假設(shè)數(shù)數(shù) 那么稱這兩個數(shù)組成一個逆序那么稱這兩個數(shù)組成一個逆序. nstiiiii21stii 例如

14、例如 陳列陳列32514 中，中， 定義定義 我們規(guī)定各元素之間有一個規(guī)范次序我們規(guī)定各元素之間有一個規(guī)范次序, n 個個不同的自然數(shù)，規(guī)定由小到大為規(guī)范次序不同的自然數(shù)，規(guī)定由小到大為規(guī)范次序.陳列的逆序數(shù)陳列的逆序數(shù)3 2 5 1 4逆序逆序逆序逆序逆序逆序定義定義 一個陳列中一切逆序的總數(shù)稱為此陳列的一個陳列中一切逆序的總數(shù)稱為此陳列的逆序數(shù)逆序數(shù).例如例如 陳列陳列32514 中，中， 3 2 5 1 4逆序數(shù)為逆序數(shù)為31010故此陳列的逆序數(shù)為故此陳列的逆序數(shù)為3+1+0+1+0=5.計算陳列逆序數(shù)的方法計算陳列逆序數(shù)的方法方法方法1 1分別計算出排在分別計算出排在 前面比它大的數(shù)

15、前面比它大的數(shù)碼之和即分別算出碼之和即分別算出 這這 個元素個元素的逆序數(shù)，這個元素的逆序數(shù)的總和即為所求的逆序數(shù)，這個元素的逆序數(shù)的總和即為所求陳列的逆序數(shù)陳列的逆序數(shù).n,n,121 n,n,121 n逆序數(shù)為奇數(shù)的陳列稱為奇陳列逆序數(shù)為奇數(shù)的陳列稱為奇陳列;逆序數(shù)為偶數(shù)的陳列稱為偶陳列逆序數(shù)為偶數(shù)的陳列稱為偶陳列.陳列的奇偶性陳列的奇偶性分別計算出陳列中每個元素前面比它大的數(shù)碼分別計算出陳列中每個元素前面比它大的數(shù)碼個數(shù)之和，即算出陳列中每個元素的逆序數(shù)，個數(shù)之和，即算出陳列中每個元素的逆序數(shù)，這每個元素的逆序數(shù)之總和即為所求陳列的逆這每個元素的逆序數(shù)之總和即為所求陳列的逆序數(shù)序數(shù).方法

16、方法2 2例例1 1 求陳列求陳列3251432514的逆序數(shù)的逆序數(shù). .解解在陳列在陳列32514中中,3排在首位排在首位,逆序數(shù)為逆序數(shù)為0;2的前面比的前面比2大的數(shù)只需一個大的數(shù)只需一個3,故逆序數(shù)為故逆序數(shù)為1;3 2 5 1 40 1 0 3 1于是陳列于是陳列32514的逆序數(shù)為的逆序數(shù)為13010 t. 5 5的前面沒有比的前面沒有比5大的數(shù)大的數(shù),其逆序數(shù)為其逆序數(shù)為0;1的前面比的前面比1大的數(shù)有大的數(shù)有3個個,故逆序數(shù)為故逆序數(shù)為3;4的前面比的前面比4大的數(shù)有大的數(shù)有1個個,故逆序數(shù)為故逆序數(shù)為1;例例2 2 計算以下陳列的逆序數(shù)，并討論它們的計算以下陳列的逆序數(shù)，并

17、討論它們的奇偶性奇偶性. . 2179863541解解453689712544310010 t18 此陳列為偶陳列此陳列為偶陳列.54 0100134 321212 nnn解解12 ,21 nn當(dāng)當(dāng) 時為偶陳列；時為偶陳列；14 ,4 kkn當(dāng)當(dāng) 時為奇陳列時為奇陳列.34 , 24 kkn 1 nt 2 n 32121 nnn1 n 2 n kkkkkk132322212123 解解0 t kkk 21112,2k 當(dāng)當(dāng) 為偶數(shù)時，陳列為偶陳列，為偶數(shù)時，陳列為偶陳列，k當(dāng)當(dāng) 為奇數(shù)時，陳列為奇陳列為奇數(shù)時，陳列為奇陳列.k1 1 2 kkk 112 kkkkk0

