層狀彈性介質(zhì)波

博士生綜合能力考試讀書報(bào)告題目：層狀介質(zhì)中彈性波傳播

問題的研究概述姓名：馬宇立學(xué)號(hào)：10886806院系：力學(xué)與工程科學(xué)系專業(yè)：固體力學(xué)導(dǎo)師：蘇先樾教授一、研究背景1.1工程背景近幾十年以來，隨著科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步、工業(yè)的發(fā)展，工程結(jié)構(gòu)正在向大型化、復(fù)雜化、智能化方向飛速地發(fā)展。大量先進(jìn)技術(shù)和新材料在航空和航天領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用，如碳纖維增強(qiáng)復(fù)合材料已經(jīng)應(yīng)用在空間站的外殼、天線等大型部位；2002年，洛克希德?馬丁公司研制的聯(lián)合攻擊戰(zhàn)斗機(jī)，由于各種先進(jìn)技術(shù)和新材料的采用，使其推重比更高，成為美國空軍、海軍、海軍陸戰(zhàn)隊(duì)通用的新型隱形、超音速、輕型多用途的第五代戰(zhàn)斗攻擊機(jī)；在土木工程領(lǐng)域，建筑物的高度日益增加，大型水利工程、體育場(chǎng)館的建設(shè)與日俱增，新型的建筑材料和新型的地基結(jié)構(gòu)被廣泛的采用。復(fù)合材料的廣泛應(yīng)用，地層地基的深入研究，以及地震科學(xué)的迅猛發(fā)展，使科研人員的研究興趣持續(xù)地關(guān)注到彈性體，特別是層狀介質(zhì)中的波動(dòng)現(xiàn)象。層狀介質(zhì)中波傳播的研究，在光學(xué)、聲學(xué)與地球物理學(xué)等諸多領(lǐng)域，乃至在復(fù)合材料與壓電材料的等結(jié)構(gòu)的瞬態(tài)響應(yīng)和無損探測(cè)等工程領(lǐng)域，具有廣泛的應(yīng)用背景。近年來，對(duì)層合板中的波動(dòng)現(xiàn)象的研究十分活躍，特別是結(jié)構(gòu)中波傳播與無損檢測(cè)、健康診斷和智能材料的結(jié)合，給波動(dòng)現(xiàn)象的研究提供了新的領(lǐng)域；另一方面，波動(dòng)現(xiàn)象的研究和實(shí)驗(yàn)已經(jīng)進(jìn)入到各向異性材料中去，用層合板的理論模型模擬新型復(fù)合材料，地層地基結(jié)構(gòu)，甚至心臟、肺等人體器官，也取得了很多有意義的成果。1.2歷史研究層狀介質(zhì)中波傳播的研究可以追溯到上個(gè)世紀(jì)40年代，Ewing，Worzel和PekerisU]1948年測(cè)量和分析了聲波在美國大西洋海岸淺水中的傳播。在其發(fā)表的論文中，Pekeris采用由不同厚度的均勻?qū)咏M成的層狀液體模型來模擬包括砂石底部且沿垂直方向分層的海水，并進(jìn)而用穩(wěn)態(tài)波函數(shù)關(guān)于徑向波數(shù)和圓頻率的二重積分表出了瞬態(tài)波的傳播。該二重積分可以由兩種不同的過程求出：一種稱為模態(tài)法，一種稱為射線法。在此之后，這種對(duì)水中聲波的傳播研究所采用的觀測(cè)方法、理論和分析立即就被應(yīng)用于層狀體中彈性波傳播的研究。層狀介質(zhì)是由許多平行平面形成，或由一族同心圓柱面或球面形成。在相鄰兩層的界面上，邊界條件將由連續(xù)性條件所代替，對(duì)液體將是兩個(gè)，對(duì)軸對(duì)稱或平面應(yīng)變的彈性問題是四個(gè)，而對(duì)一般的彈性問題則是六個(gè)。研究層狀介質(zhì)中波的傳播，就是要揭示波經(jīng)過各層界面的反射或透射在整個(gè)層狀介質(zhì)中行進(jìn)的復(fù)雜過程。早期，人們通過邊界條件和各界面的連續(xù)性條件導(dǎo)出傳播函數(shù)矩陣，然后導(dǎo)出頻率方程并求其特征根，進(jìn)而求得問題的解，這就是所謂的模態(tài)法。對(duì)于有許多層的介質(zhì)，頻率方程的根的計(jì)算變得十分困難。對(duì)于地震研究和勘探，為模擬地殼或其他材料性質(zhì)急劇變化的不均勻介質(zhì)，大量的層數(shù)是需要的。對(duì)此，Thomson⑵(1950)及Haskell[3](1953)對(duì)以上方法做出了一個(gè)重大的改進(jìn)。他們的方法實(shí)質(zhì)上是把對(duì)于具有n層的介質(zhì)的一個(gè)大的矩陣簡(jiǎn)化為n個(gè)對(duì)于每層的小矩陣的乘積，大大簡(jiǎn)化了層狀介質(zhì)頻散曲線的計(jì)算工作。另一種求解方法，射線法，后來發(fā)展為分析多層固體中的瞬態(tài)波的廣義射線理論。它除了被用于聲學(xué)與地球物理學(xué)領(lǐng)域外，也同時(shí)在彈性動(dòng)力學(xué)中發(fā)展起來的。Stokes(1948)分析了無界彈性體中由集中力所產(chǎn)生的彈性瞬態(tài)波。Lamb(1904)，Lapwood(1949)，Pekeris(1955)和Chao(1960)對(duì)彈性半空間，Knopoff(1958)和Davids(1959)對(duì)板，Cagniard(1939)和Brekhovskikh(1960)對(duì)相接的兩個(gè)固體等均采用射線法進(jìn)行了彈性瞬態(tài)波的分析。在1957年McGraw-Hill出版的《層狀介質(zhì)中的彈性波》這一名著中，W.M.Ewing，W.S.Jardetzky和F.Press對(duì)這些研究狀況作了完美的綜述。在該書中，他們將柱波或球波的Weyl-Sommerfeld積分的級(jí)數(shù)展式視為一種可能的數(shù)學(xué)表示，但他們并沒有期望有富有成效的應(yīng)用。按照廣義射線理論，在層狀介質(zhì)中經(jīng)多次反射或透射的彈性波可以視為由一組射線積分表示的沿不同路徑傳播的彈性波。后來人們發(fā)現(xiàn)這組積分可以用Cagniard方法嚴(yán)格求解。Mulled(1969,1970)據(jù)此求解了由許多平行層組成的介質(zhì)中彈性瞬態(tài)波的傳播問題。