2020-2021高中數(shù)學(xué)人教版第二冊(cè)學(xué)案：6.4.3 第2課時(shí)正弦定理含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精新教材2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教A版必修第二冊(cè)學(xué)案：6.4.3第2課時(shí)正弦定理含解析第2課時(shí)正弦定理［目標(biāo)］1。了解正弦定理的推導(dǎo)過(guò)程,掌握正弦定理及其基本應(yīng)用；2。能用正弦定理解三角形，并能判斷三角形的形狀。3.能利用正、余弦定理解決綜合問(wèn)題．[重點(diǎn)]應(yīng)用正弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化，解決三角形問(wèn)題．[難點(diǎn)］正弦定理的理解及推導(dǎo)及能利用正、余弦定理解決綜合問(wèn)題．要點(diǎn)整合夯基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)一正弦定理[填一填][答一答］1．在正弦定理中,三角形的各邊與其所對(duì)角的正弦的比值等于多少？與該三角形外接圓的直徑有什么關(guān)系？提示:這個(gè)比值恰好等于該三角形外接圓的直徑2R,即eq\f（a，sinA)＝eq\f(b，sinB）＝eq\f(c,sinC)＝2R,其中R是該三角形外接圓的半徑．2．在△ABC中，a＝4b，則eq\f（sinA,sinB)＝4.解析：由正弦定理eq\f(a，sinA）＝eq\f（b，sinB),得eq\f(sinA，sinB)＝eq\f（a,b)＝eq\f（4b,b)＝4.知識(shí)點(diǎn)二正弦定理的變形公式［填一填]①a＝eq\f（bsinA,sinB）＝eq\f(csinA，sinC）,b＝eq\f（csinB,sinC)＝eq\f（asinB，sinA），c＝eq\f（asinC,sinA）＝eq\f（bsinC,sinB)；②a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；③sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R），sinC＝eq\f(c，2R）；④abc＝sinAsinBsinC.其中，R為△ABC外接圓的半徑．這些常見(jiàn)的公式的變形形式應(yīng)熟練掌握，在解決具體問(wèn)題時(shí)，根據(jù)不同的題設(shè)條件靈活選用不同的變形公式．[答一答]3．正弦定理的變形公式的作用是什么？正弦定理的適用范圍是什么？提示：由正弦定理的變形公式可以實(shí)現(xiàn)三角形中邊與角之間的相互轉(zhuǎn)化，正弦定理對(duì)任意的三角形都成立．4．在△ABC中，A〉B與sinA>sinB的關(guān)系怎樣?提示：在△ABC中，若A>B，則a〉b.由正弦定理得2RsinA>2RsinB,即sinA〉sinB.若sinA〉sinB，則2RsinA>2RsinB(R是△ABC的外接圓半徑)．由正弦定理得a>b.綜上所述,在△ABC中，A〉B與sinA>sinB等價(jià)．知識(shí)點(diǎn)三利用正弦定理判斷三角形的解的個(gè)數(shù)[填一填］已知三角形的兩角和任意一邊,求另兩邊和另一角，此時(shí)有唯一解，三角形被唯一確定．已知兩邊和其中一邊的對(duì)角,求其他的邊和角，此時(shí)可能出現(xiàn)一解、兩解或無(wú)解的情況,三角形不能被唯一確定．具體做法如下：由正弦定理得sinB＝eq\f（bsinA，a)，①若eq\f(bsinA,a)〉1，則滿足條件的三角形個(gè)數(shù)為0，即無(wú)解．②若eq\f（bsinA,a)＝1,則滿足條件的三角形個(gè)數(shù)為1,即一解．③若eq\f（bsinA,a）<1，則滿足條件的三角形個(gè)數(shù)為1或2.[答一答]5．利用正弦定理能解什么條件下的三角形？提示：正弦定理的等式中有四個(gè)量,所以知其中三個(gè)，可求第四個(gè)．因此,知兩角及一邊可解三角形;知兩邊及一邊的對(duì)角也可解三角形．6．在△ABC中，已知b＝3,c＝3eq\r（3)，B＝30°,判斷三角形解的個(gè)數(shù)．提示:由正弦定理和已知條件，得sinC＝eq\f（csinB,b）＝eq\f(\r（3）,2），∴C＝60°或C＝120°均符合題意．∵①若C＝60°，則A＝90°，于是a＝eq\r（b2＋c2)＝6.②若C＝120°，則A＝30°，于是a＝b＝3?！