數(shù)字電路課件八

第2章邏輯代數(shù)課時：10學(xué)時第2章邏輯代數(shù)2.1數(shù)字電路的基本概念2.2數(shù)制2.3二—十進制碼2.4基本邏輯運算2.5邏輯函數(shù)及其表示方法2.6邏輯代數(shù)2.7邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法本章小結(jié)

2.1數(shù)字電路的基本概念5V(V)0t(ms)1020304050數(shù)字信號在電路中常表現(xiàn)為突變的電壓或電流。

一、模擬信號與數(shù)字信號模擬信號——時間連續(xù)數(shù)值也連續(xù)的信號。如速度、壓力、溫度等。數(shù)字信號——在時間上和數(shù)值上均是離散的。如電子表的秒信號，生產(chǎn)線上記錄零件個數(shù)的記數(shù)信號等。

有兩種邏輯體制：

正邏輯體制規(guī)定：高電平為邏輯1，低電平為邏輯0。

負邏輯體制規(guī)定：低電平為邏輯1，高電平為邏輯0。

下圖為采用正邏輯體制所表的示邏輯信號：二、正邏輯與負邏輯

數(shù)字信號是一種二值信號，用兩個電平（高電平和低電平）分別來表示兩個邏輯值（邏輯1和邏輯0）。

邏輯0

邏輯0

邏輯0

邏輯1

邏輯1

三、數(shù)字信號的主要參數(shù)

一個理想的周期性數(shù)字信號，可用以下幾個參數(shù)來描繪：Vm——信號幅度。T——信號的重復(fù)周期。tW——脈沖寬度。q——占空比。其定義為：

5V(V)0t(ms)twTVm

圖中所示為三個周期相同（T=20ms），但幅度、脈沖寬度及占空比各不相同的數(shù)字信號。

2.2數(shù)制例：

將二進制數(shù)10011.101轉(zhuǎn)換成十進制數(shù)。解：將每一位二進制數(shù)乘以位權(quán)，然后相加，可得(10011.101)B＝1×24＋0×23＋0×22＋1×21＋1×20＋1×2－1＋0×2－2＋1×2－3＝（19.625)D一、幾種常用的計數(shù)體制

1.十進制(Decimal)

2.二進制(Binary)

3.十六進制(Hexadecimal)與八進制（Octal）二、不同數(shù)制之間的相互轉(zhuǎn)換

1．二進制轉(zhuǎn)換成十進制例：

將十進制數(shù)23轉(zhuǎn)換成二進制數(shù)。

解：用“除2取余”法轉(zhuǎn)換:

2.十進制轉(zhuǎn)換成二進制則（23)D=（10111)B

2.3二—十進制碼

二—十進制碼（BCD碼）——用二進制代碼來表示十進制的0～9十個數(shù)。

要用二進制代碼來表示十進制的0～9十個數(shù)，至少要用4位二進制數(shù)。

4位二進制數(shù)有16種組合，可從這16種組合中選擇10種組合分別來表示十進制的0～9十個數(shù)。

選哪10種組合，有多種方案，這就形成了不同的BCD碼。

位權(quán)0123456789十進制數(shù)842100000001001000110100010101100111100010018421碼242100000001001000110100101111001101111011112421碼0011010001010110011110001001101010111100000000010010001101001000100110101011110054215421碼無權(quán)余3碼

常用BCD碼一、基本邏輯輯運算設(shè)：開關(guān)閉合合=“1”開關(guān)不閉合=“0”燈亮，L=1燈不亮，L=02.4基本邏輯運算算與邏輯——只有當(dāng)決定一一件事情的條條件全部具備備之后，這件件事情才會發(fā)發(fā)生。1．與運算與邏輯表達式：AB燈L不閉合不閉合閉合閉合不閉合閉合不閉合閉合不亮不亮不亮亮0101BLA0011輸入0001輸出

與邏輯真值表2．或運算或邏輯表達式式：L＝A+B或邏輯——當(dāng)決定一件事事情的幾個條條件中，只要要有一個或一一個以上條件件具備，這件件事情就發(fā)生生。AB燈L不閉合不閉合閉合閉合不閉合閉合不閉合閉合不亮亮亮亮0101BLA0011輸入0111輸出

或邏輯真值表3．非運算非邏輯表達式：

非邏輯——某事情發(fā)生與與否，僅取決決于一個條件件，而且是對對該條件的否否定。即條件件具備時事情情不發(fā)生；條條件不具備時時事情才發(fā)生生。A燈L閉合不閉合不亮亮LA0110非邏輯真值表二、其他常用用邏輯運算2．或非——由或運算和非非運算組合而而成。1．與非——由與運算和和非運算組合合而成。0101BLA0011輸入1110輸出