Gilbert和Helmberger(1972)，Chen(1977)，Pao和Ceranoglu(1977)相繼對(duì)球和圓柱面界定的介質(zhì)，Chapman(1974,1976)對(duì)非均勻介質(zhì)的波動(dòng)問題進(jìn)行了分析。特別值得指出的是，Pao和Gajewski[5](1977)重新闡述了波在兩個(gè)不同介質(zhì)的彈性體間的界面上折射這一邊值問題，并且由Laplace變換與Fourier變換的組合嚴(yán)格地推導(dǎo)出平面波的級(jí)數(shù)展式。由此，他們系統(tǒng)地構(gòu)造了廣義射線積分和識(shí)別各類點(diǎn)源的源發(fā)射函數(shù)，導(dǎo)出了在內(nèi)部與表面觀察點(diǎn)處對(duì)于位移、速度、加速度和應(yīng)力的接收函數(shù)，沿發(fā)射源與接收點(diǎn)之間幾何上確定的所有可能路徑傳播的平面波的相函數(shù)，以及所研究的位移勢(shì)的反射系數(shù)，透射系數(shù)等等。對(duì)這些積分施加變換，根據(jù)Laplacce逆變換將給出復(fù)幔度平面內(nèi)的有限數(shù)值積分，在層狀體中按波在給定的源-接收器之間傳播所達(dá)到的時(shí)間順序計(jì)算這些積分。人們提出了各種數(shù)值算法來求關(guān)于穩(wěn)態(tài)波函數(shù)的雙重積分即廣義射線積分,Kennet[6](1983)對(duì)此有詳細(xì)的討論。近年來，Pao等又發(fā)展了一種求解彈性波傳播的新方法一一回傳矩陣-射線法。這種方法最初是針對(duì)剛架結(jié)構(gòu)中波的傳播而提出的(HowardandPao1998,Pao,Howard&Keh1999[7]),后來被分別用于研究聲波在層狀液體中的傳播(Pao,Su&Tian[8]2000)和研究彈性波在層狀固體中的傳播(Su,Tian&Pao[9]2001)。在帶有平行層的彈性介質(zhì)中,彈性波可分為在層平面內(nèi)偏振的波(SH波或Love波)及在與層平面垂直的平面內(nèi)偏振的波(P-SV波或Rayleigh波)兩類。他們可分別按反平面問題(或稱出平面問題)及平面應(yīng)變問題處理，軸對(duì)稱問題類似后者處理。在回傳矩陣-射線法中，時(shí)域中接受點(diǎn)處的位移和應(yīng)力向量，是關(guān)于波數(shù)k和頻率①的雙重積分。由求層狀介質(zhì)中穩(wěn)態(tài)波的頻散方程det[I-R(k,①)]=0的根而計(jì)算該積分的方法，就是模態(tài)法。但解這樣一個(gè)高階的超越方程絕非易事，我們將[I-R]-1展成Neumann級(jí)數(shù)，那么瞬態(tài)的位移和應(yīng)力向量均表示為含R的幕次的有限項(xiàng)廣義射線積分和一個(gè)余項(xiàng)之和。較之以往的方法，這里導(dǎo)出了由統(tǒng)一的R表出了穩(wěn)態(tài)波在層狀介質(zhì)中的振蕩關(guān)系，R的幕次反映了波從源點(diǎn)到接受點(diǎn)所反射及透射的次數(shù)，物理意義十分明確。這樣可以由矩陣乘法容易地導(dǎo)出每個(gè)的廣義射線積分，其波的傳播路徑也十分清晰。該積分既可以用Cagniard的deHoop方法求解，更便于FFT或快速漢克爾變換等數(shù)值計(jì)算。最近，Su和Tian應(yīng)用提出的方法對(duì)一由三層不同介質(zhì)組成的層合板在表面承受垂直方向的力作用下的瞬態(tài)響應(yīng)進(jìn)行了分析，不僅得到了初期到達(dá)接受點(diǎn)的P波，S波及Rayleigh波，還得到了包含多次反射、透射乃至波型轉(zhuǎn)換的成千上萬條射線積分的和。這種新的方法必將在涉及層狀介質(zhì)中波傳播的處多領(lǐng)域得到廣泛的應(yīng)用。1.3各向異性層合板波動(dòng)問題研究概述近年來，國內(nèi)外的學(xué)者對(duì)各向異性層合板中的波傳播進(jìn)行了大量的研究，也得出了很多有意義的結(jié)論，這些工作被廣泛的應(yīng)用于地震科學(xué)和無損檢測(cè)的領(lǐng)域之中。特別是復(fù)合材料的廣泛應(yīng)用和迅猛發(fā)展，對(duì)各向異性層合板中波傳播的理論和計(jì)算提出了新的要求，也促進(jìn)了這一學(xué)科的進(jìn)步。纖維增強(qiáng)復(fù)合材料無論是在微觀層面還是在宏觀層面都表現(xiàn)出顯著的各向異性。在微觀層面，纖維或是肌體材料本身大多都是各向異性材料，而他們的結(jié)合和分布也表現(xiàn)出各向異性；同樣，在宏觀層面，復(fù)合材料的分層結(jié)構(gòu)、鋪層順序、黏結(jié)材料等因素也造成了整體的各向異性的性質(zhì)。因此，在處理復(fù)合材料在力的沖擊作用下響應(yīng)的問題時(shí)，材料的屬性、結(jié)構(gòu)是不可忽視的因素。在很多情況下，我們可以用橫觀各向同性或是正交各向異性的模型來簡(jiǎn)化復(fù)合材料的力學(xué)問題，得到比較滿意的結(jié)果。相比各向同性力學(xué)而言，人們對(duì)各向異性材料中波傳播的問題研究的還很少。繼LambU0]得到了集中線載荷作用于各向同性彈性半空間自由表面的精確瞬態(tài)響應(yīng)解，Kraut】11】給出了同樣問題在橫觀各向同性材料中的解。在文獻(xiàn)[12]中，Burridge用Cagniard-deHoop方法得到了各向異性半空間的位移解；TayloH13]研究了各向異性半空間的Lamb問題；Kim解決了線載荷引起的瞬態(tài)彈性波在各向異性無限體、半空間和層狀介質(zhì)中的傳播；Weaver^]利用積分變換的方法研究了橫觀各向同性薄板受到垂直于各向同性面沖擊載荷的問題，并得到了數(shù)值解。橫觀各向同性無限體受垂直于各向同性面的集中載荷作用下的問題，首先由Elliot[15](1948)解決，作用任意集中載荷的問題，是由Kroner[16](1953)和胡海昌[17](1955)各自獨(dú)立地解決。