18、1 1 2 2 k2 2 陳列具有奇偶性陳列具有奇偶性. .3 計算陳列逆序數(shù)常用的方法有計算陳列逆序數(shù)常用的方法有2 種種.1 1 個不同的元素的一切陳列種數(shù)為個不同的元素的一切陳列種數(shù)為n!.n三、小結(jié)三、小結(jié)分別用兩種方法求陳列分別用兩種方法求陳列16352487的逆序數(shù)的逆序數(shù).思索題解答思索題解答解解用方法用方法1 11 6 3 5 2 4 8 7 用方法用方法2 201012130 t8 由前向后求每個數(shù)的逆序數(shù)由前向后求每個數(shù)的逆序數(shù). 810231100 t一、概念的引入一、概念的引入三階行列式三階行列式333231232221131211aaaaaaaaaD 32211331

19、2312332211aaaaaaaaa 332112322311312213aaaaaaaaa 闡明闡明1三階行列式共有三階行列式共有 項，即項，即 項項6!32每項都是位于不同行不同列的三個元素的每項都是位于不同行不同列的三個元素的乘積乘積3每項的正負(fù)號都取決于位于不同行不同列每項的正負(fù)號都取決于位于不同行不同列 的三個元素的下標(biāo)陳列的三個元素的下標(biāo)陳列例如例如322113aaa列標(biāo)陳列的逆序數(shù)為列標(biāo)陳列的逆序數(shù)為 , 211312 t322311aaa列標(biāo)陳列的逆序數(shù)為列標(biāo)陳列的逆序數(shù)為 , 101132 t偶陳列偶陳列奇陳列奇陳列正號正號 ,負(fù)號負(fù)號 .)1(32132133323123

20、2221131211 ppptaaaaaaaaaaaa二、二、n階行列式的定義階行列式的定義nnnnnnnppptaaaaaaaaaDaaannnn212222111211212.)1(21 記記作作的的代代數(shù)數(shù)和和個個元元素素的的乘乘積積取取自自不不同同行行不不同同列列的的階階行行列列式式等等于于所所有有個個數(shù)數(shù)組組成成的的由由定義定義).det(ija簡記作簡記作的的元元素素稱稱為為行行列列式式數(shù)數(shù))det(ijijaa為這個排列的逆序數(shù)為這個排列的逆序數(shù)的一個排列，的一個排列，為自然數(shù)為自然數(shù)其中其中tnpppn2121 nnnnppppppppptnnnnnnaaaaaaaaaaaaD

21、212121212122221112111 闡明闡明1、行列式是一種特定的算式，它是根據(jù)求解方、行列式是一種特定的算式，它是根據(jù)求解方程個數(shù)和未知量個數(shù)一樣的一次方程組的需求而程個數(shù)和未知量個數(shù)一樣的一次方程組的需求而定義的定義的;2、 階行列式是階行列式是 項的代數(shù)和項的代數(shù)和;n!n3、 階行列式的每項都是位于不同行、不同階行列式的每項都是位于不同行、不同列列 個元素的乘積個元素的乘積;nn4、 一階行列式一階行列式 不要與絕對值記號相混淆不要與絕對值記號相混淆;aa 5、 的符號為的符號為nnpppaaa2121 .1t 例例1 1計算對角行列式計算對角行列式00040030020010

22、00分析分析展開式中項的普通方式是展開式中項的普通方式是43214321ppppaaaa41 p若若, 011 pa從而這個項為零，從而這個項為零，所以所以 只能等于只能等于 , 1p4同理可得同理可得1, 2, 3432 ppp解解0004003002001000 432114321 t.24 即行列式中不為零的項為即行列式中不為零的項為.aaaa41322314例例2 2 計算上三角行列式計算上三角行列式nnnnaaaaaa00022211211分析分析展開式中項的普通方式是展開式中項的普通方式是.2121nnpppaaa,npn , 11 npn, 1, 2, 3123 ppnpn所以不