郈＝60°,A＝90°，a＝6或C＝120°，A＝30°，a＝3。∴三角形有兩個(gè)解。典例講練破題型類(lèi)型一已知兩角和任意一邊解三角形[例1]在△ABC中,已知B＝30°，C＝105°,b＝4，解三角形．[分析］由三角形的內(nèi)角和定理可求A的度數(shù)．根據(jù)正弦定理可求a，c。［解]因?yàn)锽＝30°，C＝105°，所以A＝180°－（B＋C）＝180°－(30°＋105°)＝45°。由正弦定理，得eq\f(a，sin45°)＝eq\f(4，sin30°）＝eq\f(c，sin105°)，解得a＝eq\f(4sin45°，sin30°）＝4eq\r（2),c＝eq\f(4sin105°，sin30°）＝2（eq\r(6)＋eq\r（2））．已知兩角及一邊解三角形的解題方法1.若所給邊是已知角的對(duì)邊,可先由正弦定理求另一邊,再由三角形的內(nèi)角和定理求出第三個(gè)角，最后由正弦定理求第三邊.2.若所給邊不是已知角的對(duì)邊，則先由三角形內(nèi)角和定理求第三個(gè)角,再由正弦定理求另外兩邊.［變式訓(xùn)練1]△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a，b，c，若cosA＝eq\f(4,5），cosC＝eq\f(5,13），a＝1，則b＝eq\f(21，13)。解析：在△ABC中,由cosA＝eq\f（4,5）,cosC＝eq\f(5，13），可得sinA＝eq\f(3，5），sinC＝eq\f（12，13)，sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝eq\f(63,65），又a＝1，由正弦定理得b＝eq\f（asinB，sinA）＝eq\f(21,13）.類(lèi)型二已知兩邊及一邊的對(duì)角解三角形［例2]下列三角形是否有解？有解的作出解答．（1)a＝7,b＝8，A＝105°；(2)b＝10，c＝5eq\r(6)，C＝60°；(3)a＝2eq\r(3),b＝6，A＝30°.［分析]利用三角形中大邊對(duì)大角定理以及結(jié)合有解無(wú)解的圖形來(lái)考慮．［解]（1）a＝7，b＝8，a〈b，A＝105°〉90°,本題無(wú)解．(2)b＝10，c＝5eq\r(6)，b〈c,C＝60°〈90°，本題有一解．∵sinB＝eq\f(bsinC，c)＝eq\f(10·sin60°,5\r（6))＝eq\f（\r(2）,2)，∴B＝45°，A＝180°－（B＋C）＝75°.∴a＝eq\f（bsinA，sinB）＝eq\f(10×sin75°,sin45°)＝eq\f(10×\f(\r（6)＋\r(2），4），\f(\r（2）,2)）＝5（eq\r（3）＋1）．(3)a＝2eq\r（3)，b＝6,a<b,A＝30°〈90°，又∵bsinA＝6sin30°＝3，∴a〉bsinA，∴本題有兩解．由正弦定理得：sinB＝eq\f(bsinA,a)＝eq\f（6sin30°,2\r（3)）＝eq\f（\r(3），2)，∴B＝60°或120°,當(dāng)B＝60°時(shí)，C＝90°,c＝eq\f（asinC,sinA）＝eq\f（2\r(3)sin90°，sin30°)＝4eq\r(3）；當(dāng)B＝120°時(shí)，C＝30°，c＝eq\f（asinC,sinA）＝eq\f（2\r（3）sin30°，sin30°)＝2eq\r(3).∴B＝60°，C＝90°，c＝4eq\r(3)或B＝120°，C＝30°，c＝2eq\r（3）。本例屬于已知兩邊及其中一邊的對(duì)角求解三角形的類(lèi)型．此類(lèi)問(wèn)題解的情況如下:［變式訓(xùn)練2](1)在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°,則cosB等于(D）A．－eq\f（2\r（2),3）B.eq\f（2\r(2)，3）C．－eq\f(\r(6)，3）D。eq\f（\r（6)，3)(2)在△ABC中，若C＝2B，則eq\f(c，b）的取值范圍為(1，2)．解析：(1)由正弦定理，得eq\f（15，sin60°）＝eq\f（10，sinB），∴sinB＝eq\f（10sin60°，15）＝eq\f（10×\f（\r（3），2),15)＝eq\f（\r(3）,3）。∵a〉b，∴A〉B，又∵A＝60°，∴B為銳角，∴cosB＝eq\r(1－sin2B）＝eq\r(1－\f（\r(3），3）2)＝eq\f(\r(6），3）。