初二數學特訓班講義

新東方在線[]網絡課堂電子教材系列初二數學根底知識初一數學根底知識講義主講：陳明歡送使用新東方在線電子教材第一講一次函數一、教學目標：通過簡單實例，了解常量、變量的意義。能結合實例，了解函數的概念和三種表示方法，能舉出函數的實例。能結合圖象對簡單的實際問題中的函數關系進行分析，并會確定簡單實際問題的函數的自變量的取值范圍，并會求函數值。結合具體情境體會一次函數的定義，根據條件確定一次函數的表達式。會畫一次函數的圖象，根據圖象和解析式探索并理解一次函數的性質。理解一次函數與一元一次方程、一元一次不等式和二元一次方程組的關系。能根據一次函數的圖象求二元一次方程組的解，并能用一次函數解決實際問題，體會函數的模型思想。二、知識點精析：函數及其圖像：函數是研究現實世界變化規(guī)律的一個重要模型，本章首先通過實際問題學習常量、變量的概念，然后學習函數的定義及其表示方法，最后通過平面直角坐標系研究函數的圖象及表示方法。函數的概念是本章學習的重點，又是本章學習的難點，對于這一概念可以從如下兩方面加深理解：〔1〕通過書中的實例進行理解；〔2〕在對函數有一些認識的根底上去發(fā)現并建立生活中的函數模型，結合實際問題掌握函數關系的三種表示方法：解析法、列表法與圖象法，會用描點法畫函數的圖象，掌握其一般步驟：列表、描點、連線。一次函數的圖象及性質：一次函數是初中階段的一種最根本、最特殊的函數，在研究一次函數時，要緊緊抓住一次函數的圖象這一重要工具，根據圖象的特征來理解一次函數的性質。進一步領悟“數形結合思想〞，并能熟練運用待定系數法求一次函數的解析式。一次函數與方程〔組〕、不等式的關系：一元一次方程、一元一次不等式是一次函數y=kx+b當y=0、y>0或y<0時的特例，而二元一次方程組那么是對應著兩條直線。因此在本章學習中，要會運用函數的觀點來研究方程〔組〕、不等式，學會將方程〔組〕、不等式轉化為一次函數問題，能利用圖象法解方程〔組〕、不等式，并能綜合運用函數、方程、不等式的知識來解決實際問題。一次函數的應用：一次函數是反映現實世界中變量間的數量變化規(guī)律的一種常見數學模型，要善于從實際問題中分析變量與自變量之間的關系，建立一次函數模型〔包括分段函數模型〕，并借助一次函數的圖象和性質解決生產、生活、市場經濟等實際問題中函數最大〔小〕值、分段計算、函數值〔或自變量取值〕的大小比擬等有關的問題〔如：最優(yōu)化問題、方案決策問題等〕。三、解題方法指導：1．有關函數的概念【例1】〔云南省〕正比例函數y=kx〔k≠0〕的函數值y隨x的增大而減小，那么一次函數y=x＋k的圖象大致是圖中的〔〕【分析】∵y隨x的增大而減小，∴k<0．∵y=x＋k中x的系數為1>0，k<0，∴經過一、三、四象限，應選B．答案B．【點評】此題綜合考查正比例函數和一次函數圖象和性質，k＞0時，函數值隨自變量x的增大而增大．2．自變量的取值范圍作為函數的三大要素之一，自變量的取值范圍這一問題理所當然成為中考重點考查的內容之一，并且絕大局部的試題都是單獨命題來專門考查．【例2】〔資陽市〕函數的自變量x的取值范圍是_________．【分析】要使函數有意義，必須1－2x≥0x+1≠0，解得x≤1/2且x≠0．【點評】此題主要考查考生是否理解函數中自變量的取值范圍的意義及解不等式、不等式組的運算能力，解題的關鍵是根據函數的解析式列出相應的不等式或不等式組，然后再求解．在列出不等式或不等式組時，一般主要考慮：①分母不等于零；②二次根式的被開方數非負；③如果自變量同時出現在分母與二次根式的被開方數中，那么應根據上述①與②列出不等式組．3．確定函數的解析式此類問題主要是考查考生利用待定系數法來求出有關函數一般解析式中的未知系數，從而確定該函數解析式的能力．【例3】〔陜西〕某出版社出版一種適合中學生閱讀的科普讀物，假設該讀物首次出版印刷的印數不少于5000冊時，投入的本錢與印數間的相應數據如下：印數x〔冊〕500080001000015000……本錢y〔元〕28500360004100053500……〔1〕經過對上表中數據的探究，發(fā)現這種讀物的投入本錢y〔元〕是印數x〔冊〕的一次函數，求這個一次函數的解析式〔不要求寫出x的取值范圍〕；〔2〕如果出版社投入本錢48000元，那么能印該讀物多少冊？【分析】〔1〕設所求一次函數的解析式為y＝kx＋b，那么解得k＝，b＝16000．∴所求的函數關系式為y＝x＋16000．〔2〕∵48000＝x＋16000．∴x＝12800．答：能印該讀物12800冊．【點評】此題主要考查待定系數法以及解方程(組)的運算能力．解題時應根據函數圖象上的點的坐標與函數解析式之間的關系列出方程或方程組，然后再求解．4．圖表信息【例4】〔蘇州卷〕如圖，平面直角坐標系中畫出了函數y=kx+b的圖像．〔1〕根據圖像，求k和b的值．〔2〕在圖中畫出函數y=-2x+2的圖像．〔3〕求x的取值范圍，使函數y=kx+b的函數值大于函數y=-2x+2的函數值．【分析】根據圖象信息，求出一次函數解析式，找出圖象的交點坐標，再根據圖象的位置，判斷函數值的大?。窘狻俊?〕∵直線y=kx+b經過點〔-2，0〕，〔0，2〕．∴解得∴y=x+2．〔2〕y=-2x+2經過〔0，2〕，〔1，0〕，圖像如下圖．〔3〕當y=kx+b的函數值大于y=-2x+2的函數值時，也就是x+2>-2x+2，解得x>0，即x的取值范圍為x>0．5．“三個一次型〞的關系一次函數與一元一次方程、一元一次不等式有著密切聯系的聯系，以此構筑考題是課標中考的一個靚點．例5〔陜西〕閱讀：我們知道，在數軸上，x＝1表示一個點，而在平面直角坐標系中，x＝1表示一條直線；我們還知道，以二元一次方程2x－y＋1＝0的所有解為坐標的點組成的圖形就是一次函數y＝2x＋1的圖象，它也是一條直線，如圖①．觀察圖①可以得出：直線x＝1與直線y＝2x＋1的交點P的坐標〔1，3〕就是方程組的解，所以這個方程組的解為在直角坐標系中，x≤1表示一個平面區(qū)域，即直線x＝1以及它左側的局部，如圖②；y≤2x＋1也表示一個平面區(qū)域，即直線y＝2x＋1以及它下方的局部，如圖③．P(1，3)OP(1，3)Oxy3第2題圖①lx=1y=2x+1Oxy第2題圖②lx=1Oxy第2題圖③ly=2x+1答復以下問題：〔1〕在直角坐標系〔圖④〕中，用作圖象的方法求出方程組的解；xyOy=－2xyOy=－2x+2x=－2Pl【探究】〔1〕如下圖，在坐標系中分別作出直線x＝－2和直線y＝－2x＋2，那么是方程組的解．這兩條直線的交點是P〔－2，6〕．如陰影所示．【評析】此題是一道閱讀理解性考題，主要考查考生應用一次函數的圖象解方程組和一元一次不等式的能力．6．方案設計近幾年來各地中考試題和競賽題中出現了一批風格清新、題型新穎以市場經濟為主，源于社會實踐的優(yōu)化設計試題．解這類問題關鍵是將實際問題中內在本質的聯系抽象為數學問題，進而建立數學模型——求方程(組)、不等式(組)的模型、求函數的最值模型、解幾何模型等；通過對數學問題的求解，作出答案．【例6】〔南平市中考題〕某化工廠生產某種化肥，每噸化肥的出廠價為1780元，其本錢為900元，但在生產過程中，平均每噸化肥有280立方米有害氣體排出，為保護環(huán)境，工廠需對有害氣體進行處理．現有兩種處理方案可供選擇：①將有害氣體通過管道送交廢氣處理廠統一處理，那么每立方米需付費3元；②假設自行引進處理設備處理有害氣體，那么每立方米需原料費0.5元，且設備每月管理、損消耗用為28000元．設工廠每月生產化肥x噸，每月利潤為y元．〔注：利潤＝總收入－總支出〕〔1〕分別求出用方案①、方案②處理有害氣體時，y與x的函數關系式；〔2〕根據工廠每月化肥產量x的值，通過計算分析工廠應如何選擇處理方案才能獲得最大利潤．【精析】建立函數模型，運用函數值的大小進行比擬．解由題意，得〔1〕方案①：y1=(1780-900-3×280)x=40x；方案②：y2=(1780-900-0．5×280)x-28000=740x-28000．〔2〕由y1>y2，得x<40；由y1=y2，得x=40；由y1<y2，得x＞40．因此，當產量小于40噸時，應選擇方案①；當產量等于40噸時，兩種方案均可；當產量大于40噸時，應選擇方案②．【點評】一次函數是最根本的函數，它與一次方程、一次不等式有密切聯系，在實際生活中有廣泛的應用．例如，利用一次函數等有關知識可以在某些經濟活動中作出具體的方案決策．近幾年來一些省市的中考或競賽試題中出現了這方面的應用題，這些試題新穎靈活，具有較強的時代氣息和很強的選拔功能．7．應用題函數是初中數學的重要內容，因此各地在中考中也經常以此內容來編制應用題，以考查考生運用數學的意識及分析問題與解決問題的能力．【例7】〔2023年湖北〕通過電腦撥號上“因特網〞的費用由電話費和上網費兩局部組成．以某市通過“市民熱線〞上“因特網〞的費用為電話費0.18元/3分鐘，上網費為7.2元/小時，后根據信息產業(yè)部調整“因特網〞資費的需要，自1999年3月1日起，某市上“因特網〞的費用調整為電話費0.22元/3分鐘．上網費為每月不超過60小時，按4元/小時計算；超過60小時，按8元/小時計算．(1)根據調整后的規(guī)定，將每月上“因特網〞的費用y(元)表示為上網時間x(小時)的函數；(2)資費調整前，網民曉剛在其家庭經濟預算中，一直有一筆每月70小時的上網費用支出．“因特網〞資費調整后，曉剛要想不超過其家庭經濟預算中的上網費用支出，他現在每月至多可上網多少小時?(3)從資費調整前后的角度分析，比擬某市網民上網費用的支出情況．【精析】依題意，得(1)(2)資費調整前上網70小時所需費用為(3.6+7.2)×70=756(元)資費調整后，假設上網60小時，那么所需費用為8.4×60=504(元)．∵756>504，∴曉剛現在上網時間超過60小時．由12.4x-240≤756，解之，得x≤80.32．∴曉剛現在每月至多可上網約80.32小時．(3)設調整前所需費用為(元)；調整后所需費用為(元)；那么．當0≤x≤60時，，10.8x>8.4x，故當x>60時，．當時，10.8x=12.4x-240，x=150；當時，10.8x>12.4x-240，x<150；當時，10.8x<12.4x-240，x>150．綜上可得當x<150時，調整后所需費用少；當x=150時，調整前后所需費用相同；當x>150時，調整前所需費用少．【點評】將實際問題轉化為數學問題是解應用題的關鍵，而這個轉化過程就是數學建模．傳統中考應用題主要是建立方程(組)模型，而近年來中考出現了許多需要建立一次函數模型解題的應用題．解答這類應用題的關鍵是尋求兩個變量之間的函數關系，善于用運動變化的觀點看問題．【例8】〔2023年廣東中考題〕某公司到果品基地購置某種優(yōu)質水果慰問醫(yī)務工作者，果品基地對購置量在3000kg以上〔含3000甲方案：每千克9元，由基地送貨上門；乙方案：每千克8元，由顧客自己租車運回．該公司租車從基地到公司的運輸費用為5000元．〔1〕分別寫出該公司兩種購置方案付款金額y〔元〕與所購置的水果量x〔kg〕之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍．〔2〕當購置量在哪一范圍時，選擇哪種購置方案付款最少？并說明理由．【精析】由題意分析知：購置方案的付款金額y〔元〕是所購置水果量x〔kg〕的函數，故本例可以構建“函數模型〞．通過一次函數與相應的一次方程、一次不等式的關系，從而掌握相關知識的有機聯系，進一步體會數形結合的思想．