23、為零的項只需所以不為零的項只需.2211nnaaannnnaaaaaa00022211211 nnntaaa2211121 .2211nnaaa 解解例例3?8000650012404321 D443322118000650012404321aaaaD .1608541 同理可得下三角行列式同理可得下三角行列式nnnnnaaaaaaa32122211100000.2211nnaaa n 21 .12121nnn ;21n n 21例例4 4 證明對角行列式證明對角行列式n 21 11,212111nnnnntaaa .12121nnn 證明證明第一式是顯然的第一式是顯然的,下面證第二式下面證第

24、二式.假設(shè)記假設(shè)記,1, iniia 那么依行列式定義那么依行列式定義11,21nnnaaa 證畢證畢例例5 5設(shè)設(shè)nnnnnnaaaaaaaaaD2122221112111 nnnnnnnnnnabababaabababaaD221122222111112112 證明證明.21DD 證證由行列式定義有由行列式定義有 nnnnppppppppptnnnnnnaaaaaaaaaaaaD2121212121222211121111 nnnnnnnnnnabababaabababaaD221122222111112112 nnnnpppnnppppppppptbaaa 2121212121211由于

25、由于,2121npppn 所以所以 .12211212121DaaaDnnnnpppppppppt nnnnpppnnppppppppptbaaaD 21212121212121 nnnnppppppppptaaa212121211 故故1 、行列式是一種特定的算式，它是根據(jù)求解、行列式是一種特定的算式，它是根據(jù)求解方程個數(shù)和未知量個數(shù)一樣的一次方程組的需方程個數(shù)和未知量個數(shù)一樣的一次方程組的需求而定義的求而定義的.2、 階行列式共有階行列式共有 項，每項都是位于不同項，每項都是位于不同行、不同列行、不同列 的的 個元素的乘積個元素的乘積,正負(fù)號由下標(biāo)陳正負(fù)號由下標(biāo)陳列的逆序數(shù)決議列的逆序數(shù)決

26、議.nn!n三、小結(jié)三、小結(jié)知知 1211123111211xxxxxf .3的的系系數(shù)數(shù)求求 x思索題解答思索題解答解解含含 的項有兩項的項有兩項,即即3x 1211123111211xxxxxf 對應(yīng)于對應(yīng)于 4334221112341aaaat 443322111aaaat ,1344332211xaaaat 343342211123421xaaaat . 13 的系數(shù)為的系數(shù)為故故 x一、對換的定義一、對換的定義定義定義在陳列中，將恣意兩個元素對調(diào)，其他在陳列中，將恣意兩個元素對調(diào)，其他元素不動，這種作出新陳列的手續(xù)叫做元素不動，這種作出新陳列的手續(xù)叫做對換對換將相鄰兩個元素對調(diào)，叫做

27、相鄰對換將相鄰兩個元素對調(diào)，叫做相鄰對換mlbbbaaa11例如例如bamlbbabaa11abnmlccbbbaaa111nmlccabbbaa111baab二、對換與陳列的奇偶性的關(guān)系二、對換與陳列的奇偶性的關(guān)系定理定理1 1一個陳列中的恣意兩個元素對換，陳列一個陳列中的恣意兩個元素對換，陳列改動奇偶性改動奇偶性證明證明設(shè)陳列為設(shè)陳列為mlbbabaa11對換對換 與與abmlbbbaaa11除除 外，其它元素的逆序數(shù)不改動外，其它元素的逆序數(shù)不改動.b,aabba當(dāng)當(dāng) 時，時，ba ab的逆序數(shù)不變的逆序數(shù)不變;經(jīng)對換后經(jīng)對換后 的逆序數(shù)添加的逆序數(shù)添加1 ,經(jīng)對換后經(jīng)對換后 的逆序數(shù)不