(2）因?yàn)锳＋B＋C＝180°,C＝2B，所以A＝180°－3B〉0，所以0〈B<60°,所以eq\f(1，2）〈cosB〈1,因?yàn)閑q\f（c，b）＝eq\f（sinC，sinB）＝eq\f(sin2B，sinB）＝2cosB,所以1〈2cosB<2，故1<eq\f（c,b）〈2.類(lèi)型三利用正弦定理判斷三角形的形狀[例3］在△ABC中，a，b,c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且(a2＋b2）sin（A－B）＝(a2－b2)sin（A＋B），試判斷△ABC的形狀．［分析］注意到a,b在條件式中是齊次的，因此可以考慮利用正弦定理將邊化為角,通過(guò)角的特征或者關(guān)系來(lái)判斷三角形的形狀．［解]因?yàn)?a2＋b2）sin（A－B）＝(a2－b2）sin（A＋B)，所以b2[sin(A＋B）＋sin（A－B）］＝a2[sin(A＋B)－sin(A－B)]，所以2sinAcosB·b2＝2cosAsinB·a2，即a2cosAsinB＝b2sinAcosB。由正弦定理知a＝2RsinA,b＝2RsinB，所以sin2AcosAsinB＝sin2BsinAcosB，又sinA·sinB≠0，所以sinAcosA＝sinBcosB，所以sin2A＝sin2B在△ABC中,0<2A〈2π，0<2B〈2π所以2A＝2B或2A＝π－2所以A＝B或A＋B＝eq\f（π，2)。所以△ABC為等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形．1。判斷三角形的形狀,可以從三邊的關(guān)系入手，也可以從三個(gè)內(nèi)角的關(guān)系入手，從條件出發(fā)，利用正弦定理進(jìn)行代換、轉(zhuǎn)化，呈現(xiàn)出邊與邊的關(guān)系或求出角與角的關(guān)系或大小，從而作出準(zhǔn)確判斷。2.判斷三角形的形狀，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、鈍角三角形或銳角三角形，要特別注意“等腰直角三角形”與“等腰三角形或直角三角形”的區(qū)別。[變式訓(xùn)練3]在△ABC中,lg(sinA＋sinC)＝2lgsinB－lg（sinC－sinA），判斷△ABC的形狀．解：由題意得(sinA＋sinC)(sinC－sinA)＝sin2B，即－sin2A＋sin2C＝sin2B。由正弦定理得－a2＋c2＝b即a2＋b2＝c2，所以△ABC是直角三角形．類(lèi)型四正弦定理和余弦定理的綜合應(yīng)用命題角度1:利用正、余弦定理解三角形［例4］在△ABC中，角A,B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，設(shè)a，b，c滿足條件b2＋c2－bc＝a2和eq\f（c,b)＝eq\f（1，2)＋eq\r（3），求角A和tanB的值．［分析］求角A的關(guān)鍵是利用余弦定理的推論：cosA＝eq\f(b2＋c2－a2，2bc）。利用正弦定理將已知條件邊化角，即eq\f（c，b)＝eq\f（sinC,sinB)＝eq\f(1,2)＋eq\r(3),再結(jié)合A＋B＋C＝180°，解三角方程可求tanB。［解］由余弦定理，得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2，2bc)＝eq\f（1,2)，∵0°〈A〈180°，∴A＝60°。在△ABC中，C＝180°－A－B＝120°－B。由已知條件和正弦定理，得eq\f(1,2）＋eq\r（3）＝eq\f（c,b)＝eq\f(sinC,sinB)＝eq\f(sin120°－B，sinB）＝eq\f（sin120°cosB－cos120°sinB,sinB)＝eq\f(\r（3)，2)×eq\f（1，tanB）＋eq\f（1,2)，解得tanB＝eq\f(1，2）。在解三角形時(shí),常常將正、余弦定理結(jié)合在一起使用，要注意恰當(dāng)選取定理,簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程，提高解題速度。同時(shí)，要注意與平面幾何中的有關(guān)性質(zhì)、定理結(jié)合起來(lái)，挖掘題目中的隱含條件.解題時(shí)要綜合、靈活地運(yùn)用這兩個(gè)定理，認(rèn)真分析已知條件，結(jié)合三角形的有關(guān)性質(zhì)如大角對(duì)大邊，大邊對(duì)大角,三角形內(nèi)角和定理等，并注意數(shù)形結(jié)合，防止出現(xiàn)漏解或增解的情況。