專題17解直角三角形(精講精練)(原卷版+解析)

第17講解直角三角形（精講）銳角三角函數(shù)（sinA，cosA，tanA）解直角三角形30°，45°，60°角的三角函數(shù)值使用參考數(shù)據(jù)由已知銳角求它的三角函數(shù)值，由已知三角函數(shù)值求它的對(duì)應(yīng)銳角用銳角三角函數(shù)解直角三角形，能用相關(guān)知識(shí)解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題TOC\o"1-3"\h\u第17講解直角三角形（精講） 1考點(diǎn)1：銳角三角函數(shù)的計(jì)算 2考點(diǎn)2：解直角三角形 9考點(diǎn)3：解直角三角形的應(yīng)用 25課堂總結(jié)：思維導(dǎo)圖 53分層訓(xùn)練：課堂知識(shí)鞏固 55考點(diǎn)1：銳角三角函數(shù)的計(jì)算①銳角三角函數(shù)：正弦:sinA＝eq\f(∠A的對(duì)邊,斜邊)＝eq\f(a,c)余弦:cosA＝eq\f(∠A的鄰邊,斜邊)＝eq\f(b,c)正切:tanA＝eq\f(∠A的對(duì)邊,∠A的鄰邊)＝eq\f(a,b).②特殊角的三角函數(shù)值｛三角函數(shù)的定義★｝已知中，，，，那么下列各式中正確的是A． B． C． D．｛三角函數(shù)的定義★｝在中，，，則的正弦值為A． B． C．2 D．｛三角函數(shù)的計(jì)算★｝計(jì)算：．｛三角函數(shù)的定義★｝如圖，在中，，，，則．｛三角函數(shù)的定義★｝在中，，，，則．｛三角函數(shù)的計(jì)算★｝計(jì)算：．｛三角函數(shù)的計(jì)算★｝在中，，則一定是：．（2021?瀘州）在銳角中，，，所對(duì)的邊分別為，，，有以下結(jié)論：（其中為的外接圓半徑）成立．在中，若，，，則的外接圓面積為A． B． C． D．（2020?桂林）如圖，在中，，，，則的值是．考點(diǎn)2：解直角三角形①解直角三角形的概念：在直角三角形中，除直角外，一共有五個(gè)元素，即三條邊和兩個(gè)銳角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的過程叫做解直角三角形．②解直角三角形的常用關(guān)系：(1)三邊之間的關(guān)系：a2＋b2＝c2；(2)銳角之間的關(guān)系：∠A＋∠B＝90°；(3)邊角之間的關(guān)系：sinA＝=cosB=eq\f(a,c)，cosA＝sinB=eq\f(b,c)，tanA＝eq\f(a,b).｛解直角三角形★｝如圖，在中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，于點(diǎn)，則的值等于A． B． C． D．｛解直角三角形★｝如圖，的頂點(diǎn)是正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)，則的值為A．3 B． C． D．｛解直角三角形★｝如圖，在四邊形中，，，，，則的值為A．2 B． C． D．｛解直角三角形★｝（2021?內(nèi)江）已知，在中，，，，則的面積為．｛解直角三角形★｝如圖，中，，，點(diǎn)、點(diǎn)分別在、上，連接、，，，，則．｛解直角三角形★｝如圖，的頂點(diǎn)，，都在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，于點(diǎn)，則的值為．｛解直角三角形★｝如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，射線與軸正半軸的夾角為，如果，，那么點(diǎn)的坐標(biāo)是．｛解直角三角形★｝在中，，，，，則的長(zhǎng)為．｛解直角三角形★｝在中，是的高線，若，，，則長(zhǎng)為．（2021?黑龍江）如圖，在中，，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，連接，若，，則的值為A．1 B．2 C． D．（2021?宜賓）如圖，在中，點(diǎn)是角平分線、的交點(diǎn)，若，，則的值是A． B．2 C． D．（2021?廣東）如圖，是的直徑，點(diǎn)為圓上一點(diǎn)，，的平分線交于點(diǎn)，，則的直徑為A． B． C．1 D．2（2021?宜昌）如圖，的頂點(diǎn)是正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)，則的值為A． B． C． D．考點(diǎn)3：解直角三角形的應(yīng)用仰角、俯角、坡度、坡角和方向角：(1)仰、俯角：視線在水平線上方的角叫做仰角.視線在水平線下方的角叫做俯角．（如圖①）(2)坡度：坡面的鉛直高度和水平寬度的比叫做坡度(或者叫做坡比)，用字母i表示．坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，用α表示，則有i＝tanα.（如圖②）(3)方向角：平面上，通過觀察點(diǎn)Ο作一條水平線(向右為東向)和一條鉛垂線(向上為北向)，則從點(diǎn)O出發(fā)的視線與水平線或鉛垂線所夾的角，叫做觀測(cè)的方向角．（如圖③）｛解直角三角形的應(yīng)用★｝如圖，太陽(yáng)光線與地面成角，窗子米，要在窗子外面上方0.2米的點(diǎn)處安裝水平遮陽(yáng)板，使光線不能直接射入室內(nèi)，則遮陽(yáng)板的長(zhǎng)度至少是A．米 B．米 C．米 D．米｛解直角三角形的應(yīng)用★｝我國(guó)魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽首創(chuàng)“割圓術(shù)”，所謂“割圓術(shù)”就是利用圓內(nèi)接正多邊形無(wú)限逼近圓來(lái)確定圓周率，劉徽計(jì)算出圓周率．劉徽從正六邊形開始分割圓，每次邊數(shù)成倍增加，依次可得圓內(nèi)接正十二邊形，內(nèi)接正二十四邊形割的越細(xì)，圓的內(nèi)接正多邊形就越接近圓．設(shè)圓的半徑為，圓內(nèi)接正六邊形的周長(zhǎng)，計(jì)算．下面計(jì)算圓內(nèi)接正十二邊形的周長(zhǎng)正確的是A． B． C． D．｛解直角三角形的應(yīng)用★★｝如圖大壩的橫斷面，斜坡的坡比，背水坡的坡比，若坡面的長(zhǎng)度為米，則斜坡的長(zhǎng)度為米．｛解直角三角形的應(yīng)用★★★｝在學(xué)習(xí)解直角三角形以后，某數(shù)學(xué)興趣小組測(cè)量了旗桿的高度．如圖，某一時(shí)刻，旗桿的影子一部分落在平臺(tái)上的影長(zhǎng)為6米，落在斜坡上的影長(zhǎng)為4米，，同一時(shí)刻，光線與旗桿的夾角為，斜坡的坡角為，旗桿的高度約為米．（參考數(shù)據(jù)：，，，，精確到0.01米）｛解直角三角形的應(yīng)用★｝（2021?阜新）如圖，甲樓高，由甲樓頂看乙樓頂?shù)难鼋鞘?，看乙樓底的俯角是，則乙樓高度約為（結(jié)果精確到，．｛解直角三角形的應(yīng)用★｝如圖，數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)小組要測(cè)量學(xué)校附近樓房的高度，在水平地面處安置測(cè)傾器測(cè)得樓房頂部點(diǎn)的仰角為，向前走20米到達(dá)處，測(cè)得點(diǎn)的仰角為，已知測(cè)傾器的高度為1.6米，則樓房的高度為米（保留根號(hào)）｛解直角三角形的應(yīng)用★｝如圖，一艘輪船從位于燈塔的北偏東方向，距離燈塔60海里的小島出發(fā)，沿正南方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔的南偏東方向上的處，這時(shí)輪船與小島的距離約是海里．（結(jié)果保留整數(shù)，｛解直角三角形的應(yīng)用★｝如圖，在東西方向的海岸線上有，兩個(gè)港口，甲貨船從港沿北偏東的方向以4海里小時(shí)的速度出發(fā)，同時(shí)乙貨船從港沿西北方向出發(fā)，2小時(shí)后相遇在點(diǎn)處，則乙貨船每小時(shí)航行海里．