28、變的逆序數(shù)不變 ， 的逆序數(shù)減少的逆序數(shù)減少1.ab因此對換相鄰兩個元素，陳列改動奇偶性因此對換相鄰兩個元素，陳列改動奇偶性.設(shè)陳列為設(shè)陳列為nmlcbcbabaa111當(dāng)當(dāng) 時，時，ba 現(xiàn)來對換現(xiàn)來對換 與與a.b次相鄰對換次相鄰對換mnmlccbbabaa111次相鄰對換次相鄰對換1 mnmlccabbbaa111,111nmlcbcbabaa次相鄰對換次相鄰對換12 m,111nmlcacbbbaa所以一個陳列中的恣意兩個元素對換，陳列改動所以一個陳列中的恣意兩個元素對換，陳列改動奇偶性奇偶性.abnmlccbbbaaa111abab推論推論奇陳列調(diào)成規(guī)范陳列的對換次數(shù)為奇數(shù)，奇陳列調(diào)

29、成規(guī)范陳列的對換次數(shù)為奇數(shù)，偶陳列調(diào)成規(guī)范陳列的對換次數(shù)為偶數(shù)偶陳列調(diào)成規(guī)范陳列的對換次數(shù)為偶數(shù). . nppptnaaaD21211 定理定理2 2 階行列式也可定義為階行列式也可定義為n其中其中 為行標(biāo)陳列為行標(biāo)陳列 的逆序數(shù)的逆序數(shù). .tnppp21證明證明 由定理1知對換的次數(shù)就是陳列奇偶性的變化次數(shù), 而規(guī)范陳列是偶陳列而規(guī)范陳列是偶陳列(逆序數(shù)為逆序數(shù)為0),因此因此知推論成立知推論成立.證明證明按行列式定義有按行列式定義有 nnppptaaaD21211 nppptnaaaD211211 記記對于對于D中恣意一項中恣意一項 ,12121nnppptaaa 總有且僅有總有且僅有

30、中的某一項中的某一項1D ,12121nqqqsnaaa 與之對應(yīng)并相等與之對應(yīng)并相等;反之反之, 對于對于 中恣意一項中恣意一項1D ,12121nppptnaaa 也總有且僅有也總有且僅有D中的某一項中的某一項 ,12121nnqqqsaaa 與之對應(yīng)并相等與之對應(yīng)并相等, 于是于是D與與1D中的項可以一一對應(yīng)并相等中的項可以一一對應(yīng)并相等,從而從而.1DD 定理定理3 3 階行列式也可定義為階行列式也可定義為n nnqpqpqptaaaD22111 其中其中 是兩個是兩個 級陳列，級陳列， 為行為行標(biāo)陳列逆序數(shù)與列標(biāo)陳列逆序數(shù)的和標(biāo)陳列逆序數(shù)與列標(biāo)陳列逆序數(shù)的和. .nnqqq,ppp2

31、121nt例例1 1 試判別試判別 和和655642312314aaaaaa662551144332aaaaaa 能否都是六階行列式中的項能否都是六階行列式中的項.解解655642312314aaaaaa下標(biāo)的逆序數(shù)為下標(biāo)的逆序數(shù)為 6102210431265 t所以所以 是六階行列式中的項是六階行列式中的項.655642312314aaaaaa662551144332aaaaaa 下標(biāo)的逆序數(shù)為下標(biāo)的逆序數(shù)為 8452316 t所以所以 不是六階行列式中的項不是六階行列式中的項.662551144332aaaaaa 例例2 2 在六階行列式中，以下兩項各應(yīng)帶什么符號在六階行列式中，以下兩項各

32、應(yīng)帶什么符號. .;)1(651456423123aaaaaa.)2(256651144332aaaaaa解解651456423123)1(aaaaaa431265的逆序數(shù)為的逆序數(shù)為012201 t, 6 所以所以 前邊應(yīng)帶正號前邊應(yīng)帶正號.651456423123aaaaaa,655642312314aaaaaa行標(biāo)陳列行標(biāo)陳列341562的逆序數(shù)為的逆序數(shù)為列標(biāo)陳列列標(biāo)陳列234165的逆序數(shù)為的逆序數(shù)為400301 t所以所以 前邊應(yīng)帶正號前邊應(yīng)帶正號.256651144332aaaaaa256651144332)2(aaaaaa6400200 t例例3 3 用行列式的定義計算用行列式

