走進(jìn)重高培優(yōu)講義專題集訓(xùn)-初中綜合教練-第30講-方案設(shè)計(jì)型問題

第30講方案設(shè)計(jì)型問題1．方案設(shè)計(jì)型問題，是指根據(jù)問題所提供的信息，運(yùn)用學(xué)過的技能和方法，進(jìn)行設(shè)計(jì)和操作，然后通過分析、計(jì)算、證明等，確定最佳方案的一類數(shù)學(xué)問題．2．隨著新課程改革的不斷深入，一些新穎、靈活、密切聯(lián)系實(shí)際的方案設(shè)計(jì)問題正越來越受到中考命題人員的喜愛，這些問題主要考查學(xué)生的動(dòng)手操作能力和創(chuàng)新能力，這也是新課程所要求的核心內(nèi)容之一，方案設(shè)計(jì)型問題涉及生產(chǎn)、生活的方方面面，如：測量、購物、生產(chǎn)配料、汽車調(diào)配、圖形拼接等，所用到的數(shù)學(xué)知識(shí)有方程、不等式、函數(shù)、解直角三角形、概率和統(tǒng)計(jì)等，這類問題的應(yīng)用性非常突出，題目一般較長，做題之前要認(rèn)真讀題，理解題意，選擇和構(gòu)造合適的數(shù)學(xué)模型，通過數(shù)學(xué)求解，最終解決問題．解答此類問題必須具備扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)和靈活運(yùn)用知識(shí)的能力，另外，解題時(shí)還要注重綜合運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、方程函數(shù)思想及分類討論思想等各種數(shù)學(xué)思想．例1【湘潭】湘潭市繼2017年成功創(chuàng)建全國文明城市之后，又準(zhǔn)備爭創(chuàng)全國衛(wèi)生城市．某小區(qū)積極響應(yīng)，決定在小區(qū)內(nèi)安裝垃圾分類的溫馨提示牌和垃圾箱，若購買2個(gè)溫馨提示牌和3個(gè)垃圾箱共需550元，且垃圾箱的單價(jià)是溫馨提示牌單價(jià)的3倍．(1)溫馨提示牌和垃圾箱的單價(jià)各是多少元？(2)該小區(qū)至少需要安放48個(gè)垃圾箱，如果購買溫馨提示牌和垃圾箱共100個(gè)，且費(fèi)用不超過10000元，請(qǐng)你列舉出所有購買方案，并指出哪種方案所需資金最少，最少是多少元．【方法歸納】本題主要考查一元一次不等式組，一元一次方程以及一次函數(shù)的應(yīng)用，解題時(shí)需要正確找出相等關(guān)系，建立不等式組或方程、函數(shù)模型，通過解方程或不等式組完善是解題的關(guān)鍵．【誤區(qū)提醒】一元一次不等式組一般有關(guān)于一個(gè)未知數(shù)的幾個(gè)不等式，要根據(jù)題意找齊其中的不等關(guān)系，注意一元不等式組中各個(gè)不等式的未知數(shù)需要統(tǒng)一．例2一天，某校數(shù)學(xué)課外活動(dòng)小組的同學(xué)們，帶著皮尺去測量某河道因挖沙形成的“圓錐形坑”的深度，來評(píng)估這些深坑對(duì)河道的影響，如圖1是同學(xué)們選擇（確保測量過程中無安全隱患）的測量對(duì)象，測量方案如下：①先測出沙坑坑沿圓周的周長約為34.54m．②甲同學(xué)直立于沙坑坑沿圓周所在平面上，經(jīng)過適當(dāng)調(diào)整自己所處的位置，當(dāng)他位于點(diǎn)B時(shí)，他的視線恰好經(jīng)過沙坑坑沿圓周上的一點(diǎn)A看到坑底S（甲同學(xué)的視線起點(diǎn)C與點(diǎn)A，S三點(diǎn)共線）．