實驗二迭代法初始值與收斂性

實驗二：迭代法、初始值與收斂性一：實驗要求考慮一個簡單的代數(shù)方程X2—X—1=0,針對上述方程，可以構造多種迭代法，如X=X2—1,X=1+—,X=\：''X"日等。在實軸上取初值，分別n+1nn+1Xn+1nn用以上迭代做實驗，記錄各算法的迭代過程。二：實驗要求及實驗結果取定某個初始值，按如上迭代格式進行計算，它們的收斂性如何？重復選取不同放入初始值，反復實驗。請讀者自行設計一種比較形象的記錄方式(如何利用Matlab的圖形功能)，分析三種迭代法的收斂性與初值的選取關系。對三個迭代法中的某一個，取不同的初值進行迭代，結果如何？試分析對不同的初值是否有差異？實驗內容：i)對X=X2—1進行迭代運算，選取迭代次數(shù)n=20；分別選擇初值-0.6，1.6進行實驗，并畫出迭代結n+1n果的趨勢圖。編寫MATLAB運算程序如下：%迭代法求解%令x=xA2-1clearn=30;x=-0.5;x1=xA2-1;fori=1:nx1=x1A2-1;xx(i)=x1;endm=linspace(0,29,n);plot(m,xx)title('x=-0.5')

分析：g(x)=x2-1,g'(x)=2x，要想在某一鄰域上\g，(x)|=|2x|<1,則VxG[—1,1]但是g(x)史[—1,1],所以不存在某個鄰域使得該迭代公式收斂。即迭代公式對任何初值都是發(fā)散的。ii)對x=1+—進行迭代運算，選取迭代次數(shù)n=30；分別選擇初值=-0.7，2.1進行實驗，并畫出迭代〃+1xn結果的趨勢圖。編寫MATLAB運算程序如下：%迭代法求解%令x=xA2-1clearn=20;x=-0.5;x1=1+1./x;fori=1:nx1=1+1./x1;xx(i)=x1;endm=linspace(0,29,n);plot(m,xx,'b')title('x=-0.5')如上圖所示，選取初值分別為-0.7、2.1時，結果都是收斂。

分析：g3)=林—設g(x)e[1.65,+8],Vxe[1.65,+8],g?(x)=-—在[1.65,+8]上有界，且xx2ng'(x)=—v1,Vxe[1.65,+8]則由迭代式對任意初始值xe[1.65,+8]g(x)=1+—,產(chǎn)生的序列都收斂。x2°xn同時由g(x)=1+可以看到，在x°e[-8,+8]選取初值，在進行n次迭代后，都會存在一個xn>1.65，此n時x相當于是在[1.65,+8]范圍內的初始值，迭代公式產(chǎn)生的序列收斂。所以初值的選取對數(shù)列的收斂性沒有n影響。iii)對x=(d進行迭代運算，選取迭代次數(shù)n=2°；分別選擇初值=-°.6,2.1進行實驗，并畫出迭代n+1n結果的趨勢圖。編寫MATLAB運算程序如下：%迭代法求解%令x=sqrt(1+x)clearn=2°;x=-°.5;x1=sqrt(1.+x);fori=1:nx1=sqrt(1+x1);xx(i)=x1;endm=linspace(°,29,n);plot(m,xx,'b')title('x=-°.5')024680246810121416182002468101214161820如上圖所示，選取初值分別為-°.6、2.1時，結果都是收斂。分析：g(x)=<x+1設g(x)e[-1,+8],Vxe[-1,+8],g'(x)=一在[-1,+8]實數(shù)域上有界，且、n2yx+1g'(x)=2<x+1<"xeg'(x)=2<x+1<"xe[-1+8惻由迭代式對任意初始值x°e[-1,+8]g(x)=\氣+1產(chǎn)生的序列都收斂。同時由g(x)叩可以看到，在x0［，1］選取初值，對迭代結果所產(chǎn)生的虛數(shù)的實部和虛部也是收斂的。如初值選取x=-3,得到20次的迭代結果如下:1實部收斂于1.618虛部收斂于0,Columns1.1688through50.6050i1.48670.2035i1.57820.0645i1.60580.0201i1.61430.0062iColumns1.6169through100.0019i1.61770.0006i1.61790.0002i1.61800.0001i1.61800.0000iColumns1.618011through15+0.0000i1.61800.0000i1.61800.0000i1.61800.0000i1.61800.0000iColumns1.618016through20+0.0000i收斂的。如初值選取x=-3,得到20次的迭代結果如下:1實部收斂于1.618虛部收斂于0,Columns1.1688through50.6050i1.48670.2035i1.57820.0645i1.60580.0201i1.61430.0062iColumns1.6169through100.0019i1.61770.0006i1.61790.0002i1.61800.0001i1.61800.0000iColumns1.618011through15+0.0000i1.61800.0000i1.61800.0000i1.61800.0000i1.61800.0000iColumns1.618016through20+0.0000i1.61800.0000i0.0000i1.61800.0000i1.61800.0000i1.6180++1.651.61.551.51.451.41.351.31.251.2024681012141618201.15上圖是初值選取為-3的迭代結果趨勢圖，可以看出，當?shù)Y果為虛數(shù)時，迭代結果最終還是收斂的。在進行n次迭代后，實部都會存在一個xn1,此時七相當于是在在進行n次迭代后，實部都會存在一個xn(3)線性方程組迭代法的收斂性是不依賴初值的選取的。比較線性與非線性問題迭代的差異，有何結論和問題。i)對線性方程f(ax1bx2)af(x「bf(x2),設f(x)axb,則f'(x)a。若線性方程的迭代是收斂的，則有|f若線性方程的迭代是收斂的，則有|f'(x)||a|1，1a1對f(x)axb而言，在[］上，都有x,x,f(x)[］，所以，對任何初值，方程的迭代都是收斂的，不受初值的影響。若線性方程的迭代是發(fā)散的，則對任何初值都發(fā)散，方程迭代的收斂