橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程柳應(yīng)方

選修2-1<橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程>福州三中金山校區(qū)數(shù)學(xué)組柳應(yīng)方時(shí)間：周五上午第二節(jié)一．教材及學(xué)情分析：本節(jié)課是選修2－1第二章《圓錐曲線與方程》中§《橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程》．用一個(gè)平面去截一個(gè)對(duì)頂?shù)膱A錐，當(dāng)平面與圓錐的軸夾角不同時(shí)，可以得到不同的截口曲線，它們分別是圓、橢圓、拋物線、雙曲線，我們將這些曲線統(tǒng)稱為圓錐曲線．圓錐曲線的發(fā)現(xiàn)與研究始于古希臘，當(dāng)時(shí)人們從純粹幾何學(xué)的觀點(diǎn)研究了這種與圓密切相關(guān)的曲線，它們的幾何性質(zhì)是圓的幾何性質(zhì)的自然推廣。17世紀(jì)初期，笛卡爾發(fā)明了坐標(biāo)系，人們開(kāi)始在坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上，用代數(shù)方法研究圓錐曲線．在這一章中，我們將繼續(xù)用坐標(biāo)法探究圓錐曲線的幾何特征，建立它們的方程，通過(guò)方程研究它們的簡(jiǎn)單性質(zhì)，并用坐標(biāo)法解決一些與圓錐曲線有關(guān)的簡(jiǎn)單幾何問(wèn)題和實(shí)際問(wèn)題，進(jìn)一步感受數(shù)形結(jié)合的基本思想．解析幾何是數(shù)學(xué)一個(gè)重要的分支,它溝通了數(shù)學(xué)內(nèi)數(shù)與形、代數(shù)與幾何等最基本對(duì)象之間的聯(lián)系．在選修2-1中，教材利用三種圓錐曲線進(jìn)一步深化如何利用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題?！皺E圓的標(biāo)準(zhǔn)方程”是在學(xué)生已學(xué)過(guò)坐標(biāo)平面上圓的方程、“曲線和方程”和“橢圓的定義”的基礎(chǔ)上，解決具體的二次曲線方程的又一實(shí)例.從知識(shí)上講，它是解析法的進(jìn)一步運(yùn)用，同時(shí)它也是進(jìn)一步研究橢圓幾何性質(zhì)的基礎(chǔ)；從方法上講，它為我們研究雙曲線、拋物線這兩種圓錐曲線提供了基本模式和理論基礎(chǔ)；從教材編排上講，現(xiàn)行教材中把三種圓錐曲線獨(dú)編一章，更突出了橢圓的重要地位.因此本節(jié)課有承前啟后的作用，是本章和本節(jié)的重點(diǎn)內(nèi)容.本節(jié)內(nèi)容蘊(yùn)含了許多重要的數(shù)學(xué)思想方法，如：數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想等．因此，教學(xué)時(shí)應(yīng)重視體現(xiàn)數(shù)學(xué)的思想方法及價(jià)值。根據(jù)本節(jié)內(nèi)容的特點(diǎn)，教學(xué)過(guò)程中可充分發(fā)揮信息技術(shù)的作用，用幾何畫(huà)板的動(dòng)態(tài)作圖優(yōu)勢(shì)為學(xué)生的數(shù)學(xué)探究與數(shù)學(xué)思維提供支持。二、教學(xué)目標(biāo)1．知識(shí)與技能目標(biāo)：進(jìn)一步理解橢圓的定義，能正確推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,在化簡(jiǎn)橢圓方程的過(guò)程中提高學(xué)生的運(yùn)算能力,掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程2．過(guò)程與方法目標(biāo)：通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生依據(jù)橢圓定義和橢圓的圖形,聯(lián)想圓的建系方法建立合理的坐標(biāo)系，通過(guò)方程的推導(dǎo)，提高學(xué)生的計(jì)算，學(xué)會(huì)用坐標(biāo)化的方法求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程；對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法滲透，培養(yǎng)學(xué)生具有利用數(shù)學(xué)思想方法分析和解決問(wèn)題的意識(shí)。3．