經(jīng)測量：根據(jù)以上測量數(shù)據(jù)，求“圓錐形坑”的深度（圓錐的高）．(丌取3.14，結(jié)果精確到0.1m)圖1【方法歸納】本題考查相似三角形在實(shí)際生活中的運(yùn)用，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造相似三角形是解答本題的關(guān)鍵，另外的解題思路有：①不易直接求解，可以考慮用方程求解；②不同的方案，所用的數(shù)學(xué)原理不同，所選用的測量工具、測量數(shù)據(jù)也不同．【誤區(qū)提醒】這類問題主要包括物體高度的測量和地面寬度的測量，所用到的數(shù)學(xué)知識(shí)主要有相似、全等、三角形中位線、投影、解直角三角形等．例3如圖1是兩個(gè)全等的含30。角的直角三角形，圖1(1)將其相等邊拼在一起，組成一個(gè)沒有重疊部分的平面圖形，請(qǐng)你畫出所有不同的拼接平面圖形的示意圖．(2)若將(1)中的平面圖形分別印制在質(zhì)地、形狀、大小完全相同的卡片上，洗勻后從中隨機(jī)抽取一張，求抽取的卡片上平面圖形為軸對(duì)稱圖形的概率，圖2(2)由題意得軸對(duì)稱圖形有②③⑤⑥，故抽取的卡片上平面圖形為軸對(duì)稱圖形的概率為【方法歸納】本題考查圖形的剪拼以及概率公式等知識(shí)，熟知軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．【誤區(qū)提醒】本題的重要思想方法是分類討論，根據(jù)條件正確畫出圖形，再根據(jù)圖形確定答題方案，例4數(shù)學(xué)活動(dòng)：拼圖中的數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師提出如下問題：用5個(gè)邊長為1的小正方形組合一個(gè)圖形（相互之間不能重疊），然后將組合后的圖形剪拼成—個(gè)大的正方形.合作交流：“實(shí)踐”小組：我們組合成的圖形如圖1，剪拼成大的正形的過程如圖2、圖3．“興趣”小組：我們組合成的圖形如圖4，但我們未能將其剪拼成大的正方形，任務(wù)：請(qǐng)你幫助“興趣”小組的同學(xué)，在圖4中畫出剪拼線，在圖5中畫出剪拼后的正方形．要求：剪拼線用虛線表示，剪拼后的大正方形用實(shí)線表示，圖1圖2圖3圖4圖5圖6應(yīng)用遷移：如圖6，請(qǐng)你將該圖進(jìn)行分割，使得分割后的各部分恰好能拼成一個(gè)正方形，請(qǐng)你在圖6中畫出拼圖示意圖（拼圖的各部分不能互相重疊，不能留有空隙，不要求進(jìn)行說理或證明.【方法歸納】本題考查圖形的剪拼、正方形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是確定大正方形的邊長，屬于中考?？碱}型．【誤區(qū)提醒】圖形的剪拼是建立在面積不變的基礎(chǔ)上的，所以面積法是解題的關(guān)鍵，要注意拼圖之后的圖形與原圖形在形狀與數(shù)量關(guān)系上的區(qū)別與聯(lián)系，例某公司銷售一種新型節(jié)能產(chǎn)品，現(xiàn)準(zhǔn)備從國內(nèi)和國外兩種銷售方案中選擇一種進(jìn)行銷售，若只在國內(nèi)銷售，銷售價(jià)格y(元／件)與月銷量x(件)的函數(shù)表達(dá)式為成本為20元／件，無論銷售多少，每月還需支出廣告費(fèi)62500元，設(shè)月利潤為（元）（利潤=銷售額一成本一廣告費(fèi)）．若只在國外銷售，銷售價(jià)格為150元／件，受各種不確定因素影響，成本為a元／件（a為常數(shù)，)，當(dāng)月銷量為x（件）時(shí)，每月還需繳納元的附加費(fèi)，設(shè)月利潤為（元）（利潤=銷售額一成本一附加費(fèi)）．