（精確到，參考數(shù)據(jù)｛解直角三角形的應(yīng)用★★★｝小李想測(cè)量一棵樹的高度，假設(shè)樹是豎直生長(zhǎng)的，用圖中線段表示，小李站在點(diǎn)測(cè)得，小李從點(diǎn)走4米到達(dá)了斜坡的底端點(diǎn)，并測(cè)得，從點(diǎn)上斜坡走了8米到達(dá)點(diǎn)，測(cè)得，，，在同一水平線上，、、、、在同一平面內(nèi)，則大樹的高度約為米．（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：，｛解直角三角形的應(yīng)用★★｝如圖，小陽(yáng)發(fā)現(xiàn)電線桿的影子落在土坡的坡面和地面上，量得米，米，的坡度為；且此時(shí)測(cè)得1米桿在地面上的影長(zhǎng)為2米，則電線桿的高度為米．｛解直角三角形的應(yīng)用★★★｝自開展“全民健身運(yùn)動(dòng)”以來(lái)，喜歡戶外步行健身的人越來(lái)越多．為方便群眾步行健身，某地政府決定對(duì)一段如圖1所示的坡路進(jìn)行改造．如圖2所示，改造前的斜坡米，坡度為；將斜坡的高度降低米后，斜坡改造為斜坡，其坡度為．則斜坡的長(zhǎng)為米．（結(jié)果保留根號(hào)）｛解直角三角形的應(yīng)用★★★｝如圖1，這是一個(gè)裝有貨物的長(zhǎng)方體形狀的木箱沿著坡面裝進(jìn)汽車貨箱的立體示意圖，圖2是它的平面示意圖．已知汽車貨箱高度，貨箱底面距地面的高度，坡面與地面的夾角，木箱的長(zhǎng)為，高為，寬小于汽車貨箱的寬度．已知，木箱底部頂點(diǎn)與坡面底部點(diǎn)重合，則木箱底部懸空部分的長(zhǎng)為，木箱上部頂點(diǎn)到汽車貨箱頂部的距離為．｛解直角三角形的應(yīng)用★｝某市為了加快網(wǎng)格信號(hào)覆蓋，在市區(qū)附近小山頂架設(shè)信號(hào)發(fā)射塔，如圖所示．小軍為了知道發(fā)射塔的高度，從地面上的一點(diǎn)測(cè)得發(fā)射塔頂端點(diǎn)的仰角是，向前走60米到達(dá)點(diǎn)測(cè)得點(diǎn)的仰角是，測(cè)得發(fā)射塔底部點(diǎn)的仰角是，則米；信號(hào)發(fā)射塔的高度為米．（結(jié)果精確到0.1米，｛解直角三角形的應(yīng)用★｝如圖，一艘船由港沿北偏東方向航行至港，然后再沿北偏西方向航行至港，港在港北偏東方向，則，兩港之間的距離為．｛解直角三角形的應(yīng)用★｝（2021?綏化）一種可折疊的醫(yī)療器械放置在水平地面上，這種醫(yī)療器械的側(cè)面結(jié)構(gòu)如圖實(shí)線所示，底座為，點(diǎn)、、在同一條直線上，測(cè)得，，，，其中一段支撐桿，另一段支撐桿．求支撐桿上的點(diǎn)到水平地面的距離是多少？（用四舍五入法對(duì)結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：，，，｛解直角三角形的應(yīng)用★｝周末，甲乙兩人相約去附近的山頂處寫生．甲從小山的正東方向處出發(fā)，乙從小山正西方向的處出發(fā)．已知處的海拔高度為18米，處的海拔高度比處高30米，且、兩地的水平距離為1048米．山坡的坡角為，山坡的坡度．問：（1）小山的海拔高度是多少米？（2）甲乙兩人到達(dá)山頂所走的路程相差多少米？（參考數(shù)據(jù)：，，（2021?呼和浩特）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，剪去四個(gè)角后成為一個(gè)正八邊形，則可求出此正八邊形的外接圓直徑，根據(jù)我國(guó)魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽的“割圓術(shù)”思想，如果用此正八邊形的周長(zhǎng)近似代替其外接圓周長(zhǎng)，便可估計(jì)的值，下面及的值都正確的是A．， B．， C．， D．，（2021?荊州）如圖1是一臺(tái)手機(jī)支架，圖2是其側(cè)面示意圖，，可分別繞點(diǎn)，轉(zhuǎn)動(dòng)，測(cè)量知，．當(dāng)，轉(zhuǎn)動(dòng)到，時(shí)，點(diǎn)到的距離為．（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位，參考數(shù)據(jù)：，課堂總結(jié)：思維導(dǎo)圖分層訓(xùn)練：課堂知識(shí)鞏固1．（2022秋?宛城區(qū)校級(jí)期末）如圖，在的正方形方格圖形中，小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則圖中的正切值是A．2 B． C． D．2．（2022秋?大名縣校級(jí)期末）在中，，，，那么的值是A． B． C． D．3．（2023?小店區(qū)校級(jí)一模）小敏利用無(wú)人機(jī)測(cè)量某座山的垂直高度．如圖所示，無(wú)人機(jī)在地面上方130米的處測(cè)得山頂?shù)难鼋菫椋瑴y(cè)得山腳的俯角為．已知的坡度為，點(diǎn)，，，在同一平面內(nèi)，則此山的垂直高度約為（參考數(shù)據(jù)：，，，A．146.4米 B．222.9米 C．225.7米 D．318.6米4．（2022秋?密云區(qū)期末）為銳角，若，則的度數(shù)為A． B． C． D．5．（2022秋?宣州區(qū)期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，如果射線與軸正半軸的夾角為，那么的正弦值是A． B． C． D．6．（2022秋?桃江縣期末）如圖，在中，，于，下列式子正確的是A． B． C． D．7．（2022?貴港）如圖，某數(shù)學(xué)興趣小組測(cè)量一棵樹的高度，在點(diǎn)處測(cè)得樹頂?shù)难鼋菫椋邳c(diǎn)處測(cè)得樹頂?shù)难鼋菫?，且，，三點(diǎn)在同一直線上，若，則這棵樹的高度是A． B． C． D．8．（2022?從化區(qū)一模）如圖，將放在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)，，在格點(diǎn)上，則正切值是A． B． C．2 D．9．（2022秋?南關(guān)區(qū)校級(jí)期末）如圖，河壩橫斷面迎水坡的坡比為．壩高為，則的長(zhǎng)度為．10．（2022秋?德惠市期末）在中，，，，那么的長(zhǎng)為．11．（2022秋?駐馬店期末）在中，若，則的度數(shù)是．12．（2022秋?廣饒縣校級(jí)期末）一等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為和，則其底角的余弦值為．1．（2022秋?鄒城市校級(jí)期末）如圖，在中，，，，且為銳角，的值是A． B． C． D．2．（2022秋?叢臺(tái)區(qū)校級(jí)期末）如圖，網(wǎng)格中小正方形的邊長(zhǎng)均為1，的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則等于A． B． C． D．3．（2022秋?鄒城市校級(jí)期末）如圖．某同學(xué)為測(cè)量宣傳牌的高度，他站在距離教學(xué)樓底部處9米遠(yuǎn)的地面處，測(cè)得宣傳牌的底部的仰角為，同時(shí)測(cè)得教學(xué)樓窗戶處的仰角為、、、在同一直線上）．然后，小明沿坡度的斜坡從走到處，此時(shí)正好與地面平行．他在處又測(cè)得宣傳牌頂部的仰角為，則宣傳牌的高度為米（結(jié)果保留根號(hào)）．4．（2022秋?桐柏縣期末）如圖，在中，，是的中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作的垂線，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)．已知，．則的值為．5．（2023?未央?yún)^(qū)校級(jí)三模）開封鐵塔又名“開寶寺塔”，坐落在開封城東北隅鐵塔公園內(nèi)，因塔身全部以褐色琉璃瓦鑲嵌，遠(yuǎn)看酷似鐵色，故稱為“鐵塔”．在一次綜合實(shí)踐活動(dòng)中，某數(shù)學(xué)小組對(duì)該鐵塔進(jìn)行測(cè)量．如圖，他們?cè)谶h(yuǎn)處一山坡坡腳處，測(cè)得鐵塔頂端的仰角為，沿山坡向上走到達(dá)處，測(cè)得鐵塔頂端的仰角為．已知山坡坡度，即，請(qǐng)你幫助該小組計(jì)算鐵塔的高度（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：．