高等數(shù)學(xué)全套課件(同濟(jì)五版)第七章 習(xí)題課

向量代數(shù)與空間解析幾何習(xí)題課一、主要內(nèi)容（一）向量代數(shù)（二）空間解析幾何向量的線性運算向量的表示法向量積數(shù)量積混合積向量的積向量概念（一）向量代數(shù)1、向量的概念向量的模、單位向量、零向量、自由向量、相等向量、負(fù)向量、平行向量、向徑.2、向量的線性運算加、減、數(shù)乘3、向量的表示法向量的分解式：在三個坐標(biāo)軸上的分向量：向量的坐標(biāo)表示式：向量的坐標(biāo)：模、方向余弦的坐標(biāo)表示式4、數(shù)量積、向量積、混合積各種積的坐標(biāo)表達(dá)式兩向量平行、垂直的條件直線曲面曲線平面參數(shù)方程旋轉(zhuǎn)曲面柱面二次曲面一般方程參數(shù)方程一般方程對稱式方程點法式方程一般方程空間直角坐標(biāo)系（二）空間解析幾何1、空間直角坐標(biāo)系2、曲面旋轉(zhuǎn)曲面、柱面、二次曲面3、空間曲線4、平面5、空間直線線面關(guān)系、線線關(guān)系、夾角、點到線面的距離兩直線共面的條件共面6、平面束二、典型例題例1解由題設(shè)條件得解得例2設(shè)的三邊三邊中點分別為D、E、F試用表示并證明證ABCDEF例3已知證明①②證①ADCB而②因令得唯一駐點而時面積最大例4設(shè)求解由題設(shè)知兩式相減得代入前式有故例5已知向量求與同時垂直，且在上投影為1的向量解由于同時垂直于而故可設(shè)而故故，所求向量為例6解過已知直線的平面束方程為由題設(shè)知由此解得代回平面束方程為例7解將兩已知直線方程化為參數(shù)方程為即有例8求過點且平行于平面又與直線相交的直線方程解設(shè)所求直線的方向數(shù)為則直線方程為化成參數(shù)方程，有代入已知直線方程，得又所求直線與已知平面平行（兩邊同乘以）解得直線方程為例9解所求投影直線方程為例10求直線在三個坐標(biāo)面及平面上的投影解分別令參數(shù)方程中的x,y,z

為0即可得直線在三個坐標(biāo)面上的投影方程過直線作一平面與已知平面垂直直線的方向向量已知平面的法向量即為所求平面的法向量又點在所求平面上故所求平面的方程為即已知直線在所給平面上的投影直線的方程為例11解由于高度不變,故所求旋轉(zhuǎn)曲面方程為例12求點到直線的距離解一如圖所示所求點到直線的距離等于平行四邊形的高由向量積的幾何意義得解二過M作一平面則平面的方程為再求直線和平面的交點直線的參數(shù)方程為代入平面方程，有交點坐標(biāo)點到直線的距離為例13設(shè)和為異面直線求它們之間的距離解一所謂異面直線間的距離，即公垂線上兩垂足之間的距離。由于公垂線與都垂直故其方向向量為過作平行于的平面則到平面的距離就是所求的異面直線間的距離由于為的法向量的方程為公垂線長等于以

為棱的平行六面體的高記記則到的距離解二設(shè)兩垂足的坐標(biāo)分別為解出求得垂足，得公垂線方程和公垂線長——異面直線間的距離例14過點作一直線，使和z軸相交，且和直線垂直，求其方程[分析]求直線方程，或者求出直線所在的平面得交面式方程，或者求出直線上一點及方向向量得點向式方程，或者求出直線上的兩點得兩點式方程解一用交面式直線過點

B

且與L垂直故直線在過

B

且與L垂直的平面內(nèi)oxyzB即又過B且與z軸相交故在由B

及z軸所組成的平面內(nèi)即所求直線方程為解二用點向式已知過B，故只須求出其方向向量

而故又過B

且與z軸相交，即在由B及z軸所組成的平面內(nèi)亦即共面所求直線方程為解三用兩點式已知過B，故只須求出第二個點又與軸相交，可設(shè)法求出這個交點過B作平面，使得即求出z

軸與的交點將