幾何與代數(shù)第一章

幾何與代數(shù)第一章第一頁，共五十二頁，2022年，8月28日第1章幾何空間中的向量第一節(jié)向量及其線性運(yùn)算1.定義（向量）既有數(shù)值大小（非負(fù)），又有方向的量。2.定義（范數(shù)/模）—向量的數(shù)值大小一、向量的概念第二頁，共五十二頁，2022年，8月28日4.定義位于同一直線上，或位于相互平行的直線上思考：

兩個(gè)向量三個(gè)向量線性相關(guān)平行？

共面？3.定義且方向相同；且方向相反。第三頁，共五十二頁，2022年，8月28日引例:力的合成---平行四邊形法三角形法注1：‘和’與起點(diǎn)A的選取無關(guān)1.加法運(yùn)算：3：加法法則（四條）4：向量可以相加，但不可以比較大小5：范數(shù)可比較大小二、向量的線性運(yùn)算及其性質(zhì)D運(yùn)算法則：2：減法第四頁，共五十二頁，2022年，8月28日2.數(shù)乘運(yùn)算：注1：數(shù)乘向量性質(zhì)（四條）注2：線性運(yùn)算、單位向量、向量空間（線性空間）運(yùn)算法則：3.模的性質(zhì)：第五頁，共五十二頁，2022年，8月28日三、向量的共線與共面1.共線：方向相同或相反

約定：零向量共線于任何向量定理1.6：特別地，推論：第六頁，共五十二頁，2022年，8月28日2.共面：將向量的支點(diǎn)放在同一點(diǎn)時(shí)，它們在同一平面上。（或，平行于同一平面的向量）推論1：平行六面體第七頁，共五十二頁，2022年，8月28日空間解析幾何：用數(shù)量來研究向量的問題，類似于平面解析幾何需引入空間坐標(biāo)系的概念?；仡櫍篛GNPxzyM第二節(jié)空間坐標(biāo)系第八頁，共五十二頁，2022年，8月28日一、仿射坐標(biāo)系定義（仿射坐標(biāo)系）：

空間中一點(diǎn)O以及三個(gè)有次序的不共面向量e1,e2,e3,

構(gòu)成空間中一仿射坐標(biāo)系，記為[O;e1,e2,e3]

第九頁，共五十二頁，2022年，8月28日1.定義（直角坐標(biāo)系）：e1,e2,e3為單位向量且兩兩垂直此時(shí)坐標(biāo)向量記為i,j,k注1：三坐標(biāo)軸，三坐標(biāo)平面兩兩垂直注2：規(guī)定x,y,z軸的正方向，使之成右手系定理：向量在坐標(biāo)系[o;i,j,k]上的坐標(biāo)x,y,z分別是在相應(yīng)坐標(biāo)軸上的投影。即()i=x,()j=y,()k=zzxyABOMC二、直角坐標(biāo)系第十頁，共五十二頁，2022年，8月28日2.定義（方向余弦）例：已知=（-3，6，2）,求的方向余弦和與平行的單位向量

注2：單位向量的表示法（兩個(gè)）注1：||||=？（勾股定理）在空間直角坐標(biāo)系中，向量與三個(gè)坐標(biāo)向量的夾角稱為向量的方向角；方向角的余弦稱為向量的方向余弦。第十一頁，共五十二頁，2022年，8月28日第三節(jié)向量的內(nèi)積、外積和混合積1.引例（做功）2.定義兩向量間的夾角：(I)已知兩個(gè)非零向量，經(jīng)平行移動(dòng)后使它們有共同的始點(diǎn)(II)夾角的范圍——無向角(III)幾種類型AA一、兩個(gè)向量的內(nèi)積第十二頁，共五十二頁，2022年，8月28日3.內(nèi)積定義注1:內(nèi)積是數(shù)，非向量。規(guī)定:零向量和任何向量正交（垂直）定理：內(nèi)積的運(yùn)算法則

正定性—交換律—線性性（k的符號(hào)）

—分配律（重要）

注4:注3:注2:第十三頁，共五十二頁，2022年，8月28日4.向量投影定義：注：投影是一數(shù)正交投影向量：oBAoBA第十四頁，共五十二頁，2022年，8月28日例1：證明分配律例2：試證的三條高交于一點(diǎn)。AFBCDS第十五頁，共五十二頁，2022年，8月28日1.11外積定義：注1：注2：

性質(zhì)：反交換律結(jié)合律分配律例：二、兩個(gè)向量的外積第十六頁，共五十二頁，2022年，8月28日重點(diǎn)回顧

內(nèi)積外積

交角

cossin

垂直平行

應(yīng)用

平行四邊形第十七頁，共五十二頁，2022年，8月28日有了坐標(biāo)，便將幾何運(yùn)算—>代數(shù)運(yùn)算1.線性運(yùn)算加法數(shù)乘距離2.內(nèi)積

三、向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示第十八頁，共五十二頁，2022年，8月28日3.外積引進(jìn)二階行列式，規(guī)定太繁！再次書寫外積的結(jié)果！注意：的順序注：如何記憶？