對(duì)于層合板中接觸面平行于各向同性面的兩種材料的半無限體所組成的彈性無限體所構(gòu)成的力學(xué)模型，可以應(yīng)用到在工程中廣泛存在的，由兩種或兩種以上具有不同力學(xué)性能的材料連接在一起的結(jié)構(gòu)，比如鋪層結(jié)構(gòu)、復(fù)合材料和道路設(shè)計(jì)。其各向同性材料問題，Rongved[18](1955)、Dundurs和Hetenyi[19](1965)以及黃克服和王敏中[2。](1991)等進(jìn)行過有關(guān)的研究；對(duì)于橫觀各向同性材料，Sveklo[21](1965)用格林函數(shù)方法，研究了兩個(gè)半無限體在界面完全連接和光滑連接兩種條件下的基本解的全部表達(dá)式。梁劍[22](1994)應(yīng)用Fourier積分變換法結(jié)合狀態(tài)空間法和通解系統(tǒng)地求解了兩相材料的點(diǎn)力解問題，丁皓江"(1997)對(duì)橫觀各向同性無限體內(nèi)的夾雜問題作了大量而富有成效的研究工作。彈性層的平衡問題是巖土力學(xué)(如Small[24,25](1984))和復(fù)合材料力學(xué)(如Ashton[26](1970))等領(lǐng)域的一個(gè)重要課題，因此，關(guān)于彈性層尤其是各向同性彈性層的計(jì)算研究幾十年來一直持續(xù)不斷。Burmister[27,28](1945)用積分變換法求解雙層彈性體，同濟(jì)大學(xué)(1975)得出雙層和三層的半無限彈性層解。為了避免求解大型線性方程組，Bufler[29](1971)和Bahar[30](1972)各自獨(dú)立地提出了矩陣傳遞法，利用Cayley-Hamilton定理，分別對(duì)二維和三維的各向同性彈性層推出了傳遞矩陣。國內(nèi)王凱[31,32,33](1982-1984)用遞推回代法求解了N層彈性連續(xù)體在圓形均布載荷作用下的力學(xué)計(jì)算。Benitez[34](198將彈性力學(xué)基本方程變換成用層間位移和應(yīng)力表示的六個(gè)一階偏微分方程組，通過引入二重Fourier變換將其化成六個(gè)一階常微分方程組，最后求解該微分方程組的特征值和特征函數(shù)，使其解可用特征函數(shù)展開，由邊界條件來確定待定系數(shù)；Benitez首先得到了各向同性彈性層的基本解；該方法也適宜求解多層彈性層，其難點(diǎn)在于求解Fourier逆變換。施祖元、曾國熙2(1989),金波、唐錦春[36,37(1993,1996)用Hankle變換和矩陣遞推法求解多層地基的靜力問題；Y.M.Tsai38](1986用Hankle變換求解橫觀各向同性材料彈性板上有球擠壓的接觸問題。丁皓江、徐興[39(1982通過胡海昌解，將位移函數(shù)表示成Fourier積分形式，進(jìn)而成功地研究了受表面載荷的橫觀各向同性彈性層平衡的一般理論，并進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算。潘爾年[40(1989),岳中琦、王仁[41(1988利用Fourier變換研究了帶體積力的垂向不均勻橫觀各向同性彈性靜力問題基本方程，得到了分層均勻多層問題解。1.4熱彈性波動(dòng)問題的研究進(jìn)展熱彈性理論是固體力學(xué)的一個(gè)分支，研究的對(duì)象是材料或結(jié)構(gòu)由不均勻熱場(chǎng)所引起的應(yīng)力、應(yīng)變的變化。壓電材料受到壓力作用時(shí)會(huì)在兩端面間出現(xiàn)電壓的晶體材料，而電壓又會(huì)反過來影響材料的應(yīng)力和應(yīng)變。壓電材料廣泛用于傳感器元件中，例如地震傳感器，力、速度和加速度的測(cè)量元件以及電聲傳感器等。熱彈性壓電理論包括擴(kuò)展的本構(gòu)方程(引入溫度和電場(chǎng)導(dǎo)致的應(yīng)變分量)，熱流方程，電位移方程，并且滿足熱力學(xué)第一第二定律。經(jīng)典熱彈性理論的熱傳導(dǎo)方程是拋物型方程，意味著熱以無限大速度傳播，這與實(shí)驗(yàn)觀測(cè)不相符合。20世紀(jì)60年代發(fā)展的廣義熱彈性理論克服了經(jīng)典熱彈性理論的不足，得到與實(shí)驗(yàn)一致的結(jié)果。主要理論有Lord和Shulman提出的L—S模型及Green和Lindsay提出的G—L模型L-S模型包含一個(gè)熱松弛時(shí)間，G-L模型包含兩個(gè)熱松弛時(shí)間。^ijj=%!=一』TOC\o"1-5"\h\z叫—c—%/Er—yf/(T+t［T).(-.)Dt=e^jEki+p汰Ek+必(『+ti『)，(3)PH=加⑹+tq口鬲)+dJEk+TqQEj^)+C\T+句7)—btT(4)勺=2+%)，E=-如、1=扃『j一?(5)E-電場(chǎng)向量，K-熱傳導(dǎo)系數(shù)一熱模量eijkb-壓電常數(shù)D-電位移q-熱通量d-介電常數(shù)2001年，Lykotrafitis和Georgiadis】42】對(duì)線彈性各向同性半無限體的熱力耦合問題進(jìn)行了研究。對(duì)地下定點(diǎn)爆炸的問題，建立了無限體內(nèi)同一固定點(diǎn)的熱源和力源的模型，采用Biot耦合熱彈性動(dòng)力學(xué)理論建立熱力耦合的系統(tǒng)控制方程，并運(yùn)用Laplace變換進(jìn)行求解。它的結(jié)果為復(fù)雜瞬態(tài)熱彈性動(dòng)力學(xué)問題提供了必要的Green函數(shù)。2003年Lykotrafitis】43］又對(duì)半無限體表面定常運(yùn)動(dòng)的力/熱源問題進(jìn)行研究。通過Biot耦合熱彈性動(dòng)力學(xué)理論建立系統(tǒng)方程，運(yùn)用Radon變換將原始的三維問題變成一個(gè)二維平面應(yīng)變問題和一個(gè)二維反平面問題。求解出在力和熱的影響下，表面的法向和切向位移。蘭州理工大學(xué)的何天虎和西安交通大學(xué)的田曉耕于2005年［44］研究了基于Green-Lindsay(G-L)理論的廣義電磁熱彈二維問題，通過正則模態(tài)法求解得到溫度、位移和應(yīng)力。