(黃夢(mèng)莉)研析二重極限與累次極限的關(guān)系

(黃夢(mèng)莉)研析二重極限與累次極限的關(guān)系LtD通化師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文（2016屆）題目研析二重極限與累次極限的關(guān)系學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院專業(yè)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)班級(jí)12級(jí)01班作者姓名黃夢(mèng)莉?qū)W號(hào)201206010104指導(dǎo)教師王宏志職稱副教授學(xué)位碩士論文成績(jī)2016年5月-0-實(shí)數(shù).若對(duì)任給正數(shù)，總存在某正數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，都有.則稱在上當(dāng)時(shí)以為極限，記作.在對(duì)于不致產(chǎn)生誤解時(shí)，也可以簡(jiǎn)單地寫作.當(dāng)分別用坐標(biāo)，表示時(shí)，上式也常寫作.在所研究的極限中，兩個(gè)自變量同時(shí)以任何方式趨于，．這種極限也稱為二重極限．定義2設(shè),,在軸、軸上的投影分別為，．即,.，分別是，的聚點(diǎn)．若對(duì)每一個(gè)，存在極限，它一般與有關(guān)，故記作，如果進(jìn)一步還存在極限，則稱此極限為先對(duì)，后對(duì)的累次極限記作.類似地可以定義先對(duì)后對(duì)的累次極限.（2）二重?cái)?shù)列及其極限的定義定義3用來表示下面的點(diǎn)集：.(每個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)都是由兩個(gè)自然數(shù)組成的．)在點(diǎn)集上定義的函數(shù)，通常寫成數(shù)列的形式：.這叫做二重?cái)?shù)列．這種數(shù)列也可以寫成“無窮階矩陣”的形式：當(dāng),以任意的方式無限增大時(shí)，這個(gè)二重?cái)?shù)列的極限定義為3二重極限與累次極限的關(guān)系3.1二重極限與累次極限沒有必要的聯(lián)系累次極限與二重極限是兩個(gè)獨(dú)立的不同概念，它們的存在性沒有必然的包含關(guān)系．由此開始將逐一進(jìn)行分類并說明二重極限與累次極限沒有什么關(guān)聯(lián)．3.1.1二重極限存在，而兩個(gè)累次極限不存在例1.解，，由兩邊夾定理可知：，但是，對(duì)任意給定的，由于，而不存在，所以不存在，即不存在，同理，也不存在．由例1發(fā)現(xiàn)二重極限的存在并不能保證累次極限的存在．3.1.2二重極限與一個(gè)累次極限存在，另一個(gè)累次極限不存在由例1知道二重極限存在，兩個(gè)累次極限不存在，但一個(gè)二元函數(shù)的兩個(gè)累次極限不一定相等，雖然只是對(duì)兩個(gè)不同變量求極限的次序不同，但結(jié)果并不一定總是相等的，有時(shí)甚至?xí)霈F(xiàn)一個(gè)累次極限存在而另一個(gè)不存在的情形．例2函數(shù)滿足，不存在.又，故.3.1.3二重極限與累次極限都不存在以上例1與例2都是說明二重極限存在時(shí)，累次極限的存在性無法保證，由下面例3與例4可以看到二重極限與累次極限都可以不存在.例3設(shè)，則其在重極限與累次極限都不存在.例4設(shè)在點(diǎn)的累次極限不存在，也不存在，即函數(shù)的兩個(gè)累次極限均不存在，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)沿軸正向趨于時(shí)，不存在，故函數(shù)的二重極限也不存在．3.1.4兩個(gè)累次極限存在且相等時(shí)，二重極限不存在由例5開始說明累次極限的存在也不能保證二重極限的存在性．例5,在處的兩個(gè)累次極限都存在且相等，，再求二重極限，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)沿著直線而趨于定點(diǎn)時(shí)，由于此時(shí)，因而有，這一結(jié)果說明動(dòng)點(diǎn)沿著不同斜率的直線趨于原點(diǎn)時(shí)，對(duì)應(yīng)的極限值也不同，因此所討論的極限不存在．3.1.5兩個(gè)累次極限存在且不相等時(shí)，二重極限不存在同樣的，當(dāng)兩個(gè)累次極限結(jié)果不同時(shí)，也不能保證二重極限的存在性．