“與非”真值表0101BLA0011輸入1000輸出

“或非”真值表3．異或異或是一種二變量邏輯運算，當(dāng)兩個變量取取值相同時，，邏輯函數(shù)值值為0；當(dāng)兩個變量量取值不同時時，邏輯函數(shù)數(shù)值為1。0101BLA0011輸入0110輸出

“異或”真值表異或的邏輯表達式為：2.5邏輯函數(shù)及其其表示方法解：第一步：設(shè)置置自變量和因因變量。第二步：狀態(tài)態(tài)賦值。對于自變量A、B、C設(shè)：同意為邏輯““1”，不同意為邏輯輯“0”。對于因變量L設(shè)：事情通過為邏邏輯“1”，沒通過為邏輯輯“0”。一、邏輯函數(shù)數(shù)的建立例：三個人表決一一件事情，結(jié)結(jié)果按“少數(shù)數(shù)服從多數(shù)””的原則決定定，試建立該該邏輯函數(shù)。。第三步：根據(jù)據(jù)題義及上述述規(guī)定列出函數(shù)的真真值表。000001010011100101110111ABC00010111

L三人表決電路真值表一般地說，若若輸入邏輯變變量A、B、C…的取值確定以以后，輸出邏邏輯變量L的值也唯一地地確定了，就就稱L是A、B、C的邏輯函數(shù)，，寫作：L=f（A，B，C…）邏輯函數(shù)與普普通代數(shù)中的的函數(shù)相比較較，有兩個突突出的特點：：（1）邏輯變量和和邏輯函數(shù)只只能取兩個值值0和1。（2）函數(shù)和變量量之間的關(guān)系系是由“與”、“或或”、“非””三種基本運運算決定的。。二、邏輯函數(shù)數(shù)的表示方法法1．真值表——將輸入邏輯變變量的各種可可能取值和相相應(yīng)的函數(shù)值值排列在一起起而組成的表表格。2．函數(shù)表達式式——由邏輯變量和和“與”、““或”、“非非”三種運算算符所構(gòu)成的的表達式。由真值表可以以轉(zhuǎn)換為函數(shù)數(shù)表達式。例例如，由“三三人表決”函函數(shù)的真值表可寫出出邏輯表達式：：解：該函數(shù)有兩個個變量，有4種取值的可能組合，將將他們按順序序排列起來即即得真值表。000001010011100101110111ABC00010111

L三人表決電路真值表反之，由函數(shù)數(shù)表達式也可可以轉(zhuǎn)換成真真值表。例1.6.2列出下列函數(shù)數(shù)的真值表：：真值表00011011AB1001

L×B×3．邏輯圖——由邏輯符號及及它們之間的的連線而構(gòu)成成的圖形。例：寫出如圖所示示邏輯圖的函數(shù)數(shù)表達式。由函數(shù)表達式式可以畫出邏邏輯圖。解：可用兩個非門門、兩個與門門和一個或門組組成。例：畫出函數(shù)的邏輯圖：由邏輯圖也可可以寫出表達達式。解：BAAL+=2.6邏輯代數(shù)2.6.1邏輯代數(shù)的基基本公式2.6.2邏輯代數(shù)的基基本規(guī)則2.6.3邏輯函數(shù)的代代數(shù)化簡法2.6.1邏輯代數(shù)的基基本公式吸收律反演律分配律結(jié)合律交換律重疊律互補律公式10—1律對合律名稱公式2基本公式公式的證明方方法：（2）用真值表證證明，即檢驗驗等式兩邊函函數(shù)的真值表表是否一致。。（1）用簡單的公公式證明略為為復(fù)雜的公式式。例：證明吸收律證：AB00011011例：