［變式訓(xùn)練4]已知a，b，c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B,C的對(duì)邊，eq\f(cosB，cosA)＋eq\f（b,a)＝eq\f(2c，a）。（1）求角A的大?。?2)若a＝2，△ABC的面積為eq\r（3)，求邊b，c.解：(1）由eq\f(cosB,cosA)＋eq\f(b，a）＝eq\f（2c,a)及正弦定理得eq\f（cosB,cosA）＋eq\f(sinB，sinA）＝eq\f(2sinC,sinA)，整理得,sinAcosB＋cosAsinB＝2sinCcosA，即sin（A＋B）＝2sinCcosA。因?yàn)閟in(A＋B）＝sin(π－C）＝sinC,且sinC≠0.所以，cosA＝eq\f（1，2）。又0〈A<π，所以A＝eq\f(π，3）。（2）因?yàn)椤鰽BC的面積S＝eq\f（1，2）bcsinA＝eq\f(1,2)bcsineq\f（π，3)＝eq\r(3),所以bc＝4.①由余弦定理得,a2＝b2＋c2－2bccosA，22＝b2＋c2－2bccoseq\f(π,3)，所以b2＋c2＝8,②聯(lián)立①②，解得b＝c＝2.命題角度2：利用正、余弦定理判斷三角形形狀［例5]在△ABC中，若(a－ccosB）sinB＝（b－ccosA)·sinA，判斷△ABC的形狀．[分析］［解]解法一:∵（a－ccosB)sinB＝(b－ccosA）sinA,∴由正、余弦定理,得eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(a－c·\f(a2＋c2－b2，2ac））)·b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－c·\f(b2＋c2－a2，2bc）））·a，整理,得（a2＋b2－c2）b2＝(a2＋b2－c2)a2，即(a2－b2）（a2＋b2－c2）＝0，∴a2＋b2－c2＝0或a2＝b2.∴a2＋b2＝c2或a＝b.故△ABC為直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形．解法二：根據(jù)正弦定理，原等式可化為（sinA－sinCcosB）sinB＝（sinB－sinCcosA)sinA，即sinCcosBsinB＝sinCcosAsinA.∵sinC≠0，∴sinBcosB＝sinAcosA?！鄐in2B＝sin2A∴2B＝2A或2B＋2A＝π,即A＝B或A＋B＝eq\f(π,2）.∴△ABC是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形．依據(jù)已知條件中的邊角關(guān)系判斷三角形形狀時(shí)，主要有如下兩種方法：1.利用正、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為邊邊關(guān)系，通過(guò)因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系,從而判斷三角形的形狀。2。利用正、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為內(nèi)角的三角函數(shù)間關(guān)系，通過(guò)三角函數(shù)恒等變形,得出內(nèi)角的關(guān)系,從而判斷出三角形的形狀，此時(shí)要注意應(yīng)用A＋B＋C＝π這個(gè)結(jié)論。［變式訓(xùn)練5］在△ABC中，a,b，c分別為內(nèi)角A，B,C的對(duì)邊，且2asinA＝（2b－c)sinB＋(2c－b)sinC（1）求角A的大小；（2）若sinB＋sinC＝eq\r（3），試判斷△ABC的形狀．解：（1)∵2asinA＝（2b－c）sinB＋(2c－b）sinC∴2a2＝(2b－c）b＋(2c－b）c，即bc＝b2＋c2－a∴cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(1,2）?！?°〈A<180°，∴A＝60°.（2)∵A＋B＋C＝180°，∴B＋C＝180°－60°＝120°，由sinB＋sinC＝eq\r（3)，得sinB＋sin（120°－B)＝eq\r(3），∴sinB＋sin120°cosB－cos120°sinB＝eq\r（3)，∴eq\f(3,2）sinB＋eq\f（\r(3），2)cosB＝eq\r(3）,即sin(B＋30°）＝1。又∵0°〈B<120°?！?0°<B＋30°<150°，∴B＋30°＝90°,即B＝60°,∴A＝B＝C＝60°，∴△ABC為正三角形.課堂達(dá)標(biāo)練經(jīng)典1．在△ABC中，若A＝60°，B＝45°,BC＝3eq\r（2)，則AC＝(B)A．