概率論與數(shù)理統(tǒng)計（陳希孺）課件 隨機變量的數(shù)字特征1

隨機變量數(shù)字特征本身最為重要，不論從理論還是今后的應(yīng)用的角度理論上學(xué)好這一章一方面會幫助我們理解之前所學(xué)內(nèi)容，另外在之后的數(shù)理統(tǒng)計部分也有關(guān)鍵的應(yīng)用這一部分也是考試中的重點

在前面的課程中，我們討論了隨機變量及其分布，如果知道了隨機變量X的分布，那么X的全部概率特征也就知道了.

然而，在實際問題中，分布一般是較難確定的.同時在一些實際應(yīng)用中，人們并不需要知道隨機變量的全部概率性質(zhì)，只要知道它的某些關(guān)鍵數(shù)字特征就夠了.一些事例某中學(xué)購買1000套課桌椅的型號：學(xué)生身高服從正態(tài)分布工商銀行服務(wù)窗口的數(shù)目：半小時到銀行辦業(yè)務(wù)的人數(shù)服從泊松分布某只股票第二天價格的預(yù)測：正態(tài)分布

因此，在對隨機變量的研究中，確定隨機變量的“平均值”是重要的，也就是數(shù)學(xué)期望。數(shù)學(xué)期望是隨機變量的一種數(shù)字特征中，除此之外，常用的還有方差、協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)隨機變量數(shù)字特征一維隨機變量的數(shù)字特征二維隨機向量的數(shù)字特征總結(jié)與應(yīng)用一維隨機變量的數(shù)字特征離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望

引例一位射手的水平用打出的環(huán)數(shù)來記，其分布列為：則射手射擊100次的平均環(huán)數(shù)近似為：由于打出環(huán)數(shù)的概率不同，故不是1到10的算術(shù)平均.身邊的思考統(tǒng)計局公布的CPI，物價是上漲還是下跌？十五年前，一盤大盤雞10元，現(xiàn)在50元十五年前，thinkpad電腦2.5萬元，現(xiàn)在5000元同學(xué)們的平均績點，誰的成績更好些？甲同學(xué)：高數(shù)90分，體育60分乙同學(xué)：高數(shù)75分，體育90分要想使得平均值能夠切實地反映客觀世界，必須考慮到不同的數(shù)值所占的權(quán)重，即加權(quán)平均對于求隨機變量的平均值而言，其權(quán)重即隨機變量取相應(yīng)值的概率

離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望定義：設(shè)隨機變量X的分布律為

若當(dāng)時，則稱為隨機變量X的數(shù)學(xué)期望或均值，記作

，即有思考：為什么要求絕對收斂？

例１

甲、乙兩射手的穩(wěn)定成績分別為X（甲中環(huán)數(shù)）8910概率0.30.10.6Y（乙中環(huán)數(shù)）8910概率0.20.40.4試比較甲、乙兩射手誰優(yōu)誰劣。解因此，從某種角度說，甲比乙射擊本領(lǐng)高。乙的平均環(huán)數(shù)甲的平均環(huán)數(shù)

例２

X~B(n,p)，求E[X]。二項分布的數(shù)學(xué)期望思考：這里的關(guān)鍵是利用等式回憶，我們在證三項分布的邊緣分布是二項分布時有事實上第一個等式可以看做第二個等式的特殊情況

例３

若X服從泊松分布P(λ)，試求E[X]。解泊松分布的數(shù)學(xué)期望回憶：用泊松分布逼近二項分布時參數(shù)的選取使得兩者期望值相同幾何分布的期望解：例4

求E[X]連續(xù)型隨機變量的數(shù)學(xué)期望

定義

若連續(xù)型隨機變量X有概率密度函數(shù)f(x)，并且積分收斂，則稱積分為X的數(shù)學(xué)期望，記為E[X]，即數(shù)學(xué)期望的定義微積分解釋設(shè)X是連續(xù)型隨機變量，其密度函數(shù)為f(x),在數(shù)軸上取很密的分點x0<x1<x2<…,則X落在小區(qū)間[xi,xi+1)的概率是小區(qū)間[xi,xi+1)陰影面積近似為由于xi與xi+1很接近,所以區(qū)間[xi,xi+1)中的值可以用xi來近似代替。近似,該離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望是因此X與以概率取值xi的離散型隨機變量