用真值表證明反演律111011102.6.2邏輯代數(shù)的基本規(guī)規(guī)則對偶規(guī)則的基本內(nèi)內(nèi)容是：如果兩個邏輯函數(shù)數(shù)表達式相等，那那么它們的對偶式式也一定相等。基本公式中的公式式l和公式2就互為對偶式。。1.代入規(guī)則對于任何一個邏輯輯等式，以某個邏邏輯變量或邏輯函函數(shù)同時取代等式式兩端任何一個邏邏輯變量后，等式式依然成立。例如，在反演律中中用BC去代替等式中的B，則新的等式仍成立立：2.對偶規(guī)則將一個邏輯函數(shù)L進行下列變換：·→＋，＋→·0→1，1→0所得新函數(shù)表達式叫做L的對偶式，用表示。3.反演規(guī)則在應(yīng)用反演規(guī)則求求反函數(shù)時要注意意以下兩點：（1）保持運算的優(yōu)先先順序不變，必要要時加括號表明，，如例3.1.3。（2）變換中，幾個變變量（一個以上））的公共非號保持持不變。如例3.1.4。利用反演規(guī)則，可可以非常方便地求求得一個函數(shù)的反反函數(shù)解：解：將一個邏輯函數(shù)L進行下列變換：·→＋，＋→·；0→1，1→0；原變量→反變量，反變量→原變量。所得新函數(shù)表達式叫做L的反函數(shù)，用表示。例：求函數(shù)的反函數(shù)：例：求函數(shù)的反函數(shù)：2.6.3邏輯函數(shù)的代數(shù)化化簡法1．邏輯函數(shù)式的常常見形式一個邏輯函數(shù)的表表達式不是唯一的的，可以有多種形形式，并且能互相相轉(zhuǎn)換。例如：與——或表達式或——與表達式與非——與非表達式或非——或非表達式與——或——非表達式其中，與—或表達式是邏輯函函數(shù)的最基本表達達形式。2．邏輯函數(shù)的最簡簡“與—或表達式”的標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)3．用代數(shù)法化簡邏邏輯函數(shù)（1）并項法：運用公式將兩項合并為一項，消去一個變量。例：（1）與項最少，即表表達式中“+”號最少。（2）每個與項中的變變量數(shù)最少，即表表達式中“·”號最少。（4）配項法：（2）吸收法：（3）消去法：運用吸收律A+AB=A，消去多余的與項。。例：例：運用吸收律消去多余因子。先通過乘以或加上，增加必要的乘積項，再用以上方法化簡。例：在化簡邏輯函數(shù)時時，要靈活運用上上述方法，才能將將邏輯函數(shù)化為最最簡。例：化簡邏輯函數(shù)：解：（利用）（利用A+AB=A）（利用

）例：化簡邏輯函數(shù)：

解：（利用反演律）

（利用）

（利用A+AB=A）（配項法）

（利用A+AB=A）（利用）由上例可知，有些些邏輯函數(shù)的化簡簡結(jié)果不是唯一的的。解法1：例：

化簡邏輯函數(shù)：

（增加多余項）（消去一個多余項）（再消去一個多余項）解法2：（增加多余項）（消去一個多余項）（再消去一個多余項）代數(shù)化簡法的優(yōu)點點：不受變量數(shù)目目的限制。缺點：沒有固定的的步驟可循；需要要熟練運用各種公公式和定理；需要要一定的技巧和經(jīng)經(jīng)驗；不易判定化化簡結(jié)果是否最簡簡。2.7邏輯函數(shù)的卡諾圖圖化簡法2.7.1最小項的定義與性性質(zhì)2.7.2邏輯函數(shù)的最小項項表達式2.7.3卡諾圖2.7.4用卡諾圖表示邏輯輯函數(shù)2.7.5邏輯函數(shù)的卡諾圖圖化簡法2.7.6具有無關(guān)項的邏輯輯函數(shù)的化簡2.7.1最小項的定義與性性質(zhì)最小項——n個變量的邏輯函數(shù)數(shù)中，包含全部變變量的乘積項稱為為最小項。n變量邏輯函數(shù)的全全部最小項共有2n個。ABC000001010011100101110111變量取值最小項m0m1m2m3m4m5m6m7編號

三變量函數(shù)的最小項2.7.2邏輯函數(shù)的最小項項表達式解：=m7+m6+m3+m1解：=m7+m6+m3+m5=∑m（3,5,6,7）任何一個邏輯函數(shù)數(shù)表達式都可以轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)換為一組最小項項之和，稱為最小項表達式。例：將函數(shù)轉(zhuǎn)換成最小項表達式。

例2：

將函數(shù)轉(zhuǎn)換成最小項表達式。2.7.3卡諾圖2.卡諾圖一個小方格代表一一個最小項，然后后將這些最小項按按照相鄰性排列起起來。即用小方格格幾何位置上的相相鄰性來表示最小小項邏輯上的相鄰鄰性。1．相鄰最小項如果兩個最小項中中只有一個變量互互為反變量，其余余變量均相同，則則稱這兩個最小項項為邏輯相鄰，簡簡稱相鄰項。如果兩個相鄰最小小項出現(xiàn)在同一個個邏輯函數(shù)中，可可以合并為一項，，同時消去互為反反變量的那個量。。如最小項ABC和就是相鄰最小項。如：3．卡諾圖的結(jié)構(gòu)（2）三變量卡諾圖（1）二變量卡諾圖