(1)當(dāng)時(shí)，y=_________元／件，_________元．(2)分別求出與x之間的函數(shù)表達(dá)式（不必寫出x的取值范圍）．(3)當(dāng)x為何值時(shí)，在國內(nèi)銷售的月利潤最大？若在國外銷售月利潤的最大值與在國內(nèi)銷售月利潤的最大值相同，求a的值．(4)如果某月要將5000件產(chǎn)品全部銷售完，請(qǐng)你通過分析幫公司決策，選擇在國內(nèi)還是在國外銷售才能使所獲月利潤較大？[參考公式：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是【方法歸納】本題涉及求二次函數(shù)表達(dá)式、二次函數(shù)的性質(zhì)、不等式的應(yīng)用等知識(shí)，文字量較大，但總體難度不大．本題數(shù)據(jù)較大，認(rèn)真計(jì)算是關(guān)鍵，由淺入深設(shè)置問題，體現(xiàn)了上手容易、深入難的壓軸題的特點(diǎn)，1．如圖，將一塊正方形紙片沿對(duì)角線折疊一次，然后在得到的三角形的三個(gè)角上各挖去一個(gè)圓洞，最后將正方形紙片展開，得到的圖案是()．A．B．C．D．2．【齊齊哈爾】某抗戰(zhàn)紀(jì)念館館長找到大學(xué)生團(tuán)干部小張，聯(lián)系青年志愿者在周日參與活動(dòng)，活動(dòng)累計(jì)56小時(shí)的工作時(shí)間，需要每名男生工作5小時(shí)，每名女生工作4小時(shí)，小張可以安排學(xué)生參加活動(dòng)的方案共有()．A．1種B．2種C．3種D．4種3．如圖，有一張一個(gè)角為最小邊長為2的直角三角形紙片，沿圖中的中位線剪開后，將兩部分拼成一個(gè)四邊形，所得四邊形的周長是()．4．把24個(gè)邊長為1的小正方體木塊拼成一個(gè)長方體（要全部用完），則不同的拼法（不考慮放置的位置，形狀和大小一樣的拼法即為相同的拼法）的種數(shù)是()．5．某商店將巧克力包裝成方形、圓形禮盒出售，且每盒方形禮盒的價(jià)錢相同，每盒圓形禮盒的價(jià)錢相同．阿郁原先想購買3盒方形禮盒和7盒圓形禮盒，但他身上的錢會(huì)不足240元，如果改成購買7盒方形禮盒和3盒圓形禮盒，他身上的錢會(huì)剩下240元，若阿郁最后購買10盒方形禮盒，則他身上的錢會(huì)剩下()．A.360元B．480元C．600元D．720元6．鐵路部門規(guī)定旅客免費(fèi)攜帶行李箱的長、寬、高之和不得超過160cm，某廠家生產(chǎn)符合該規(guī)定的行李箱，已知行李箱的高為30cm，長與寬的比為3:2，則該行李箱的長的最大值為__________cm7．為解決停車難的問題，在一段長56m的路段開辟停車位，每個(gè)車位是長5m、寬2.2m的矩形，矩形的邊與路的邊緣成角（如圖），那么這個(gè)路段最多可以劃出____________個(gè)這樣的停車位．8．小紅家粉刷房間，雇用了5個(gè)工人，干了10天完成，用了某種涂料150升，費(fèi)用為4800元，粉刷面積是最后結(jié)算時(shí)，有以下幾種方案：方案一：按工計(jì)算，每個(gè)工30元（1個(gè)人干一天是1個(gè)工）．方案二：按涂料費(fèi)用算，涂料費(fèi)用的30%作為工錢．方案三：按粉刷面積算，每平方米付工錢12元，請(qǐng)你幫小紅家出主意，選擇方案__________付錢最合算，應(yīng)付工錢___________元．9．在數(shù)學(xué)實(shí)踐課上，老師給同學(xué)們布置了如下任務(wù)：為美化校園環(huán)境，計(jì)劃在學(xué)校內(nèi)某處空地，用的草皮鋪設(shè)一塊等腰三角形綠地，使等腰三角形綠地的一邊長為10m，請(qǐng)你給出設(shè)計(jì)方案．