量子力學(xué)課后習(xí)題

第一章緒論0K3電子伏，求其德布洛意波長(zhǎng)。氦原子的動(dòng)能是E

3kT（k為玻耳茲曼常數(shù)，求=1K時(shí)，氦原2子的德布洛意波長(zhǎng)。利用玻爾-索末菲的量子化條件，求一維諧振子的能量；在均勻磁場(chǎng)中作圓周運(yùn)動(dòng)的電子軌道的可能半徑。量相等，問要實(shí)現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化，光子的波長(zhǎng)最大是多少？第二章波函數(shù)和薛定諤方程證明在定態(tài)中，幾率密度和幾率流密度與時(shí)間無關(guān)。1由下列兩定態(tài)波函數(shù)計(jì)算幾率流密度:1（1）1

1eikr（r 1

reikr求粒子在一維無限深勢(shì)阱

V(x)

, 0xa

中運(yùn)動(dòng)的能級(jí)和波函數(shù)。

, x0xa1a證明（2.6-14）式中的歸一化常數(shù)是1a求一維線性諧振子處于第一激發(fā)態(tài)時(shí)幾率最大的位置。試求算符

d的本征函數(shù)。dx如果把坐標(biāo)原點(diǎn)取在一維無限深勢(shì)阱的中心，求阱中粒子的波函0,xaa數(shù)和能級(jí)的表達(dá)式。U(x) 2a,x 2第三章量子力學(xué)中的力學(xué)量一維線性諧振子處于基態(tài) 0勢(shì)能的平均值；動(dòng)能的平均值；r動(dòng)量的幾率分布函數(shù)。r

ie x e x 2 2

求:a0氫原子處于基態(tài)r,,a0（1）r的平均值；

1 e

，求：勢(shì)能e2r

的平均值；最可幾半徑；動(dòng)能的平均值；動(dòng)量的幾率分布函數(shù)。I，它的能量的經(jīng)典表示式是H

L2，L為2I角動(dòng)量。求與此對(duì)應(yīng)的量子體系在下列情況下的定態(tài)能量及波函數(shù)：轉(zhuǎn)子繞一固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)；轉(zhuǎn)子繞一固定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)。一維運(yùn)動(dòng)的粒子的狀態(tài)是(x)Axex x0x0 其中0，求粒子動(dòng)量的幾率分布函數(shù)；粒子的平均動(dòng)量。a Ax(ax)態(tài)由波函數(shù) 描寫，A為歸一化常數(shù)，求粒子能量的率分布和能量的平均值。設(shè)氫原子處于狀態(tài)(r,,)1R (r)Y

,)

(r)Y

,)32 21 103

2

11z出現(xiàn)的幾率和這些力學(xué)量的平均值。7已知?和?是二個(gè)厄密算符，試證明：???也是厄密算符?i(????)也是厄密算符8.令

x

y

和

，試證明x yz（1）[?,?]=?（）[?,?]=zz 第四章態(tài)和力學(xué)量的表象xx

的矩陣元和2的矩陣元。x求一維無限深勢(shì)阱中粒子的坐標(biāo)和動(dòng)量在能量表象中的矩陣元。求在動(dòng)量表象中線性諧振子的能量本征函數(shù)。求線性諧振子哈密頓量在動(dòng)量表象中的矩陣元。設(shè)已知在?2和?表象中，算符?和?和矩陣分別為z x y0 1 0 0 i 0

1 0 1

i 0 i22 22 x y0 1 0 1

0 i 0和對(duì)角化。x y設(shè)厄米算符?，?滿足?2?21，????0求在?表象中，算符?和?的矩陣表示。第五章微擾理論r0球，計(jì)算這種效應(yīng)對(duì)類氫原子基態(tài)能量的一級(jí)修正。E02，現(xiàn)在受到微擾?的作用，微擾矩陣元為??a，??bb都是實(shí)數(shù)。12 21 11 22用微擾公式求其能量至二級(jí)修正。有一粒子，其Hamilton量的矩陣形式為：??0?，其中2 0 0H 0 2 0

0H

0 0 0

10 0 0

0 0求能級(jí)的一級(jí)近似和波函數(shù)的0級(jí)近似。在某一選定的一組正交基下哈米頓算符由下列矩陣給出1 c 0 Hc 3 0 0 0 c cH本征值到二級(jí)近似；H的精確本征值；5.求線性諧振子偶極躍遷的選擇定則。1.求證：x y z

i。在z

本征態(tài)1

1下，求 ?(S)2((S)2(S)2x y 2 在?z表象中，求?x和?y的本征值和所屬的本征函數(shù)。求自旋角動(dòng)量在cos,cos,cos方向的投影coscoscosn x y z的本征值和所屬的本征函數(shù)。設(shè)氫原子狀態(tài)是 12323

R (r)Y21

,)

Y10

(,)z分量Lz分量S的平均值；z z求總磁矩?e

e

（SI）2 z分量的平均值（用玻爾磁子表示。色數(shù)怎樣用單粒子波函數(shù)構(gòu)成？7.證明(12)