情感態(tài)度價(jià)值觀目標(biāo)：充分發(fā)揮學(xué)生在學(xué)習(xí)中的主體地位，引導(dǎo)學(xué)生活動(dòng)、觀察、思考、合作、探究、歸納、交流、反思，促進(jìn)形成研究氛圍和合作意識(shí)；重視知識(shí)的形成過(guò)程教學(xué)，讓學(xué)生知其然并知其所以然，通過(guò)學(xué)習(xí)新知識(shí)體會(huì)到前人探索的艱辛過(guò)程與創(chuàng)新的樂(lè)趣；通過(guò)對(duì)橢圓定義的嚴(yán)密化，培養(yǎng)學(xué)生形成扎實(shí)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)作風(fēng)；通過(guò)經(jīng)歷橢圓方程的化簡(jiǎn),增強(qiáng)學(xué)生戰(zhàn)勝困難的意志品質(zhì)并體會(huì)數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美、對(duì)稱美；利用橢圓知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用性和知識(shí)的力量，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和信心。三、重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：進(jìn)一步理解橢圓的定義，掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，理解坐標(biāo)法的基本思想．難點(diǎn)：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)與化簡(jiǎn)，坐標(biāo)法的應(yīng)用。關(guān)鍵：含有兩個(gè)根式的等式化簡(jiǎn)四、教法與學(xué)法分析新課程倡導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)，要求教師成為學(xué)生學(xué)習(xí)的引導(dǎo)者、組織者、合作者和促進(jìn)者，使教學(xué)過(guò)程成為師生交流、積極互動(dòng)、共同發(fā)展的過(guò)程．本節(jié)課采用“情境創(chuàng)設(shè)——問(wèn)題探究——?dú)w納總結(jié)——應(yīng)用鞏固——反思提高”的課堂教學(xué)模式，并以學(xué)案引導(dǎo)和多媒體手段輔助教學(xué)，使學(xué)生經(jīng)歷實(shí)踐、觀察、猜想、推導(dǎo)、交流、反思等理性思維的基本過(guò)程，切實(shí)改進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，使學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主人．五．教學(xué)環(huán)境和準(zhǔn)備：交互式多媒體教學(xué)環(huán)境：交互式電子白板及hiteach互動(dòng)教學(xué)系統(tǒng)和ppt等現(xiàn)代教育技術(shù)，主要利用搶答器隨機(jī)選擇學(xué)生回答問(wèn)題，并利用IRS反饋器（選擇）-----數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析，并針對(duì)學(xué)生錯(cuò)誤率較高的題目和選項(xiàng)予以講評(píng)和提問(wèn)，從而發(fā)現(xiàn)錯(cuò)因，及時(shí)糾正；手機(jī)端拍照上傳----及時(shí)反饋學(xué)生完成情況；白板批注功能------分析并及時(shí)解決學(xué)生存在問(wèn)題。教學(xué)準(zhǔn)備：一支鉛筆、兩個(gè)圖釘、一根細(xì)繩、一張硬紙板。(2)教師準(zhǔn)備：用PPT及幾何畫(huà)板制作的課件。六、教學(xué)過(guò)程（一）創(chuàng)設(shè)情境，引入課題：師：同學(xué)們，之前我們學(xué)習(xí)了一類特殊重要的曲線----橢圓，我們知道我國(guó)先后發(fā)射成功的“神舟一號(hào)----九號(hào)”、“天宮一號(hào)”繞地飛行,“嫦娥一號(hào)----二號(hào)”繞月飛行及太陽(yáng)系里的行星包括我們地球繞太陽(yáng)飛行的軌道是橢圓，那么橢圓是如何定義呢？橢圓的定義:平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2的距離之和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫作橢圓.兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2叫橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間距|F1F橢圓定義的集合語(yǔ)言特別地當(dāng)常數(shù)=|F1F2|時(shí)------軌跡是線段；當(dāng)常數(shù)<|F1F2|時(shí)------知道了橢圓的定義也就知道了橢圓的基本幾何特征.但是,這只是一種“定性”的描述。為了”定量”地研究橢圓,就需要利用橢圓的方程，那么如何根據(jù)橢圓的定義求橢圓的方程呢？