2020-2021高中數(shù)學第一冊學案：第3章 3.4數(shù)學建?；顒樱簺Q定蘋果的最佳出售時間點含解析

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精2020-2021學年高中數(shù)學新教材人教B版必修第一冊學案：第3章3.4數(shù)學建?；顒樱簺Q定蘋果的最佳出售時間點含解析3。4數(shù)學建?；顒樱簺Q定蘋果的最佳出售時間點學習目標核心素養(yǎng)1。理解幾種常見函數(shù)模型的概念及性質．(難點)2．會分析具體的實際問題，建模解決實際問題．(重點、難點）1。通過幾種函數(shù)模型的學習，培養(yǎng)數(shù)學抽象的素養(yǎng)．2．理解幾種函數(shù)模型的應用，培養(yǎng)數(shù)學建模的素養(yǎng)．牛頓(1642～1727）是英國著名的物理學家、數(shù)學家和天文學家，是17世紀最偉大的科學巨匠．然而，對于一些在自然科學上一知半解的人來說，牛頓的赫赫有名與其說來自于他的科學發(fā)現(xiàn)，毋寧說是來自于那個婦孺皆知的蘋果落地的傳說．那是1666年夏末的一個傍晚，在英格蘭林肯郡烏爾斯索普，一個腋下夾著一本書的年輕人走進了他母親家的花園,坐在一棵樹下，開始埋頭讀他的書．正在他翻動書頁時，他頭頂上的樹枝被風吹得晃動了起來．突然，“啪"的一聲，一只歷史上最著名的蘋果落了下來，恰好打在了這位青年的頭上．這位青年不是別人，正是牛頓．據(jù)說,牛頓當時正在苦苦思索著一個問題:是什么力量使月球保持在環(huán)繞地球運行的軌道上,又是什么力量使行星保持在其環(huán)繞太陽運行的軌道上？掉下來的蘋果打斷了他的思索，“為什么這只蘋果會墜落到地上呢?”牛頓轉而考慮起這個使他感到困惑不解的問題．有人說正是從這一問題的思考中，他找到了答案，并提出了萬有引力定律．問題(1)你認為牛頓是從“蘋果從樹上落下”這一問題的思考中很簡單的提出的萬有引力嗎？(2)你能想象一下牛頓發(fā)現(xiàn)萬有引力的過程嗎？1．對現(xiàn)實問題進行數(shù)學抽象，用數(shù)學語言表達問題、用數(shù)學方法構建模型解決問題就是數(shù)學建模．2．數(shù)學建模過程主要包括：在實際情境中從數(shù)學的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，分析問題、建立模型，確定參數(shù)、計算求解,驗證結果、改進模型，最終解決實際問題．1．一輛汽車在某段路程中的行駛路程s關于時間t變化的圖像如圖所示,那么圖像所對應的函數(shù)模型是(）A．分段函數(shù) B．一次函數(shù)C．二次函數(shù) D．反函數(shù)A［根據(jù)圖像知，在不同的時間段內(nèi),行駛路程關于時間變化的圖像不同，故對應函數(shù)模型應為分段函數(shù)．］2．在x克a％的鹽水中，加入y克b%的鹽水，濃度變?yōu)閏％，則x與y的函數(shù)關系式為（)A．y＝eq\f（c－a，c－b)·x B．y＝eq\f（c－a，b－c)·xC．y＝eq\f(a－c，b－c）·x D．y＝eq\f(b－c,c－a）·xB[據(jù)題意有eq\f（a％x＋b%y,x＋y)＝c%，所以eq\f（ax＋by，x＋y)＝c，即ax＋by＝cx＋cy，所以（b－c）y＝（c－a）x，所以y＝eq\f(c－a，b－c）·x。]3．某車主每次加油都把油箱加滿，下表記錄了該車相鄰兩次加油的情況：加油時間加油量（升)加油時的累計里程（公里)2019年123200020194832600(注：“累計里程”是汽車出廠后行駛的總路程）則16日－21日這段時間內(nèi)汽車每百公里的平均油耗為()A．6升 B．C．10升 D．B[由表格信息,得到該車加了48升的汽油，跑了600千米，所以該車每100千米平均耗油量為48÷6＝8（升)，故選B。]4．某家具的標價為132元，若降價以九折出售（即優(yōu)惠10%）,仍可獲利10%（相對進貨價），則該家具的進貨價是________元．108[設進貨價為a元，由題意知132×(1－10％）－a＝10%·a,解得a＝108。］建模過程描述與介紹(1）發(fā)現(xiàn)問題當市面上的蘋果比較多時,蘋果的價格就會降低．這時，如果將蘋果利用一定的技術手段進行保鮮存儲，等到市面上的蘋果變少、價格上升之后再出售，則同樣多的蘋果就可以獲得比較高的銷售收入．