【解】方法1〔1〕〔2〕當＝時，即9x＝8x＋5000，解得x＝5000，∴當x＝5000k當＜時，9x＜8x＋5000，解得x＜5000．∴當3000<x<5000k當＞時，即9x＞8x＋5000，解得x>5000．∴當x＞5000kg方法2圖像法，作出它們的函數圖像，如下圖，由函數圖像可得，當購置量大于或等于3000kg且小于當購置量等于5000k當購置量大于5000kg四、考點突破1.考點指要：函數知識是歷年中考的熱點，與本章知識有關的考題約占全部試題的15%~25%，題型既有填空題、選擇題又有中檔的解答題，更有難度較大的綜合題，近幾年全國各地中考試卷中，還出現了設計新穎，貼近生活、反映時代特點的閱讀理解題、開放性探索題和函數應用題(這在前面的例題中已充分表達)，尤其是全國各地中考試卷中的壓軸題，有以上是與函數有關的綜合題，試題不僅考查函數的根底知識、根本技能、根本數學思想方法，還越來越重視對學生靈活運用知識能力，探索創(chuàng)新能力和實踐能力的考查，考查內容主要有以下幾個方面：〔1〕平面直角坐標系的有關知識?？疾榈念}目是求點關于坐標軸、坐標原點的對稱點的坐標；求線段長度；求某些點的坐標等，主要考查考生對點的坐標等知識的理解及觀察、分析能力．〔2〕函數的有關概念．常見題目有求自變量的取值范圍，求函數值、函數圖象、函數的表示法，主要考查學生的判斷能力、計算能力、作圖能力等．〔3〕正比例函數和一次函數的概念、圖象和性質．常見題目是求函數解析式，確定圖象位置，利用函數性質解決某些問題，主要考查學生對數形結合思想的理解水平和對待定系數法掌握的熟練程度，要求考生既能熟練地根據圖象的位置判斷系數的情況或函數的變化趨勢，又能依據函數的性質或系數的大小判定函數圖象的位置．〔4〕常用的方法有數形結合法，待定系數法、配方法、類比法，在解答有關一次函數的選擇題時，又常用直接法、排除法、特殊值法和驗證法等．為分析問題和解決問題創(chuàng)造了有利條件，是開發(fā)智力、培養(yǎng)能力的重要途徑．〔5〕一元一次方程與一元一次不等式和一次函數的聯系及其應用問題是這幾年來中考的熱點之一，旨在通過實際問題培養(yǎng)學生的化歸能力，即把實際問題轉化為學生學過的數學問題加以解決．2.典例分析：【例1】〔2023上海市〕如果一次函數的圖象經過第一象限，且與軸負半軸相交，那么〔〕A．， B．， C．， D．，【解】B【例2】xyO3〔2023浙江金華〕一次函數與的圖象如圖，那么以下結論①；②；③當時，中，正確的個數是〔〕xyO3A．0 B．1 C．2 D．3【解】B【例3】〔2023甘肅白銀等7市〕【解】．【例4】〔2023湖北宜昌〕2023年5月，第五屆中國宜昌長江三峽國際龍舟拉力賽在黃陵廟揭開比賽帷幕．20日上午9時，參賽龍舟從黃陵廟同時出發(fā)．其中甲、乙兩隊在比賽時，路程y〔千米〕與時間x〔小時〕的函數關系如下圖．甲隊在上午11時30分到達終點黃柏河港．〔OAB為甲隊，OC為乙隊圖象〕〔1〕哪個隊先到達終點？乙隊何時追上甲隊？〔2〕在比賽過程中，甲、乙兩隊何時相距最遠？【解】(1)乙隊先到達終點，對于乙隊，x＝1時，y＝16，所以y＝16x，對于甲隊，出發(fā)1小時后，設y與x關系為y＝kx＋b，將x＝1，y＝20和x＝2.5，y＝35分別代入上式得：解得：y＝10x＋10解方程組得：x＝，即：出發(fā)1小時40分鐘后〔或者上午10點40分〕乙隊追上甲隊.〔2〕1小時之內，兩隊相距最遠距離是4千米，乙隊追上甲隊后，兩隊的距離是16x－(10x＋10)＝6x－10，當x為最大，即x＝時，6x－10最大，此時最大距離為6×－10＝3.125＜4，〔也可以求出AD、CE的長度，比擬其大小〕所以比賽過程中，甲、乙兩隊在出發(fā)后1小時〔或者上午10時〕相距最遠。五、課后測試題1．以下各點中，在函數y=2x-7的圖象上的是〔〕A．〔2，3〕B．〔3，1〕C．〔0，-7〕D．〔-1，9〕2．如圖，一次函數y=kx+b的圖象經過A、B兩點，那么kx+b>0的解集是〔〕A．x>0B．x>2C．x>-3D．-3<x<2(第2題)(第4題)(第7題)3．兩個一次函數y1=-x-4和y2=-x+的圖象重合，那么一次函數y=ax+b的圖象所經過的象限為〔〕A．第一、二、三象限B．第二、三、四象限C．第一、三、四象限D．第一、二、四象限4．如圖，直線y=kx+b與x軸交于點〔-4，0〕，那么y>0時，x的取值范圍是〔〕A．x>-4B．x>0C．x<-4D．x<05．〔2023年杭州市〕一次函數y=kx-k，假設y隨x的增大而減小，那么該函數的圖像經過〔〕A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第二、三、四象限D．第一、三、四象限6．點P1〔x1，y1〕，點P2〔x2，y2〕是一次函數y=-4x+3圖象上的兩個點，且x1<x2，那么y1與y2的大小關系是〔〕A．y1>y2B．y1>y2>0C．y1<y2D．y1=y27．〔2023年紹興市〕如圖，一次函數y=x+5的圖象經過點P〔a，b〕和點Q〔c，d〕，那么a〔c-d〕-b〔c-d〕的值為________．8．〔2023年貴陽市〕函數y1=x+1與y2=ax+b的圖象如下圖，這兩個函數的交點在y軸上，那么y1、y2的值都大于零的x的取值范圍是_______．9．〔2023年重慶市〕如圖，函數y=ax+b和y=kx的圖象交于點P，那么根據圖象可得，關于的二元一次方程組的解是________．(第8題)(第9題)10．〔2023年安徽省〕一次函數的圖象過點〔-1，0〕，且函數值隨著自變量的增大而減小，寫出一個符合這個條件的一次函數的解析式：___________．能力提升11．〔2023年宿遷市〕經過點〔2，0〕且與坐標軸圍成的三角形面積為2的直線解析式是_________．12．〔2023年德陽市〕地表以下巖層的溫度t〔℃〕隨著所處的深度h〔千米〕的變化而變化．t與h之間在一定范圍內近似地成一次函數關系．〔1〕根據下表，求t〔℃〕與h〔千米〕之間的函數關系式；〔2〕求當巖層溫度到達1770℃溫度t〔℃〕…90160300…深度h〔km〕…248…13．〔2023年陜西省〕甲、乙兩車從A地出發(fā)，沿同一條高速公路行駛至距A地400千米的B地．L1、L2分別表示甲、乙兩車行駛路程y〔千米〕與時間x〔時〕之間的關系〔如下圖〕，根據圖象提供的信息，解答以下問題：〔1〕求L2的函數表達式〔不要求寫出x的取值范圍〕；〔2〕甲、乙兩車哪一輛先到達B地？