6．（2022秋?閔行區(qū)期末）2022年11月12日10時(shí)03分，搭載天舟五號(hào)貨運(yùn)飛船的長(zhǎng)征七號(hào)遙六運(yùn)載火箭，在海南文昌航天發(fā)射場(chǎng)成功發(fā)射．天舟五號(hào)貨運(yùn)飛船重約13.6噸，長(zhǎng)度米，貨物倉(cāng)的直徑可達(dá)3.35米，是世界現(xiàn)役貨物運(yùn)輸能力最大、在軌支持能力最全面的貨運(yùn)飛船，堪稱“在職最強(qiáng)快遞小哥”．已知飛船發(fā)射塔垂直于地面，某人在地面處測(cè)得飛船底部處的仰角，頂部處的仰角為，求此時(shí)觀測(cè)點(diǎn)到發(fā)射塔的水平距離（結(jié)果精確到0.1米）．（參考數(shù)據(jù)：，，1．（2021秋?武昌區(qū)校級(jí)期末）如圖，中，，，為邊上一點(diǎn)，，，為邊上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)最大時(shí)的長(zhǎng)為A．2 B．3 C． D．2．（2021?成都自主招生）一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)分別為，，，另一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)分別為，，，其中，若兩個(gè)三角形的最小內(nèi)角相等，的值等于A． B． C． D．3．（2021?唐河縣一模）如圖：一輛汽車在一個(gè)十字路口遇到紅燈剎車停下，汽車?yán)锏鸟{駛員看地面的斑馬線前后兩端的視角分別是和，如果斑馬線的寬度是米，駕駛員與車頭的距離是0.8米，這時(shí)汽車車頭與斑馬線的距離是多少？4．（2020?江陰市模擬）如圖，將含角的直角三角板繞其直角頂點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角，得到△，與交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接．易知，在旋轉(zhuǎn)過程中，為直角三角形．設(shè)，，的面積為．（1）當(dāng)時(shí)，求的值．（2）求與的函數(shù)關(guān)系式，并寫出的取值范圍；（3）以點(diǎn)為圓心，為半徑作，當(dāng)時(shí)，判斷與的位置關(guān)系，并求相應(yīng)的值．第17講解直角三角形（精講）銳角三角函數(shù)（sinA，cosA，tanA）解直角三角形30°，45°，60°角的三角函數(shù)值使用參考數(shù)據(jù)由已知銳角求它的三角函數(shù)值，由已知三角函數(shù)值求它的對(duì)應(yīng)銳角用銳角三角函數(shù)解直角三角形，能用相關(guān)知識(shí)解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題TOC\o"1-3"\h\u第17講解直角三角形（精講） 1考點(diǎn)1：銳角三角函數(shù)的計(jì)算 2考點(diǎn)2：解直角三角形 9考點(diǎn)3：解直角三角形的應(yīng)用 25課堂總結(jié)：思維導(dǎo)圖 53分層訓(xùn)練：課堂知識(shí)鞏固 55考點(diǎn)1：銳角三角函數(shù)的計(jì)算①銳角三角函數(shù)：正弦:sinA＝eq\f(∠A的對(duì)邊,斜邊)＝eq\f(a,c)余弦:cosA＝eq\f(∠A的鄰邊,斜邊)＝eq\f(b,c)正切:tanA＝eq\f(∠A的對(duì)邊,∠A的鄰邊)＝eq\f(a,b).②特殊角的三角函數(shù)值｛三角函數(shù)的定義★｝已知中，，，，那么下列各式中正確的是A． B． C． D．【分析】由勾股定理求出斜邊，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義分別求出、、、即可．【解答】解：中，，，，，，，，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查銳角三角函數(shù)，勾股定理，掌握銳角三角函數(shù)的定義和勾股定理是正確解答的前提．｛三角函數(shù)的定義★｝在中，，，則的正弦值為A． B． C．2 D．【分析】先通過勾股定理求出斜邊長(zhǎng)度，再根據(jù)三角函數(shù)求解．【解答】解：設(shè)為，則，由勾股定理得，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形，解題關(guān)鍵是注意正弦值為銳角的對(duì)邊與斜邊的比．｛三角函數(shù)的計(jì)算★｝計(jì)算：．【分析】把特殊角的三角函數(shù)值代入原式，計(jì)算即可．【解答】解：，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的特殊角的三角函數(shù)值的計(jì)算，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．｛三角函數(shù)的定義★｝如圖，在中，，，，則10．【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的意義求解即可．【解答】解：在中，，，，，，故答案為：10．【點(diǎn)評(píng)】本題考查銳角三角函數(shù)，掌握銳角三角函數(shù)的定義是解決問題的前提．｛三角函數(shù)的定義★｝在中，，，，則．【分析】利用勾股定理求出，再根據(jù)，求解即可．【解答】解：如圖，在中，，，，，，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查銳角三角函數(shù)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考常考題型．｛三角函數(shù)的計(jì)算★｝計(jì)算：2．【分析】根據(jù)特殊銳角三角函數(shù)值代入計(jì)算即可．【解答】解：原式，故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查特殊銳角三角函數(shù)值，掌握特殊銳角三角函數(shù)值是正確計(jì)算的前提．｛三角函數(shù)的計(jì)算★｝在中，，則一定是：等腰直角三角形．【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的意義和特殊銳角的三角函數(shù)值求出角和角，進(jìn)而確定三角形的形狀．【解答】解：因?yàn)?，所以，且，即，，所以，，所以是等腰直角三角形，故答案為：等腰直角三角形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查特殊銳角三角函數(shù)值以及三角形的判定，掌握特殊銳角的三角函數(shù)值是正確判斷的前提．（2021?瀘州）在銳角中，，，所對(duì)的邊分別為，，，有以下結(jié)論：（其中為的外接圓半徑）成立．在中，若，，，則的外接圓面積為A． B． C． D．【分析】已知，所以求出的度數(shù)即可使用題中的結(jié)論，得到關(guān)于的方程，再求圓的面積即可．【解答】解：，，，，，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了特殊角的銳角三角函數(shù)值，三角形的內(nèi)角和定理，實(shí)數(shù)的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是：求出的度數(shù)，使用題中的結(jié)論，得到關(guān)于的方程．（2020?桂林）如圖，在中，，，，則的值是．【分析】根據(jù)余弦的定義解答即可．【解答】解：在中，，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是銳角三角函數(shù)的定義，掌握銳角的鄰邊與斜邊的比叫做的余弦是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)2：解直角三角形①解直角三角形的概念：在直角三角形中，除直角外，一共有五個(gè)元素，即三條邊和兩個(gè)銳角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的過程叫做解直角三角形．