不過，需要注意的是，保鮮存儲是有成本的，而且成本會隨著時間的延長而增大．(2)提出問題針對上述這種日常生活中的現(xiàn)象,我們可以探討的問題很多．例如，為什么會發(fā)生這些現(xiàn)象？什么情況下不會發(fā)生這樣的現(xiàn)象?能夠利用哪些技術手段進行保鮮存儲？哪種保鮮存儲的成本最低？等等．（3)用數(shù)學觀點對問題分析①類似的這些問題,因為不僅僅涉及量的關系，所以如果只用數(shù)學手段研究，將是十分困難的．②上述現(xiàn)象中，涉及了量的增大與減少的問題,這可以用數(shù)學符號和語言進行描述．（4）用數(shù)學知識描述問題，建立模型①定性描述,確立初步模型設市面上蘋果的量為x萬噸,蘋果的單價為y元．上述現(xiàn)象說明，y會隨著x的增大而減少，且y也會隨著x的減少而增大-—也就是說，如果y是x的函數(shù)并記作y＝f（x）的話，f（x)是減函數(shù)．同樣地，如果設保鮮存儲的時間為t天,單位數(shù)量的保鮮存儲成本為C元，且C是t的函數(shù)并記作C＝g(t)的話，g(t）是一個增函數(shù)．由于市面上的蘋果的量x會隨著時間t的變化而變化，因此可以認為x是t的函數(shù)，并記作x＝h(t)。從上面這些描述不難看出，在第t天出售蘋果時，單位數(shù)量的蘋果所獲得的收益z元可以用t表示出來，即z＝y(tǒng)－C＝f（x）－g（t)＝f（h（t））－g(t）。此時，如果f（x）,g（t）,h（t)都是已知的,則能得到z與t的具體關系式．有了關系式之后，就能解決如下問題：z是否有最大值？如果z有最大值，那么t為多少時z取最大值？②合理假設，確立模型怎樣才能確定上述f（x），g（t)，h（t)呢?這可以通過合理假設來完成．例如，為了簡單起見，我們可以假設f(x)和g（t)都是一次函數(shù)，且f（x）＝k1x＋l1，g(t)＝k2t＋l2；并假設h(t)是一個二次函數(shù)，且h（t）＝at2＋bt＋c.則有z＝f(h（t）)－g(t)＝k1at2＋(k1b－k2）t＋k1c＋l1－l2，其中k1＜0，k2＞0，a≠③收集數(shù)據(jù)確定參數(shù)上述各參數(shù)可以通過收集實際數(shù)據(jù)來確定．例如,如果我們收集到了如下實際數(shù)據(jù)．x/萬噸8.47.6y/元0.81。2t/天12C/天0.110.12t/天123x/萬噸9。4629。3289。198利用待定系數(shù)法,根據(jù)前面的假設就可以確定出y＝f（x）＝－0。5x＋5，C＝g(t）＝0.01t＋0.1，x＝h(t）＝0.002t2－0.14t＋9.6,因此z＝－0.001t2＋0.06t＋0。1.④問題解決與總結注意到上式可以改寫成z＝－0.001(t－30）2＋1，所以此時在t＝30時，z取最大值1.也就是說,在上述情況下，保鮮存儲30天時，單位商品所獲得的利潤最大，為1元．以上我們用敘述的方式，讓大家經(jīng)歷了一個簡單的數(shù)學建模全過程．在實際的數(shù)學建模過程中，為了向別人介紹數(shù)學建模的成果，給別人提供參考，我們還需要將建模結果整理成論文的形式．一般來說，數(shù)學建模論文的結構可以按照建模過程來確定．數(shù)學建?！⒑瘮?shù)模型解決實際問題【例】某家庭進行理財投資,根據(jù)長期收益率市場預測，投資債券等穩(wěn)健型產(chǎn)品的收益與投資額成正比，投資股票等風險型產(chǎn)品的收益與投資額的算術平方根成正比．已知投資1萬元時兩類產(chǎn)品的收益分別為0。125萬元和0.5萬元．（1)分別寫出兩類產(chǎn)品的收益與投資額的函數(shù)關系；(2）該家庭有20萬元資金，全部用于理財投資，問：怎么分配資金能使投資獲得最大收益，其最大收益是多少萬元？[解]（1)設兩類產(chǎn)品的收益與投資的函數(shù)分別為f（x）＝k1x，g(x)＝k2eq\r(x）.由已知得f(1）＝eq\f（1,8）＝k1，g（1)＝eq\f(1，2）＝k2,所以f(x）＝eq\f(1，8)x(x≥0),g（x）＝eq\f（1,2)eq\r(x)（x≥0).（2)設投資債券類產(chǎn)品為x萬元,則投資股票類產(chǎn)品為（20－x）萬元，依題意得y＝f（x）＋g(20－x）＝eq\f(1,8)x＋eq\f(1,2)eq\r（20－x)（0≤x≤20)。