初中數(shù)學優(yōu)選測模擬試題集494

初中數(shù)學測試題集4941．(2022·柳州)如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC，BD相交于點O，且AB＝2.(1)求菱形ABCD的周長；(2)若AC＝2，求BD的長．2.(2022·沈陽)如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD交于點O.過點C作BD的平行線，過點D作AC的平行線，兩直線相交于點E.(1)求證：四邊形OCED是矩形；(2)若CE＝1，DE＝2，則菱形ABCD的面積是______．3．(2022·甘肅省卷)已知矩形ABCD中，E是AD邊上的一個動點，點F，G，H分別是BC，BE，CE的中點．(1)求證：△BGF≌△FHC；(2)設(shè)AD＝a，當四邊形EGFH是正方形時，求矩形ABCD的面積．4．(2022·南京)如圖，在四邊形ABCD中，BC＝CD，∠C＝2∠是四邊形ABCD內(nèi)一點，且OA＝OB＝OD.求證：(1)∠BOD＝∠C；(2)四邊形OBCD是菱形．5．(2022·原創(chuàng))如圖，矩形ABCD中，延長AB至E，延長CD至F，BE＝DF，連接EF，與BC、AD分別相交于P、Q兩點．(1)求證：CP＝AQ；(2)若BP＝1，PQ＝2eq\r(2)，∠AEF＝45°，求矩形ABCD的面積．6．(2022·鹽城)在正方形ABCD中，對角線BD所在的直線上有兩點E、F滿足BE＝DF，連接AE、AF、CE、CF，如圖所示．(1)求證：△ABE≌△ADF；(2)試判斷四邊形AECF的形狀，并說明理由．7．(2022·原創(chuàng))如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，(1)AB＝2，AO＝eq\r(5)，求BC的長；(2)∠DBC＝30°，CE＝CD，∠DCE＜90°，若OE＝eq\f(\r(2),2)BD，求∠DCE的度數(shù)．8.(2022·南通)如圖，正方形ABCD中，AB＝2eq\r(5)，O是BC邊的中點，點E是正方形內(nèi)一動點，OE＝2，連接DE，將線段DE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°得DF，連接AE，CF.(1)求證：AE＝CF；(2)若A，E，O三點共線，連接OF，求線段OF的長；(3)求線段OF長的最小值．9．(2022·紹興)小敏思考解決如下問題：原題：如圖1，點P，Q分別在菱形ABCD的邊BC，CD上，∠PAQ＝∠B，求證：AP＝AQ.(1)小敏進行探索，若將點P，Q的位置特殊化：把∠PAQ繞點A旋轉(zhuǎn)得到∠EAF，使AE⊥BC，點E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，如圖2，此時她證明了AE＝AF.請你證明．(2)受以上(1)的啟發(fā)，在原題中，添加輔助線：如圖3，作AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分別為E，F(xiàn).請你繼續(xù)完成原題的證明．(3)如果在原題中添加條件：AB＝4，∠B＝60°，如圖1.請你編制一個計算題(不標注新的字母)，并直接給出答案(根據(jù)編出的問題層次，給不同的得分)．參考答案1．解：(1)∵四邊形ABCD是菱形，AB＝2，∴菱形ABCD的周長為2×4＝8；(2)∵四邊形ABCD是菱形，AC＝2，AB＝2，∴AC⊥BD，AO＝1，∴BO＝eq\r(AB2－AO2)＝eq\r(22－12)＝eq\r(3)，∴BD＝2eq\r(3).2．(1)證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠COD＝90°.∵CE∥OD，DE∥OC，∴四邊形OCED是平行四邊形，又∠COD＝90°，∴平行四邊形OCED是矩形；(2)解：4.3．(1)證明：∵點F，H分別是BC，CE的中點，∴FH∥BE，F(xiàn)H＝eq\f(1,2)BE.∴∠CFH＝∠CBG.又∵點G是BE的中點，∴FH＝BG.又∵BF＝CF，∴△BGF≌△FHC.(2)解：如解圖，連接EF，GH，當四邊形EGFH是正方形時，可知EF⊥GH且EF＝GH，∵在△BEC中，點G，H分別是BE，EC的中點，∴GH＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(1,2)AD＝eq\f(1,2)a，且GH∥BC，∴EF⊥BC.又∵AD∥BC，AB⊥BC，∴AB＝EF＝GH＝eq\f(1,2)a，∴S矩形ABCD＝AB·AD＝eq\f(1,2)a·a＝eq\f(1,2)a2.4．證明：(1)證法1：∵OA＝OB＝OD.∴點A、B、D在以點O為圓心，OA長為半徑的圓上．∴∠BOD＝2∠BAD.又∠C＝2∠BAD，∴∠BOD＝∠C.證法2：如解圖1，作AO的延長線OE.∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO.又∠BOE＝∠ABO＋∠BAO，∴∠BOE＝2∠BAO.同理∠DOE＝2∠DAO.∴∠BOE＋∠DOE＝2∠BAO＋2∠DAO＝2(∠BAO＋∠DAO)，即∠BOD＝2∠BAD.又∠C＝2∠BAD，∴∠BOD＝∠C.(2)如解圖2，連接OC.∵OB＝OD，CB＝CD，OC＝OC，∴△OBC≌△ODC.∴∠BOC＝∠DOC，∠BCO＝∠DCO.