②解直角三角形的常用關(guān)系：(1)三邊之間的關(guān)系：a2＋b2＝c2；(2)銳角之間的關(guān)系：∠A＋∠B＝90°；(3)邊角之間的關(guān)系：sinA＝=cosB=eq\f(a,c)，cosA＝sinB=eq\f(b,c)，tanA＝eq\f(a,b).｛解直角三角形★｝如圖，在中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，于點(diǎn)，則的值等于A． B． C． D．【分析】連接，由中，，，為中點(diǎn)，利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)，可證得，再利用勾股定理，求得的長(zhǎng)，那么在直角中根據(jù)三角函數(shù)的定義求出，然后根據(jù)同角的余角相等得出，于是．【解答】解：連接，中，，，為中點(diǎn)，，，，．，，，，，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解直角三角形、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)的定義以及余角的性質(zhì)．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出輔助線，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．｛解直角三角形★｝如圖，的頂點(diǎn)是正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)，則的值為A．3 B． C． D．【分析】連接格點(diǎn)，構(gòu)造直角三角形，先計(jì)算，再算的正弦．【解答】解：連接格點(diǎn)、．在中，，，．．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形，掌握直角三角形的邊角間關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．｛解直角三角形★｝如圖，在四邊形中，，，，，則的值為A．2 B． C． D．【分析】延長(zhǎng)、，兩線交于，解直角三角形求出，求出，根據(jù)勾股定理求出，求出，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出比例式，代入求出即可．【解答】解：延長(zhǎng)、，兩線交于，在中，，，，，，，在中，，，，由勾股定理得：，，，，，，，解得：，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，解直角三角形和相似三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)，能正確作出輔助線（構(gòu)造出直角三角形）是解此題的關(guān)鍵．｛解直角三角形★｝（2021?內(nèi)江）已知，在中，，，，則的面積為2或14．【分析】過點(diǎn)作邊的高，中，，，得，在中，，得，①是鈍角三角形時(shí)，②是銳角三角形時(shí)，分別求出的長(zhǎng)，即可求解．【解答】解：過點(diǎn)作邊的高，中，，，，在中，，，①是鈍角三角形時(shí)，，；②是銳角三角形時(shí)，，，故答案為：2或14．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，三角形面積求法，解題關(guān)鍵是分類討論思想．｛解直角三角形★｝如圖，中，，，點(diǎn)、點(diǎn)分別在、上，連接、，，，，則．【分析】如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)．證明，，都是等腰直角三角形，利用參數(shù)構(gòu)建方程求解即可．【解答】解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)．，，，，，，，，可以假設(shè)，，，，，，，，，，，，，【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．｛解直角三角形★｝如圖，的頂點(diǎn)，，都在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，于點(diǎn)，則的值為3．【分析】利用等面積法求出，再利用勾股定理求出即可．【解答】解：由題意得：，，，的面積，，，在中，，，故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形，利用等面積法來(lái)計(jì)算是解題的關(guān)鍵．｛解直角三角形★｝如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，射線與軸正半軸的夾角為，如果，，那么點(diǎn)的坐標(biāo)是．【分析】構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理和銳角三角函數(shù)求出，即可確定點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：過點(diǎn)作軸，垂足為，由于，設(shè)，則，，，，，點(diǎn)，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形，坐標(biāo)與圖形的關(guān)系，掌握直角三角形的邊角關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．｛解直角三角形★｝在中，，，，，則的長(zhǎng)為9．【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)，，設(shè)，，再利用勾股定理求得，，再次利用勾股定理求出的長(zhǎng)，即可解決問題．【解答】解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，在中，，設(shè)，，由勾股定理得，，，，，，，故答案為：9．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了解直角三角形，勾股定理等知識(shí)，作輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．｛解直角三角形★｝在中，是的高線，若，，，則長(zhǎng)為5或3．【分析】分兩種情況進(jìn)行討論：高在內(nèi)部；高在外部．【解答】解：如圖，分兩種情況：當(dāng)高在內(nèi)部時(shí)，在中，，在中，，，；當(dāng)高在外部時(shí)，易知，．故答案為：5或3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題，屬于中考常考題型．（2021?黑龍江）如圖，在中，，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，連接，若，，則的值為A．1 B．2 C． D．【分析】通過作垂線，構(gòu)造直角三角形，利用相似三角形的性質(zhì)可求出，再根據(jù)，設(shè)參數(shù)表示、即可求出答案．【解答】解：過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，，，，，，，在中，由于，設(shè)，則，又，，，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形，相似三角形的性質(zhì)和判定，掌握直角三角形的邊角關(guān)系以及相似三角形的判定和性質(zhì)是正確解答的前提，作垂線構(gòu)造直角三角形是常用的方法．（2021?宜賓）如圖，在中，點(diǎn)是角平分線、的交點(diǎn)，若，，則的值是A． B．2 C． D．【分析】放在中利用三角函數(shù)定義即可求．【解答】解：如圖：作于，，平分．．．根據(jù)勾股定理得：．平分．，，．設(shè)，則，在中，根據(jù)勾股定理得：．．．在中，．法二：在求出后．．．．．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理，角平分線性質(zhì)及銳角三角函數(shù)的定義，構(gòu)造直角三角形求線段的長(zhǎng)是求解本題的關(guān)鍵．（2021?廣東）如圖，是的直徑，點(diǎn)為圓上一點(diǎn)，，的平分線交于點(diǎn)，，則的直徑為A． B． C．