兩人又共同于2007年［45］研究了基于Lord-Shulman(L-S)理論的半無限大電磁熱彈耦合問題，并給出了相應(yīng)的結(jié)果。Sharma等人于2004年［46］對(duì)壓電圓柱進(jìn)行了振動(dòng)分析?；谌S壓電熱彈性理論，對(duì)簡(jiǎn)支、均質(zhì)、橫觀各向同性的圓柱進(jìn)行自由振動(dòng)的分析。引入位移和電勢(shì)函數(shù)建立運(yùn)動(dòng)方程，高斯方程和熱傳導(dǎo)方程。分析發(fā)現(xiàn)純橫觀模態(tài)與壓電/熱電效應(yīng)均無關(guān)。將位移，溫差和電勢(shì)函數(shù)用正交級(jí)數(shù)展開可得五個(gè)二階常微分方程。最終用帶有復(fù)變量的修正貝塞爾函數(shù)來表示特征值。為驗(yàn)證該方法對(duì)PZT-5A材料進(jìn)行了數(shù)值模擬計(jì)算。J.N.Sharma等人于2007年［47］研究了廣義熱粘彈性Rayleigh-Lamb波的旋轉(zhuǎn)效應(yīng)。主要對(duì)無限Kelvin-Voigt粘彈性熱傳導(dǎo)板沿表面法向作定角速度旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)效應(yīng)進(jìn)行了研究。分別應(yīng)用了L-S理論，G-L理論和耦合理論建立了不同狀態(tài)和條件下的平板振動(dòng)特征方程。用簡(jiǎn)化的Cardan法獲得復(fù)特征根，用函數(shù)迭代法求解復(fù)特征方程，計(jì)算出不同的對(duì)稱和斜對(duì)稱模態(tài)下真實(shí)相速度和衰減系數(shù)。結(jié)論表明旋轉(zhuǎn)厚板中波的衰減遠(yuǎn)大于無旋的板。Sharma等人于2007年網(wǎng)繼續(xù)研究了半無限體壓電熱彈性材料的Rayleigh表面波傳播問題。運(yùn)用線性廣義熱彈性理論建立的耦合控制偏微分方程組推導(dǎo)出表面波的特征方程，給出了在Rayleigh波傳播過程中的表面位移，溫度變化和電勢(shì)的解析表達(dá)式，

并研究了表面振幅，特征功耗因子和表面質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)情況。經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)表面質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是橢圓型的，如果表面位移的水平和垂直分量沒有相位差，則軌跡退化為直線。最后通過對(duì)6mm品族的硒化鎘(CdSe)進(jìn)行計(jì)算模擬，并與理論分析進(jìn)行對(duì)比。J.N.Sharma等人于2007年［49］2008年［5。］進(jìn)一步研究了半無限體壓電熱彈性材料的Rayleigh表面波的旋轉(zhuǎn)效應(yīng)和熱遲豫。研究半無限體沿表面法向作定角速度轉(zhuǎn)動(dòng)下Rayleigh波的相速度，衰減因子，相頻變化等規(guī)律，并與無旋情況做了對(duì)比。研究結(jié)果對(duì)設(shè)計(jì)和制造陀螺儀、轉(zhuǎn)動(dòng)感應(yīng)器等實(shí)驗(yàn)器材都有參考價(jià)值。BaljeetSingh于2005年［51］提出了對(duì)于壓電材料的廣義熱彈性問題的理論。運(yùn)用了G-L理論和L-S理論給出了廣義熱壓電固體的控制方程，并對(duì)二維模型運(yùn)用該理論對(duì)平面波速進(jìn)行了求解。建立平面波方程后，運(yùn)用Cardan方法求出三個(gè)耦合波。最終的結(jié)論顯示二維熱壓電固體模型中存在三個(gè)平面波quasi-P波，Thermal波和quasi-SV波，波速依賴于材料性質(zhì)和傳播角度。J.R.Sharma等人于2006年［52］研究了在均勻磁場(chǎng)下沿表面法向作勻角速度運(yùn)動(dòng)的初始自由，均勻各向同性磁熱彈性板。為了研究該類問題，Sharma等人假設(shè)電學(xué)表現(xiàn)為半靜態(tài)而力學(xué)表現(xiàn)為動(dòng)態(tài)，引入了廣義熱彈性理論。建立對(duì)稱波和斜對(duì)稱波的特征方程后，將磁彈SH波從中解耦出來，這些波不依賴于溫度變化和熱弛豫時(shí)間。限定短波長，則特征方程退化為Rayleigh波頻率方程。通過不同熱彈性理論計(jì)算了不同的色散曲線。這個(gè)研究還可以推導(dǎo)出無旋介質(zhì)，彈性運(yùn)動(dòng)學(xué)，磁電介質(zhì)和耦合磁電介質(zhì)等理論。2008年Sharma等人［53］又對(duì)運(yùn)用了廣義線性壓電熱彈性理論半空間壓電熱彈介質(zhì)的波反射進(jìn)行了研究。在這種二維橫觀各向同性介質(zhì)中存在三種平面波(半縱波QL、半橫波QT和熱波T-mode)，他們的速度與入射角和頻率有關(guān)，且均受材料的壓電和焦熱點(diǎn)性質(zhì)影響。通過推導(dǎo)得出了波速度的高頻/低頻近似和衰減系數(shù)，以及反射波和入射波的振幅比，并討論了法相入射和切向入射的特殊情形。最后運(yùn)用高斯消元法計(jì)算了硒化鎘(CdSe)的反射系數(shù)和不同方向波的相速度和衰減系數(shù)。黃泊于2004年［54］建立了有限變形壓電熱彈性動(dòng)力學(xué)基本方程相關(guān)的分區(qū)變分原理和廣義分區(qū)變分原理。在考慮到有限變形彈性體的熱力學(xué)效應(yīng)和壓電效應(yīng)后，將彈性體動(dòng)力學(xué)分區(qū)變分原理推廣到有限變形壓電熱彈性體，建立了3類變量的有限變形壓電熱彈性動(dòng)力學(xué)分區(qū)變分原理。在有限變形壓電熱彈性動(dòng)力學(xué)分區(qū)變分原理中進(jìn)一步引入拉格朗日乘子并加以識(shí)別的方法，得到了6類變量的有限變形壓電熱彈性動(dòng)力學(xué)分區(qū)廣義變分原理。這個(gè)方法的建立對(duì)有限元計(jì)算提供了理論依據(jù)。2003年何天虎等人［55］采用具有兩個(gè)熱松弛時(shí)間的G-L廣義熱彈性理論，研究了一維半無限長壓電桿在其端部