同學(xué)們開始思考，交流，一致認(rèn)為應(yīng)先通過畫圖、計(jì)算，求出等腰三角形綠地的另兩邊的長．請(qǐng)你也通過畫圖、計(jì)算，求出這個(gè)等腰三角形綠地的另兩邊的長分別為____________．10.某游樂園的門票價(jià)格如下表：某旅行社準(zhǔn)備了1300元，全部用來購買指定日普通票和平日優(yōu)惠票，且每種至少買一張．(1)有多少種購票方案？列舉所有可能結(jié)果．(2)如果從上述方案中任意選中一種方案購票，求恰好選到11張門票的概率，11.八(1)班同學(xué)上數(shù)學(xué)活動(dòng)課，利用角尺平分一個(gè)角（如圖），設(shè)計(jì)了如下方案：(I)∠AOB是一個(gè)任意角，將角尺的直角頂點(diǎn)P介于射線OA，OB之間，移動(dòng)角尺使角尺兩邊相同的刻度與點(diǎn)M，N重合，即PM=PN，過角尺頂點(diǎn)P的射線OP就是∠AOB的平分線．(Ⅱ)∠AOB是一個(gè)任意角，在邊OA，OB上分別取OM=ON，將角尺的直角頂點(diǎn)P介于射線OA，OB之間，移動(dòng)角尺使角尺兩邊相同的刻度與點(diǎn)M，N重合，即PM=PN，過角尺頂點(diǎn)P的射線OP就是∠AOB的平分線．(1)方案(I)、方案(Ⅱ)是否可行？若可行，請(qǐng)證明；若不可行，請(qǐng)說明理由．(2)在方案（I）PM=PN的情況下，繼續(xù)移動(dòng)角尺，同時(shí)使PM⊥OA，PN⊥OB.此方案是否可行？請(qǐng)說明理由．12.小紅將筆記本電腦水平放置在桌子上，顯示屏OB與底板OA所在水平線的夾角為感覺最舒適（如圖1），側(cè)面示意圖為圖2．使用時(shí)為了散熱，她在底板下墊入散熱架后，電腦轉(zhuǎn)到位置（如圖3），側(cè)面示意圖為圖4．已知于點(diǎn)圖1圖2圖3圖4(1)求的度數(shù)．(2)顯示屏的頂部比原來升高了多少？(3)如圖4，墊入散熱架后，要使顯示屏與水平線的夾角仍保持則顯示屏應(yīng)繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)多少度？13.某社區(qū)活動(dòng)中心為鼓勵(lì)居民加強(qiáng)體育鍛煉，準(zhǔn)備購買10副某種品牌的羽毛球拍，每副球拍配z(z≥2)個(gè)羽毛球，供社區(qū)居民免費(fèi)借用．該社區(qū)附近A，B兩家超市都有這種品牌的羽毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的標(biāo)價(jià)均為30元，每個(gè)羽毛球的標(biāo)價(jià)為3元，目前兩家超市同時(shí)在做促銷活動(dòng)：A超市：所有商品均打九折（按標(biāo)價(jià)的90%）銷售．B超市：買一副羽毛球拍送2個(gè)羽毛球，設(shè)在A超市購買羽毛球拍和羽毛球的費(fèi)用為（元），在B超市購買羽毛球拍和羽毛球的費(fèi)用為（元）．請(qǐng)解答下列問題：(1)分別寫出與x之間的表達(dá)式．(2)若該活動(dòng)中心只在一家超市購買，你認(rèn)為在哪家超市購買更劃算？(3)若每副球拍配15個(gè)羽毛球，請(qǐng)你幫助該活動(dòng)中心設(shè)計(jì)出最省錢的購買方案．1．【黑龍江】某企業(yè)決定投資不超過20萬元建造A，B兩種類型的溫室大棚，經(jīng)測算，投資A種類型的大棚6萬元／個(gè)、B種類型的大棚7萬元／個(gè)，那么建造方案有()．A2種B．3種C．4種D．5種2．