1 D．2【分析】如圖，過點(diǎn)作于．證明，推出，推出，可得結(jié)論．【解答】解：如圖，過點(diǎn)作于．是直徑，，，平分，，，，，，，，，解法二：由此處開始，可以在中用勾股定理得，再由垂徑定理可得得解．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓周角定理，角平分線的性質(zhì)定理，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，利用角平分線的性質(zhì)定理解決問題．（2021?宜昌）如圖，的頂點(diǎn)是正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)，則的值為A． B． C． D．【分析】由圖可知，可把放在中，利用勾股定理可求出斜邊的長(zhǎng)，再利用余弦的定義可得．【解答】解：法一、如圖，在中，，，，．故選：．法二、在中，，，，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查勾股定理，銳角三角函數(shù)的定義等內(nèi)容，題目比較簡(jiǎn)單，找到角所在的直角三角形是解題關(guān)鍵．考點(diǎn)3：解直角三角形的應(yīng)用仰角、俯角、坡度、坡角和方向角：(1)仰、俯角：視線在水平線上方的角叫做仰角.視線在水平線下方的角叫做俯角．（如圖①）(2)坡度：坡面的鉛直高度和水平寬度的比叫做坡度(或者叫做坡比)，用字母i表示．坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，用α表示，則有i＝tanα.（如圖②）(3)方向角：平面上，通過觀察點(diǎn)Ο作一條水平線(向右為東向)和一條鉛垂線(向上為北向)，則從點(diǎn)O出發(fā)的視線與水平線或鉛垂線所夾的角，叫做觀測(cè)的方向角．（如圖③）｛解直角三角形的應(yīng)用★｝如圖，太陽(yáng)光線與地面成角，窗子米，要在窗子外面上方0.2米的點(diǎn)處安裝水平遮陽(yáng)板，使光線不能直接射入室內(nèi)，則遮陽(yáng)板的長(zhǎng)度至少是A．米 B．米 C．米 D．米【分析】由已知條件易求的長(zhǎng)，在光線、遮陽(yáng)板和窗戶構(gòu)成的直角三角形中，角的正切值窗戶高：遮陽(yáng)板的寬，據(jù)此即可解答．【解答】解：米，米，米，光線與地面成角，．又，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，正確選擇三角函數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵．｛解直角三角形的應(yīng)用★｝我國(guó)魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽首創(chuàng)“割圓術(shù)”，所謂“割圓術(shù)”就是利用圓內(nèi)接正多邊形無(wú)限逼近圓來(lái)確定圓周率，劉徽計(jì)算出圓周率．劉徽從正六邊形開始分割圓，每次邊數(shù)成倍增加，依次可得圓內(nèi)接正十二邊形，內(nèi)接正二十四邊形割的越細(xì)，圓的內(nèi)接正多邊形就越接近圓．設(shè)圓的半徑為，圓內(nèi)接正六邊形的周長(zhǎng)，計(jì)算．下面計(jì)算圓內(nèi)接正十二邊形的周長(zhǎng)正確的是A． B． C． D．【分析】求出正多邊形的中心角，利用三角形周長(zhǎng)公式求解即可．【解答】解：十二邊形是正十二邊形，．于，又，，正邊形的周長(zhǎng)，圓內(nèi)接正十二邊形的周長(zhǎng)，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，正多邊形與圓等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．｛解直角三角形的應(yīng)用★★｝如圖大壩的橫斷面，斜坡的坡比，背水坡的坡比，若坡面的長(zhǎng)度為米，則斜坡的長(zhǎng)度為米．【分析】過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出，根據(jù)坡度的概念求出，根據(jù)勾股定理計(jì)算，得到答案．【解答】解：過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于，則四邊形為矩形，，坡的坡比，，（米，斜坡的坡比，，由勾股定理得：（米，故答案為：米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用—坡度坡角問題，掌握坡度的概念：坡度是坡面的鉛直高度和水平寬度的比是解題的關(guān)鍵．｛解直角三角形的應(yīng)用★★★｝在學(xué)習(xí)解直角三角形以后，某數(shù)學(xué)興趣小組測(cè)量了旗桿的高度．如圖，某一時(shí)刻，旗桿的影子一部分落在平臺(tái)上的影長(zhǎng)為6米，落在斜坡上的影長(zhǎng)為4米，，同一時(shí)刻，光線與旗桿的夾角為，斜坡的坡角為，旗桿的高度約為10.61米．（參考數(shù)據(jù)：，，，，精確到0.01米）【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)正切的定義求出，根據(jù)余弦的定義求出，根據(jù)正切的定義求出，結(jié)合圖形計(jì)算，得到答案．【解答】解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，，，，四邊形為矩形，，，，在中，，，，，，，在中，，，，（米，故答案為：10.61．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用坡度坡角問題，掌握坡度坡角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．｛解直角三角形的應(yīng)用★｝（2021?阜新）如圖，甲樓高，由甲樓頂看乙樓頂?shù)难鼋鞘?，看乙樓底的俯角是，則乙樓高度約為57（結(jié)果精確到，．【分析】在中，根據(jù)，，米，求出、的長(zhǎng)度，然后在中求出的長(zhǎng)度，繼而可求出的高度．【解答】解：如圖，過作于，則，在中，，，米，（米，（米，在中，，，米，乙樓（米．答：乙樓的高約為57米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)所給的仰角和俯角構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)的知識(shí)求解．｛解直角三角形的應(yīng)用★｝如圖，數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)小組要測(cè)量學(xué)校附近樓房的高度，在水平地面處安置測(cè)傾器測(cè)得樓房頂部點(diǎn)的仰角為，向前走20米到達(dá)處，測(cè)得點(diǎn)的仰角為，已知測(cè)傾器的高度為1.6米，則樓房的高度為米（保留根號(hào)）【分析】先證，設(shè)米，表示出、，再在△中，由，求出，進(jìn)而求出即可．【解答】解：由題意得：，，是等腰直角三角形，，設(shè)米，則米，在△中，，，解得，，（米，故答案為：米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握銳角三角函數(shù)定義和等腰直角三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．｛解直角三角形的應(yīng)用★｝如圖，一艘輪船從位于燈塔的北偏東方向，距離燈塔60海里的小島出發(fā)，沿正南方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔的南偏東方向上的處，這時(shí)輪船與小島的距離約是82海里．（結(jié)果保留整數(shù)，【分析】根據(jù)海里，，可以先求得的長(zhǎng)，然后根據(jù)勾股定理可以得到的長(zhǎng)，再根據(jù)，，即可得到，然后即可計(jì)算出的長(zhǎng)．【解答】解：設(shè)與交于點(diǎn)，如右圖所示，由已知可得，海里，，海里，（海里），，，，海里，（海里），故答案為：82．