受到熱沖擊時(shí)的邊值問題.借助于拉普拉斯正、反變換技術(shù)，在所考慮時(shí)間非常短的情況下，對(duì)問題進(jìn)行了求解，得到了位移及溫度分布的近似解析解，發(fā)現(xiàn)位移及溫度分布中分別存在兩個(gè)階躍點(diǎn)，并通過數(shù)值計(jì)算，把溫度的分布規(guī)律用圖形反映了出來。得出的結(jié)論與經(jīng)典的熱傳導(dǎo)是完全不同的，它說明熱是以波的形式以有限的速度、而不是以無限的速度在介質(zhì)中進(jìn)行傳播的.田曉耕等人于2006年啊研究了基于不同的廣義壓電熱彈性理論的無限大厚壓電板受到條狀熱沖擊的問題。由于三種廣義壓電熱彈性理論的熱松弛時(shí)間數(shù)量不同，導(dǎo)致了熱量傳播速度和溫度分布的不同。由于理論方程是高階微分方程，本文并沒有使用積分變換的方法，而是使用了有限元直接求解，提高了計(jì)算精度。劉艷紅等人［57］首先根據(jù)廣義的Hamilton變分原理推導(dǎo)了壓電熱彈性體非齊次的Hamilton正則方程?？紤]了熱平衡方程與導(dǎo)熱方程中變量的對(duì)偶關(guān)系，通過增加正則方程的維數(shù)，將非齊次的正則方程轉(zhuǎn)化為能獨(dú)立求解壓電熱彈性體耦合問題的齊次控制方程。齊次方程大大簡(jiǎn)化了在分析壓電熱彈性體耦合問題時(shí)，通常要求解非齊次方程和關(guān)于平衡方程和導(dǎo)熱方程的二階微分方程的繁瑣方法，同時(shí)也減少了數(shù)值計(jì)算工作量。二、橫觀各向同性層合板中彈性波的傳播對(duì)于m層橫觀各相同性板組成的一無限大層合板，每層板之間的界面面用大寫字母I,J,…來表示，每層板則用板的兩界面的編號(hào)來表示，如IJ，JK,…。假定一垂直集中力作用在層合板的界面J上，則該問題可處I2.1整體坐標(biāo)和局部坐標(biāo)理為軸對(duì)稱問題。如果首先在層合板上建立整體坐標(biāo)系(r,z)，Z=0處為層合板的上表面，z=H為層合板的下表面，垂直集中力的作用位置為(0,zJ)，ZJ為界面J的位置。對(duì)于每層板IJ的兩端界面建立兩組右旋局部坐標(biāo)系(r,對(duì)于m層橫觀各相同性板組成的一無限大層合板，每層板之間的界面面用大寫字母I,J,…來表示，每層板則用板的兩界面的編號(hào)來表示，如IJ，JK,…。假定一垂直集中力作用在層合板的界面J上，則該問題可處IJ，如圖3.1所示。若板IJ的厚度為人〃，則有關(guān)系:riJ-rji，ziJ=hiJ-zjiJ，如圖3.1所示。若板IJ的厚度為人〃，則有關(guān)系:riJ-rji，ziJ=hiJ-zji板iJ在局部坐標(biāo)系(,z)iJ中，任一點(diǎn)的位移uiJCu,ziJ)r標(biāo)軸方向一致時(shí)為正，反之為負(fù)。板中的應(yīng)力tu(ru,ziJ)正面上與坐標(biāo)軸同向?yàn)檎?fù)面上與坐標(biāo)軸反向?yàn)檎?。，uiJCiJ,ziJ)，其方向于坐zt〃liJ,ziJ)，其方向規(guī)定為由以上定義可知，板IJ中任一點(diǎn)位移和應(yīng)力在局部坐標(biāo)系(r,z\和＜r,z)J滿足以下關(guān)系uiJCu,ziJ）=ujiCJi,hiJ-ziJ）rr（2.1.2）uiJ（riJ,ziJ）=-uji（rJi,hiJ-ziJ）zz（2.1.3）tijCu,zij）=tjiCji,hiJ—zij）zzzztijCu,zij）=-tjiCji,hiJ—zij）zrzr（2.1.4）（2.1.5）2.2單層板中的彈性波在軸對(duì)稱坐標(biāo)系(,z)IJ中，橫觀各向同性板中的應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系可表示為:~t_rrt00—tzzLt」rzCCC0111213CCC0121113CCC0131333000C￡rr￡00￡zzy■rz（2.2.1）55」幾何方程可表示為:￡rrdu—r，d￡rrdu—r，dr00r￡zzduzdzrz\o"CurrentDocument"dudu=r+z\o"CurrentDocument"dzdr（2.2.2）其中u、u分別為r和z方向的位移橫觀各向同性板中軸對(duì)稱運(yùn)動(dòng)方程可由u橫觀各向同性板中軸對(duì)稱運(yùn)動(dòng)方程可由ur、來描述為（2.2.3）CW+C（巴+1也-匕）+（C+C）也-P巴=0（2.2.3）55dz211dr2rdrr1355dzdrdt2（C+C）（*+1也）+C地+C（箜+1寫—P*=0（2.2.4）1355dzdrrdz33dz255dr2rdrdt2其中p是材料的密度。板中的應(yīng)力可表示為Trr=C11岑+C12+備G.2.5）t=C（匕+也）+C虬,（2.2.6）zz13rdr33dz，二。55（普+告）<2.2,）在波動(dòng)力學(xué)中，波的極化方向與波的傳播方向相一致或正交的體波被稱為純體波，否則稱為準(zhǔn)體波。在各向同性介質(zhì)中，僅存在著三種純體波，即純P波、純SV波和純SH波，三者的極化方向相互正交。純P波的極化方向與波的傳播方向相一致，純SV波和純SH波的極化方向與波的傳播方向垂直，并且每種波的傳播速度大小不隨波的傳播方向變化而變化。而各向異性介質(zhì)中彈性波傳播相對(duì)于各向同性介質(zhì)則復(fù)雜得多。在各向異性介質(zhì)中，彈性波的傳播取決于材料的性質(zhì)和傳播方向，波的傳播速度大小與波的傳播方向有關(guān)。在通常情況下，只存在準(zhǔn)體波，只有在某些特殊的傳播方向才存在純體波。