一元方差分析

一元方差分析二、統(tǒng)計分析一、總平方和的分解第一節(jié)單因素試驗的方差分析

例1假定某型號的電子管的使用壽命服從正態(tài)分布，并且原料差異只影響平均壽命，不影響方差。現(xiàn)用三種不同來源的材料各試生產(chǎn)了一批電子管。從每批中各抽取若干只做壽命實驗，得數(shù)據(jù)如下表。試問測試結(jié)果是否說明這批電子管的壽命有明顯差異？材料批號壽命測定值(單位:小時）123160016101650168017001700180015801640164017001750146015501600162016401660174018201.引例三個水平因素試驗指標例2

設(shè)對四種玉米品種進行對比實驗，每個品種都在同一塊田的五個小區(qū)各做一次實驗，實驗結(jié)果如下表所示。試問不同品種對玉米的平均產(chǎn)量是否有顯著影響？品種產(chǎn)量（斤/小區(qū)）32.334.034.335.036.533.333.036.336.834.530.834.335.332.335.8

29.326.029.828.029.8水平因素試驗指標設(shè)在試驗中，因素A有m個不同水平在水平下的試驗結(jié)果其中和是未知參數(shù)。在水平下作次獨立實驗，其結(jié)果如表1所示。123子樣均值容量樣本水平2.數(shù)學(xué)模型表1

是來自總體的容量為的一個樣本，其觀察值為(1)由于相互獨立，且若記則且相互獨立

要判斷因素的各水平間是否有顯著差異，也就是要判斷各正態(tài)總體的均值是否相等，即檢驗假設(shè)(2)其中與均為未知參數(shù)。式（2）稱為單因素方差分析的數(shù)學(xué)模型。(3)再令(5)則μ是各水平下總體均值的加權(quán)平均，稱為總平均值；

代表了第i水平下的總體均值與平均值的差異，這個差異稱為的效應(yīng)，(4)由式(2),(3)可以得到單因素方差分析的等價數(shù)學(xué)模型它滿足式(5)表明：樣本由總平均值因素的水平效應(yīng)隨機誤差三部分疊加而成。因而式(5)也稱為線性可加模型。(5)由于當為真時，=>各水平的效應(yīng)=>統(tǒng)計假設(shè)模型(1)等價于(6)基本任務(wù)：根據(jù)樣本提供的信息，對假設(shè)(6)進行檢驗，并估計未知參數(shù)檢驗此假設(shè)的方法就是方差分析3.總離差平方和的分解:樣本總平均通過分解，構(gòu)造統(tǒng)計量組內(nèi)平均(7)(8)兩者間的關(guān)系稱為總離差平方和。引入記號(10)總離差平方和分解－－全部數(shù)據(jù)與總平均之間的差異，又叫總變差其中為各水平下的樣本與該水平下樣本均值的離差平方和，反映了各水平下樣本值的隨機波動情況，稱為組內(nèi)平方和。它是由試驗的隨機誤差引起的，故又稱誤差平方和。為各水平下的樣本均值與樣本總均值的（加權(quán)）離差平方和，反映了各水平間的樣本值的差異，稱為組間平方和。形成它的主要原因是因素A的各水平下的不同效應(yīng)，故又稱為效應(yīng)平方和。常見統(tǒng)計量1、樣本均值2、樣本方差設(shè)是來自總體X的一個樣本，常用來估計EX.

復(fù)習(xí)結(jié)論：設(shè)為來自總體的一個樣本，4.SE，SA的統(tǒng)計特性故(12)(13)記(14)(15)的均方的均方4.SE，SA的統(tǒng)計特性(14)(15)(14)及(15)兩式表明：是的無偏估計，僅當成立時才是的無偏估計，否則它的期望值要大于在成立時應(yīng)接近于1，而當H1成立時總有偏大的傾向。如果比值比1大得多，就應(yīng)拒絕假設(shè)為此，我們采用(16)作為檢驗統(tǒng)計量。當成立時，與相互獨立，且分別服從自由度(n-m)，(m-1)的分布，故復(fù)習(xí)：F分布的分位點

對于給定的正數(shù)稱滿足條件的點為分位點分布的上對給定的顯著性水平，由得檢驗問題(1.1)或(1.6)的拒絕域為(17)上述分析的結(jié)果可排列成表2的形式稱為方差分析表方差來源誤差E因素A總和均方自由度平方和顯著性F比在實際計算時，通常使用下列公式其中例1設(shè)對四種玉米品種進行對比實驗，每個品種都在同一塊田的五個小區(qū)各做一次實驗，實驗結(jié)果如下表所示。試問不同品種對玉米的平均產(chǎn)量是否有顯著影響？(α=0.01)品種產(chǎn)量（斤/小區(qū)）32.334.034.335.036.533.333.036.336.834.530.834.335.332.335.8

29.326.029.828.029.8解

分別以表示不同品種玉米平均產(chǎn)量總體的均值，按題意需檢驗假設(shè)品種地塊產(chǎn)量132.333.330.829.3

172.1173.9168.5141.9656.4536.534.535.828.8435.036.832.328.0334.336.335.329.8234.033.034.326.0

5923.6826048.2425678.454027.12221677.5029618.4130241.2128392.2520135.61

5933.036060.075696.154035.9721725.22注意到可得方差分析表方差分析表方差來源誤差E因素A總和均方自由度平方和顯著性F比當時，由F分布表可查得由于故拒絕即認為這四個品種對玉米平均產(chǎn)量的影響高度顯著。31916若檢驗結(jié)果為原假設(shè)H0不成立，有時需要對則的置信度為1－α的置信區(qū)間為由上面討論，可得未知參數(shù)的估計是的無偏估計。5.未知參數(shù)的估計

如果檢驗結(jié)果為拒絕，即不全相等。

有時需要對第i個水平及第k個水平均值差作出區(qū)間估計。為此，我們可以取作為的點估計，注意到又是的無偏估計，而可以證明與相互獨立。的置信度為的置信區(qū)間為

求例2中未知參數(shù)的點估計及均值差的置信度為0.95的區(qū)間估計。解

的點估計為

及的無偏估計分別為例2當

時，的置信度為0.95的置信區(qū)間分別為

因素A分3個水平，對每個水平進行4次試驗，結(jié)果如下表：1382021

試驗號2362422

33526314313034因素水平假定樣本都是從同方差的正態(tài)總體中抽取的。

（1）在顯著性水平下，檢驗假設(shè)組均值相等。

（2）求未知參數(shù)及的點估計以及均值差的置信區(qū)間（置信度為95%）例3解（1）用下表進行計算13814442040021414試驗號23612962457622484

3351225266763196143196130900341156因素水平492625523042

140100108

196001000011664

490025002916

方差分析表方差來源因素誤差總和

224

3-1=21124.94

204

13-3=922.67

428

12-1=11均方自由度平方和

比查表得拒絕即在顯著性水平下，可以認為組平均值在整體上是有顯著差異的。（2）查表的置信度為95%的置信區(qū)間分別為

一共進行了13次試驗，假設(shè)樣本都是從同方差的正態(tài)總體中抽取的，試驗結(jié)果如下表：

123456試驗號因素水平

37474060

608667929598

6910098（1）在顯著性水平下檢驗假設(shè)（2）求及的點估計及均值差的95%置信區(qū)間。例4解用下表進行計算，得試驗號因素水平87784257842365184498267846441334237631371369603600694761247220986