關(guān)于一類矩陣秩的恒等式猜想的注記高等代數(shù)畢業(yè)論文

編號(hào)莆田學(xué)院畢業(yè)論文課題名稱：關(guān)于一類矩陣秩的恒等式猜想的注記 系別數(shù)學(xué)系學(xué)生姓名學(xué)號(hào)專業(yè)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)年級(jí)03級(jí)指導(dǎo)教師2007年6月目錄摘要 IIAbstract III原創(chuàng)性聲明（學(xué)生） IV原創(chuàng)性聲明（指導(dǎo)老師） V0 引言 10.1記號(hào)說(shuō)明 10.2研究現(xiàn)狀 11預(yù)備知識(shí) 22主要定理及證明 23猜想1與猜想2的解決 84猜想的應(yīng)用 9參考文獻(xiàn) 12致謝 13

關(guān)于一類矩陣秩的恒等式猜想的注記摘要采用分塊矩陣，初等變換以及數(shù)學(xué)歸納法，證明了文獻(xiàn)[1]中提出的猜想并對(duì)這個(gè)猜想進(jìn)行推廣。探討Sylvester不等式的等號(hào)成立問題，從而得到矩陣秩的和與矩陣乘積的秩兩者之間的關(guān)系?！娟P(guān)鍵詞】分塊矩陣初等變換矩陣秩

TheRemarktoTheSpeculationofAClassofMatrixRankIdentitiesAbstractByusingtheblockmatrix,theelementarytransformationaswellasthemathematicalinduction,wehadproventhespeculationintheliterature[1]andgeneralizedtheit.WediscussedthequestionthatmadetheSylvesterinequalitybeequal,thusobtainedtherela-tionshipbetweenthesumoftherankofmatrixandtherankoftheproductofmatrix.【KeyWords】Blockmatrix;Elementarytransformation;Matrixrank莆田學(xué)院學(xué)士學(xué)位畢業(yè)論文原創(chuàng)性聲明本人鄭重聲明：所呈交的學(xué)位論文，是本人在導(dǎo)師的指導(dǎo)下，獨(dú)立進(jìn)行研究工作所取得的成果。除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外，本論文不含任何其他個(gè)人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的作品成果。對(duì)本文的研究做出重要貢獻(xiàn)的個(gè)人和集體，均已在文中以明確方式標(biāo)明。本人完全意識(shí)到本聲明的法律結(jié)果由本人承擔(dān)。學(xué)位畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）作者簽名：日期：年月日