下面定義V階Hankel變換和Laplace變換為：fhv（k,z,t）="f（r,z,t）J（kr）rdr（2.2.8）f（r,z,p）=「f（r,z,t）e-ptdt（2.2.9）0對(duì)方程（2.2.3）和（2.2.4）分別施以關(guān)于時(shí)間t的Laplace變換，然后對(duì)方程（2.2.3）施以關(guān)于徑向r的一階Hankel變換，對(duì)方程（2.2.4）施以關(guān)于徑向r的零階Hankel變換后則寫為Cd^TH1-Ck2UH1-（C+C）k^^-Pp2itH1=0（2.2.10）55dz211r1355dzr(C+C)k^^1+C^2"^-Ck2UH0-Pp2UH0—013558z338z255zz則式（2.2.6）和（2.2.7）可改寫為:能H0th0=CkuH1+C逢(2.2.12)8"H1TH1=C^r-CkuH0(2.2.13)則方程（2.2.12）和（2.2.13）的通解可寫為:MH1—flQszszszsz—aes1z丁aes2z丁es1z丁e%zr1212(2.2.14)人.11uh0=awes,z+awe%z+dwe一罕+dwe—%zz11221324(2.2.15)式中s2、s2分別為二次方程Ax2+Bx+C—0的兩個(gè)根，其中A—C33C55，B——C55pp2—CM2C33—pp2C33+2k2C55C13+k2C2,C=CCk4+Ck2Pp2+CPp2k2+p2p4w—(Cs2-Ck2-pp2)/((C+C)ks)，w—-w1,2551,21155131,23,41,2位移矢量訊k,z,p)—^UH1(k,z,p)Uh0(k,z,p)}可表示為矩陣形式:U(,z,p)—A(k,z,p)a+D(k,z,p)d(2.2.16)其中a-E,a}r、d-{/,d}r分別為界面處入射波波幅矢量與出射波波幅矢量。1212A—es1zes2z,D—e—s1ze—s2zUwes1zwes2zUwe—s1zL3we—s2z4」,應(yīng)力矢量Fk,z,p)—TH1(k,z,p)TH0?,z,p)}可表示為:zrF(k,z,p)—A,(k,z,p)a+D/(k,z,p萬(2.2.17)式中C(s—kw)es1z(Ck+Cws)es1z

133311C(s—kw)es2z(Ck+Cws)es2z133322」C(—s—kw)e—s1z

(Ck—Cws)e-s1zC(—s—kw)e—s2z

(Ck—Cws)e-s2z2.3界面散射矩陣垂直集中力f(t)作用在橫觀各向同性層合板的界面J(如果垂直集中力不作用在層合板的界面處，我們可以在點(diǎn)力作用處人為劃分界面，保證力作用在界面上)，則此集中力可以表示為f(t)=-F(t&r-0力(—zJ)2nr。對(duì)于相鄰的兩層板，界面連續(xù)性條件在p-k域內(nèi)可以表示為Uj(j—1佬,0,pUj(j—1佬,0,p)—Uj(j+1佬,0,p)=0rrUj(j-1)&,0,p)+Uj(j+1)&,0,p)=0Tj(j-此,0,p)+《j(jM,0,p)=0rzrzC(J—1)G,0,p)—n(J+1)冬,0,p)=F(p)/2兀J=2m—1對(duì)于橫觀各向同性層合板上表面，則有:T12=—F(p)/2兀而對(duì)于橫觀各向同性層合板下表面，則有Tm(m—1)zzTm(m—1)=0zr(2.3.1)(2.3.2)(2.3.3)(2.3.4)(2.3.5)(2.3.6)(2.3.7)(2.3.8)定義界面J的入射波波幅矢量aJ和出射波波幅矢量dJ分別為aj=^aJ(j-1),aJ(jt),aJ(j+1),aJ(j+1)T，dj=^dJ(j-1),dj(j-1),dj(j+1),dj(j+1)T。對(duì)于橫觀各向同性層合板的上表面，則入射波波幅矢量和出射波波幅矢量則定義為a1=a12,a12i^，d1=^12,d；2T；對(duì)于橫觀各向同性層合板的下表面，則入射波波幅矢量和出射波波幅

矢量分別定義為amm（m-1）,am（m-1）攵，dm—dm（m-1）,dm（m-1）矢量分別定義為amG.3.9）將式G.2.16）?（3.2.17）代入界面條件（3.3.1）?（3.3.8），可寫為Ajaj+Djdj—gj其中對(duì)于界面J,gJ—t,0,0,-F（p）/2兀｝；對(duì)于橫觀各向同性層合板的上表面，gj-｛F（p）/2兀,0"對(duì)于橫觀各向同性層合板的下表面，gj—F（p）/2兀,0T。G.3.9）由（3.3.9）可得界面J的入射波和出射波的關(guān)系為dJ=SjaJ+sj（2.3.10）其中Sj=-Dj＞】Aj為界面j的散射矩陣，sj=-Dj＞】gj為界面j的源矢量2.4回傳矩陣下面首先定義整體入射波與出射波的波幅矢量分別為a=￡1,a2,...,an\、d=d1,d2,...,dN｝，將橫觀各向同性層合板中所有界面的散射關(guān)系集成為d=Sa+s（2.4.1）其中a、d、s、S分別為整體入射波幅矢量、整體出射波幅矢量、整體源矢量及整體散射矩陣。但由于整體出射波幅矢量d和整體入射波幅矢量a均為未知，故必須尋求另外一組關(guān)系才能求解。對(duì)于第J層板，在局部坐標(biāo)系G,z）jG+1）中，由界面J來看，有一入射波可寫為:G.4.2）Uj（j+1）=Aj（,zj（j+1）,p\j（j+1）G.4.2）（2.4.3）G.4.4）此入射波在局部坐標(biāo)系（r,z）J+1）J中，由界面J（2.4.3）G.4.4）D（j+1）j=D（j+1）j（,z（J+1）j,pd（j+1）ju利用關(guān)系（2.1.2）和G.1.3），可得aj（j+1）=Pj（j+1）d（j+1）j

其中Pj（八i）凌30稱為局部相位矩陣。0e-s2h對(duì)于界面J，則式（2.4.4）可改寫為（2.4.5）—~aj=Pjdj（2.4.5）其中Pj=PJ（J-1）稱為界面J的相位矩陣，dj=G（j-i）j,d（j+i）jPj（j+i）?a=Pd對(duì)于橫觀各向同性層合板的所有界面相位矩陣，可以集成寫為（2.4.6）其中~=&iLlU,..,dj}稱為整體相位矩陣。?a=Pd其中~=&iLlU,..,dj}稱為整體相位矩陣。對(duì)于d和d，都代表出射波的波幅，只是在矢量中的位置不同，兩者關(guān)系可用轉(zhuǎn)列矩陣H來描述：~=Hd（2.4.7）其中矩陣H為4nx4n的矩陣。H中的每一列及每一行中，僅有一個(gè)元素為I，其余為0。在d中，如果dJK和dkj分別在第p和第q位置上，則在矩陣H中，元素H和H均為I。將式（2.4.7）代入（2.4.I）后可得：a=PHd（2.4.8）聯(lián)合求解（2.4.I）和（2.4.8），則可得a和d為d=&-RLs（2.4.9）a=PHll-RLs（2.4.I0）其中R=SPH稱為回傳矩陣。