【河北】如圖是甲、乙兩張不同的矩形紙片，將它們分別沿著虛線剪開后，各自要拼一個(gè)與原來面積相等的正方形，則()．A．甲、乙都可以B．甲、乙都不可以C．甲不可以、乙可以D．甲可以、乙不可以3．【海南】如圖1，分別沿矩形紙片ABCD和正方形紙片EFGH的對(duì)角線AC，EG剪開，拼成如圖2的DKLMN.若中間空白部分的四邊形OPQR恰好是正方形，且DKLMN的面積為50，則正方形EFGH的面積為()．圖1圖24．【黑龍江】小明媽媽到文具店購買三種學(xué)習(xí)用品，其單價(jià)分別為2元、4元、6元，購買這些學(xué)習(xí)用品需要56元，經(jīng)過協(xié)商最后以每種單價(jià)均下調(diào)0.5元成交，結(jié)果只用了50元就買下了這些學(xué)習(xí)用品，則小明媽媽有()種不同的購買方法．5．【德陽】如果關(guān)于x的不等式組的整數(shù)解僅有那么適合這個(gè)不等式組的整數(shù)a，b組成的有序數(shù)對(duì)（a，b）共有()．A.3個(gè)B．4個(gè)C．5個(gè)D．6個(gè)6．【齊齊哈爾】如圖，在等腰三角形紙片ABC中，AB=AC-10，BC-12，沿底邊BC上的高AD剪成兩個(gè)三角形，用這兩個(gè)三角形拼成平行四邊形，則這個(gè)平行四邊形較長的對(duì)角線的長是________．（第6題）（第7題）7．【東營】一數(shù)學(xué)興趣小組來到某公園，準(zhǔn)備測量一座塔的高度．如圖，在A處測得塔頂?shù)难鼋菫樵贐處測得塔頂?shù)难鼋菫橛譁y量出A，B兩點(diǎn)間的距離為s(m)，則塔高為________m8．【貴陽】如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=2，AD=3，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將△AEF沿EF所在的直線翻折，得到則長的最小值是________。（第8題）（第9題）9．【萊蕪】如圖，若△ABC內(nèi)一點(diǎn)P滿足則稱點(diǎn)P為△ABC的布羅卡爾點(diǎn)．三角形的布羅卡爾點(diǎn)是法國數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家克雷爾首次發(fā)現(xiàn)的，后來被數(shù)學(xué)愛好者法國軍官布羅卡爾重新發(fā)現(xiàn)，并用他的名字命名，布羅卡爾點(diǎn)的再次發(fā)現(xiàn)，引發(fā)了研究“三角形幾何”的熱潮．已知在△ABC中，P為△ABC的布羅卡爾點(diǎn)，若則_________.10.【葫蘆島】如圖，點(diǎn)A(O，8)，點(diǎn)B(4，O)，連接AB，點(diǎn)M，N分別是OA，AB的中點(diǎn)，在射線MN上有一動(dòng)點(diǎn)P，若△ABP是直角三角形，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是________．11.【阜新】有一個(gè)運(yùn)輸隊(duì)承包了一家公司運(yùn)送貨物的業(yè)務(wù)，第一次運(yùn)送18t，派了1輛大卡車和5輛小卡車；第二次運(yùn)送38t，派了2輛大卡車和11輛小卡車，并且兩次派的車都剛好裝滿．(1)兩種車型的載重量各是多少？(2)若大卡車運(yùn)送一次的費(fèi)用為200元，小卡車運(yùn)送一次的費(fèi)用為60元，在第一次運(yùn)送過程中怎樣安排大小車輛，才能使費(fèi)用最少？（直接寫出派車方案）12.