莆田學(xué)院學(xué)士學(xué)位畢業(yè)論文原創(chuàng)性聲明本人鄭重聲明：所呈交的學(xué)位論文，是在本人的指導(dǎo)下，獨(dú)立進(jìn)行研究工作所取得的成果。除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外，本論文不含任何其他個(gè)人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的作品成果。對(duì)本文的研究做出重要貢獻(xiàn)的個(gè)人和集體，均已在文中以明確方式標(biāo)明。指導(dǎo)教師簽名：日期：年月日引言0.1記號(hào)說(shuō)明本文使用以下記號(hào)：表示矩陣的秩；表示矩陣是數(shù)域上的階矩陣；表示矩陣是復(fù)數(shù)域上的階矩陣；表示數(shù)域上多項(xiàng)式環(huán)；表示相應(yīng)階數(shù)的單位矩陣.0.2研究現(xiàn)狀本文所研究是矩陣秩的恒等式問題。眾所周知，Sylvester不等式是矩陣秩的一個(gè)著名的結(jié)果，在求矩陣秩的相關(guān)問題中處于重要的地位，我們感興趣的是其不等式何時(shí)取等號(hào)。如果Sylvester不等式能取等號(hào)，這將是一個(gè)很好的公式。文獻(xiàn)[1]將Sylvester不等式中的矩陣限定為的形式，給出矩陣秩的一些恒等式結(jié)果并提出下列猜想：猜想1設(shè)，，當(dāng)滿足適當(dāng)條件時(shí)，則猜想2設(shè)且，，當(dāng)滿足適當(dāng)條件時(shí)，則其中是關(guān)于的多項(xiàng)式。2007年文獻(xiàn)[2]將討論的數(shù)域限制在復(fù)數(shù)域上，然后利用矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的性質(zhì)證明了猜想1是正確的。Jordan標(biāo)準(zhǔn)形是個(gè)很好的研究工具，但是它也存在局限性即Jordan標(biāo)準(zhǔn)形僅在復(fù)數(shù)域中有效。本文討論的數(shù)域?qū)⒉蛔飨拗?，采用分塊矩陣的性質(zhì)及初等變換證明猜想1成立，進(jìn)而證明猜想2亦成立，并對(duì)相關(guān)的矩陣的恒等式作進(jìn)一步推廣。1預(yù)備知識(shí)引理1[3]（著名的Sylvester不等式）設(shè)則 引理2[3]①初等方陣從左邊乘以矩陣A相當(dāng)于對(duì)A作初等行變換.②初等方陣從右邊乘以矩陣A相當(dāng)于對(duì)A作初等列變換.③初等變換不改變矩陣的秩.引理3[4]①設(shè)則②則引理4[2]設(shè)兩兩可交換,那么當(dāng)可逆時(shí),引理5[5]設(shè)，若且矩陣的特征值全不為，則。2主要定理及證明定理1設(shè)，,當(dāng)兩兩互異時(shí),那么等價(jià)于證明（采用數(shù)學(xué)歸納法）①當(dāng)t=2時(shí)所以等價(jià)于故當(dāng)t=2時(shí)結(jié)論成立.②當(dāng)t=3時(shí)，所以等價(jià)于故當(dāng)t=3結(jié)論成立.③假設(shè)對(duì)所有結(jié)論成立，則有等價(jià)于于是存在可逆矩陣使得=那么當(dāng)時(shí)，由于互不相同，那么多頂式為兩兩互素。根據(jù)帶余除法定理[6]知其中且.（若，則，這與兩兩互素矛盾）因此，矩陣多項(xiàng)式,. 等價(jià)于故所以當(dāng)時(shí)結(jié)論成立。即定理1得證。定理2設(shè)兩兩可交換。那么當(dāng)可逆時(shí),等價(jià)于。其中證明證明過程同定理1。3猜想1與猜想2的解決猜想1設(shè)，,當(dāng)兩兩不相同時(shí),則有證明由定理1可知由引理3可得，即猜想1得證。注由此可知猜想1正確性。對(duì)猜想1文獻(xiàn)[2]也給出的證明，但文獻(xiàn)[2]討論的數(shù)域僅僅限制在復(fù)數(shù)域內(nèi)，而本文對(duì)猜想1的討論可以不受數(shù)域限制。猜想2設(shè)且且為兩兩,則有，其中是關(guān)于的多項(xiàng)式。證明由猜想1可知，當(dāng)為兩兩互異時(shí)，不妨設(shè)其中……因?yàn)?所以故其中都是關(guān)于的多項(xiàng)式。所以，猜想2是正確的。4猜想的應(yīng)用命題1設(shè)，，若時(shí)，必滿足的特征值全不為，那么證明不妨設(shè)兩兩互異,而且的特征值全不為。于是矩陣多項(xiàng)式皆為可逆矩陣。由猜想1及引理5可知①②由①②兩式相加得則故有．即命題1得證。命題2設(shè),兩兩可交換且當(dāng)可逆時(shí),證明由引理3可知由定理2及引理2可知故結(jié)論得證。注明猜想1將不等式中的矩陣限定為的形式,命題2把不等式中的矩陣推廣為的形式。命題3設(shè),，且互不相同，則證明令，則由于且互不相同，所以，是兩兩互素，根據(jù)猜想1可知故命題成立。

參考文獻(xiàn)[1]李書超等.一類矩陣秩的恒等式及其推廣[J].武漢科技大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2004.3,27(1):96～98[2]王廷明等.一類矩陣秩恒等式的證明[J].山東大學(xué)學(xué)報(bào)(理工版)[J].2007.2，42（3）:43～45[3]張賢科等.高等代數(shù)學(xué)[M].北京：清華大學(xué)出版社,1997[4]樊惲,錢吉林等.代數(shù)學(xué)辭典[M].武漢：華中師范大學(xué)出版社，1994.12[5]姚慕生.[6][7][8]方煒.關(guān)于矩陣秩的一個(gè)不等式的注記[J].,7（3）：7～8[9]蔣永泉.互素多項(xiàng)式在矩陣秩中的應(yīng)用[J].徐州師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2004.9,22(3):