動力學(xué)普遍定理

動力學(xué)普遍定理第一頁，共三十二頁，2022年，8月28日F＝Ma

機(jī)械運動與機(jī)械作用的辯證關(guān)系

動力學(xué)普遍定理

動量型式能量型式動量定理

質(zhì)心運動定理動量矩定理

繞定軸(質(zhì)心)轉(zhuǎn)動微分方程

動能定理機(jī)械能守恒定律

第二頁，共三十二頁，2022年，8月28日適用范圍

方向性

力的分類

簡化程度

解決問題

動量型定理

機(jī)械運動間的傳遞

矢量方程投影形式

外力內(nèi)力受力分析要全與過程所經(jīng)歷的時間有關(guān)能量型定理

機(jī)械運動的傳遞機(jī)械運動的轉(zhuǎn)化標(biāo)量方程只求大小主動力

約束反力

約束反力不必考慮

與過程中所產(chǎn)生的位形變化有關(guān)

動量型與能量型定理的差異

第三頁，共三十二頁，2022年，8月28日(1)有時一個題只能用一個定理來解；(2)一個題，分別用幾個定理均可解，哪個定理較方便(3)一個題，往往需要幾個定理聯(lián)合求解，如何對具體問題選用合適的定理，使求解過程盡可能簡單

(1)已知運動，求力

(2)已知力，求運動

(3)已知某些力或運動，求某些運動或力

動力學(xué)的問題分類普遍定理的應(yīng)用問題第四頁，共三十二頁，2022年，8月28日(1)通過受力分析，首先判斷是否是某種運動守恒問題。若成立，可根據(jù)相應(yīng)的守恒定律求未知的運動(速度、角速度或位移)。(2)求約束反力的問題，可選用動量定理、動量矩定理。(3)當(dāng)作用力是時間的函數(shù)時，優(yōu)先考慮動量定理或動量矩定理；當(dāng)作用力是路程的函數(shù)或力的功容易計算時，優(yōu)先考慮動能定理。(4)若待求量是加速度或角加速度時，可用動量定理、動量矩定理，也常用微分形式的動能定理。(5)一般求解一個單自由度的綜合性題題目，比較簡單的方法是先用動能定理求運動，再用其他定理求力。(6)研究對象的選?。喝舨恍枰筚|(zhì)點系的內(nèi)力，則一般選整個系統(tǒng)為研究對象；對于兩個轉(zhuǎn)軸以上的系統(tǒng)，若用動量矩定理或定軸轉(zhuǎn)動微分方程式時，必須取單個軸為研究對象；對單自由度系統(tǒng)用動能定理時，常取整個系統(tǒng)為研究對象。(7)補(bǔ)充方程：用動力學(xué)普遍定理列出的方程，其未知量個數(shù)常多于獨立的方程式數(shù)，需要列出運動學(xué)補(bǔ)充方程或力的補(bǔ)充方程。普遍定理綜合應(yīng)用的一般原則和方法第五頁，共三十二頁，2022年，8月28日

(1)選取研究對象。

(2)分析內(nèi)力和外力；主動力、約束反力；作功之力和不作功之力，以便供選擇定理作參考。根據(jù)所選定理，畫出受力圖。

(3)運動分析：分清每個物體的運動形式、特點，為計算基本物理量和建立運動學(xué)補(bǔ)充方程作難備。

(4)根據(jù)以上分析及對己知量和待求量的分析，選取合適的定理，建立方程式。

(5)求解并討論。普遍定理綜合應(yīng)用的解題步驟第六頁，共三十二頁，2022年，8月28日練習(xí)題1:均質(zhì)桿AB長l，B端放在光滑的水平面上，桿在圖示位置沿鉛直面自由倒下，求A點的軌跡方程。α0

ABC解:受力如圖:mgN水平方向無外力，質(zhì)心在水平方向運動守恒如圖建立坐標(biāo)：使y軸過質(zhì)心Cyx（xA，yA）點A在坐標(biāo)軸上的位置為:消去α0即為點A的軌跡方程：第七頁，共三十二頁，2022年，8月28日練習(xí)題2:均質(zhì)桿AB長l，B端放在光滑的水平面上，A端掛與固定點D處，現(xiàn)突然剪斷細(xì)繩，桿沿鉛直面自由倒下，初瞬時α0=450，求該瞬時桿端B處的支反力。解:受力如圖:水平方向無外力，質(zhì)心在水平方向運動守恒如圖建立坐標(biāo)：使y軸過質(zhì)心Cyx用剛體平面運動微分方程：在直角坐標(biāo)中：將上式對時間求兩階導(dǎo)數(shù)即得：αABCDmgN第八頁，共三十二頁，2022年，8月28日初瞬時，聯(lián)立解出N并將α=450