33、的定義計算nnDn0000000010020001000 !.1221nDnnn 221 nn解解 nnnnntnaaaaD1 , 12,21, 11 nnt 1211 , !1 nt nnnt2121 1232 nn 1. 1. 一個陳列中的恣意兩個元素對換，陳列改一個陳列中的恣意兩個元素對換，陳列改變奇偶性變奇偶性2.2.行列式的三種表示方法行列式的三種表示方法 nppptnaaaD21211 nnppptaaaD21211 nnqpqpqptaaaD22111 三、小結(jié)三、小結(jié)其中其中 是兩個是兩個 級陳列，級陳列， 為行為行標(biāo)陳列逆序數(shù)與列標(biāo)陳列逆序數(shù)的和標(biāo)陳列逆序數(shù)與列標(biāo)陳列逆序數(shù)的

34、和. .nnqqq,ppp2121nt思索題思索題證明證明 在全部在全部 階陳列中階陳列中 , ,奇偶陳列各占奇偶陳列各占一半一半. . n 2 n思索題解答思索題解答證證 設(shè)在全部設(shè)在全部 階陳列中有階陳列中有 個奇陳列個奇陳列, , 個偶個偶陳列陳列, ,現(xiàn)來證現(xiàn)來證 . . nstts 將將 個奇陳列的前兩個數(shù)對換個奇陳列的前兩個數(shù)對換, ,那么這那么這 個奇?zhèn)€奇陳列全變成偶陳列陳列全變成偶陳列, ,并且它們彼此不同并且它們彼此不同, ,所以所以ss. ts 假設(shè)將假設(shè)將 個偶陳列的前兩個數(shù)對換個偶陳列的前兩個數(shù)對換, ,那么這那么這 個偶陳列個偶陳列全變成奇陳列全變成奇陳列, ,并且它

35、們彼此不同并且它們彼此不同, ,于是有于是有tt. st 故必有故必有. ts 一、行列式的性質(zhì)一、行列式的性質(zhì)行列式行列式 稱為行列式稱為行列式 的轉(zhuǎn)置行列式的轉(zhuǎn)置行列式. TDD記記nnaaa2211nnaaa21122121nnaaa D2121nnaaannaaa2112 TDnnaaa2211證明證明 的轉(zhuǎn)置行列式的轉(zhuǎn)置行列式記記ijaDdet ,212222111211nnnnnnTbbbbbbbbbD , 2 , 1,njiabijij 即即按定義按定義 .1121212121 nppptnppptTnnaaabbbD 又由于行列式又由于行列式D可表示為可表示為 .12121 n

36、ppptnaaaD故故.TDD 證畢證畢設(shè)行列式設(shè)行列式,2122221112111nnnnnnbbbbbbbbbD 闡明闡明 行列式中行與列具有同等的位置行列式中行與列具有同等的位置,因此行列因此行列式的性質(zhì)凡是對行成立的對列也同樣成立式的性質(zhì)凡是對行成立的對列也同樣成立.是由行列式是由行列式 變換變換 兩行得到的兩行得到的, ijaDdet ji,于是于是 njinpjpipptbbbbD1111 njinpjpipptaaaa111 ,111nijnpjpipptaaaa ,1為為自自然然排排列列其其中中nji.1的的逆逆序序數(shù)數(shù)為為排排列列njippppt,11tppppnji的的逆逆

37、序序數(shù)數(shù)為為設(shè)設(shè)排排列列那么有那么有即當(dāng)即當(dāng) 時時,jik, ;kpkpab 當(dāng)當(dāng) 時時,jik, ,ipjpjpipabab 例如例如推論推論 假設(shè)行列式有兩行列完全一樣，那假設(shè)行列式有兩行列完全一樣，那么此行列式為零么此行列式為零. .證明證明互換一樣的兩行，有互換一樣的兩行，有 . 0 D,DD ,111tt 故故 .11111DaaaaDnijnpjpippt 證畢證畢,571571 266853.825825 361567567361266853kknnnniniinaaakakakaaaa212111211nnnniniinaaaaaaaaak212111211 性質(zhì)行列式中假設(shè)有

