勾股定理的證明

勾股定理的證明第一頁，共二十二頁，2022年，8月28日勾股定理命名來源勾股趣事定理證明325242談談感想第二頁，共二十二頁，2022年，8月28日acb如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2．即：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．勾股定理返回第三頁，共二十二頁，2022年，8月28日在中國古代，人們把彎曲成直角的手臂的上半部分稱為“勾”，下半部分稱為“股”．我國古代學者把直角三角形較短的直角邊稱為“勾”，較長的直角邊稱為“股”，斜邊稱為“弦”．勾股命名來源返回第四頁，共二十二頁，2022年，8月28日商高定理畢達哥拉斯定理百牛定理宇宙探索趙爽弦圖勾股趣事總統(tǒng)與勾股定理第五頁，共二十二頁，2022年，8月28日商高定理商高是公元前十一世紀的西周人．在中國古代的數(shù)學著作《周髀算經(jīng)》中記錄著商高同周公的一段對話．商高說：“…故折矩，勾廣三，股修四，經(jīng)隅五．”意思就是說：當直角三角形的兩條直角邊分別為3（短邊）和4（長邊）時，徑隅（就是弦）則為5．以后人們就簡單地把這個事實說成“勾三股四弦五”．由于勾股定理的內(nèi)容最早見于商高的話中，所以在我國人們就把這個定理叫作“商高定理”．關于勾股定理的發(fā)現(xiàn)，《周髀算經(jīng)》上說：“故禹之所以治天下者，此數(shù)之所由生也”．“此數(shù)”指的是“勾三股四弦五”，這句話的意思就是說：勾三股四弦五這種關系是在大禹治水時發(fā)現(xiàn)的．返回勾股趣事第六頁，共二十二頁，2022年，8月28日朱實中黃實我國對勾股定理的證明采取的是割補法，最早的形式見于公元三、四世紀趙爽的《勾股圓方圖注》．在這篇短文中，趙爽畫了一張他所謂的“弦圖”，其中每一個直角三角形稱為“朱實”，中間的一個正方形稱為“中黃實”，以弦為邊的大正方形叫“弦實”．

2002年在北京召開的國際數(shù)學家大會會徽．趙爽弦圖返回證明勾股趣事第七頁，共二十二頁，2022年，8月28日畢達哥拉斯定理“勾股定理”在國外，尤其在西方被稱為“畢達哥拉斯定理”或“百牛定理”．畢達哥拉斯有一次應邀參加一位富有政要的餐會，這位主人豪華宮殿般的餐廳鋪著是正方形美麗的大理石地磚，由于大餐遲遲不上桌，這些饑腸轆轆的貴賓頗有怨言．畢達哥拉斯卻凝視腳下這些排列規(guī)則、美麗的方形磁磚，這位善于觀察和理解的數(shù)學家不只是欣賞磁磚的美麗，而是想到它們和數(shù)之間的關系，于是拿了畫筆并且蹲在地板上，選了一塊磁磚以它的對角線為邊畫一個正方形，他發(fā)現(xiàn)這個正方形面積恰好等于兩塊磁磚的面積和．他很好奇，于是再以兩塊磁磚拼成的矩形之對角線作另一個正方形，他發(fā)現(xiàn)這個正方形之面積等于5塊磁磚的面積，也就是以兩股為邊作正方形面積之和．至此畢達哥拉斯作了大膽的假設：任何直角三角形，其斜邊的平方恰好等于另兩邊平方之和．那一頓飯，這位古希臘數(shù)學大師，視線都一直沒有離開地面，就這樣畢達哥拉斯也發(fā)現(xiàn)了勾股定理．畢達哥拉斯（Pythagoras，前572～前497），西方理性數(shù)學創(chuàng)始人，古希臘數(shù)學家，他是公元前五世紀的人，比商高晚出生五百多年．返回證明勾股趣事第八頁，共二十二頁，2022年，8月28日畢達哥拉斯發(fā)現(xiàn)了勾股定理后高興異常，命令他的學生宰了一百頭牛來慶祝這個偉大的發(fā)現(xiàn)，因此勾股定理又叫做“百牛定理”．勾股定理流傳最廣的證明載于歐幾里德（Euclid，是公元前三百年左右的人）的《幾何原本》中，歐幾里德在編著《幾何原本》時，認為這個定理是畢達哥達斯最早發(fā)現(xiàn)的，所以他就把這個定理稱為“畢達哥拉斯定理”，以后就流傳開了．

1955年希臘發(fā)行了一張郵票，圖案是由三個棋盤排列而成．這張郵票也是為了紀念勾股定理這個偉大的發(fā)現(xiàn)．1955年希臘發(fā)行的印有勾股定理圖案的郵票

