概率統(tǒng)計(jì) 第5章 樣本及抽樣分布

1第一節(jié)隨機(jī)樣本第二節(jié)統(tǒng)計(jì)量第三節(jié)抽樣分布第五章樣本及抽樣分布數(shù)理統(tǒng)計(jì)是具有廣泛應(yīng)用的一個(gè)數(shù)學(xué)分支，它以概率論為理論基礎(chǔ)，根據(jù)試驗(yàn)或觀察得到的數(shù)據(jù)，來(lái)研究隨機(jī)現(xiàn)象，對(duì)研究對(duì)象的客觀規(guī)律性作出種種合理的估計(jì)和判斷。

由于大量隨機(jī)現(xiàn)象必然呈現(xiàn)它規(guī)律性，只要對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行足夠多次觀察，被研究的規(guī)律性一定能清楚地呈現(xiàn)出來(lái).

客觀上，只允許我們對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行次數(shù)不多的觀察試驗(yàn)，我們只能獲得局部觀察資料.

數(shù)理統(tǒng)計(jì)的任務(wù)就是研究有效地收集、整理、分析所獲得的有限的資料，對(duì)所研究的問(wèn)題,盡可能地作出合理而可靠的估計(jì)和推斷.數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法具有“部分推斷整體”的特征.本章我們介紹總體、隨機(jī)樣本及統(tǒng)計(jì)量等基本概念，并著重介紹幾個(gè)常用統(tǒng)計(jì)量及抽樣分布。42023/3/14備注：我們常關(guān)注總體的某項(xiàng)數(shù)量指標(biāo).總體中不同個(gè)體常取不同的數(shù)值，具有不確定性，故總體是一個(gè)隨機(jī)變量,每個(gè)個(gè)體是隨機(jī)變量的一個(gè)取值.今后不區(qū)分總體和相應(yīng)的隨機(jī)變量，籠統(tǒng)稱為總體.

§1隨機(jī)樣本1.1總體和樣本總體是人們研究對(duì)象的全體;總體中的每一個(gè)元素稱為個(gè)體.52023/3/14§1隨機(jī)樣本的隨機(jī)變量，我們就說(shuō)它是（0-1）分布的總體。例如,檢驗(yàn)?zāi)彻S生產(chǎn)的零件是合格品還是不合格品。以1表示產(chǎn)品為合格品，以0表示產(chǎn)品為不合格品，設(shè)合格品的概率為p（未知常數(shù)），那么總體是由數(shù)量指標(biāo)為1和0的個(gè)體所組成，這一總體就對(duì)應(yīng)一個(gè)參數(shù)為p的(0-1)分布：62023/3/14一般，我們都是從總體中抽取一部分個(gè)體進(jìn)行觀察，然后根據(jù)所得數(shù)據(jù)推斷總體的性質(zhì)，這些被抽取出來(lái)的部分個(gè)體，叫做總體的一個(gè)樣本。

日常生活中我們總是自覺(jué)或不自覺(jué)地和總體與樣本打交道。買桔子時(shí)，先要看看這批桔子甜不甜。這時(shí)稱這批桔子是一個(gè)總體，單個(gè)桔子就是個(gè)體。要了解一批桔子甜度情況，你只需要隨機(jī)品嘗一兩個(gè)，然后通過(guò)這一兩個(gè)桔子的甜度判斷這批桔子的甜度，這就是用樣本推斷總體。假設(shè)滿足下述兩個(gè)條件：（1）隨機(jī)性

為了使樣本具有充分的代表性，抽樣必須是隨機(jī)的，應(yīng)使總體中的每一個(gè)個(gè)體都有同等的機(jī)會(huì)被抽取到，通?？梢杂镁幪?hào)抽簽的方法或利用隨機(jī)數(shù)表來(lái)實(shí)現(xiàn)。（2）獨(dú)立性

各次抽樣必須是相互獨(dú)立的，即每次抽樣的結(jié)果既不影響其它各次抽樣的結(jié)果，也不受其它各次抽樣結(jié)果的影響。這種隨機(jī)的、獨(dú)立的抽樣方法稱為簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，由此得到的樣本稱為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本。82023/3/14

從總體隨機(jī)抽取一個(gè)個(gè)體，就是對(duì)總體X進(jìn)行一次觀察并記錄其結(jié)果。在相同條件下對(duì)總體X進(jìn)行n次重復(fù)、獨(dú)立的觀察，將n次觀察結(jié)果按次序記為X1,X2,…,Xn

，由于

X1,X2,…,Xn是對(duì)總體X的觀察結(jié)果，且各次觀察是在相同條件下獨(dú)立進(jìn)行的，所以X1,X2,…,Xn

是相互獨(dú)立的，且與總體X有相同分布，則稱X1,X2,…,Xn

是來(lái)自總體X的一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，n為樣本容量。

經(jīng)n次觀察得到一組實(shí)數(shù)x1,x2,…,xn,它們依次是樣本X1,X2,…,Xn的觀察值，稱為樣本值。注：今后,凡提到樣本都是指簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本.簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本2023/3/149實(shí)際中，怎么樣抽取簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本？對(duì)有限總體，當(dāng)總體中個(gè)體總數(shù)N比樣本容量n大得多時(shí),實(shí)際中可將不放回抽樣近似地當(dāng)作放回抽樣?？刹扇》呕爻闃拥玫胶?jiǎn)單隨機(jī)樣本定義（簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本）：設(shè)X是具有分布函數(shù)F的隨機(jī)變量，若X1,X2,…,Xn