38、兩行列元素成比性質(zhì)行列式中假設(shè)有兩行列元素成比例，那么此行列式為零例，那么此行列式為零證明證明nnnniniiiniinaaakakakaaaaaaa21212111211nnnniniiiniinaaaaaaaaaaaak21212111211 . 0 性質(zhì)性質(zhì)5 5假設(shè)行列式的某一列行的元素都是假設(shè)行列式的某一列行的元素都是兩數(shù)之和兩數(shù)之和. .nnnininnniiniiaaaaaaaaaaaaaaaD)()()(2122222211111211 那么那么D等于以下兩個行列式之和：等于以下兩個行列式之和：nnninnininnninniniaaaaaaaaaaaaaaaaaaD 1222

39、11111122211111例如例如性質(zhì)把行列式的某一列行的各元素乘以性質(zhì)把行列式的某一列行的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一列同一數(shù)然后加到另一列(行行)對應(yīng)的元素上去，行對應(yīng)的元素上去，行列式不變列式不變njnjninjjinjiaaaaaaaaaaaa12222111111njnjnjninjjjinjjijiaakaaaaakaaaaakaaakrr)()()(1222221111111 k例如例如例例2101044614753124025973313211 D二、運用舉例二、運用舉例計算行列式常用方法：利用運算把行列式計算行列式常用方法：利用運算把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式

40、的值化為上三角形行列式，從而算得行列式的值jikrr 3 2101044614753124025973313211 D3 解解2101044614753124022010013211312 rr2101044614753140202010013211 2101044614753124022010013211312 rr 2 3 122rr 4 42rr 2220020100140203512013211 2220035120140202010013211 144rr 133rr 2220001000211003512013211 34rr 2220020100211003512013211 2

41、3rr 2 6000001000211003512013211 612 454rr .12 6400001000211003512013211 352rr 4 例例2 計算計算 階行列式階行列式nabbbbabbbbabbbbaD 解解 abbbnababbnabbabnabbbbna1111 D將第將第 都加到第一列得都加到第一列得n, 3 , 2 abbbabbbabbbbna1111) 1( babababbbbna 1) 1(00 .)() 1(1 nbabna例例3 3nnnnnknkkkkkbbbbccccaaaaD1111111111110 設(shè)設(shè),)det(11111kkkkij

42、aaaaaD ,)det(11112nnnnijbbbbbD .21DDD 證明證明證明證明;0111111kkkkkpppppD 設(shè)設(shè)為為化為下三角形行列式化為下三角形行列式，把，把作運算作運算對對11DkrrDji 化化為為下下三三角角形形行行列列式式把把作作運運算算對對22,DkccDji .0111112nnnknqqpqqD 設(shè)設(shè)為為,01111111111nnnnknkkkkqqqccccpppD 化為下三角形行列式化為下三角形行列式把把算算列作運列作運，再對后，再對后行作運算行作運算的前的前對對DkccnkrrkDjiji, nnkkqqppD1111 故故.21DD (行列式中

43、行與列具有同行列式中行與列具有同等的位置等的位置,行列式的性質(zhì)凡是對行成立的對列也行列式的性質(zhì)凡是對行成立的對列也同樣成立同樣成立). 計算行列式常用方法：計算行列式常用方法：(1)利用定義利用定義;(2)利用利用性質(zhì)把行列式化為上三角形行列式，從而算得行性質(zhì)把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值列式的值三、小結(jié)三、小結(jié)行列式的行列式的6個性質(zhì)個性質(zhì)思索題思索題階行列式階行列式計算計算411111111111122222222ddddccccbbbbaaaaD 1 abcd已已知知思索題解答思索題解答解解111111112222dddcccbbbaaaD 111111111111222