當(dāng)求出d和a后，可以在（p,k）域中求出橫觀各向同性層合板中的位移為U（k,z,p）=（APH+D）（I-R）-is（2.5.1）uu（2.5.2）（2.5.3）然后利用Laplace逆變換和漢克爾逆變換求出時(shí)域上相應(yīng)的量U（r,z,t）^—!—U（k,z,p）eptJ（kr）kdpdk，2njv（2.5.2）（2.5.3）在滿足射線展開條件下，采用射線展開法將Ii-R11展開為級(jí)數(shù)，Il-rL=I+R+R2+，將（2.4.13）代入（2.4.12）后，則橫觀各向同性層合板中的位移可以表示為一系列積分之和（2.5.4）U（r,z,tPH+DRksJ（kr）keptdpdk,K=02"j（2.5.4）這里每一項(xiàng)積分定義為一條射線組，代表在橫觀各向同性層合板中經(jīng)K次界面反射或折射之后到達(dá)（r,z）點(diǎn)處的波。K=0，則表示彈性波由波源出發(fā)不經(jīng)過界面反射和折射直接到達(dá)（r,z）處，稱為源波。根據(jù)計(jì)算時(shí)所采用的觀測(cè)時(shí)間，來對(duì)級(jí)數(shù)進(jìn)行截?cái)嗲蟮脵M觀各向同性層合板中瞬態(tài)彈性波。這里的一條射線組通常包括多條廣義射線，并且隨橫觀各向同性層合板的層數(shù)和K增加而急劇增加。為了解釋從源到觀測(cè)點(diǎn)的射線路徑，我們?cè)趫D3.2中給出了在三層橫觀各向同性板組合成的層合板中R0,R1,R2,R3,R4,R5射線組中廣義射線的傳播路徑。在原點(diǎn)處沖擊力將產(chǎn)生P波和S波，觀測(cè)點(diǎn)設(shè)在第一層的中部。圖3.2a分別給出了射線組R0和R1,其中R0代表從波源直接到達(dá)觀測(cè)點(diǎn)的波，它通常包含著兩條廣義射線，即由波源所激發(fā)出來的傳來P波和S波（對(duì)于觀測(cè)點(diǎn)位于橫觀各向同性層合板的上表面或靠近上表面，還將包含Rayleigh面波）。R1代表由波源出發(fā)經(jīng)過一次界面反射或透射到達(dá)觀測(cè)點(diǎn)的波，由于存在P波和S波在界面處的轉(zhuǎn)換，它包含著四條廣義射線，即由波源激發(fā)出來的P波經(jīng)界面反射后形成的P波和S波，以及由波源激發(fā)出來的S波經(jīng)界面反射后形成的P波和S波。圖3.2b、3.2c、3.2d分別給出了第三射線組R2、第四射線組R3和第五射線組R4的射線路徑。第三射線組R2、第四射線組R3和第五射線組R4分別代表由波源出發(fā)經(jīng)過二次、三次和四次界面反射或透射后到達(dá)觀測(cè)點(diǎn)的波，它們分別包含著8、32和64條廣義射線。圖3.2e給出了第六射線組R5的射線路徑，射線組R5代表在界面處反射或透射五次后到達(dá)觀測(cè)點(diǎn)的射線之和，此射線組R5包含著320條廣義射線。圖3.2a圖3.2bSource(0,0)圖3.2cSource

(0,0)Receiver

(x,z)Receiver(x,z)圖3.2dSource(0,0)圖3.2e圖3.2射線路徑a）第一射線組R0和第二射線組R1;b）第三射線組R2;c）第四射線組R3;d）第五射線組R4;e）第六射線組R5。參考文獻(xiàn)M.Ewing,J.L.WorzelandC.L.Pekeris(1948),Propagationofsoundintheocean,TheGeologicalSocietyofAmericaMemoir27,NewYorkThomson,W.T.(1950).Transmissionofelasticwavesthroughastratifiedsolidmedium,/.Appl.Phys.,21,89-93.Haskell,N.A.(1953).Thedispersionofsurfacewavesonmultilayeredmedia,Bull.Seism.Soc.Am.,43,17-34.Muller,G.(1968,1969),Theoreticalseismogramsforsometypesofpoint-sourcesinlayeredmedia,PartI:theory,PartII:numericalcalculation,PartIII:Singleforceanddipolesourcesofarbitraryorientation,GeophysikZhurnal,34,15-35,147-162:35,347-271.Pao,Y.H.&Gajewski,R.(1977).TheGeneralizedRayTheoryandTransientResponseofLayeredElasticSolids,PhysicalAcoustics,XIII,Chapter6,ed.byMason,W.P.,AcademicPress,NewYork.Kennett,B.L.N.(1983).SeismicWavePropagationinStratifiedMedia,Cambridge;NewYork,CambridgeUniversityPress.Pao,Y.H.,Howard,S.M.andKeh,D.C.(1999).DynamicResponseandWavePropagationinPlaneTrussesandFrames,AIAAJournal,37(5)594-603.Pao,Y.H.,Su,X.YandTian,J.Y.(2000).ReverberationMatrixMethodforpropagationofsoundinamultilayeredliquid,JournalofSoundandVibration,230(4),743-760.Su,X.Y.,Tian,J.Y.&Pao,Y.H.