引入課題：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．（二）合理建系，推導(dǎo)方程．為了”定量”地研究橢圓,就需要利用橢圓的方程，那么如何根據(jù)橢圓的定義求橢圓的方程呢？xyoxyo方案2（1）建系;（2）設(shè)點(diǎn)；（3）列式；（4）化簡(jiǎn)；（5）說(shuō)明2、思考:怎樣建立直角坐標(biāo)系才能使橢圓的方程最簡(jiǎn)呢?(形式簡(jiǎn)單、運(yùn)算簡(jiǎn)單)利用搶答器隨機(jī)選擇學(xué)生回答問(wèn)題，啟發(fā)學(xué)生類比求圓的方程的建系方法，最后采用以下兩種方案:方案一：以兩定點(diǎn)的連線為X軸，其垂直平分線為Y軸；方案二：以兩定點(diǎn)的連線為Y軸，其垂直平分線為X軸。(原則：盡可能使方程的形式簡(jiǎn)單、運(yùn)算簡(jiǎn)單)(一般利用對(duì)稱軸或已有的互相垂直的線段所在的直線作為坐標(biāo)軸.)體現(xiàn)“對(duì)稱美”“簡(jiǎn)潔美”的特點(diǎn)。利用搶答器隨機(jī)選擇學(xué)生回答問(wèn)題，并針對(duì)學(xué)生回答情況------分析并及時(shí)解決問(wèn)題。3、橢圓方程和推導(dǎo):選定方案一解(1)建系:以兩定點(diǎn)所在直線為軸，線段的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系（如圖）．xyOF1F2M(2)設(shè)點(diǎn):設(shè)為橢圓上的任意一點(diǎn)，設(shè)定長(zhǎng)(繩子長(zhǎng))為m,焦距|F1F2|xyOF1F2M(說(shuō)明:兩焦點(diǎn)的橫坐標(biāo)出現(xiàn)分式,不便計(jì)算,改設(shè)焦距|F1F2|=2c焦距|F1F2|=2c,則F1(-c,0)、F2(c,0)且m>2c（3）列式:由橢圓的定義,橢圓就是集合P={M||MF1|+|MF2|=m}由兩點(diǎn)的距離公式，所以有:由于化簡(jiǎn)含兩個(gè)根式方程的方法特殊，難度較大，估計(jì)學(xué)生容易想到直接平方，這時(shí)通過(guò)精心設(shè)問(wèn)來(lái)突破難點(diǎn)：?jiǎn)枺簝蓚€(gè)根式之和的等式，如何化簡(jiǎn)？預(yù)想1：學(xué)生可能會(huì)想直接平方對(duì)策1：將錯(cuò)就錯(cuò)，直到學(xué)生感到困難，算不下去，出現(xiàn)困惑，老師在引導(dǎo)。預(yù)想2：學(xué)生直接提出將一個(gè)根式移到另一邊.對(duì)策2：順著學(xué)生思路走，但追問(wèn)為什么這么做，點(diǎn)明思路.利用搶答器隨機(jī)選擇學(xué)生回答問(wèn)題，并針對(duì)學(xué)生回答情況------分析并及時(shí)解決問(wèn)題。（4）化簡(jiǎn)：移項(xiàng)得平方得整理得再平方得xyOxyOF1F2Pca所以即令m=2a,即|MF1|+|MF2|=2a,上面方程化簡(jiǎn)可得指出：這個(gè)方程還不夠簡(jiǎn)潔對(duì)稱，我們?cè)O(shè)，(說(shuō)明:為了讓學(xué)生明白設(shè)常數(shù)2a、2c的合理性。選擇首先設(shè)常數(shù)m,n，然后以2a,2c替換，其目的是讓學(xué)生體會(huì)到設(shè)2a,2c的合理性。)則橢圓方程變?yōu)椋╝＞b＞0）（5）說(shuō)明:由上述過(guò)程可知，橢圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)都滿足上面這個(gè)方程；滿足這個(gè)方程的點(diǎn)(x,y)都在已知的橢圓上。所以，這個(gè)方程就是所求得橢圓的方程.我們把方程叫做橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。4、類比推廣，對(duì)比歸納[師總結(jié)]方案一：焦點(diǎn)在x軸上橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程：，兩焦點(diǎn)F1(-c,0)、F2(c,0)，其中b2=a2-c2。結(jié)合圖形，能找出方程中a、b、c對(duì)應(yīng)的線段嗎?．如圖可知，|OF1|=|OF2|=c,|PF1|=|PF2|=a,|PO|=b。（學(xué)生觀察分析，明確b的幾何意義。）問(wèn)：對(duì)方案二：如果焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在y軸上，且F1，F(xiàn)2的坐標(biāo)分別為(0,-c),(0,c)(a,b的意義同上)，這時(shí)橢圓的方程是什么？利用搶答器隨機(jī)選擇學(xué)生回答。生：x、y互換，得到焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（a＞b＞0）。）