44、2dddcccbbbaaa dddcccbbbaaaabcd1111111111112222 dddcccbbbaaa111111111111122223 . 0 ,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa例如例如 3223332211aaaaa 3321312312aaaaa 3122322113aaaaa 333123211333312321123332232211aaaaaaaaaaaaaaa 一、余子式與代數(shù)余子式一、余子式與代數(shù)余子式在在 階行列式中，把元素階行

45、列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列劃去后，留下來的列劃去后，留下來的 階行列式叫做元素階行列式叫做元素 的余子式，記作的余子式，記作nijaij1 nija.Mij ，記記ijjiijMA 1叫做元素叫做元素 的代數(shù)余子式的代數(shù)余子式ija例如例如44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD 44424134323114121123aaaaaaaaaM 2332231MA .23M ,44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD ,44434134333124232112

46、aaaaaaaaaM 1221121MA .12M ,33323123222113121144aaaaaaaaaM .144444444MMA .個個代代數(shù)數(shù)余余子子式式對對應(yīng)應(yīng)著著一一個個余余子子式式和和一一行行列列式式的的每每個個元元素素分分別別引理引理 一個一個 階行列式，假設(shè)其中第階行列式，假設(shè)其中第 行一切行一切元素除元素除 外都為零，那末這行列式等于外都為零，那末這行列式等于 與它的與它的代數(shù)余子式的乘積，即代數(shù)余子式的乘積，即 ijijAaD niijaija44434241332423222114131211000aaaaaaaaaaaaaD .1444241242221141

47、2113333aaaaaaaaaa 例如例如證證當(dāng)當(dāng) 位于第一行第一列時位于第一行第一列時,ijannnnnaaaaaaaD21222211100 即有即有.1111MaD 又又 1111111MA ,11M 從而從而.1111AaD 再證普通情形再證普通情形, 此時此時nnnjnijnjaaaaaaaD1111100 ,1,2,1行行對對調(diào)調(diào)第第行行第第行行行行依依次次與與第第的的第第把把 iiiD得得 nnnjnnijiiijiaaaaaaaD1, 1, 11 , 11001 ijaija,1,2,1對對調(diào)調(diào)列列第第列列第第列列列列依依次次與與第第的的第第再再把把 jjjD得得 nnjnn

48、jnijijiijjiaaaaaaaD1, 11, 1, 1110011 ija nnjnnjnijijiijjiaaaaaaa1, 11, 1, 12001 nnjnnjnijijiijjiaaaaaaa1, 11, 1, 1001 ijaijannnjnijnjaaaaaaaD1111100 中的余子式中的余子式.ijM在在余余子子式式仍仍然然是是中中的的在在行行列列式式元元素素ijnnjnnjnijijiijijaaaaaaaaa1,11,1,100 ijaija故得故得 nnjnnjnijijiijjiaaaaaaaD1, 11, 1, 1001 .1ijijjiMa 于是有于是有nn

49、jnnjnijijiijaaaaaaa1, 11, 1, 100 ,ijijMa ijaija定理定理 行列式等于它的任一行列的各元行列式等于它的任一行列的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即ininiiiiAaAaAaD 2211 ni, 2 , 1 證證nnnniniinaaaaaaaaaD212111211000000 二、行列式按行列展開法那么二、行列式按行列展開法那么nnnninaaaaaaa2111121100 nnnninaaaaaaa2121121100 nnnninnaaaaaaa211121100 ininiiiiAaAaAa 2211

50、ni, 2 , 1 例例13351110243152113 D03550100131111115 312 cc 34cc 0551111115)1(33 055026115 5526)1(31 5028 .40 12rr 證證用數(shù)學(xué)歸納法用數(shù)學(xué)歸納法21211xxD 12xx , )(12 jijixx）式式成成立立時時（當(dāng)當(dāng)12 n例例2證明范德蒙德證明范德蒙德(Vandermonde)行列式行列式 1112112222121).(111jinjinnnnnnnxxxxxxxxxxxD)1(，階范德蒙德行列式成立階范德蒙德行列式成立）對于）對于假設(shè)（假設(shè)（11 n)()()(0)()()(0