∵∠BOD＝∠BOC＋∠DOC，∠BCD＝∠BCO＋∠DCO，∴∠BOC＝eq\f(1,2)∠BOD，∠BCO＝eq\f(1,2)∠BCD.又∠BOD＝∠BCD.∴∠BOC＝∠BCO，∴BO＝BC.∴OB＝BC＝CD＝DO，∴四邊形OBCD是菱形．5．(1)證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠FDQ＝∠EBP＝90°，AE∥CF，AD＝BC，∴∠E＝∠F，又∵BE＝DF，∴△EBP≌△FDQ(ASA)，∴BP＝DQ，∴BC－BP＝AD－DQ，∴CP＝AQ；(2)解：∵∠AEF＝45°，∴∠AQE＝45°，BE＝BP，∴AE＝AQ，EP＝eq\r(2)，又∵PQ＝2eq\r(2)，∴EQ＝EP＋PQ＝3eq\r(2)，∴AE＝AQ＝3，∴AB＝AE－BE＝3－1＝2，由(1)得CP＝AQ，∴BC＝BP＋CP＝BP＋AE＝1＋3＝4，∴S矩形ABCD＝AB·BC＝2×4＝8.6．(1)證明：連接AC，交BD于點O，如解圖．∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠ABD＝∠ADB＝45°，∴∠ABE＝∠ADF＝135°，∴在△ABE和△ADF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AD，,∠ABE＝∠ADF，,BE＝DF，))∴△ABE≌△ADF(SAS)．第6題解圖(2)解：四邊形AECF是菱形，理由如下：∵四邊形ABCD是正方形，∴OA＝OC，OB＝OD，又∵BE＝DF，∴OB＋BE＝OD＋DF，∴OE＝OF，∴AC與EF互相垂直平分，∴四邊形AECF是菱形．7．解：(1)∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，AC＝2AO＝2eq\r(5).∴在Rt△ACB中，BC＝eq\r(AC2－AB2)＝4.(2)∵四邊形ABCD是矩形，∴∠DCB＝90°，BD＝2OD，AC＝2OC，AC＝BD.∴OD＝OC＝eq\f(1,2)BD.∵∠DBC＝30°，∴在Rt△BCD中，∠BDC＝90°－30°＝60°，CD＝eq\f(1,2)BD.∵CE＝CD，∴CE＝eq\f(1,2)BD.∵OE＝eq\f(\r(2),2)BD，∴在△OCE中，OE2＝eq\f(1,2)BD2.又∵OC2＋CE2＝eq\f(1,4)BD2＋eq\f(1,4)BD2＝eq\f(1,2)BD2，∴OC2＋CE2＝OE2.∴∠OCE＝90°.∵OD＝OC，∴∠OCD＝∠ODC＝60°.∴∠DCE＝∠OCE－∠OCD＝30°.8．(1)證明：由旋轉(zhuǎn)得，∠EDF＝90°，ED＝DF，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ADC＝90°，AD＝CD，∴∠ADC＝∠EDF，即∠ADE＋∠EDC＝∠EDC＋∠CDF，∴∠ADE＝∠CDF，在△ADE和△CDF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AD＝CD，,∠ADE＝∠CDF，,DE＝DF，))∴△ADE≌△CDF(SAS)，∴AE＝CF；(2)解：如解圖1，過F作OC的垂線，交BC的延長線于P，∵O是BC的中點，且AB＝BC＝2eq\r(5)，A，E，O三點共線，∴OB＝eq\r(5)，由勾股定理得：AO＝5，∵OE＝2，∴AE＝5－2＝3，由(1)知△ADE≌△CDF，∴∠DAE＝∠DCF，CF＝AE＝3，∵∠BAD＝∠DCP，∴∠OAB＝∠PCF，∵∠ABO＝∠P＝90°，∴△ABO∽△CPF，∴eq\f(AB,OB)＝eq\f(CP,PF)＝eq\f(2\r(5),\r(5))＝2，∴CP＝2PF，設(shè)PF＝x，則CP＝2x，由勾股定理得：32＝x2＋(2x)2，x＝eq\f(3\r(5),5)或－eq\f(3\r(5),5)(舍去)，∴FP＝eq\f(3\r(5),5)，OP＝eq\r(5)＋eq\f(6\r(5),5)＝eq\f(11\r(5),5)，由勾股定理得OF＝eq\r(（\f(3\r(5),5)）2＋（\f(11\r(5),5)）2)＝eq\r(26)，(3)解：如解圖2，由于OE＝2，因此E點可以看作是在以O(shè)為圓心，2為半徑的半圓上運動，延長BA到G點，使得AG＝OC，連接GE，∵AE＝CF，∠GAE＝∠OCF，∴△GAE≌△OCF，∴GE＝OF，當GE最小時，為O、E、G三點共線，OG＝eq\r(OB2＋GB2)＝eq\r(（\r(5)）2＋（3\r(5)）2)＝5eq\r(2)，∴OF＝GE＝OG－OE＝5eq\r(2)－2，∴OF長的最小值是5eq\r(2)－2.9．解：(1)在菱形ABCD中，∠B＋∠C＝180°，∠B＝∠D，AB＝AD，∵∠EAF＝∠B，∴∠C＋∠EAF＝180°，∴∠AEC＋∠AFC＝180°，∵AE⊥BC，∴∠AEB＝∠AEC＝90°，∴∠AFC＝90°，∠AFD＝90°，∴△AEB≌△AFD，∴AE＝AF.(2)由(1)知，∠PAQ＝∠EAF＝∠B，∴∠EAP＝∠EAF－∠PAF＝∠PAQ－∠PAF＝∠FAQ，∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEP＝∠AFQ＝90°，∵AE＝AF，∴△AEP≌△AFQ，∴AP＝AQ.(3)不唯一，舉例如下：層次1：①求∠D的度數(shù)．答案：∠D＝60°.②分別求∠BAD，∠BCD的度數(shù)．答案：∠BAD＝∠BCD＝