百牛定理返回勾股趣事第九頁，共二十二頁，2022年，8月28日總統(tǒng)為什么會想到去證明勾股定理呢？難道他是數(shù)學家或數(shù)學愛好者？答案是否定的．事情的經(jīng)過是這樣的：1876年一個周末的傍晚，在美國首都華盛頓的郊外，有一位中年人正在散步，欣賞黃昏的美景，他就是當時美國俄亥俄州共和黨議員伽菲爾德．他走著走著，突然發(fā)現(xiàn)附近的一個小石凳上，有兩個小孩正在聚精會神地談論著什么，時而大聲爭論，時而小聲探討．由于好奇心驅(qū)使伽菲爾德循聲向兩個小孩走去，想搞清楚兩個小孩到底在干什么．只見一個小男孩正俯著身子用樹枝在地上畫著一個直角三角形．于是伽菲爾德便問他們在干什么？只見那個小男孩頭也不抬地說：“請問先生，如果直角三角形的兩條直角邊分別為3和4，那么斜邊長為多少呢？”伽菲爾德答到：“是5呀．”小男孩又問道：“如果兩條直角邊分別為5和7，那么這個直角三角形的斜邊長又是多少？”伽菲爾德不加思索地回答到：“那斜邊的平方一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩又說道：“先生，你能說出其中的道理嗎？”伽菲爾德一時語塞，無法解釋了，心理很不是滋味．于是伽菲爾德不再散步，立即回家，潛心探討小男孩給他留下的難題．他經(jīng)過反復的思考與演算，終于弄清楚了其中的道理，并給出了簡潔的證明方法．總統(tǒng)與勾股定理返回證明勾股趣事第十頁，共二十二頁，2022年，8月28日宇宙探索幾十年前，有些科學家從天文望遠鏡中看到火星上有些地區(qū)的顏色有些季節(jié)性的變化，又看到火星上有運河模樣的線條，于是就猜想火星上有高度智慧的生物存在．當時還沒有宇宙飛船，怎樣和這些智慧生物取得聯(lián)系呢？有人就想到，中國、希臘、埃及處在地球的不同地區(qū)，但是他們都很早并且獨立的發(fā)現(xiàn)了勾股定理．科學家們由此推想，如果火星上有具有智慧的生物的話，他們也許能夠知道勾股定理．

返回勾股趣事第十一頁，共二十二頁，2022年，8月28日兩千多年來，人們對勾股定理的證明頗感興趣，因為這個定理太貼近人們的生活實際，以至于古往今來，下至平民百姓，上至帝王總統(tǒng)都愿意探討和研究它的證明．因此不斷出現(xiàn)關于勾股定理的新證法．勾股定理的證明3．傳說中畢達哥拉斯的證法1．趙爽弦圖的證法5．向常春的證法4．美國第20任總統(tǒng)茄菲爾德的證法2．劉徽的證法6．其它的證明方法第十二頁，共二十二頁，2022年，8月28日abbacca2+b2c2趙爽弦圖的證法(1)返回定理證明第十三頁，共二十二頁，2022年，8月28日a2+b2=c2(b-a)2+4×ab趙爽弦圖的證法(2)cbab-ac2返回定理證明第十四頁，共二十二頁，2022年，8月28日劉徽在《九章算術》中對勾股定理的證明：勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相補，各從其類，因就其余不移動也．合成弦方之冪，開方除之，即弦也．a(chǎn)bc青朱出入圖劉徽的證法返回定理證明第十五頁，共二十二頁，2022年，8月28日關于勾股定理的證明，現(xiàn)在人類保存下來的最早的文字資料是歐幾里得（公元前300年左右）所著的《幾何原本》第一卷中的命題47：“直角三角形斜邊上的正方形等于兩直角邊上的兩個正方形之和”．其證明是用面積來進行的．傳說中畢達哥拉斯的證法已知：如圖，以在Rt△ABC中，∠ACB=90°。求證：a2

+b2=c2．返回定理證明cbaBAC第十六頁，共二十二頁，2022年，8月28日FGDEHKcbaBACMN∴S正方形ACHK=2S△ABK∵S△ABK=AK·HK=b2∵S△ACD=AD·DN=c2∴S長方形ADNM=2S△ACD又∵△ABK≌△ACD

∴

S△ABK=S△ACD

∴S正方形ACHK=S長方形ADNM

同理：S正方形BCGF=S長方形BENM

∴S矩形ADNM＋S矩形MNEB＝S正方形ACHK＋S正方形CBFG．即S正方形ADEB＝S正方形ACHK＋S正方形CBFG

傳說中畢達哥拉斯的證法定理證明證明：從Rt△ABC的三邊向外各作一個正方形（如圖），作CN⊥DE交AB于M，那么正方形ABED被分成兩個矩形．連結(jié)CD和KB．即：a2+b2=c2返回第十七頁，共二十二頁，2022年，8月28日CCabbaABCDE總統(tǒng)巧證勾股定理S梯形ABCD＝(a+b)(a+b)＝(a2+2ab+b2)S梯形ABCD＝2×ab+c2＝(2ab+c2)a2+b2=c2返回定理證明第十八頁，共二十二頁，2022年，8月28日向常春的證明方法注:這一方法是向常春于1994年3月20日構(gòu)想發(fā)現(xiàn)的新法．返回定理證明Cbca-bBADEabcFS四邊形AECD=S△ADE+S△CDE

=DE·AF+DE·CF

=DE(AF+CF)=c2第十九頁，共二十二頁，2022年，8月28日aaaabbbbcC2

試一試我們用拼圖的方法來說明勾股定理是正確的．a(chǎn)2+b2=c2aabbcbbaaca2

b2

+c返回定理證明第二十頁，共二十二頁，2022年，8月28日試一試