兩兩組合！第十九頁，共五十二頁，2022年，8月28日4.體積與行列式PO注1：為何加||？第二十頁，共五十二頁，2022年，8月28日定義（混合積）：推論：用行列式表示混合積四、三個(gè)向量的混合積第二十一頁，共五十二頁，2022年，8月28日ACBD（30）第二十二頁，共五十二頁，2022年，8月28日一、平面的參數(shù)方程與一般式方程理論根據(jù)：第四節(jié)平面及其方程1、平面的參數(shù)方程：第二十三頁，共五十二頁，2022年，8月28日引：化簡，并注意到和不平行,即(a1,b1,c1)k(a2,b2,c2)結(jié)論：ax+by+cz+d=0(a2+b2+c20)2、平面的一般方程：第二十四頁，共五十二頁，2022年，8月28日定理1.4：每一個(gè)平面可用ax+by+cz+d=0表出，其中a2+b2+c20定理1.4’：任給ax+by+cz+d=0，其中a2+b2+c20，則它恒代表一個(gè)平面。第二十五頁，共五十二頁，2022年，8月28日定義（法向量）：

平面通過一點(diǎn)M0(x0,y0,z0)且垂直于一條直線l

設(shè)向量n//l,則稱n為平面的法向量，坐標(biāo)(a,b,c)根據(jù)：平面方程：二、平面的點(diǎn)法式方程1、點(diǎn)法式方程第二十六頁，共五十二頁，2022年，8月28日確定平面的條件：三個(gè)不共線的點(diǎn)2、三點(diǎn)式方程第二十七頁，共五十二頁，2022年，8月28日實(shí)質(zhì)：三點(diǎn)式方程

M1（a，0，0），M2（0，b，0），

M3（0，0，c），且

abc0平面方程：3、截距式方程第二十八頁，共五十二頁，2022年，8月28日總結(jié)平面：（一）一點(diǎn)+兩個(gè)不平行的向量（二）一點(diǎn)+法向量例：求通過x軸和點(diǎn)(4,-3,-1)的平面方程用兩種方法（過原點(diǎn)）第二十九頁，共五十二頁，2022年，8月28日特殊平面1.a=02.d=0平面過原點(diǎn)3.d=a=0平面過x軸4.a=b=0平面//xoy平面第三十頁，共五十二頁，2022年，8月28日注意要加絕對(duì)值！三、兩個(gè)平面的位置關(guān)系第三十一頁，共五十二頁，2022年，8月28日!!!如何找出交線上的點(diǎn)解：為什么???第三十二頁，共五十二頁，2022年，8月28日點(diǎn)到平面的距離：d=???第三十三頁，共五十二頁，2022年，8月28日直線：一個(gè)點(diǎn)+一個(gè)方向（直線的方向）1.參數(shù)方程第五節(jié)空間直線及其方程一、空間直線的參數(shù)方程與對(duì)稱式方程第三十四頁，共五十二頁，2022年，8月28日2.對(duì)稱式方程（標(biāo)準(zhǔn)方程、點(diǎn)向式方程）直線L的方向向量的坐標(biāo)m，n，p稱為直線L的方向數(shù)。第三十五頁，共五十二頁，2022年，8月28日注：中點(diǎn)的表示（參數(shù)方程）3.兩點(diǎn)式方程第三十六頁，共五十二頁，2022年，8月28日1.一般式方程（兩平面的交線）二、空間直線的一般式方程第三十七頁，共五十二頁，2022年，8月28日2.一般式與對(duì)稱式間的互換解：（1）（2）第三十八頁，共五十二頁，2022年，8月28日3.平面束原因：過直線l的平面有無窮多個(gè)問題：如何表示這些過l的平面（平面束）？第三十九頁，共五十二頁，2022年，8月28日例.求點(diǎn)M0(－6,7,0)關(guān)于平面π:4x-2y-z-4=0的對(duì)稱點(diǎn)M1的坐標(biāo)。例.求過直線L:x+3y-5=0x-y-2z+4=0且在x軸和y軸上截距相等的平面方程。第四十頁，共五十二頁，2022年，8月28日三、直線與平面、二直線之間的位置關(guān)系1、兩直線間的相互位置給定兩條直線（1）若共面，則平行相交重合（2）異面第四十一頁，共五十二頁，2022年，8月28日已知：2、直線與平面的位置關(guān)系第四十二頁，共五十二頁，2022年，8月28日四、直線與平面的夾角第四十三頁，共五十二頁，2022年，8月28日M0M’0M1注：d與M0的選擇無關(guān)四、點(diǎn)到直線的距離設(shè)直線l方程為：第四十四頁，共五十二頁，2022年，8月28日olP0P1第四十五頁，共五十二頁，2022年，8月28日第四十六頁，共五十二頁，2022年，8月28日行向量列向量o第六節(jié)Rn中的幾何向量簡介一、Rn中的向量代數(shù)定義1（n維向量）n個(gè)有順序的數(shù)所在組成的數(shù)組稱為一個(gè)n維向量。第四十七頁，共五十二頁，2022年，8月28日第四十八頁，共五十二頁，2022年，8月28日二、Rn中的內(nèi)積第四十九頁，共五十二頁，2022年，8月28日**外