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形的應(yīng)用—方向角問題，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，求出和的長(zhǎng)．｛解直角三角形的應(yīng)用★｝如圖，在東西方向的海岸線上有，兩個(gè)港口，甲貨船從港沿北偏東的方向以4海里小時(shí)的速度出發(fā)，同時(shí)乙貨船從港沿西北方向出發(fā)，2小時(shí)后相遇在點(diǎn)處，則乙貨船每小時(shí)航行2.8海里．（精確到，參考數(shù)據(jù)【分析】作于點(diǎn)，首先在直角三角形中求得，然后在直角三角形中求得的長(zhǎng)，最后除以時(shí)間即可得到乙貨輪航行的速度．【解答】解：作于點(diǎn)，甲貨船從港沿北偏東的方向以4海里小時(shí)的速度出發(fā)，，（海里），（海里）．乙貨船從港沿西北方向出發(fā)，，（海里），乙貨船每小時(shí)航行（海里小時(shí)），故答案為2.8．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是從紛雜的實(shí)際問題中整理出直角三角形并利用解直角三角形的知識(shí)求解．｛解直角三角形的應(yīng)用★★★｝小李想測(cè)量一棵樹的高度，假設(shè)樹是豎直生長(zhǎng)的，用圖中線段表示，小李站在點(diǎn)測(cè)得，小李從點(diǎn)走4米到達(dá)了斜坡的底端點(diǎn)，并測(cè)得，從點(diǎn)上斜坡走了8米到達(dá)點(diǎn)，測(cè)得，，，在同一水平線上，、、、、在同一平面內(nèi)，則大樹的高度約為24.4米．（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：，【分析】過作于，于，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出，根據(jù)勾股定理求出，進(jìn)而求出，根據(jù)正切的定義列出方程，解方程得到答案．【解答】解：過作于，于，則四邊形為矩形，，，，，米，（米，（米，米，，，，，，，，，，即，解得：（米，故答案為：24.4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用—坡度坡角問題，掌握坡度坡角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．｛解直角三角形的應(yīng)用★★｝如圖，小陽(yáng)發(fā)現(xiàn)電線桿的影子落在土坡的坡面和地面上，量得米，米，的坡度為；且此時(shí)測(cè)得1米桿在地面上的影長(zhǎng)為2米，則電線桿的高度為米．【分析】過點(diǎn)作于，交的延長(zhǎng)線于，根據(jù)坡度的概念分別求出、，根據(jù)題意求出，進(jìn)而求出．【解答】解：過點(diǎn)作于，交的延長(zhǎng)線于，則四邊形為矩形，，，在中，的坡度為，設(shè)米，則米，由勾股定理得：，解得：，（舍去），米，米，米，由題意得：米，米，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用—坡度坡角問題，掌握坡度坡角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．｛解直角三角形的應(yīng)用★★★｝自開展“全民健身運(yùn)動(dòng)”以來(lái)，喜歡戶外步行健身的人越來(lái)越多．為方便群眾步行健身，某地政府決定對(duì)一段如圖1所示的坡路進(jìn)行改造．如圖2所示，改造前的斜坡米，坡度為；將斜坡的高度降低米后，斜坡改造為斜坡，其坡度為．則斜坡的長(zhǎng)為米．（結(jié)果保留根號(hào)）【分析】根據(jù)題意和銳角三角函數(shù)可以求得的長(zhǎng)，進(jìn)而得到的長(zhǎng)，再根據(jù)銳角三角函數(shù)可以得到的長(zhǎng)，然后由勾股定理即可求得的長(zhǎng)即可．【解答】解：，米，坡度為，，，米，（米，，斜坡的坡度為，，即，解得：（米，（米，故答案為：米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形的應(yīng)用坡度坡角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)定義，求出的長(zhǎng)是解答本題的關(guān)鍵．｛解直角三角形的應(yīng)用★★★｝如圖1，這是一個(gè)裝有貨物的長(zhǎng)方體形狀的木箱沿著坡面裝進(jìn)汽車貨箱的立體示意圖，圖2是它的平面示意圖．已知汽車貨箱高度，貨箱底面距地面的高度，坡面與地面的夾角，木箱的長(zhǎng)為，高為，寬小于汽車貨箱的寬度．已知，木箱底部頂點(diǎn)與坡面底部點(diǎn)重合，則木箱底部懸空部分的長(zhǎng)為1，木箱上部頂點(diǎn)到汽車貨箱頂部的距離為．【分析】解直角，根據(jù)正弦函數(shù)的定義求出，根據(jù)求出的長(zhǎng)；作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，證明，，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求出，由，那么木箱上部頂點(diǎn)到汽車貨箱頂部的距離為．【解答】解：，，，，，，即木箱底部懸空部分的長(zhǎng)為．作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，則，，，，，，，即，解得，，，，即木箱上部頂點(diǎn)到汽車貨箱頂部的距離為．故答案為：1，0.12．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形的應(yīng)用坡度坡角問題，相似三角形、全等三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，作出輔助線構(gòu)造直角三角形，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．｛解直角三角形的應(yīng)用★｝某市為了加快網(wǎng)格信號(hào)覆蓋，在市區(qū)附近小山頂架設(shè)信號(hào)發(fā)射塔，如圖所示．小軍為了知道發(fā)射塔的高度，從地面上的一點(diǎn)測(cè)得發(fā)射塔頂端點(diǎn)的仰角是，向前走60米到達(dá)點(diǎn)測(cè)得點(diǎn)的仰角是，測(cè)得發(fā)射塔底部點(diǎn)的仰角是，則約81米；信號(hào)發(fā)射塔的高度為米．（結(jié)果精確到0.1米，【分析】設(shè)米，在和中，根據(jù)三角函數(shù)利用表示出和，根據(jù)即可列出方程求得的值，再在中利用三角函數(shù)求得的長(zhǎng)，即可求出的長(zhǎng)度．【解答】解：設(shè)為米，在中，，,,,在中，,,,，，則，解得：，，(米,在中，,,，（米．答：約為81米，信號(hào)發(fā)射塔的高度約是94.6米．故答案為約81,約94.6．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角的問題，正確求得的長(zhǎng)度是關(guān)鍵．｛解直角三角形的應(yīng)用★｝如圖，一艘船由港沿北偏東方向航行至港，然后再沿北偏西方向航行至港，港在港北偏東方向，則，兩港之間的距離為．【分析】過作于，過作，證出，由題意得，，解直角三角形求出、的長(zhǎng)，即可得到答案．【解答】解：如圖，過作于，過作，則，，，，，由題意得，，，在中，，是等腰直角三角形，，，在中，，，，，，兩港之間的距離為，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，方向角問題，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握解直角三角形，作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．｛解直角三角形的應(yīng)用★｝（2021?綏化）一種可折疊的醫(yī)療器械放置在水平地面上，這種醫(yī)療器械的側(cè)面結(jié)構(gòu)如圖實(shí)線所示，底座為，點(diǎn)、、在同一條直線上，測(cè)得，，，，其中一段支撐桿，另一段支撐桿．