是具有同一分布函數(shù)F的相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則稱X1,X2,…,Xn

為來(lái)自分布函數(shù)F（或總體F、或總體X）得到的容量為n的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，簡(jiǎn)稱樣本，它們的觀察值x1,x2,…,xn稱為樣本值。102023/3/14§2統(tǒng)計(jì)量由樣本推斷總體情況,往往不是直接使用樣本本身，而是對(duì)樣本進(jìn)行“處理”,即構(gòu)造適當(dāng)?shù)臉颖镜暮瘮?shù),它把樣本中所含的信息集中起來(lái)來(lái)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷的。注:1°統(tǒng)計(jì)量用于統(tǒng)計(jì)推斷,不含任何總體X的未知參數(shù);

2o

統(tǒng)計(jì)量是樣本的函數(shù),它是一個(gè)隨機(jī)變量,統(tǒng)計(jì)量的分布稱為抽樣分布.112023/3/14常用統(tǒng)計(jì)量(1)樣本均值(2)樣本方差(3)樣本標(biāo)準(zhǔn)差(4)樣本k階原點(diǎn)矩(5)樣本k階中心矩122023/3/14

定義設(shè)總體，是的一個(gè)樣本,則稱統(tǒng)計(jì)量服從自由度為n的分布，記作分布

自由度是指獨(dú)立隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)，§3抽樣分布01357911131517x0.50.40.30.20.1n=1n=4n=10f(y)132023/3/142分布的數(shù)學(xué)期望與方差設(shè)

2～

2(n)，則E(

2)=n，D(

2)=2n.2分布的可加性設(shè)且相互獨(dú)立，則若，則有分布的數(shù)學(xué)期望和方差因故因此又所以也相互獨(dú)立由于相互獨(dú)立于是上分位數(shù)：設(shè)連續(xù)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x),概率密度為f(x),對(duì)于α（

0<α<1）2023/3/1415若則稱x為此分布的上α分位數(shù)，記為上分位數(shù)例如，設(shè)X~N(0,1),對(duì)于α（

0<α<1），滿足的數(shù)z

α為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上α分位數(shù)。162023/3/14

的數(shù)為

2分布的上分位數(shù)。

其幾何意義見(jiàn)右圖所示.其中f(y)是

2-分布的概率密度.f(y)xO顯然，在自由度n取定以后，的值只與有關(guān).例如，當(dāng)n=21，=0.05時(shí)，由附表5可查得，32.67即2分布的上分位數(shù)172023/3/14(附表5)182023/3/14性質(zhì)設(shè)(X1,X2,…,Xn)為取自正態(tài)總體X～N(，2)的樣本，則證明由已知，有Xi～N(，2)且X1，X2，…，Xn相互獨(dú)立，則且各相互獨(dú)立，由定義得192023/3/14xyON(0,1)t分布曲線2023/3/1420t

分布的歷史背景歷史上，正態(tài)分布由于其廣泛的應(yīng)用背景和良好的性質(zhì)，曾被看作是“萬(wàn)能分布”。在這樣的背景下，十九世紀(jì)初英國(guó)一位年經(jīng)釀酒化學(xué)技師GossetWS，他在酒廠從事試驗(yàn)和數(shù)據(jù)分析工作，對(duì)數(shù)據(jù)誤差有著大量的感性的認(rèn)識(shí)，Gosset知道在總體均值和方差已知情況下，2023/3/1421為“t分布”或“學(xué)生氏分布”.xyO但是Gosset在試驗(yàn)中遇到的樣本容量?jī)H有5-6個(gè),在其中他發(fā)現(xiàn)實(shí)際數(shù)據(jù)的分布情況與正態(tài)分布有著較大的差異。正態(tài)分布Gosset樣本曲線于是Gosset懷疑存在一個(gè)不屬于正態(tài)的其他分布，通過(guò)學(xué)習(xí)終于得到了新的概率密度曲線，在1908年以“Student”筆名發(fā)表了此項(xiàng)結(jié)果，后人稱此分布222023/3/14t分布的上分位數(shù)定義2.232023/3/14(附表4)242023/3/14返回F分布F（10，50）的密度函數(shù)曲線252023/3/14F分布的上α分位數(shù)定義.262023/3/14附表6272023/3/14正態(tài)總體的樣本均值與樣本方差的抽樣分布來(lái)自正態(tài)總體N(μ,σ2)的一個(gè)樣本,則樣本均值樣本方差282023/3/14來(lái)自正態(tài)總體N(76.4,383)的樣本容量為4的樣本。292023/3/14來(lái)自正態(tài)總體N(76.4,3