51、011111213231222113312211312xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxDnnnnnnnnn 就就有有提提出出，因因子子列列展展開開，并并把把每每列列的的公公按按第第)(11xxi )()()(211312jjininnxxxxxxxxD ).(1jjinixx 223223211312111)()( nnnnnnxxxxxxxxxxxx n-1階范德蒙德行列式階范德蒙德行列式推論推論 行列式任一行列的元素與另一行列行列式任一行列的元素與另一行列的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即. ji,AaAaAajninjiji

52、02211,11111111nnnjnjininjnjnjjaaaaaaaaAaAa 證證行行展展開開，有有按按第第把把行行列列式式j(luò)aDij)det( ,11111111nnniniininjninjiaaaaaaaaAaAa 可可得得換換成成把把), 1(nkaaikjk 行行第第 j行行第第 i,時時當(dāng)當(dāng)ji ).(,02211jiAaAaAajninjiji 同理同理).(, 02211jiAaAaAanjnijiji 一樣一樣關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì)關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì) ;,0,1jijiDDAaijnkkjki當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng) ;,0,1jijiDDAaijnkjkik當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng) .,0

53、,1jijiij當(dāng)當(dāng)，當(dāng)當(dāng)其其中中例例 計算行列式計算行列式277010353 D解解27013 D.27 按第一行展開，得按第一行展開，得27005 77103 0532004140013202527102135 D例例 計算行列式計算行列式解解0532004140013202527102135 D23110 072066 6627210 .1080124220 2312 5414235 53204140132021352152 13rr 122 rr 1. 行列式按行列展開法那么是把高階行行列式按行列展開法那么是把高階行列式的計算化為低階行列式計算的重要工具列式的計算化為低階行列式計算的重

54、要工具. ;,0,. 21jijiDDAaijnkkjki當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng) ;,0,1jijiDDAaijnkjkik當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng) .,0,1jijiij當(dāng)當(dāng)，當(dāng)當(dāng)其其中中三、小結(jié)三、小結(jié)思索題思索題階行列式階行列式設(shè)設(shè)nnnDn00103010021321 求第一行各元素的代數(shù)余子式之和求第一行各元素的代數(shù)余子式之和.11211nAAA 思索題解答思索題解答解解第一行各元素的代數(shù)余子式之和可以表示成第一行各元素的代數(shù)余子式之和可以表示成nAAA11211 n001030100211111 .11!2 njjn nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa2211222221211121

55、2111設(shè)線性方程組設(shè)線性方程組,21不不全全為為零零若若常常數(shù)數(shù)項項nbbb那么稱此方程組為非那么稱此方程組為非 齊次線性方程組齊次線性方程組;,21全全為為零零若若常常數(shù)數(shù)項項nbbb此時稱方程組為齊次線性方程組此時稱方程組為齊次線性方程組.非齊次與齊次線性方程組的概念非齊次與齊次線性方程組的概念一、克拉默法那么一、克拉默法那么假設(shè)線性方程組假設(shè)線性方程組)1(22112222212111212111 nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa的系數(shù)行列式不等于零，即的系數(shù)行列式不等于零，即nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211 0 .DDx,DDx,DDx,DDxnn 232211其中其中 是把系數(shù)行列式是把系數(shù)行列式 中第中第 列的元素用方程列的元素用方程組右端的常數(shù)項替代后所得到的組右端的常數(shù)項替代后所得到的 階行列式，即階行列式，即jDDjnnnj ,nnj ,nnnj ,j ,jaabaaaabaaD11111111111 那么線性方程組那么線性方程組 有解，并且解是獨一的，解有解，并且解是獨一的，解可以表為可以表為 1證明證明 njnnjnnnnnjjnnjjnnAbAxaxaxaAbAxaxaxaAbAxaxaxa221122222221211111212111 得得個個方方程程的的依依次次乘乘方方程程組組列列元元素素的的