代入即可。第九頁，共三十二頁，2022年，8月28日練習(xí)題3:均質(zhì)桿AB長l，B端放在光滑的水平面上，A端掛與固定點D處，現(xiàn)突然剪斷細(xì)繩，桿自由倒下，初瞬時α0=450，求A端落地瞬時桿上A、B兩點的速度。αABCD解：用動能定理ABCvCvAA點著地瞬時，其速度瞬心為B點，則第十頁，共三十二頁，2022年，8月28日練習(xí)題4：如圖所示，兩均質(zhì)圓輪半徑分別為rA和rB，重為PA和PB，鼓輪B上作用主動力偶矩M，A輪與斜面間無相對滑動，求B輪從靜止開始轉(zhuǎn)過φ角時的角速度ωB及支座B處的反力。αBAMPAPB解：①、分析所給系統(tǒng)的構(gòu)成及各部分作何種運動，一般應(yīng)拆開分別研究。②、先研究B，作受力圖：YBXBT作定軸轉(zhuǎn)動，列動力學(xué)方程：（1）εB③.再研究A，作受力圖：NTFεA作平面運動，列動力學(xué)方程：（2）（3）xy第十一頁，共三十二頁，2022年，8月28日再列補(bǔ)充方程——

一般為運動學(xué)關(guān)系：（4）（5）以上5個未知量均可求解。從中解出εB為常量，則有：欲求支座反力，則需對輪B列質(zhì)心運動定理：（6）（7）BMPBYBXBTxy第十二頁，共三十二頁，2022年，8月28日練習(xí)題5：圖示兩均質(zhì)圓輪，在重物C的作用下，輪A與水平面間只滾不滑，求重物C由靜止開始下降了距離h時A輪質(zhì)心的加速度aA。CABm1，r1m2，r2m3解：①研究整體，不要拆開；②只畫主動力，不畫約束反力；③根據(jù)各部分的運動形式，寫出系統(tǒng)初始和末了的動能T1和T2；m1g

m3g

m2g

系統(tǒng)初始靜止，PωAωBv3將動能整理成同一個運動參數(shù)的函數(shù)，即建立各運動參數(shù)間的關(guān)系：第十三頁，共三十二頁，2022年，8月28日④計算系統(tǒng)在整個運動過程中所有力所作的功；⑤代入動能定理：此式即可求出vA，要求加速度aA，直接將此式對時間t求一階導(dǎo)數(shù)即可：第十四頁，共三十二頁，2022年，8月28日而∴即為所求輪心A的加速度。等效質(zhì)量等效力討論：動能定理的最后表達(dá)式一般為：求一階導(dǎo)數(shù)后即為加速度，一般具有如下形式：第十五頁，共三十二頁，2022年，8月28日練習(xí)題6：均質(zhì)圓柱體半徑為r，重為Q，放在粗糙的水平面上，設(shè)質(zhì)心速度v0

，具有初角速度ω0

，且rω0<v0

，圓柱與地面間的摩擦系數(shù)為fk

，問（1）經(jīng)過多少時間，圓柱體才能只滾不滑地向前運動？并求該瞬時圓柱體中心的速度，（2）到達(dá)只滾不滑狀態(tài)時圓柱體中心移動了多少距離？v0ω0C解:受力如圖:QNF用平面運動微分方程:只滾不滑時，代入后積分上式有:只滾不滑前，xy第十六頁，共三十二頁，2022年，8月28日S=?同學(xué)們自己做.第十七頁，共三十二頁，2022年，8月28日練習(xí)題7:均質(zhì)圓柱體重為P，其中心O絞接一重為Q的均質(zhì)直桿OA，放在傾角為α的斜面上，輪子只滾不滑，OA桿的A端與斜面間無摩擦，系統(tǒng)初始靜止，求輪心沿斜面下滑距離S時O點的速度與加速度。αOAS解：P由于輪心O作直線運動，將上式兩端對時間求一階導(dǎo)數(shù)得到：第十八頁，共三十二頁，2022年，8月28日練習(xí)題8:兩相同的均質(zhì)滑輪，半徑為R、重為P，用繩纏繞如圖，系統(tǒng)由靜止開始下落，求：1）質(zhì)心B的速度與下落距離h的關(guān)系；2）質(zhì)心B的加速度；3）若在A輪上作用一逆時針的力偶矩M，問在什麼條件下圓輪B的質(zhì)心將上升？BA解：1）CDωAωBh下來確定ωA

與ωB

的關(guān)系，為此，分別研究A、B輪，受力分別如圖：TPTPXAYA對A輪應(yīng)用定軸轉(zhuǎn)動微分方程：對B輪應(yīng)用相對與質(zhì)心的動量矩定理：第十九頁，共三十二頁，2022年，8月28日由于系統(tǒng)初始靜止，將上式積分后有：2）上式兩端對時間求導(dǎo)后有：