該車比另一輛車早多長時間到達B地？14．〔2023年伊春市〕某工廠用一種自動控制加工機制作一批工件，該機器運行過程分為加油過程和加工過程；加工過程中，當油箱中油量為10升時，機器自動停止加工進入加油過程，將油箱加滿后繼續(xù)加工，如此往復．機器需運行185分鐘才能將這批工件加工完．以下圖是油箱中油量y〔升〕與機器運行時間x〔分〕之間的函數圖象．根據圖象答復以下問題：〔1〕求在第一個加工過程中，油箱中油量y〔升〕與機器運行時間x〔分〕之間的函數關系式〔不必寫出自變量x的取值范圍〕；〔2〕機器運行多少分鐘時，第一個加工過程停止？〔3〕加工完這批工件，機器耗油多少升？15．〔2023年吉林省〕小明受?烏鴉喝水?故事的啟發(fā)，利用量筒和體積相同的小球進行了如下操作：請根據圖中給出的信息，解答以下問題：〔1〕放入一個小球量筒中水面升高_______cm；〔2〕求放入小球后量筒中水面的高度y〔cm〕與小球個數x〔個〕之間的一次函數關系式〔不要求寫出自變量的取值范圍〕；〔3〕量筒中至少放入幾個小球時有水溢出？應用與探究16．〔2023江蘇泰州〕通過市場調查，一段時間內某地區(qū)某一種農副產品的需求數量〔千克〕與市場價格〔元/千克〕〔〕存在以下關系：〔元/千克〕5101520〔千克〕4500400035003000又假設該地區(qū)這種農副產品在這段時間內的生產數量〔千克〕與市場價格〔元/千克〕成正比例關系：〔〕．現不計其它因素影響，如果需求數量等于生產數量，那么此時市場處于平衡狀態(tài)．〔1〕請通過描點畫圖探究與之間的函數關系，并求出函數關系式；510152025510152025(元／千克)(千克)50004500400035003000〔第8題圖〕O〔2〕根據以上市場調查，請你分析：當市場處于平衡狀態(tài)時，該地區(qū)這種農副產品的市場價格與這段時間內農民的總銷售收入各是多少？〔3〕如果該地區(qū)農民對這種農副產品進行精加工，此時生產數量與市場價格的函數關系發(fā)生改變，而需求數量與市場價格的函數關系未發(fā)生變化，那么當市場處于平衡狀態(tài)時，該地區(qū)農民的總銷售收入比未精加工市場平衡時增加了17600元．請問這時該農副產品的市場價格為多少元？答案:1．C2．C3．D4．A5．B6．A7．258．1<x<29．10．答案不唯一．例如：y=-x-111．y=x-2或y=-x+212．〔1〕t與h的函數關系式為t=35h+20．〔2〕當t=1770時，有1770=35h+20，解得：h=50千米．13．解：〔1〕設L2的函數表達式是y=k2x+b，那么解之，得k2=100，b=-75，∴L2的函數表達式為y=100x-75．〔2〕乙車先到達B地，∵300=100x-75，∴x=．設L1的函數表達式是y=k1x，∵圖象過點〔，300〕，∴k1=80．即y=80x．當y=400時，400=80x，∴x=5，∴5-=〔小時〕，∴乙車比甲車早小時到達B地．14．解：〔1〕設所求函數關系式為y=kx+b，由圖象可知過〔10，100〕，〔30，80〕兩點，得，∴y=-x+110．〔2〕當y=10時，-x+110=10，x=100，機器運行100分鐘時，第一個加過程停止．〔3〕第一加工過程停止后再加滿油只需9分鐘，加工完這批工件，機器耗油166升．15．解：〔1〕2，〔2〕設y=kx+b，把〔0，30〕，〔3，36〕代入得：，即y=2x+30．〔3〕由2x+30>49，得x>9．5，即至少放入10個小球時有水溢出．16．解：〔1〕描點略．設，用任兩點代入求得，再用另兩點代入解析式驗證．〔2〕，，．總銷售收入〔元〕農副產品的市場價格是10元/千克，農民的總銷售收入是40000元．〔3〕設這時該農副產品的市場價格為元/千克，那么，解之得：，．，．這時該農副產品的市場價格為18元/千克．第二講分式一、教學目標：理解分式的概念，能夠用它判斷一個代數式是分式還是整式，通過類比的方法掌握分式的根本性質并能準確地運用分式的根本性質進行分式的約分與通分。掌握分式乘除法及加減法的運算，以用分式乘方運算，能夠綜合上述運算進行分式的四那么混合運算，理解負整數指數冪及零指數冪的意義，會用科學記數法表示絕對值較大和較小的數。了解分式方程的概念，理解分式方程的增根，掌握分式方程的驗根方法及列分式方程解實際問題。會解分式方程，能熟練運用分式方程解應用題，掌握具體解題及檢驗步驟。二、知識點精析：分式的概念：形如的式子叫分式，其中A和B均為整式，B中含有字母，注意B的值不能為零。2、根本概念：〔1〕分式的約分：把一個分式的分子與分母的_____約去，叫做分式的約分．步驟：①把分式的分子與分母分解因式；②約去分子與分母的公因式．〔2〕最簡分式：分子與分母沒有公因式的分式叫最簡分式．〔3〕通分：把n個異分母的分式分別化成與原來的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分．3、分式的根本性質：分式的分子與分母都乘以〔或除以〕同一個不等于零的整式，分式的值不變。〔其中M是不等于零的整式〕4、分式的運算：〔1〕加減法：；．〔2〕乘除法：；．〔3〕乘方：．〔4〕符號法那么：．注意：分式運算的結果必須化簡為最簡分式．5、分式方程：分母中含有未知數的有理方程，叫做分式方程。分式方程的解法：去分母法與換元法。注意：解分式方程時，由于去分母擴大了未知數的取值范圍，那么有可能產生增根，因此解分式方程必須驗根。驗根有兩種方法：一種可代入原方程看是否適合進行檢驗，另一種可代入最簡公分母看是否為零。三、解題方法指導：一、分式的概念分式與整式的根本區(qū)別在于分母中是否含有字母，且分母的值不能為零．例1、(1)當x=______時，分式有意義；(2)假設分式的值為O，那么x的值為()．A．3B．3或一3C．-3分析：對分式的概念，中考主要考查分式中字母取什么值時有意義、無意義和值為零的問題．當B≠0時，分式有意義；當B=0時，分式無意義；當A=0且B≠0時，分式=0．由此，依題意(1)應填≠1；(2)應選C．二、分式的根本性質分式的根本性質是分式的變形(約分、通分、符號法那么)的理論依據，分式的四那么運算以及解分式方程都與分式的根本性質有密切聯系，因此，靈活運用分式的根本性質顯得十分重要．例2、〔1)以下各式與相等的是()．A．B．(a≠-b)C．D．．〔2〕如果把分式中的x和y都擴大10倍，那么分式的值〔〕A．擴大10倍B．縮小10倍C．不變D．