例6設(shè)，它關(guān)于原點(diǎn)的兩個(gè)累次極限分別為：..當(dāng)沿斜率不同的直線，時(shí)，對(duì)應(yīng)的極限值也不同，因此該函數(shù)的二重極限不存在．3.2二重極限與累次極限在一定條件下的聯(lián)系通過以上的五個(gè)情形以及例題，已清楚地了解到累次極限與二重極限之間的存在性并沒有什么關(guān)聯(lián)，那么在它們之間是否真的毫無關(guān)系可尋的呢？并非如此．定理1若在點(diǎn)存在重極限與累次極限，則它們必相等．由定理1可導(dǎo)出如下兩個(gè)便于應(yīng)用的推論．推論1若累次極限，和重極限都存在，則三者相等．推論2若累次極限與存在但不相等，則重極限必不存在．但是，定理1保證了在二重極限與其中一個(gè)累次極限都存在時(shí)，它們必相等，但它們對(duì)另一個(gè)累次極限的存在性卻不能得出什么結(jié)論．推論1給出了累次極限次序可交換的一個(gè)充分條件；推論2可用于否定重極限的存在性.3.3利用累次極限求解二重極限求二重極限的方法大致可歸納為如下幾種：（1）利用二重極限的“”定義；（2）利用有界變量替換與無窮小量的乘積仍為無窮小量及等價(jià)無窮小的代換；（3）利用兩邊夾定理；（4）利用變量替換，將二重極限轉(zhuǎn)化為已知極限或一元函數(shù)極限．本文將重點(diǎn)分析如何利用累次極限求解二重極限．二重極限與累次極限雖然沒有必要的聯(lián)系，但是仍然可以通過累次極限和二重極限的一些關(guān)系來求解二重極限．例7解先求累次極限，，再利用定義驗(yàn)證也是二重極限的值．事實(shí)上，對(duì)于任意的，都有，，取，當(dāng)時(shí)，有，即．3.4數(shù)列的二重極限與累次極限的關(guān)系考慮二重?cái)?shù)列，這個(gè)數(shù)列的二重極限和累次極限分別表示為，，．已經(jīng)知道，二重?cái)?shù)列可以看成二元函數(shù)，這樣就有下面的結(jié)論．定理2假設(shè)(1)二重極限存在；(2)對(duì)于所有充分大的n，極限存在；那么先后的累次極限一定存在，并且等于二重極限：.說明：關(guān)于先后的累次極限，也有類似的結(jié)論．定理3對(duì)于數(shù)列.假設(shè)（1）二重極限存在；（2）對(duì)于所有充分大的，極限存在；對(duì)于所有充分大，極限也存在；那么兩個(gè)累次極限都存在，并且都等于二重極限.由此就可以看出，二重?cái)?shù)列的累次極限與二重極限的關(guān)系與上文所提的關(guān)系存在相似，所以累次極限與二重極限的關(guān)系同樣適用于數(shù)列中，這也便于記憶和了解累次極限與二重極限的關(guān)系．4結(jié)束語在前文中可以知道二重極限與累次極限的存在性彼此不能等價(jià)．也就是說，二重極限的存在不能保證累次極限的存在；兩個(gè)累次極限存在且相等，也不能保證二重極限的存在，更不用說三個(gè)極限能相等了．二重?cái)?shù)列的極限也符合這樣的規(guī)律．參考文獻(xiàn)[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].北京:高等教育出版社,2002.[2]同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].上海:同濟(jì)大學(xué)出版社,2004.[3]趙麗琴,白云芬.累次極限與二重極限的關(guān)系研究[J].石家莊學(xué)院學(xué)報(bào),2005,7(3):19-20.[4]劉玉璉,傅沛仁.數(shù)學(xué)分析講義[M].北京:高等教育出版社,2003.[5]戴中元.二重極限與累次極限的聯(lián)系及應(yīng)用[J].高等數(shù)學(xué)研究,2013,16(2):24-27.[6]董建偉.數(shù)學(xué)分析中的非蘊(yùn)含關(guān)系[J].高師理科學(xué)刊,2012,32(2):43-45.[7]許汪濤.關(guān)于多元函數(shù)極限概念[J].陜西師范大學(xué)教育學(xué)報(bào),2003,20(3):98-99.[8]齊小忠.淺談二元函數(shù)中六大重要概念間的關(guān)系[J].喀什師范學(xué)院學(xué)報(bào),2013,34(3):24-26.[9]王愛國(guó).二重極限存在的一個(gè)充分必要條件[J].襄樊學(xué)院學(xué)報(bào),2005,26(5):10-11.[10]張雅平.二重極限的幾種求法[J].雁北師范學(xué)院學(xué)報(bào)