【荊門lA城有某種農(nóng)機(jī)30臺(tái)，B城有該農(nóng)機(jī)40臺(tái)，現(xiàn)要將這些農(nóng)機(jī)全部運(yùn)往C，D兩鄉(xiāng)，調(diào)運(yùn)任務(wù)承包給某運(yùn)輸公司，已知C鄉(xiāng)需要農(nóng)機(jī)34臺(tái)，D鄉(xiāng)需要農(nóng)機(jī)36臺(tái)，從A城往C，D兩鄉(xiāng)運(yùn)送農(nóng)機(jī)的費(fèi)用分別為250元／臺(tái)和200元／臺(tái)，從B城往C，D兩鄉(xiāng)運(yùn)送農(nóng)機(jī)的費(fèi)用分別為150元／臺(tái)和240元／臺(tái)．(1)設(shè)A城運(yùn)往C鄉(xiāng)該農(nóng)機(jī)z臺(tái)，運(yùn)送全部農(nóng)機(jī)的總費(fèi)用為W元，求W關(guān)于z的函數(shù)表達(dá)式，并寫出自變量z的取值范圍．(2)現(xiàn)該運(yùn)輸公司要求運(yùn)送全部農(nóng)機(jī)的總費(fèi)用不低于16460元，則有多少種不同的調(diào)運(yùn)方案？將這些方案設(shè)計(jì)出來．(3)現(xiàn)該運(yùn)輸公司決定對(duì)A城運(yùn)往C鄉(xiāng)的農(nóng)機(jī)，從運(yùn)輸費(fèi)中每臺(tái)減免a元(a≤200)作為優(yōu)惠，其他費(fèi)用不變，如何調(diào)運(yùn)，才能使總費(fèi)用最少？13.【牡丹江】某書店現(xiàn)有資金7700元，計(jì)劃全部用于購進(jìn)甲、乙、丙三種圖書共20套，其中甲種圖書每套500元，乙種圖書每套400元，丙種圖書每套250元．書店將甲、乙、丙三種圖書的售價(jià)分別定為每套550元，430元，310元，設(shè)書店購進(jìn)甲種圖書x套，乙種圖書y套，請(qǐng)解答下列問題：(1)請(qǐng)求出y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式（不需要寫出自變量的取值范圍）．(2)若書店購進(jìn)甲、乙兩種圖書均不少于1套，則該書店有幾種進(jìn)貨方案？(3)在(1)和(2)的條件下，根據(jù)市場調(diào)查，書店決定將三種圖書的售價(jià)作如下調(diào)整：甲種圖書的售價(jià)不變，乙種圖書的售價(jià)上調(diào)a(a為正整數(shù))元，丙種圖書的售價(jià)下調(diào)口元，這樣三種圖書全部售出后，所獲得的利潤比(2)中某方案的利潤多出20元，請(qǐng)直接寫出書店是按哪種方案進(jìn)的貨及a的值．14.【咸寧】定義：我們知道，四邊形的一條對(duì)角線把這個(gè)四邊形分成了兩個(gè)三角形，如果這兩個(gè)三角形相似（不全等），我們就把這條對(duì)角線叫做這個(gè)四邊形的“相似對(duì)角線”，理解：圖1圖2圖3(1)如圖1，已知Rt△ABC在正方形網(wǎng)格中，請(qǐng)你只用無刻度的直尺在網(wǎng)格中找到一點(diǎn)D，使四邊形ABCD是以AC為“相似對(duì)角線”的四邊形（保留畫圖痕跡，找出3個(gè)即可）．(2)如圖2，在四邊形ABCD中，對(duì)角線BD平分∠ABC.求證：BD是四邊形ABCD的“相似對(duì)角線”．(3)如圖3，已知FH是四邊形EFGH的“相似對(duì)角線”，連接EG，若△EFG的面積為求FH的長．1．【海南】鐵板甲的形狀為直角梯形，兩底邊長分別為4cm，10cm，且有一內(nèi)角為鐵板乙的形狀為等腰三角形，其頂角為腰長為12cm．在不改變形狀的前提下，試圖分別把它們從一個(gè)直徑為8.5cm的圓洞中穿過，結(jié)果是()