擴大2倍(3)把分式方程的兩邊同時乘以(x-2)，約去分母，得()．A．1-(1-x)=1B．1+(1-x)=1C．1-(1-x)=x-2分析：(1)根據分式的分子與分母都乘以或除以同一個不等于零的整式，分式的值不變這一性質，可知此題中與相等的選項只有B，故應選B．〔2〕應選C．(3)應注意符號變化，選D．三、分式的運算分式的運算主要包括分式的計算、化簡與求值．這些需要應用較多的根底知識，解題方法多樣，有的變形極易混淆，故特別要注意每步運算的根據，選擇合理的運算途徑，嚴格依據運算法那么、順序和運算性質進行．例3、(1)計算：1-;(2)先化簡，再求值：,其中x=-2．分析：(1)應注意運算順序和乘法公式的運用，通分時不能忽略分數線的括號作用；(2)需按要求先化簡，再求值，化簡時可先將括號里通分運算后再做乘法，也可由其特點運用運算律直接做乘法約分化簡．解:(1)原式=1-.(2)原式=．當x=-2時，原式=2(-2)+4=2．例4、x＋＝４，求的值．分析：從求出x的值再代入計算顯然很繁．注意到求值式的分子、分母同時除以后可化為含x＋的結構形式，因此把求值式變形為＝＝＝．四、解分式方程(組)例5：指出以下方程中，分式方程有〔〕①=5②=5③x2-5x=0④+3=0A．1個B．2個C．3個D．4個【點評】根據分式方程的概念，看方程中分母是否含有未知數．解分式方程(組)的根本思想是化分式方程為整式方程(組)，轉化的方法有兩種，一是去分母，二是換元．因為分式方程有產生增根的可能，所以檢驗是不可無視的步驟．例6、(1)解方程：．(2)用換元法解方程，可設y=x+，那么原方程化為關于y的整式方程是_________．分析：(1)采用去分母的方法，不能漏乘不含分母的項；(2)應注意配方法和整體思想的運用，即.解：〔1〕去分母，得2-〔x+1〕=x-1，即x，，解得x1=-2,x2=1．經檢驗：x1=-2是原方程的根，x2=1是增根．所以原方程的根是x=-2．(2)設y=x+，那么原方程化為y-2+y=4，即應填y2+y-6=O．五、列分式方程解應用題列分式方程解情景應用問題是中考?？嫉臒狳c問題．首先要弄清題意，找到等量關系，再根據題意，正確地列出方程，注重解題過程中的檢驗，不可忽略．例7、某市今年1月1日起調整居民用水價格，每立方米水費上漲25％，小明家去年12月份的水費是18元，而今年5月份的水費是36元．小明家今年5月份的用水量比去年12月份多6m3分析：利用=用水量，抓住“今年5月份的用水量比去年12月份多6m3”解：設該市去年居民用水的價格為x元／m3，那么今年用水價格為(1+25％)x元／m3．根據題意，得6．解這個方程，得x=1.8．經檢驗，x=1．8是原方程的解，那么(1+25％)x=2.25(元／m3)．答：該市今年居民用水的價格為2.25元／m3易錯點剖析1．符號錯誤例1．不改變分式的值，使分式的分子、分母第一項的符號為正．錯解：診斷：此題錯誤的原因是把分子、分母首項的符號當成了分子、分母的符號．正解：．2．運算順序錯誤例2．計算：錯解：原式=．診斷：分式的乘除混合運算是同一級運算，運算順序應從左至右．正解：原式=．3．錯用分式根本性質例3．不改變分式的值，把分式的分子、分母各項系數都化為整數．錯解：原式=．診斷：應用分式的根本性質時，分式的分子、分母必須同乘以同一個不為0的整式，分式的值不變，而此題分子乘以2，分母乘以3，分式的值改變了．正解：原式=．4．約分中的錯誤例4．約分：．錯解：原式=．診斷：約分的根據是分式的根本性質，將分子、分母的公因式約去，假設分子、分母是多項式，須先分解因式，再約去公因式．正解：原式=．5．結果不是最簡分式例5．計算：．錯解：原式=．診斷：分式運算的結果必須化為最簡分式，而上面所得結果中分子、分母還有公因式，必須進一步約分化簡．正解：原式=．6．誤用分配律例6．計算：．錯解：原式=．診斷：乘法對加法有分配律，而除法對加法沒有分配律．正解：原式=．7．忽略分數線的括號作用例7．計算：．錯解：原式=．診斷：此題錯誤在于添加分數線時，忽略了分數線的括號作用．正解：原式=四、考點突破1.考點指要：〔1〕分式及其根本性質是中考考查內容的熱點，重點考查分式有無意義及分式值為0的條件；利用分式的根本性質進行分式的變形。對于分式的通分、約分一般不單獨命題，試題形式主要是選擇題和填空題，屬中、低檔題?！?〕分式的運算是中考的重要考點之一，主要是考查分式的混合運算，分式的求值以及冪指數的運算有關問題。有時與其他題一起考查。題目有選擇題、填空題、解答題，解答題主要是化簡與計算?！?〕解分式方程和列分式方程解應用題都是中考的重要考點，有時單獨命題，有時與函數、其他知識綜合考查。2.典例分析：一、規(guī)律型例1〔2023年臨安中考題〕：，，，，……，假設符合前面式子的規(guī)律，那么a+b=．分析：觀察的四個等式我們發(fā)現：等式的左邊是一個整數與分數的和，且整數與分數的分子相同，分數的分母等于整數的平方減1，等式的右邊是左邊的整數的平方與左邊的分數的積.解：從上述規(guī)律可以得到式子中，，所以評注：此題是猜測數式規(guī)律型問題，它通常給定一些數字、代數式、等式或者不等式，然后猜測其中蘊含的規(guī)律。一般解法是先寫出數式的根本結構，然后通過橫比〔比擬同一等式中不同局部的數量關系〕或縱比〔比擬不同等式間相同位置的數量關系〕找出各局部的特征，改寫成要求的格式。解題時要善于從所提供的數式中，尋找其共同之處，這個存在于個例中的共性，就是規(guī)律。由于猜測本身就是一種重要的數學方法，也是人們探索發(fā)現新知的重要手段，非常有利于培養(yǎng)創(chuàng)造性思維能力，所以備受命題專家的青睞，逐步成為中考的又一熱點。二、說理型例2〔2023年紹興市〕P=，Q=(x+y)2-2y(x+y).小敏、小聰兩人在的條件下分別計算了P和Q的值，小敏說P的值比Q大，小聰說Q的值比P大，請你判斷誰的結論正確，并說明理由。分析：此題通過情景化創(chuàng)新命題，來考查學生化簡求值的能力。一般先化簡再求值；當然，此題也可以直接代入求值。求值后“事實勝于雄辯〞。解：∵P==∴x=2,y=-1時,P=2+(-1)=1.又∵Q=(x+y)2-2y(x+y)=x2-y2,∴x=2,y=-1,Q=22-(-1)2=3.∵P＜Q∴小聰的結論正確。評注：此題它雖未在難度上著墨，卻令人頗感新意，從解題到命題，表達出對靈活思維的要求，給學生帶來新奇與挑戰(zhàn)，值得重視。另外不加限制的求值能滿足學生多樣化學習需要。