[設(shè)計(jì)意圖]通過(guò)對(duì)比總結(jié)，加深對(duì)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的理解，使學(xué)生體會(huì)類比的思想方法，為后面學(xué)習(xí)雙曲線、拋物線打基礎(chǔ)。因此，焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的方程為這個(gè)方程形式簡(jiǎn)單，因此我們把這個(gè)方程也叫橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。活動(dòng)：教師列表格，學(xué)生對(duì)比歸納兩種標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)及相同點(diǎn)與不同點(diǎn)。5、知識(shí)疏理，提高認(rèn)識(shí)定義滿足|MF1|+|MF2|=2a>2c=|F1F2圖形xxyMOxxMO標(biāo)準(zhǔn)方程+=1+=1a,b,c關(guān)系焦點(diǎn)坐標(biāo)焦點(diǎn)位置在x軸上在y軸上焦點(diǎn)位置的判定分母哪一個(gè)大，焦點(diǎn)就在哪一個(gè)軸上說(shuō)明:1、橢圓方程中的a、b、c與坐標(biāo)系無(wú)關(guān)，而焦點(diǎn)坐標(biāo)與坐標(biāo)系有關(guān)．2、確定橢圓方程需要三個(gè)條件，兩個(gè)定形條件：a、b；一個(gè)定位條件：焦點(diǎn)坐標(biāo)．利用搶答器隨機(jī)選擇兩學(xué)生，手機(jī)端拍照上傳學(xué)生填寫情況，并白板批注功能------分析并及時(shí)解決學(xué)生存在問(wèn)題。（三）嘗試應(yīng)用，鞏固新知．例、已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是F1(-2,0)、F2(2,0)，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P．求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。課堂鞏固練習(xí):1、已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，則a=_4____，b=_____，c=____2___，焦距是4，焦點(diǎn)坐標(biāo)為：(0，±2)。2、已知點(diǎn)P是橢圓上的一點(diǎn),且點(diǎn)P到橢圓一個(gè)焦點(diǎn)的距離為３，則點(diǎn)P到另一焦點(diǎn)距離為（D）A．２B．３C3、寫出適合下列條件的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程:①a=4,b=1．焦點(diǎn)在x軸上：②a=4,c=3：4、已知橢圓C經(jīng)過(guò)兩點(diǎn),求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程。依據(jù)學(xué)生完成例1和例3的情況，在電子白板上給出學(xué)生所得結(jié)果的若干選項(xiàng)；利用IRS反饋器（選擇）-----數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析，并針對(duì)學(xué)生錯(cuò)誤率較高的題目和選項(xiàng)予以講評(píng)和提問(wèn)，從而發(fā)現(xiàn)錯(cuò)因，及時(shí)糾正；設(shè)計(jì)意圖通過(guò)練習(xí)對(duì)學(xué)生的掌握情況及時(shí)反饋，加強(qiáng)鞏固；對(duì)本節(jié)課的內(nèi)容進(jìn)行反思總結(jié)，納入知識(shí)結(jié)構(gòu)，使知識(shí)系統(tǒng)化。（四）知識(shí)總結(jié)形成體系本節(jié)內(nèi)容可概括為“一、二、三”1、一個(gè)定義（橢圓的定義）2、二類方程（焦點(diǎn)分別在x軸、y軸的上的兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程）3、三個(gè)意識(shí)（求美意識(shí)、求簡(jiǎn)意識(shí)、猜想意識(shí)）（五）課后作業(yè)，鞏固提高(學(xué)有余力的學(xué)生全做)JS2022高二數(shù)學(xué)選修2-1橢圓及標(biāo)準(zhǔn)線方程校本作業(yè)班級(jí)姓名座號(hào)建議完成時(shí)間20-30分鐘1.橢圓的焦距為()B.C.D.2、橢圓的左右焦點(diǎn)為，一直線過(guò)交橢圓于A、B兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為（）.16C3、橢圓的焦距是2，則m的值為()A．5B．3C．5或3D．204、設(shè)為定點(diǎn)，||=6，動(dòng)點(diǎn)M滿足，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是（）A.橢圓B.直線