3）欲使B上升，則需aB

＞0BεBTPAεATPXAYAMAaB第二十頁，共三十二頁，2022年，8月28日將前面求出的有關(guān)量代入，聯(lián)立解出：第二十一頁，共三十二頁，2022年，8月28日練習(xí)題9:長為l、重為Q的均質(zhì)桿AB的A端與一半徑為R、重為P

的均質(zhì)圓輪的輪心絞接在一起，輪與地面間只滾不滑，墻與桿間無摩擦，系統(tǒng)初始靜止，θ0=450，而后自由下落，求輪心A在初瞬時的加速度。BAθ解：CvAvBvCPD第二十二頁，共三十二頁，2022年，8月28日上式兩端對時間求導(dǎo):下滑的初瞬時，代如上式，則有：第二十三頁，共三十二頁，2022年，8月28日練習(xí)題10:均質(zhì)桿長l、重Q，不計摩擦，求到達(dá)任意位置β時的角速度ω、角加速度ε及A、B兩處的反力。CBAβ解：PvCωCP點為桿AB的瞬心上式兩端對時間求導(dǎo)后有：第二十四頁，共三十二頁，2022年，8月28日CBAβPvCωC分析受力如圖：NANB桿質(zhì)心C的軌跡為一半徑為l/2的圓弧，其圓心位于O點。O加速度分析：aanaaτ由質(zhì)心運動定理有：其中：Qβ第二十五頁，共三十二頁，2022年，8月28日練習(xí)題11:長為l、質(zhì)量為m的均質(zhì)桿從水平位置無初速落下到圖示位置φ時，求桿的角速度和角加速度。φOACmg解：第二十六頁，共三十二頁，2022年，8月28日練習(xí)題12:在上題中，求O點的支反力。φOACmgXOYO解:受力如圖第二十七頁，共三十二頁，2022年，8月28日練習(xí)題13:均質(zhì)桿OA長l、重P，桿端A與半徑為R、重為Q的均質(zhì)圓輪的輪心絞接，不計摩擦，初始OA水平，系統(tǒng)靜止，求桿自由下落到與水平成α角時桿的角速度及角加速度。OAαA`解：下面尋求ωO

與ωA及

vA的關(guān)系，分析A輪受力：AεAQXAYA第二十八頁，共三十二頁，2022年，8月28日練習(xí)題14:均質(zhì)桿AB長l，A端鉸接，桿自水平位置無初速下落，當(dāng)桿通過鉛直位置時，突然撤去鉸鏈成為自由體，求：

1）此后質(zhì)心的軌跡；

2）當(dāng)桿的質(zhì)心下落距離h后，桿共轉(zhuǎn)了多少圈？ABh解：1）撤去支座后，質(zhì)心為拋射體運動，桿作平面運動，故應(yīng)先求出脫離時的速度和角速度。此時，ε=0，∴ω=常量此時，aτ=0，∴vc=常量第二十九頁，共三十二頁，2022年，8月28日脫離后由質(zhì)心運動定理：∴∴消去時間t即得質(zhì)心軌跡為一拋物線。當(dāng)質(zhì)心下降h后，即yc

=h，求出此時的t，代入φc，即可求出桿轉(zhuǎn)過的弧度φh為當(dāng)質(zhì)心下降h后桿轉(zhuǎn)過的圈數(shù)為：第三十頁，共三十二頁，2022年，8月28日用手指在水平桌面上擠壓乒乓球，使之向前運動，若球離開手指時能以較高的轉(zhuǎn)速“反轉(zhuǎn)”，則過一段時間，它會自動地滾回來。自動滾回的原因是：乒乓球的運動是質(zhì)心的平動與繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動的合成。乒乓球在桌面上運動時，要受到桌面對它的摩擦力，在摩擦力的作用下，乒乓球的平動速度和轉(zhuǎn)動角速度都會減慢。若經(jīng)過一段時隊平動速度已減至零，而當(dāng)轉(zhuǎn)動角速度不為零時，則乒乓球就可以滾回來了。下面推證乒乓球自動回滾的條件。設(shè)乒乓球開始運動時，質(zhì)心的平動速度為v0。，繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動角速度為ω0。．經(jīng)過時間t后，平動速度為v，角速度為ω。若桌面對乒乓球的摩擦力為F，則由動量定理和動量矩定理有-Ft=mv-mv0(1)-rFt=Jω-ω0(2)其中r為乒乓球的半徑，J為乒乓球繞球心的轉(zhuǎn)動慣量。第三十一頁，共三十二頁，2022年，8月28日若經(jīng)過時間T后有

v＝0，ω＞0則乒乓球的球心停止向前運動，