三、改錯型例3〔2023年邵陽市〕對于試題：“先化簡，再求值：其中x=2.〞某同學寫出了如下解答： 解： 她的解答正確嗎？如不正確，請你寫出正確解答。分析：這是一道查尋解題過程是否錯誤的閱讀理解題，命題者有意設計的化簡過程，正是抓住了學生的思維漏洞，應切記分式的化簡是不能像解方程那樣去分母的。認真閱讀，審查每一步的解答是否合理、有據、完整是解題關鍵。解：不正確；正確解法：評注：分式的化簡與計算只有在分母是分子的因式時，才能通過約分，約去分母，而不能像解方程那樣去分母。此題從一道錯誤的題入手，引導學生找出錯誤，探究原因，并且改正錯誤，重新計算，加深學生對分式性質及其去分母的理解，更加明確它們之間的區(qū)別，從而使學生在思想上建立起克服這一錯誤的主動意識。要注意等式與代數式的區(qū)別。四、開放型例4〔2023年黑龍江省雞西市〕先化簡(1+eq\f(1,x-1))÷eq\f(x,x2-1)，再選擇一個恰當的x值代入并求值．分析：這類題原本是化簡求值題，但一改往常形式，給了我們“自主〞的空間，解它時，一是按常規(guī)先化簡，二是在取值時既要注意使運算更簡，同時又要考慮到“隱含條件〞的約束〔x取不等于-l，O，1的其他值〕。解：原式=〔eq\f(x-1,x+1)+eq\f(1,x-1)〕·eq\f(〔x+1〕〔x-1〕,x)=eq\f(x,x-1)·eq\f(〔x+1〕〔x-1〕,x)=x+1例如，當x=-2時，原式=-1評注：這種題型答案不唯一，主要考查的知識有分式的意義、分式的加減、分式的乘除等，對字母自主取值表達了對考生的人文關心，又考查了學生思維的縝密性。五、新定義型例5〔2023年內江市〕對于正數x，規(guī)定f〔x〕=,例如f〔3〕=，f〔〕=，計算f〔〕+f〔〕+f〔〕+…f〔〕+f〔〕+f〔1〕+f〔1〕+f〔2〕+f〔3〕+…+f〔2023〕+f〔2023〕+f〔2023〕=.分析:由符號f(x)的定義f〔x〕=可得:f()=，從而發(fā)現f〔x〕+f()=1.解：f〔〕+f〔〕+f〔〕+…f〔〕+f〔〕+f〔1〕+f〔1〕+f〔2〕+f〔3〕+…+f〔2023〕+f〔2023〕+f〔2023〕=[f〔〕+f〔2023〕]+[f〔〕+f〔2023〕]+[f〔〕+f〔2023〕]+…[f〔1〕+f〔1〕]=2023.評注：解決符號信息遷移題的關鍵是要準確理解新符號的數學意義，主要考查符號語言、文字語言、圖形圖象語言間的轉譯能力及推理運算能力。此題關鍵是發(fā)現f(x)+f()=1.六、選擇型例6〔2023年茂名市〕：兩個分式..其中x≠±1.下面三個結論：①A=B，②A、B為倒數，③A、B互為相反數。請問這三個結論中哪一個結論正確？為什么？分析：要比擬兩個分式的大小關系，可先對分式進行化簡解：=，比擬可知，A與B只是分式本身的符號不同，所以A、B互為相反數．選③.評注：解決此類問題的關鍵是對某個分式進行化簡，然后比擬，再作出選擇。此題通過創(chuàng)設新情景，采用活設問的方式對學生進行能力考查，這是中考命題的一個趨勢，值得重視。七、恒等型例7〔2023年十堰市〕：，求A、B的值。分析：仔細觀察可以發(fā)現：右邊的分式的最簡公分母就是左邊分式的分母，對右邊分式進行化簡，通過比擬系數可建立方程組，從而獲解。解=∴∴∴評注：這類試題的出現，既開拓了學生的視野、豐富了學生的知識，又考查了學生對新知識的遷移、類比能力。七、探索型例8〔2023年益陽市〕我們把分子為1的分數叫做單位分數.如，，…，任何一個單位分數都可以拆分成兩個不同的單位分數的和，如＝，＝，＝，…□○〔1〕根據對上述式子的觀察，你會發(fā)現＝.請寫出□，○所表示的數；□○☆△〔2〕進一步思考，單位分數〔n是不小于2的正整數〕＝，請寫出△，☆所表示的式，并加以驗證.☆△分析：此題首先通過舉例比擬、觀察、猜測等手段，找到不變量和變量及它們的關系，進行合理推理，得到初步結論，符合學生現有認知水平。解：〔1〕觀察給出的三個單位分數的分解，我們發(fā)現拆分的分母之間存在如下的關系：，，，下一個單位分數拆分的分母的關系是，所以□表示的數為6，○表示的數為30；〔2〕依據上述規(guī)律可知：△表示的式為，☆表示的式為.理由是：評注：此題涉及的思想方法有字母代數、由特殊到一般、化歸等，較好地考查了學生運用數學思想方法分析和解決問題的能力。數學思想方法是數學的“靈魂〞，是分析問題、解決問題的“金鑰匙〞。學生只有平時熟練地掌握這些思想方法，才能應用的得心應手，分析和解決問題時才能減少思維受阻。五、課后測試題1．如果分式的值相等，那么x的值是〔〕A．9B．7C．5D．32．〔2023年宿遷市〕假設關于x的方程=0有增根，那么m的值是〔〕A．3B．2C．1D．-13．〔2023年諸暨市〕如果從一卷粗細均勻的電線上截取1米長的電線，稱得它的質量為a克，再稱得剩余質量為b克，那么原來這卷電線的總長度是〔〕A．米B．〔+1〕米C．〔+1〕米D．〔+1〕米4．假設x-=7，那么x2+的值是〔〕A．49B．48C．47D．515.〔2023年黃岡市〕計算:的結果為〔〕A．1B．6．兩個分式：A=，其中x≠±2，那么A與B的關系是〔〕A．相等B．互為倒數C．互為相反數D．A大于B7．〔2023年懷化市〕方程的解是_______．8．假設關于x的方程-1=0無實根，那么a的值為_______．9．假設x+=2，那么x+=_______．10．化簡：·〔x2-9〕.【能力提升】11．解以下方程：〔1〕=1；〔2〕〔2023年河南省〕=3。12．化簡：.13．〔2023年莆田市〕化簡求值：，其中a=．14．先閱讀以下一段文字，然后解答問題．：方程x-=1的解是x1=2，x2=-；方程x-=2的解是x1=3，x2=-；方程x-=3的解是x1=4，x2=-；方程x-=4的解是x1=5，x2=-．問題：觀察上述方程及其解，再猜測出方程x-=10的解，并寫出檢驗．【應用與探究】15．閱讀理解題：閱讀以下材料，關于x的方程：x+=c+的解是x1=c，x2=；x-=c-的妥是x1=c，x2=-；x+=c+的解是x1=c，x2=；x+=c+的解是x1=c，x2=……〔1〕請觀察上述方程與解的特征，比擬關于x的方程x+〔m≠0〕與它們的關系，猜測它的解是什么，并利用“方程的解〞的概念進行驗證．〔2〕由上述的觀察、比擬、猜測、驗證，可以得出結論：如果方程的左邊是未知數與其倒數的倍數，方程右邊的形式與左邊完全相同，只把其中未知數換成了某個常數，那么這樣的方程可以直接得解，請用這個結論解關于x的方程：x+.