這正是的漸近和式.ò+￥￥-dxxxf)(

例7

設(shè)X服從均勻分布，其分布密度為解:求E[X]。均勻分布的期望例8解：正態(tài)分布的期望正態(tài)分布參數(shù)μ的意義即為期望值例9解：指數(shù)分布的期望指數(shù)分布參數(shù)λ代表期望的倒數(shù)例10設(shè)X服從柯西分布，即有密度函數(shù)證:

故E[X]不存在。

證明X不存在數(shù)學(xué)期望。隨機變量函數(shù)的期望直接的想法，先求出Y的分布，再求E[Y]。已知隨機變量X的分布，關(guān)系式Y(jié)=g(X)給定如何求E[Y]?

例6

設(shè)X的分布律為X－1013概率求E(X2)

。019P解：X2的分布列解法二：離散型隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望g(X)的數(shù)學(xué)期望為不需要求出g(X)的具體分布！連續(xù)型隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望不論是離散型還是連續(xù)型隨機變量，當(dāng)我們求E[g(X)]時,不必知道g(X)的分布，而只需知道X的分布就可以了.這給求隨機變量函數(shù)的期望帶來很大方便.若連續(xù)型隨機變量X的密度函數(shù)為f(x)，且證明略有一些復(fù)雜，不需掌握，大家一定記住結(jié)論！

例11解:X的密度函數(shù)為解法二：Y的分布函數(shù)為顯然要復(fù)雜很多專題：數(shù)學(xué)期望的應(yīng)用例

設(shè)想這樣一種博彩游戲，博彩者將本金1元壓注在1到6的某個數(shù)字上，然后擲三顆骰子，若所壓的數(shù)字出現(xiàn)i次（i=1，2，3），則下注者贏i元，否則沒收1元本金，試問這樣的游戲規(guī)則對下注者是否有利?解：用隨機變量ξ表示下注者1元注金帶來的贏利，其可能取值是－1，1，2，3?？梢杂每疾霦[ξ]來評價這一游戲規(guī)則對下注者是否有利。因為輸贏的概率與所壓數(shù)字無關(guān)，不妨假設(shè)博彩者一直壓數(shù)字1（也可假設(shè)等可能，但是平添復(fù)雜性）。ξ的分布列為即平均贏利小于0，故這一游戲規(guī)則對下注者是不利的。數(shù)學(xué)期望在醫(yī)學(xué)上的一個應(yīng)用

考慮用驗血的方法在人群中普查某種疾病。集體做法是每10個人一組，把這10個人的血液樣本混合起來進(jìn)行化驗。如果結(jié)果為陰性，則10個人只需化驗1次；若結(jié)果為陽性，則需對10個人在逐個化驗，總計化驗11次。假定人群中這種病的患病率是10%，且每人患病與否是相互獨立的。試問：這種分組化驗的方法與通常的逐一化驗方法相比，是否能減少化驗次數(shù)？分析：設(shè)隨機抽取的10人組所需的化驗次數(shù)為X我們需要計算X的數(shù)學(xué)期望，然后與10比較

化驗次數(shù)X的可能取值為1，11先求出化驗次數(shù)X的分布律。(X=1)=“10人都是陰性”（X=11)=“至少1人陽性”結(jié)論：分組化驗法的次數(shù)少于逐一化驗法的次數(shù)注意求X期望值的步驟！思考：如果該疾病患病的概率較大會如何？例：一袋中裝有a只紅球，b只白球，每次中袋中任取一球，記下該球的顏色后將其放回袋中，同時再放進(jìn)c只與該球同色的球。如此進(jìn)行下去，記Ak={第k次取到紅球}，試證明P(Ak)