令t＝eq\r(20－x）（0≤t≤2eq\r（5)），則y＝eq\f（20－t2，8)＋eq\f(1，2）t＝－eq\f(1，8）(t－2）2＋3，所以當t＝2，即x＝16時，收益最大,即投資債券16萬元，投資股票4萬元時獲得最大收益，最大收益為3萬元．解決此類問題過程:如下圖所示．eq\a\vs4\al（[跟進訓練］)某商場經(jīng)營一批進價是每件30元的商品，在市場銷售中發(fā)現(xiàn),此商品的銷售單價x（元）與日銷售量y件之間有如下關系(見下表）:銷售單價x(元）…30404550…日銷售量y(件）…6030150…(1)在所給的坐標系中，根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)描出實數(shù)對（x，y)對應的點，并確定y與x的一個函數(shù)關系式y(tǒng)＝f（x)；(2)設經(jīng)營此商品的日銷售利潤為P元，根據(jù)上述關系式寫出P關于x的函數(shù)關系式，并指出銷售單價x為多少元時，才能獲得最大日銷售利潤？[解](1）根據(jù)題干中所給表作圖，如圖,點(30，60)、(40，30)、(45，15）、（50,0）在同一條直線上，設此直線為y＝kx＋b,∴eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1（50k＋b＝0，，45k＋b＝15，））解得eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（k＝－3，，b＝150.))∴y＝－3x＋150（30≤x≤50).經(jīng)檢驗，點(30，60)、（40，30）也在此直線上，故所求函數(shù)關系式為y＝－3x＋150(30≤x≤50)。（2)依題意有P＝y(tǒng)(x－30)＝(－3x＋150）（x－30）＝－3（x－40)2＋300，∴當x＝40時，P有最大值300。故銷售單價為40元時，才能獲得最大日銷售利潤。1．已知A、B兩地相距150千米，某人開汽車以60千米/時的速度從A地到達B地，在B地停留1小時后再以50千米/時的速度返回A地,把汽車離開A地的距離x表示為時間t(時）的函數(shù)表達式是（）A．x＝60t＋50t（0≤t≤6。5）B．x＝eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（60t（0≤t≤2。5），150（2.5＜t≤3。5），150－50t（3。5＜t≤6。5））)C．x＝eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1(60t(0≤t≤2。5），150－50t（t＞3.5）））D．x＝eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（60t(0≤t≤2。5)，150（2.5＜t≤3.5），150－50（t－3.5)（3.5＜t≤6.5）））D[根據(jù)題意，函數(shù)為分段函數(shù)，求出每一段上的解析式即可．]2．甲、乙兩人連續(xù)6年對某縣農(nóng)村甲魚養(yǎng)殖業(yè)的規(guī)模（產(chǎn)量)進行調(diào)查，提供了兩個方面的信息，如圖．甲調(diào)查表明:每個甲魚池平均產(chǎn)量從第1年1萬只甲魚上升到第6年2萬只．乙調(diào)查表明：甲魚池個數(shù)由第1年30個減少到第6年10個．請你根據(jù)提供的信息說明:（1）第2年甲魚池的個數(shù)及全縣出產(chǎn)甲魚總數(shù);（2）第6年這個縣的甲魚養(yǎng)殖業(yè)的規(guī)模比第1年是擴大了還是縮小了？說明理由；（3)第幾年的養(yǎng)殖規(guī)模最大？最大養(yǎng)殖量是多少？［解](1)由題圖可知，直線y甲＝kx＋b經(jīng)過（1，1)和（6，2）,可求得k＝0。2，b＝0。8.∴y甲＝0.2（x＋4）.同理可得y乙＝4eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(－x＋\f(17,2））)。當x＝2時，y甲＝1。2，y乙＝26，故第2年甲魚池的個數(shù)為26個，全縣出產(chǎn)甲魚的總數(shù)為26×1.2＝31.2（萬只）.（2)規(guī)?？s小了．原因是:第一年出產(chǎn)甲魚總數(shù)30萬只，而第6年出產(chǎn)甲魚總