16．〔2023年紹興市〕P=，Q=〔x+y〕2-2y〔x+y〕，小敏、小聰兩人在x=2-y=-1的條件下分別計算了P和Q的值．小敏說P的值比Q大，小聰說Q的值比P大．請你判斷誰的結論正確，并說明理由．17．〔2023年長沙市〕在社會主義新農村建設中，某鄉(xiāng)鎮(zhèn)決定對一段公路進行改造．這項工程由甲工程隊單獨做需要40天完成；如果由乙工程隊先單獨做10天，那么剩下的工程還需要兩隊合做20天才能完成．〔1〕求乙工程隊單獨完成這項工程所需的天數；〔2〕求兩隊合做完成這項工程所需的天數．18．〔2023年懷化市〕懷化市某鄉(xiāng)積極響應黨中央提出的“建設社會主義新農村〞的號召，在本鄉(xiāng)建起了農民文化活動室，現要將其裝修．假設甲、乙兩個裝修公司合做需8天完成，需工錢8000元；假設甲公司單獨做6天后，剩下的由乙公司來做，還需12天完成，共需工錢7500元．假設只選一個公司單獨完成．從節(jié)約開始角度考慮，該鄉(xiāng)是選甲公司還是選乙公司？請你說明理由．答案:1．A2．B3．B4．D5．A6．C7．x=08．a=19．x2+=210．x+311．〔1〕x=2〔2〕x=-12．-=14．x1=11，x2=-檢驗略15．〔1〕x1=c，x2=.16．解：∵P===x+y，∴當x=2，y=-1時，P=1，∴當Q=〔x+y〕2-2y〔x+y〕=x2-y2，∴當x=2，y=-1時，Q=3，∴P<Q，∴小聰的結論正確．17．〔1〕解：設乙工程隊單獨完成這項工程需要x天，根據題意得：×20=1，解之得：x=60，經檢驗：x=60是原方程的解．答：乙工程隊單獨完成這項工程所需的天數為60天．〔2〕解：設兩隊合做完成這項工程需的天數為y天，根據題意得：〔〕y=1，解得：y=24．答：兩隊合做完成這項工程所需的天數為24天18．解：設甲獨做x天完成，乙獨做y天完成，設甲每天工資a元，乙每天工資b元．∴甲獨做12×750=9000，乙獨做24×250=6000，∴節(jié)約開支應選乙公司．第三講整式一、教學目標：通過探究整式運算法那么、冪的運算性質、乘法公式推導的過程，理解整式運算的算理，進一步提高觀察、歸納、類比、概括等能力，培養(yǎng)有條理的思考及語言表達能力。了解正整數指數冪的運算性質。會進行簡單的整式加、減運算；會進行簡單的整式乘、除運算〔其中多項式相乘僅指一次式相乘，整式的除法只要求到多項式除以單項式且結果是整式〕。會推導乘法公式，了解公式的幾何背景、并能進行簡單計算。了解整式乘法與因式分解之間的互逆關系，會用提公因式法、公式法〔直接用公式不超過兩次〕分解因式〔指數是正整數〕二、知識點精析：整式是代數式中最根本的式子，引進整式是實際的需要，也是學習后續(xù)內容〔例如分式、一元二次方程等〕的需要。整式是在以前學習了有理數運算、列簡單的代數式、一元一次方程及不等式的根底上引進的。一、整式的四那么運算

