直線與方程知識點總結與例題

直線與方程知識點總結與例題直線與方程知識點總結直線的斜率與傾斜角(1)斜率①兩點的斜率公式：，則②斜率的范圍：(2)直線的傾斜角范圍：[0，π）（3）斜率與傾斜角的關系：注：（1）每條直線都有傾斜角，但不是每條直線都有斜率；特別地，傾斜角為的直線斜率為；傾斜角為的直線斜率不存在。例題1：設直線l過坐標原點,它的傾斜角為a,如果將直線L繞坐標原點按逆時針方向旋轉45°得到直線L1,求直線L1的傾斜角解：（1）當0≤a＜135°時,L1的傾斜角為a+45°（2）135≤a＜180°,則a+45°≥180°,此時傾斜角為a+45°-180°=a-135°2、直線方程(1)點斜式：；適用于斜率存在的直線（2）斜截式：；適用于斜率存在的直線注：為直線在軸上的截距，截距不是距離，截距可正，可負，可為零（3）兩點式：；適用于斜率存在且不為零的直線（4）截距式：；適用于斜率存在，且不為零且不過原點的直線（5）一般式：（不同時為）（6）特殊直線方程①斜率不存在的直線（與軸垂直）：；特別地，軸：②斜率為的直線（與軸垂直）：；特別地，軸：③在兩軸上截距相等的直線：（Ⅰ）；（Ⅱ）在兩軸上截距相反的直線：（Ⅰ）；（Ⅱ）在兩軸上截距的絕對值相等的直線：（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）例題2：過點（1，2）的直線l與x軸的正半軸，y軸的正半軸分別交于A、B兩點，O為坐標原點，當△AOB的面積最小時，直線l的方程是______．解：3、平面上兩直線的位置關系及判斷方法（1）①平行：且（注意驗證）②重合：且③相交：特別地，垂直：（2）①平行：且（驗證）②重合：且③相交：特別地，垂直：（3）與直線平行的直線可設為：與直線垂直的直線可設為：例題3：若兩條直線與互相平行，則等于_______.解：∵兩直線互相平行，∴.4、其他公式（1）平面上兩點間的距離公式：，則（2）線段中點坐標公式：，則中點的坐標為（3）三角形重心坐標公式：，則三角形的重心坐標公式為：（4）點到直線的距離公式：（5）兩平行線間的距離：（用此公式前要將兩直線中的系數(shù)統(tǒng)一）例題4：直線與直線的距離為__________．解：由兩平行直線的距離公式可得(注意兩直線的系數(shù)必須化為相同)，.（6）點關于點的對稱點的求法：點為中點（7）點關于直線的對稱點的求法：利用直線與直線垂直以及的中點在直線上，列出方程組，求出點的坐標。例題5：已知點P(3,2)與點Q(1,4)關于直線l對稱，則直線l的方程為________.解：因為點P(3,2)與點Q(1,4)關于直線l對稱,所以直線l是線段PQ的垂直平分線；由線段PQ的中點坐標為（2，3），，由直線方程的點斜式得：即例題6：已知直線和兩點，，若直線上存在點使得最小，則點的坐標為.解：如圖，作關于直線的對稱點，連結交直線于，則點即為使最小的，設，則即，∴.（二）、圓1、圓的方程（1）圓的標準方程：，其中為圓心，為半徑（2）圓的一般方程：，其中圓心為，半徑為(只有當?shù)南禂?shù)化為1時才能用上述公式)注意：已知圓上兩點求圓方程時，注意運用圓心在這兩點的垂直平分線上這個條件可簡化計算。2、直線與圓的位置關系(1)直線，圓，記圓心到直線的距離①直線與圓相交,則或方程組的②直線與圓相切，則或方程組的③直線與圓相離，則或方程組的（2）直線與圓相交時，半徑，圓心到弦的距離，弦長，滿足：（3）直線與圓相切時，①切線的求法：（Ⅰ）已知切點（圓上的點）求切線,有且只有一條切線,切點與圓心的連線與切線垂直；（Ⅱ）已知切線斜率求切線，有兩條互相平行的切線，設切線方程為，利用圓心到切線的距離等于半徑列出方程求出的值；（Ⅲ）已知過圓外的點求圓的切線，有兩條切線，若切線的斜率存在，設切線方程為：，利用圓心到切線的距離等于半徑列出方程求出的值；若切線的斜率不存在，則切線方程為，驗證圓心到切線距離是否等于半徑。②由圓外點向圓引切線，記兩點的距離為，則切線長（4）直線與圓相離時，圓心到直線距離記為，則圓上點到直線的最近距離為，最遠距離為3、兩圓的位置關系圓