求支撐桿上的點(diǎn)到水平地面的距離是多少？（用四舍五入法對(duì)結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：，，，【分析】方法一：過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作交延長(zhǎng)線于，證四邊形是矩形，利用特殊角三角函數(shù)求即可；方法二：過點(diǎn)作交延長(zhǎng)線于，過點(diǎn)作延長(zhǎng)線于，證四邊形是矩形，利用特殊角三角函數(shù)求即可．【解答】解：方法一：如圖1，過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作交延長(zhǎng)線于，在中，，，，，，，，，，在中，，，，，，四邊形是矩形，，，，，，，，答：支撐桿上的點(diǎn)到水平地面的距離大約是．方法二：如圖2，過點(diǎn)作交延長(zhǎng)線于，過點(diǎn)作延長(zhǎng)線于，在中，，，，，，同方法一得，，在中，，，，，，，，，，，，答：支撐桿上的點(diǎn)到水平地面的距離大約是．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用，矩形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握解直角三角形是解題的關(guān)鍵．｛解直角三角形的應(yīng)用★｝周末，甲乙兩人相約去附近的山頂處寫生．甲從小山的正東方向處出發(fā)，乙從小山正西方向的處出發(fā)．已知處的海拔高度為18米，處的海拔高度比處高30米，且、兩地的水平距離為1048米．山坡的坡角為，山坡的坡度．問：（1）小山的海拔高度是多少米？（2）甲乙兩人到達(dá)山頂所走的路程相差多少米？（參考數(shù)據(jù)：，，【分析】（1）過作于，于，過作于，交于，則米，米，由銳角三角函數(shù)定義得，再由坡度的定義得，則，解得：（米，即可求解；（2）由勾股定理得（米，再由銳角三角函數(shù)定義得（米，則（米．【解答】解：（1）如圖，過作于，于，過作于，交于，則米，米，由題意得：米，，在中，，，山坡的坡度，，，解得：（米，（米，答：小山的海拔高度約為298米；（2）在中，米，（米，（米，在中，（米，，（米，（米，答：甲乙兩人到達(dá)山頂所走的路程相差約為130米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．（2021?呼和浩特）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，剪去四個(gè)角后成為一個(gè)正八邊形，則可求出此正八邊形的外接圓直徑，根據(jù)我國(guó)魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽的“割圓術(shù)”思想，如果用此正八邊形的周長(zhǎng)近似代替其外接圓周長(zhǎng)，便可估計(jì)的值，下面及的值都正確的是A．， B．， C．， D．，【分析】根據(jù)外接圓的性質(zhì)可知，圓心到各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，過圓心向邊作垂線，解直角三角形，再根據(jù)圓周長(zhǎng)公式可求得．【解答】解：如圖，連接，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，且，設(shè)正八邊形的邊長(zhǎng)為，則，解得，在中，，，由，則，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正多邊形的外接圓的性質(zhì)，解直角三角形等內(nèi)容，熟練掌握三角函數(shù)的定義及正多邊形外接圓的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．（2021?荊州）如圖1是一臺(tái)手機(jī)支架，圖2是其側(cè)面示意圖，，可分別繞點(diǎn)，轉(zhuǎn)動(dòng)，測(cè)量知，．當(dāng)，轉(zhuǎn)動(dòng)到，時(shí)，點(diǎn)到的距離為6.3．（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位，參考數(shù)據(jù)：，【分析】通過作垂線構(gòu)造直角三角形，在中，求出，在中，求出，即可求出，從而解決問題．【解答】解：如圖，過點(diǎn)、分別作的垂線，垂足分別為、，過點(diǎn)作，垂足為，在中，，，，，在中，，，又，，，即點(diǎn)到的距離約為，故答案為：6.3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形，構(gòu)造直角三角形，利用直角三角形的邊角關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．課堂總結(jié)：思維導(dǎo)圖分層訓(xùn)練：課堂知識(shí)鞏固1．（2022秋?宛城區(qū)校級(jí)期末）如圖，在的正方形方格圖形中，小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則圖中的正切值是A．2 B． C． D．【分析】根據(jù)勾股定理可以得到、、的長(zhǎng)，然后根據(jù)勾股定理的逆定理可以得到的形狀，從而可以求得圖中的正切值．【解答】解：由圖可得，，，，，是直角三角形，，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形，解答本題的關(guān)鍵是判斷出的形狀，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．2．（2022秋?大名縣校級(jí)期末）在中，，，，那么的值是A． B． C． D．【分析】直接利用正切的定義求解．【解答】解：，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義：正確理解正切的定義是解決問題的關(guān)鍵．3．（2023?小店區(qū)校級(jí)一模）小敏利用無(wú)人機(jī)測(cè)量某座山的垂直高度．如圖所示，無(wú)人機(jī)在地面上方130米的處測(cè)得山頂?shù)难鼋菫?，測(cè)得山腳的俯角為．已知的坡度為，點(diǎn)，，，在同一平面內(nèi)，則此山的垂直高度約為（參考數(shù)據(jù)：，，，A．146.4米 B．222.9米 C．225.7米 D．318.6米【分析】如圖，過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于，設(shè)米，則米．構(gòu)建方程求解即可．【解答】解：如圖，過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于，設(shè)米，則米．，（米，米，在中，（米，，，解得，（米，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題，坡度坡角問題等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．4．（2022秋?密云區(qū)期末）為銳角，若，則的度數(shù)為A． B． C． D．【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求解．【解答】解：為銳角，，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，解答本題的關(guān)鍵是掌握幾個(gè)特殊角的三角函數(shù)值．5．（2022秋?宣州區(qū)期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，如果射線與軸正半軸的夾角為，那么的正弦值是A． B． C． D．【分析】畫出圖形，根據(jù)直角三角形的解法解答即可．【解答】解：過點(diǎn)作軸，在中，，的正弦值，故選：．【點(diǎn)評(píng)】此題考查解直角三角形的問題，關(guān)鍵是畫出圖形，利用勾股定理解答．6．（2022秋?桃江縣期末）如圖，在中，，于，下列式子正確的是A． B． C． D．【分析】利用同角的余角相等可得，再根據(jù)正弦定義可得答案．