1.整式的加減

合并同類項是重點，也是難點。合并同類項時要注意以下三點：①要掌握同類項的概念，會區(qū)分同類項，并準確地掌握判斷同類項的兩條標準：字母和字母指數；②明確合并同類項的含義是把多項式中的同類項合并成一項，經過合并同類項，多項式的項數會減少，到達化簡多項式的目的；③“合并〞是指同類項的系數的相加，并把得到的結果作為新的系數，要保持同類項的字母和字母的指數不變。

2.整式的乘除

正如合并同類項是整式加減法的實質和根底，冪的乘法、除法、乘方的運算性質是整式乘除的根底，在單項式乘法、除法中，系數作實數的乘除，字母局部的運算實質就是冪的運算，在整式的乘除中，單項式的乘除是關鍵，這是因為，一般多項式的乘除都要“轉化〞為單項式的乘除。乘法公式的結構特征以及公式中的字母的廣泛含義，學生不易掌握。因此，乘法公式的靈活運用是難點，添括號〔或去括號〕時，括號中符號的處理是另一個難點。添括號〔或去括號〕是對多項式的變形，要根據添括號〔或去括號〕的法那么進行。

整式四那么運算的主要題型有：

〔1〕單項式的四那么運算

此類題目多以選擇題和應用題的形式出現，其特點是考查單項式的四那么運算。

〔2〕單項式與多項式的運算

此類題目多以解答題的形式出現，技巧性強，其特點為考查單項式與多項式的四那么運算。

二、因式分解

難點是因式分解的三種根本方法(提公因式法、運用公式法、十字相乘法**〕。因式分解的步驟為：有公因式的先提公因式；沒有公因式的嘗試運用公式；再嘗試其他方法分解，分解的原那么是每個因式都不能再分解為止。因式分解是整式乘法的逆向變形。三、解題方法指導：冪的運算性質例1〔1〕am·an=_______〔m，n都是正整數〕；〔2〕am÷an=________〔a≠0，m，n都是正整數，且m>n〕，特別地：a0=1〔a≠0〕，a-p=〔a≠0，p是正整數〕；〔3〕〔am〕n=______〔m，n都是正整數〕；〔4〕〔ab〕n=________〔n是正整數〕〔5〕平方差公式：〔a+b〕〔a-b〕=_________．〔6〕完全平方公式：〔a±b〕2=__________．例2以下各式計算正確的選項是〔〕Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．例3：計算：〔1〕，〔2〕59.8解：〔1〕原式=〔2〕原式=例4：假設是一個完全平方式，那么m=________。解：m=同類項的概念例5假設單項式2am+2nbn-2m+2與a5b7是同類項，求nm的值．點評：考查同類項的概念，由同類項定義可得解出即可n=3,m=-1例6：合并同類項：解：原式=整式的化簡與運算例7，求M—N的值。解：M—N=例8：〔2023年江蘇省〕先化簡，再求值：[〔x-y〕2+〔x+y〕〔x-y〕]÷2x其中x=3，y=-1．5．原式=[當x=3，y=-1．5時，原式=4.5點評：本例題主要考查整式的綜合運算，學生認真分析題目中的代數式結構，靈活運用公式，才能使運算簡便準確．求值問題例9：假設，用含a、b的代數式表示。解：點評：從未知向轉化是數學的常規(guī)思路。例10：求值：解：原式==點評：此例直接通分計算顯然比擬復雜，如果注意到括號里的每個因式中的兩項都是兩個數的平方差形式，這就不難想到逆用平方差公式，將所求代數式變形，再約分，就可求值。例11：當時，的值為－2，求當時，這個代數式的值。解：由題意可得：，那么得：那么：當時，原式=8+6=14。例12：x+y=7,xy=10，求的值。解：原式=。點評：用條件所給代數式表示結論中的代數式進行整體代入求值。另外注意乘法公式的運用：上述完全平方公式的變形在求值、證明、判定關系等有廣泛應用。綜合問題例13：代數式，你能把它化為的形式嗎？〔其中P為常數〕進一步，你能求出這個代數式的最小值嗎？此時x、y的值又是多少？解：因為：所以：這個代數式的最小值為7，此時x=3,y=-2。點評：代數式的最小〔大〕值的求法通常通過逆用完全平方公式將它寫成的形式，該代數式的最小〔大〕值就是P例14：假設一個三角形的三邊滿足，你能求出這個三角形的三邊長嗎？解：由條可得：，又由非負數的性質可得：a-1=0,b-1=0,c-1=0故：a=1,b=1,c=1。因式分解例15：對以下各式進行分解因式：〔1〕，〔2〕〔x2+4〕2-16x2，〔3〕〔a+b〕2+2〔a+b〕-15解：〔1〕〔2〕〔x2+4〕2-16x2=〔x2+4〕2-〔4x〕2=〔x2+4x+4〕〔x2-4x+4〕=〔x+2〕2〔x-2〕2.〔3〕〔a+b〕2+2〔a+b〕-15=［〔a+b〕-3］［〔a+b〕+5］=〔a+b-3〕〔a+b+5〕.點評：因式分解的意義：把一個多項化為幾個整式的積的形式，叫做把這個多項式因式分解，也叫做把這個多項式分解因式。這一概念的特點是：〔1〕多項式因式分解的結果一定是積的形式；〔2〕每個因式必須是整式〔單項式或多項式〕；〔3〕各因式要分解到不能再分為止〔本章，只在有理數范圍內研究因式分解〕。四、考點突破1.考點指要：本章知識在中考試卷中主要以選擇題、填空題的形式出現，少量解答題主要與代數的化簡求值和分式的化簡聯系在一起考查，涉及本章內容的命題熱點主要有以下幾個方面：〔1〕整式有關的概念；〔2〕同類項的定義在解題中的運用；〔3〕整式的四那么運算；〔4〕正整數冪的乘除、乘方的性質和零次冪；〔5〕乘法公式的運用；〔6〕多項式的因式分解及因式分解在化簡中的運用。2.典例分析：例1：〔07德州〕以下算式中，正確的選項是〔〕Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．例2：〔07成都〕以下運算正確的選項是〔〕Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．例3：〔07濟南〕分解因式的結果為．例4：〔07哈爾濱〕柜臺上放著一堆罐頭，它們擺放的形狀見右圖：第一層有聽罐頭，第二層有聽罐頭，第三層有聽罐頭，……根據這堆罐頭排列的規(guī)律，第〔為正整數〕層有聽罐頭〔用含的式子表示〕．解：(n+1)(n+2)aaaabbbb甲乙例5：〔07浙江〕aaaabbbb甲乙解：〔a-b)2＝a2-2ab＋b2五、課后測試題一、選擇題。計算(-3)2n+1+3?(-3)2n結果正確的選項是()A.32n+2B.-32n+2C.02.有以下5個命題:①3a2+5a2=8a2②m2?m2=2m2③x3?x4=x12④(-3)4?(-3)2=-36⑤(x-y)2?(y-x)3=(y-x)5A.1個B.2個C.3個D.4個3.適合2x(x-1)-x(2x-5)=12的x值是()A.x=1B.x=2C.x=44.設(5a+3b)2=(5a-3b)2+M,那么M的值是()A.30abB.60abC.15abD.12ab5.xa=3xb=5那么x3a+2b的值為()A.27B.675C.526.-an與(-a)n的關系是()A.相等B.互為相反數C.當n為奇數時,它們相等;當n為偶數時,它們互為相反數D.當n為奇數時,它們互為相反數;當n為偶數時,它們相等7.以下計算正確的選項是()A.(-4x)(2x2+3x-1)=-8x3-12x2-4xB.(x+y)(x2+y2)=x3+y3C.(-4a-1)(4a-1)=1-16a2D.(x-2y)2=x2-2xy+4y28.以下從左到右的變形中,屬于因式分解的是()A.(x+1)(x-1)=-x2-1B.x2-2x+1=x(x-2)+1C.a2-b2=(a+b)(a-b)D.mx+my+nx+ny=(x+y)m+n(x+y)9.假設x2+mx-15=(x+3)(x+n),那么m的值為()A.-5B.5C.-210.4(a-b)2-4(b-a)+1分解因式的結果是()A.(2a-2b+1)2B.(2a+2b+1)2C.(2a-2b-1)2D.(2a-2b+1)(2a-2b-1)填空題。11.計算3xy2·(-2xy)=12.多項式6x2y-2xy3+4xyz的公因式是13.多項式(mx+8)(2-3x)展開后不含x項,那么m=14.設4x2+mx+121是一個完全平方式,那么m=15.a+b=7,ab=12,那么a2+b2=三.解答題16.計算(a2)4a-(a3)217.計算(5a3b)·(-4abc)·(-5ab)18.22n+1+4n=48,求n的值.19.先化簡,再求值(x+3)(x-4)-x(x-2),其中x=1120.利用乘法公式計算(1)1.02×0.98(2)99221.因式分解4x-16x322.因式分解4a(b-a)-b223.(x+my)(x+ny)=x2+2xy-6y2,求-(m+n)?mn的值.24.a+b=3,ab=-12,求以下各式的值.(1)a2+b2(2)a2-ab+b2答案一.選擇題(共10題每題3分共30分)1.C,2.B3.C4.B5.B6.C7.C8.C9.C10.A二.填空題(每題3分共15分)11.-6x2y312.2xy(3x-y2+2z)13.1214.4415.25三.解答題(共55分)16.解:原式=a8a-a6=a9-a9=017.解:原式=(-20a4b2=100a5b318.解:22n+1+4n=4822n·2+22n=4822n(1+2)=4822n=1622n=24即:2n=4n=219.解:原式=x2-4x+3x-12-x2+2x=x-12把X=11代入x-12得:x-12=-120.(1)解:原式=(1+0.02)(1-0.02)=1-0.004=0.9996(2)解:原式=(100-1)2=10000-200+1=980121.解:原式=4x(1-4x2)=(1+2x)(1-2x)22.解:原式=4ab-4a2-b2=-(4a2-4ab+b2)=-(2a-b)223.解:(x+my)(x+ny)=x2+2xy-6y2,x2+(m+n)xy+mny2=x2+2xy-6y2即:m+n=2mn=-6-(m+n)·mn=(-2)·(-6)=1224.(1)解:a2+b2=a2+2ab+b2-2ab=(a+b)2-2ab把a+b=3,ab=-12代入(a+b)2-2ab得:(a+b)2-2ab=9+24=33(2)解:a2-ab+b2=a2-ab+3ab+b2-3ab=a2+2ab+b2-3ab=(a+b)2-3ab把a+b=3,ab=-12代入(a+b)2-3ab得:(a+b)2-3ab=9+36=45第四講數據的描述一、教學目標：1．進一步認識條形圖、折線圖、扇形圖，掌握它們各自的特點；2．會畫扇形圖，會用扇形圖描述數據；3．結合實例進一步理解頻數的概念，了解頻數分布的意義和作用；4．能夠根據需要對數據進行適當的分組；會列頻數分布表，會畫頻數分布直方圖和頻數折線圖；5．會根據問題需要選擇適當的統計圖描述數據；6．通過從事收集和處理數據活動，經歷統計的根本過程，感受統計在生活和生產中的作用，激發(fā)學習統計的興趣，建立統計的觀念；通過調查研究培養(yǎng)實事求是的科學態(tài)度．二、