(2001),ApplicationoftheReverberation-RayMatrixtothePropagationofElasticWavesinaLayeredSolid,MMC2001atSanDiego,July26-29,2001.H.Lamb.Onthepropagationoftremorsoverthesurfaceofanelasticsolid.Phil.Trans.Roy.Soc.,London,ser.A,203(1904)pp.1-42.E.A.Kraut.Advancesinthetheoryofanisotropicelasticwavepropagation.Rev.Geoph.,3(1963)pp.401-448.R.Burridge.Lamb’sproblemforananisotif-ppacehsQ.J.Mech.andAppliedMath.,23(1971)pp.81-98.T.W.Taylor.Transientelasticwavesonanisotropichalf-space.Ph.D.Thesis,UniversityofCincinnati,Ohio,1989.Weaver,R.L,Sachse,W.,Kim,K.Y,Transientelasticwavesinatransverselyisotropicplate,JournalofAppliedMechanics,1996,63:337-346Elliott.H.A.AxialsymmetricStressDistributionsinHexagonalAeolotropicCrystals.Proc.CambridgePhil.Soc.1948,44,522-553.Kroner.E.DasFundamentalintegratederanisotropenElastischenDifferentialgleichungen.ZeitschriftfurPhysik,Bd.1953,136,402-410.胡海昌，在體積力作用下橫觀各向同性彈性體的平衡問題，物理學(xué)報(bào)，1955a,11,219-230.Rongved.L.ForceInteriortoOneofTwoJoinedSemi-InfiniteSolid.Proceedings,FirstMidwesternConferenceonSolidMechanics,1955,April,56-59.Dundurs.J.andHetenyi.M.TransmissionofForceBetweenTwoSemi-InfiniteSolid.J.Appl.Mech.1965,32,671-674.黃克服，王敏中，兩種材料組成空間的彈性力學(xué)基本解，中國科學(xué)A輯，1991，(1)，41-46.Sveklo.V.A.ConcentratedForceinaTransverselyIsotropicHalf-SpaceandinaCompositeSpace.PMM,1969,33,532-537.梁劍，橫觀各向同性彈性力學(xué)基本解及邊界元法，浙江大學(xué)博士論文，1994.丁皓江，橫觀各向同性彈性力學(xué)，浙江大學(xué)出版社，1997.Small.J.CandBooker.J.R.FiniteLayerAnalysisofLayeredElasticMaterialsUsingFlexibityApproach.PartI-StripLoadings.InternationaljournalofNumericalmethodinEngineering,1984,20,1025-1037.Small.J.CandBooker.J.R.FiniteLayerAnalysisofLayeredElasticMaterialsUsingFlexibityApproach.PartII-CircularandRectangularLoadings.InternationaljournalofNumericalmethodinEngineering,1984,20,1025-1037.Ashtom.J.E.andWhitney.J.M.TheoryofLaminatedPlates.Technomic,Stamford,1970.Burmister.D.M.TheGeneralTheoryofStressesandDisplacementinLayeredSystems.JournalofAppliedPhysics.1945a,16,89-93.Burmister.D.M.TheGeneralTheoryofStressesandDisplacementinLayeredSoilSystems.JournalofAppliedPhysics.1945b,16,126-127.Bufler.H.TheoryofElasticityofaMultilayeredMedium.JournalofElasticity,1971,1,125-143.Bahar.L.Y.TransferMatrixApproachtoLayeredSystem.JournalofEngineeringMechanics,1972,98,1159-1172.王凱，N層彈性連續(xù)體系在圓形均布垂直載荷作用下的力學(xué)計(jì)算，土木工程學(xué)報(bào)，1982,(2),65-76.王凱，N層彈性連續(xù)體系在圓形均布復(fù)合載荷作用下的力學(xué)計(jì)算，固體力學(xué)學(xué)報(bào)，1983,(2),136-152.王凱，N層彈性連續(xù)體系在圓形均布垂直載荷作用下的力學(xué)計(jì)算的討論，土木工程學(xué)報(bào)，1984，17(1)，91-95.Benitez.F.G.andRosakis.A.J.Three-dimensionalElastostaticsofaLayerandLayeredMedium.JournalofElasticity,1987,18(1),3-50.施祖元，曾國熙，多層各向異性地基的初參數(shù)解法，浙江大學(xué)學(xué)報(bào)，1989，(2)，222-232.金波，唐錦春，用積分變換和邊界積分方法求解多層地基的靜力問題，計(jì)算結(jié)構(gòu)力學(xué)及應(yīng)用，1993，10(4)，424-432.金波，唐錦春，層狀地基軸對(duì)稱問題的Mindlin解，計(jì)算結(jié)構(gòu)力學(xué)及應(yīng)用，1996,13(2)，187-192.Tsai.Y.M.ThermalStressinaTransverselyIsotropicMediumContainingAPe