概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課件1.2概率的定義與性質(zhì)

§1.2概率定義及概率的性質(zhì)一、概率的描述性定義定義1.2.1隨機(jī)事件A發(fā)生的可能性大小的度量（數(shù)值），稱為發(fā)生的概率，記為二、概率的統(tǒng)計(jì)定義

1.頻率的概念對(duì)于一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)來(lái)說(shuō)，它發(fā)生可能性大小的度量是自身決定的，并且是客觀存在的。概率是隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量是自身的屬性。一個(gè)根本問(wèn)題是，對(duì)于一個(gè)給定的隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量——概率，究竟有多大呢？例、歷史上有人做過(guò)擲硬幣的試驗(yàn)實(shí)驗(yàn)者蒲豐404020480.5070K．皮爾遜1200060190.5016K．皮爾遜24000120120.5005

從上表可以看，不管什么人去拋，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)逐漸增多時(shí)，)總是在0.5附近擺動(dòng)而逐漸穩(wěn)定于0.5。從這個(gè)例子可以看出，一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的隨機(jī)事件，在次試驗(yàn)中出現(xiàn)的頻率，當(dāng)試驗(yàn)的次數(shù)逐漸增多時(shí)，它在一個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)，而逐漸穩(wěn)定于這個(gè)常數(shù)。這個(gè)常數(shù)是客觀存在的，“頻率穩(wěn)定性”的性質(zhì)，不斷地為人類的實(shí)踐活動(dòng)所證實(shí)，它揭示了隱藏在隨機(jī)現(xiàn)象中的規(guī)律性。2．概率的統(tǒng)計(jì)定義

返回

由于頻率反映了事件發(fā)生的頻繁程度，其大小也能用來(lái)度量一個(gè)事件發(fā)生的可能性的大小?；陬l率的穩(wěn)定性質(zhì)，歷史上曾在試驗(yàn)的基礎(chǔ)上給出了概率的統(tǒng)計(jì)的定義。

定義1.2.2

若當(dāng)重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)足夠大時(shí)，事件的頻率在某一常數(shù)附近擺動(dòng)，且隨著試驗(yàn)次數(shù)的增大，擺動(dòng)的幅度越來(lái)越小，則稱常數(shù)為事件的概率。注意頻率的穩(wěn)定性揭示了隨機(jī)現(xiàn)象中隱藏的性，用頻率的穩(wěn)定值來(lái)度量事件發(fā)生的可能性大小是合的。“頻率的極限就是概率”這句話是不正確，即極限不正確。事實(shí)上，若成立，由則定義，而頻率具有隨機(jī)性，，并不能保證恒成立。例如，當(dāng)時(shí)，取上述不等式就不成立。因此，在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中不能沿用數(shù)學(xué)分析中的一般極限定義了。在實(shí)際使用中，由于頻率的穩(wěn)定性，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)足夠大時(shí)，人們往往用頻率值作概率的近似值。3．頻率的性質(zhì)由頻率的定義=，很快可以得到頻率的性質(zhì):1．非負(fù)性：2．規(guī)范性：若為必然事件，則=13．有限可加性：若A,B互不相容即,則=+。由這三條基本性質(zhì)，還可以推出頻率的其它性質(zhì)：4．不可能事件的頻率為0，=05．若，則由此還可以得16．對(duì)有限個(gè)兩兩互不相容的事件的頻率具有可加性，即若（，），

=則三、概率的公理化定義定義1.2.3定義在事件域F上的一個(gè)集合函數(shù)稱為概率。如果它滿足如下三個(gè)條件：1.非負(fù)性：F，2.規(guī)范性：3.可列可加性：若F，且兩兩互不相容。有=通過(guò)描述一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的數(shù)學(xué)模型，應(yīng)該具備以下三要素：1）樣本空間；2）事件域（-代數(shù)）；3）概率（F上的規(guī)范測(cè)度）。習(xí)慣上常將這三者寫(xiě)成（,,），并稱它是一個(gè)概率空間。由此，給出一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，就可以把它抽象成一個(gè)概率空間（,,）。概率的公理化定義刻畫(huà)了概率的本質(zhì),概率是集合(事件)的函數(shù),若在事件域F上給出一個(gè)函數(shù),當(dāng)這個(gè)函數(shù)能滿足上述三條公理,就稱為概率;當(dāng)這個(gè)函數(shù)不能滿足上述三條公理中的任一條,,就被認(rèn)為不是概率。四、概率的性質(zhì)由概率的非負(fù)性、規(guī)范性和可列可加性，可以得出概率的其他一些性質(zhì)：1)不可能事件的概率為0，即證明由于可列個(gè)不可能事件的和事件仍為不可能事件,所以因?yàn)椴豢赡苁录c任何事件是互不相容的，故由可列可加性得到從而由,得到，再由非負(fù)性，有結(jié)論得證。注意概率的規(guī)范性及性質(zhì)1）反過(guò)來(lái)不一定成立。反例在后面給出。2)概率具有有限可加性：即若()

則==結(jié)論得證3)對(duì)任一隨機(jī)事件，有=1-特別地，，有+=

1證明對(duì)應(yīng)用可列可加性，得到

4）若，則證:因?yàn)?則,又所以.即推論1若，則；；推論2對(duì)任一事件,推論3對(duì)任意兩個(gè)事件，,則5）對(duì)任意兩個(gè)事件，有證明因?yàn)椋c互不相容，由有限可加性及性質(zhì)4）得推論1對(duì)任意兩個(gè)事件,有用數(shù)學(xué)歸納法可證得。

推論2設(shè)，，為n個(gè)隨機(jī)事件，則有此公式稱為概率的一般加法公式。特別地推論3對(duì)任意n個(gè)事件,有

從性質(zhì)2可知，由可列可加性可以推出有限可加性，但是一般來(lái)說(shuō)由有限可加性并不能推出可列可加性，這兩者之間的差異可以用另一個(gè)形式來(lái)描述。且設(shè)（n=1,2,3……）則稱

{

}

是中的一個(gè)單調(diào)不減的集合序列。

定義1.2.4對(duì)于上的集合函數(shù)P，若對(duì)中的任一單調(diào)

則稱集合函數(shù)不減的集合序列{}有=P在上是下連續(xù)的，其中=類似可定義上連續(xù)性。定理1：若P是上非負(fù)的、規(guī)范的集函數(shù)。則P具有可列可加性的充要條件是1)P是有限可加的；2)P在上是下連續(xù)的，亦稱為連續(xù)性公理。

例1.2.1設(shè)互不相容，且試求

解：由概率性質(zhì)知例1.2.2設(shè)求解：由概率性質(zhì)知

例1.2.3設(shè)為三個(gè)事件，且證明:證：由于，所以又故即求至少有一個(gè)發(fā)生的概率．解：由一般加法公式有又，所以于是例1.2.4設(shè)從而有例1.2.5設(shè)為任意三個(gè)事件，證明:證明：由于所以又所以例1.2.6某人一次寫(xiě)了n封信，又寫(xiě)了