知識點精析：知識點1扇形統計圖的畫法Ⅰ.把一個圓的面積看成是1，以圓心為頂點的周角是360°那么圓心角是36°的扇形占整個圓面積的，即10%.同理，圓心角是72°的扇形占整個圓面積的，即20%.因此，畫扇形統計圖的關鍵是算出圓心角的大小.Ⅱ.扇形的面積與其對應的圓心角的關系.〔1〕扇形的面積越大，圓心角的度數越大.〔2〕扇形的面積越小，圓心角的度數越小.Ⅲ.扇形所對圓心角的度數與百分比的關系是：圓心角的度數=百分比×360°.知識點2頻數分布直方圖在描述和整理數據時；往往可以把數據按照數據的范圍進行分組，整理數據后可以得到頻數分布表，在平面直角坐標系中，用橫軸表示數據范圍，縱軸表示各小組的頻數，以各組的頻數為高畫出與這一組對應的矩形，得到頻數分布直方圖.知識點3頻數分布直方圖的畫法〔1〕找到這一組數據的最大值和最小值；〔2〕求出最大值與最小值的差；〔3〕確定組距，分組；〔4〕沖出頻數分布表；〔5〕由頻數分布表畫出頻數分布直方圖.知識點4畫頻數分布直方圖的考前須知〔1〕分組時，不能出現數據中同一數據在兩個組中，為了防止出現這種情況，通常分組時，比題中要求數據單位多一位，比方：題中數據要求到整數位，分組時要求數據到0.5即可.〔2〕組距和組數確實定沒有固定的標準，要憑借經驗和研究的具體問題來決定.通常數據越多，分成的組數也越多，當數據在100以內時，根據數據的多少通常分成5～12個組.知識點5頻率分布直方圖同頻數分布直方圖類似，只是縱軸表示各小組的頻率.其他均與頻數分布直方圖相同.知識點6頻數分布折線圖在描述數據時，我們也可以用頻數折線圖來描述頻數的分布情況，頻數折線圖可以在頻數分布直方圖的根底上畫出來.在畫頻數分布折線圖時，首先取直方圖中每一個矩形上邊的中點，然后將這些點用線段依次連接起來，就得到頻數分布折線圖.三、解題方法指導：例1〔2023·廣東〕為了了解中學生的身體發(fā)育情況，對某一中學同年齡的50名女學生的身高進行了測量，結果如下〔單位：厘米〕：165155160166157171151163161167169162155148162163156167159171150153156167165164163164161161148160155165155164159153156156164162156162157162165151163157完成下面的頻率分布表.分組頻數累計頻數頻率147.5～150.53150.5～153.5153.5～156.5正90.180156.5～159.5正50.100159.5～162.5正正100.200162.5～165.5165.5～168.540.080168.5～171.530.060合計501.000〔分析〕此題主要考查整理數據的能力和頻率的計算能力.“頻數累計〞一欄，從上到下的兩個空格分別是：；正正“頻數〞一欄，從上到下的兩個空格分別是：4；12“頻率〞一欄，從上到下的三個空格分別是：O.O60，O.08O，O.240例2某班同學進行數學測驗，將所得成績〔得分取整數〕進行整理后分成五組，并繪制成頻數分布直方圖〔如下圖〕，請結合直方圖提供的信息，答復以下問題.〔1〕該班共有多少名學生？〔2〕80.5～90.5這一分數段的頻數、頻率分別是多少？〔3〕這次成績，哪一個分數段的人數最多？是多少？〔4〕從左到右各小組的頻率比是多少？分析：此題主要考查學生讀圖能力和利用圖中信息解決問題的能力.解：(1)4+10+18+12+6=50〔人〕.∴該班共有50人.〔2〕80.5～90.5這一分數段有12人.頻率是12÷50=0.24，∴80.5～90.5這一分數段的頻數、頻率分別是12，0.24.〔3〕這次成績，70.5～80.5這個分數段的人數最多，是18人.〔4〕兩種方法：方法1：4∶1O∶18∶12∶6=2∶5∶9∶6∶3.〔直接運用人數比〕方法2：∶∶∶∶=2∶5∶9∶6∶3.〔直接運用頻率比〕∴從左到右各小組的頻率比是2∶5∶9∶6∶3.點評：求頻率之比時，有兩種方法，一種是直接用各小組的頻數來求比.另一種是分別求出各小組的頻率，再求比值，在計算時要靈活運用.綜合應用題例3某市在舉辦“迎奧運登山活動〞中，參加登山活動的市民約有12000人，為統計參加活動人員的年齡情況，我們從中隨機抽取了100人的年齡，進行數據處理，制成扇形統計圖和條形統計圖如下.〔1〕根據圖中提供的信息補全以下圖；〔2〕參加登山活動的12000余名市民中，哪個年齡段的人數最多？〔3〕根據統計圖提供的信息，說一說自己的感想.分析：此題主要考查學生的讀圖能力和由統計圖獲取有用信息的能力.〔1〕可直接在上圖中完成，但要補全，切忌遺漏.〔2〕由扇形統計圖可知，60～69歲的人最多.〔3〕是開放性試題，答對一條即可.解：(1)如上圖所示.〔2〕由題目中的統計圖知，60～69歲的人最多.〔3〕答復對一條即可.例4為了讓學生了解環(huán)保知識，增強環(huán)保意識，某中學舉行了一次“環(huán)保知識競賽〞，共有900名學生參加了這次競賽.為了解本次競賽成績情況，從中抽取了局部學生的成績〔得分取正整數，總分值為100分〕進行統計，請你根據下面尚未完成并有局部污損的頻率分布表和頻率分布直方圖〔如下圖〕，解答以下問題.〔1〕填充頻率分布表中的空格；〔2〕補全頻率分布直方圖；〔3〕在該問題中，共抽取人的成績進行統計；〔4〕全體參賽學生中，競賽成績落在哪組范圍內的人數最多？〔不要求說明理由〕〔5〕假設成績在90分以上〔不含90分〕為優(yōu)秀，那么該校成績優(yōu)秀的約為多少人？解：(1)由頻率分布表可知，抽樣調查總數為：4÷0.08=50〔人〕∴90.5～100.5分數段的人數為50-4-8-10-16=12〔人〕，這一分數段的頻率為12÷50=0.24.“合計〞中，頻數是50，頻率是1.00.〔2〕如上圖虛線所示.〔3〕在該問題中，共抽取50人的成績進行統計.〔4〕由頻率分布表可以看到，8O.5～9O.5這一分數段的人數最多.〔5〕成績在90分以上〔不含90分〕的占0.24，所以，900×0.24=216〔人〕.∴該校成績優(yōu)秀的約為216人.點評：解此題的關鍵是填充“頻率分布表〞，在這一問題中，既可以利用某小組的頻數和頻率，用“頻數÷頻率=總人數〞求出總人數，進而求出90.5～100.5這一分數段的人數，再求出相對應小組和合計的頻率.同時，也可以從頻率著眼，各小組的頻率之和為1.00，從而求出90.5～100.5分數段的頻率，進而求出這一分數段的頻數.注意解題的靈活性.例如：求出90.5～100.5分數段的頻率是0.24，是50.5～60.5分數段的頻率的3倍，故此，90.5～100.5分數段的頻數是4×3=12〔人〕，計算起來比擬簡便.探索與創(chuàng)新題主要考查學生利用已有的知識探索實際生活中的相關問題，并在已有知識的根底上創(chuàng)造性地發(fā)現問題和解決問題.這也是近幾年以來中考的熱點問題，有開放題、綜合應用題、讀圖探索信息題等.例5某中學在一次健康知識測試中，抽取局部學生成績〔分數為整數，總分值100分〕為樣本，繪制成績統計圖如下圖，請結合統計圖答復以下問題.〔1〕本次測試中抽取的學生共多少人？〔2〕分數在90.5～100.5這一組的頻率是多少？〔3〕從左到右各小組的頻率比是；〔4〕假設這次測試成績80分以上〔不含80分〕為優(yōu)秀，那么優(yōu)秀率不低于多少？分析：此題主要考查讀圖能力和通過讀圖從中獲得信息的能力.解：(1)2+3