4eq\r（3) B．2eq\r（3)C。eq\r(3) D.eq\f(\r（3)，2）解析：由正弦定理得eq\f(BC，sinA)＝eq\f(AC,sinB），即eq\f（3\r(2)，sin60°）＝eq\f(AC，sin45°），解得AC＝2eq\r(3）。2．在△ABC中，若ABC＝237,則ab等于(C)A．12 B．23C．1eq\r(2） D．1eq\r（3)解析:由ABC＝237及A＋B＋C＝180°，得A＝30°，B＝45°.由正弦定理，得ab＝sinAsinB＝eq\f（1,2）eq\f(\r（2）,2）＝1eq\r(2）.3．在銳角三角形ABC中，角A，B所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b.若2asinB＝eq\r（3)b，則角A等于eq\f(π，3)。解析：由正弦定理得，2sinAsinB＝eq\r（3）sinB，sinA＝eq\f（\r（3），2),因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形，所以A＝eq\f（π,3)。4．三角形ABC的三內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別是a，b，c.若（a＋b)（sinB－sinA）＝(eq\r（3）a＋c）sinC，則角B的大小為eq\f(5π,6）。解析：由正弦定理得,(a＋b)(b－a)＝（eq\r（3)a＋c）c,即b2－a2＝eq\r(3)ac＋c2，a2＋c2－b2＝－eq\r（3）ac，cosB＝eq\f（a2＋c2－b2，2ac）＝－eq\f（\r（3)，2）。又B∈(0，π)，所以B＝eq\f（5π,6).5．在△ABC中，求證：eq\f（a2－b2,c2)＝eq\f（sinA－B,sinC)。證明:因?yàn)橛疫叄絜q\f（sinAcosB－cosAsinB,sinC）＝eq\f(sinA,sinC)×cosB－eq\f（sinB,sinC)×cosA＝eq\f（a，c）×eq\f（a2＋c2－b2，2ac)－eq\f(b，c）×eq\f（b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f（a2＋c2－b2,2c2)－eq\f(b2＋c2－a2,2c2)＝eq\f(a2－b2，c2)＝左邊．所以eq\f（a2－b2，c2）＝eq\f（sinA－B，sinC）。—-本課須掌握的兩大問(wèn)題1．對(duì)正弦定理的理解（1)結(jié)構(gòu)形式正弦定理的關(guān)系式是分子為邊長(zhǎng)，分母為該邊所對(duì)角的正弦的分式連等式，實(shí)際上是三個(gè)邊角關(guān)系式：eq\f(a,sinA）＝eq\f(b，sinB）,eq\f（a,sinA)＝eq\f（c，sinC)，eq\f（b,sinB）＝eq\f(c，sinC)。(2)定理本質(zhì)正弦定理指出了任意三角形中三條邊與它們所對(duì)角的正弦之間的一個(gè)關(guān)系式．由正弦函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性可知，正弦定理非常好地描述了任意三角形中邊與角的一種數(shù)量關(guān)系．(3）主要功能:實(shí)現(xiàn)三角形中邊角關(guān)系的轉(zhuǎn)化．2．三角形解的個(gè)數(shù)的確定當(dāng)三角形的兩角和任一邊確定時(shí)，三角形唯一確定；當(dāng)三角形中已知兩邊和其中一邊的對(duì)角時(shí)，三角形不能唯一確定,可能出現(xiàn)一解、兩解或無(wú)解的情況．判斷三角形解的個(gè)數(shù)可由“三角形中大邊對(duì)大角”來(lái)判定．設(shè)A為銳角，若a≥b，則A≥B,從而B(niǎo)為銳角,有一解；若a〈b，則A〈B，由正弦定理得sinB＝eq\f(bsinA,a)：①sinB>1，無(wú)解；②sinB＝1，一解；③sinB<1，兩解．由于正弦定理、余弦定理闡述了三角形的邊角之間的關(guān)系，因此對(duì)于三角形中的綜合問(wèn)題可以運(yùn)用正弦定理、余弦定理以及三角函數(shù)公式的知識(shí)解決．有時(shí)題目還會(huì)涉及向量等其他章節(jié)的知識(shí)，要全面掌握才可以解題．學(xué)科素養(yǎng)培優(yōu)精品微課堂三角形解的個(gè)數(shù)的判斷開(kāi)講啦對(duì)已知兩邊和其中一邊的對(duì)角的三角形解的情況要熟練掌握，當(dāng)其中一邊不確定時(shí)需要分類(lèi)討論．［典例