【解答】解：，，，，，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了銳角三角函數(shù)定義，關(guān)鍵是掌握正弦：銳角的對(duì)邊與斜邊的比叫做的正弦，記作．7．（2022?貴港）如圖，某數(shù)學(xué)興趣小組測(cè)量一棵樹的高度，在點(diǎn)處測(cè)得樹頂?shù)难鼋菫?，在點(diǎn)處測(cè)得樹頂?shù)难鼋菫?，且，，三點(diǎn)在同一直線上，若，則這棵樹的高度是A． B． C． D．【分析】設(shè)米，則米，在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長(zhǎng)，然后在中，利用銳角三角函數(shù)列出關(guān)于的方程，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：設(shè)米，米，米，在中，，（米，在中，，，，經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的根，米，這棵樹的高度是米，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．8．（2022?從化區(qū)一模）如圖，將放在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)，，在格點(diǎn)上，則正切值是A． B． C．2 D．【分析】取格點(diǎn)，，連接，可得，再由勾股定理求得線段、的長(zhǎng)，然后由銳角三角函數(shù)定義求解即可．【解答】解：取格點(diǎn)，，連接，如圖，，，由勾股定理得：，，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了解直角三角形．利用網(wǎng)格的特點(diǎn)巧妙構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共4小題）9．（2022秋?南關(guān)區(qū)校級(jí)期末）如圖，河壩橫斷面迎水坡的坡比為．壩高為，則的長(zhǎng)度為．【分析】根據(jù)坡比的定義可得，即可得，再結(jié)合勾股定理可得答案．【解答】解：迎水坡的坡比為，，，，由勾股定理得，．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形的應(yīng)用坡度坡角問題、勾股定理，熟練掌握坡比的定義以及勾股定理是解答本題的關(guān)鍵．10．（2022秋?德惠市期末）在中，，，，那么的長(zhǎng)為8．【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的意義求解后，再做出判斷即可．【解答】解：，，，故答案為：8．【點(diǎn)評(píng)】本題考查銳角三角函數(shù)，掌握銳角三角函數(shù)的意義是解決問題的關(guān)鍵．11．（2022秋?駐馬店期末）在中，若，則的度數(shù)是．【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值分別求出，，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理計(jì)算，得到答案．【解答】解：，，，，，，，，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是特殊角的三角函數(shù)值，熟記、、的四個(gè)三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．12．（2022秋?廣饒縣校級(jí)期末）一等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為和，則其底角的余弦值為或．【分析】可分為腰長(zhǎng)和底邊長(zhǎng)兩種情況，求得直角三角形中底角的鄰邊與斜邊之比即可．【解答】解：①為腰長(zhǎng)時(shí)，作于．，；②為底邊時(shí)，同理可得，，故答案為或．【點(diǎn)評(píng)】考查銳角三角函數(shù)的知識(shí)；掌握一個(gè)角的余弦值的求法是解決本題的關(guān)鍵；分情況探討是解決本題的易錯(cuò)點(diǎn)．1．（2022秋?鄒城市校級(jí)期末）如圖，在中，，，，且為銳角，的值是A． B． C． D．【分析】過點(diǎn)作，垂足為，根據(jù)垂直定義可得，然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長(zhǎng)，從而在中，利用勾股定理求出的長(zhǎng)，最后利用銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：過點(diǎn)作，垂足為，，在中，，，，在中，，，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋?叢臺(tái)區(qū)校級(jí)期末）如圖，網(wǎng)格中小正方形的邊長(zhǎng)均為1，的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則等于A． B． C． D．【分析】利用勾股定理的逆定理證明是直角三角形，從而可得，然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：由題意得：，，，，是直角三角形，，在中，，，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的逆定理，解直角三角形，熟練掌握勾股定理的逆定理，以及銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共2小題）3．（2022秋?鄒城市校級(jí)期末）如圖．某同學(xué)為測(cè)量宣傳牌的高度，他站在距離教學(xué)樓底部處9米遠(yuǎn)的地面處，測(cè)得宣傳牌的底部的仰角為，同時(shí)測(cè)得教學(xué)樓窗戶處的仰角為、、、在同一直線上）．然后，小明沿坡度的斜坡從走到處，此時(shí)正好與地面平行．他在處又測(cè)得宣傳牌頂部的仰角為，則宣傳牌的高度為米（結(jié)果保留根號(hào)）．【分析】過點(diǎn)作，垂足為，根據(jù)題意可得：，，在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長(zhǎng)，從而求出的長(zhǎng)，進(jìn)而再根據(jù)已知可求出的長(zhǎng)，然后利用線段的和差關(guān)系可求出的長(zhǎng)，從而求出的長(zhǎng)，最后在和中，分別利用銳角三角函數(shù)的定義求出，的長(zhǎng)，從而利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：過點(diǎn)作，垂足為，由題意得：，，在中，，米，（米，（米，斜坡的坡度，，（米，米，米，在中，，米，在中，，（米，米，宣傳牌的高度為米，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題，坡度坡角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋?桐柏縣期末）如圖，在中，，是的中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作的垂線，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)．已知，．則的值為．【分析】過點(diǎn)作，垂足為，在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出，從而利用勾股定理求出，然后利用直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)可得，再利用面積法求出，從而在在中，利用勾股定理求出，進(jìn)而利用銳角三角函數(shù)的定義求出的值，最后利用等角的余角相等可得，即可解答．【解答】解：過點(diǎn)作，垂足為，在中，，，，，是的中點(diǎn)，，的面積，，，，在中，，，，，，，，，，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形，直角三角形斜邊上的中線，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的