A

Bm0m1m3m2

AB

00

01

11

10m0m1m3m2m4m5m7m6

A

B

Cm0m1m3m2m4m5m7m6

BC

00

01

11

10

A

01（3）四變量卡諾圖卡諾圖具有很強的的相鄰性：（1）直觀相鄰性，只只要小方格在幾何何位置上相鄰（不不管上下左右），，它代表的最小項項在邏輯上一定是是相鄰的。（2）對邊相鄰性，即即與中心軸對稱的的左右兩邊和上下下兩邊的小方格也也具有相鄰性。m0m1m3m2m4m5m7m6m12m13m15m14m8m9m11m10

C

DAB

CD

00

01

11

10

AB

00

01

11

102.7.4用卡諾圖表示邏輯輯函數(shù)1．從真值表到卡諾諾圖例：已知某邏輯函數(shù)的的真值表，用卡諾諾圖表示該邏輯函函數(shù)。解：該函數(shù)為三變量，，先畫出三變量卡卡諾圖，然后根據(jù)據(jù)真值表將8個最小項L的取值0或者1填入卡諾圖中對應(yīng)應(yīng)的8個小方格中即可。。000001010011100101110111ABC00010111L真值表ABC0000111110

A

B

C111100002．從邏輯表達式到到卡諾圖（2）如不是最小項表表達式，應(yīng)先將其其先化成最小項表表達式，再填入卡卡諾圖。也可由“與——或”表達式直接填填入。（1）如果表達式為最最小項表達式，則則可直接填入卡諾圖。解：寫成簡化形式：解：直接填入：例：

用卡諾圖表示邏輯函數(shù):然后填入卡諾圖：：例：

用卡諾圖表示邏輯函數(shù)：

C

D

A

B

GF

BC

00

01

11

10

A

011111000011111100000000002.7.5邏輯函數(shù)的卡諾圖圖化簡法1．卡諾圖化簡邏輯輯函數(shù)的原理:（1）2個相鄰的最小項可可以合并，消去1個取值不同的變量量。（2）4個相鄰的最小項可可以合并，消去2個取值不同的變量量。

C

A

B

D1111111

C

A

B

D11111111（3）8個相鄰的最小項可可以合并，消去3個取值不同的變量量?？傊?，2n個相鄰的最小項可可以合并，消去n個取值不同的變量量。

C

A

B

D1111111111112．用卡諾圖合并最最小項的原則（畫畫圈的原則）（1）盡量畫大圈，但但每個圈內(nèi)只能含含有2n（n=0,1,2,3……）個相鄰項。要特別別注意對邊相鄰性性和四角相鄰性。。（2）圈的個數(shù)盡量少少。（3）卡諾圖中所有取取值為1的方格均要被圈過過，即不能漏下取取值為1的最小項。（4）在新畫的包圍圈圈中至少要含有1個末被圈過的1方格，否則該包圍圍圈是多余的。3．用卡諾圖化簡邏邏輯函數(shù)的步驟：：（1）畫出邏輯函數(shù)的的卡諾圖。（2）合并相鄰的最小小項，即根據(jù)前述述原則畫圈。（3）寫出化簡后的表表達式。每一個圈圈寫一個最簡與項項，規(guī)則是，取值值為l的變量用原變量表表示，取值為0的變量用反變量表表示，將這些變量量相與。然后將所所有與項進行邏輯輯加，即得最簡與—或表達式。例：化簡邏輯函數(shù)：L（A,B,C,D）=∑m（0,2,3,4,6,7,10,11,13,14,15）解：（1）由表達式畫出卡卡諾圖。（2）畫包圍圈，合合并最小項，，得得簡化化的與與—或表達式:

C

A

B

D1111111111100000解：（1）由表達式畫出卡卡諾圖。注意：圖中的綠色色圈

是多余的，，應(yīng)去掉。例：用卡諾圖化簡邏輯輯函數(shù)：（2）畫包圍圈合并最最小項，得簡化的與—或表達式:

C

A

B

D1111111100000000例：已知某邏輯函數(shù)的的真值表，用卡諾諾圖化簡該函數(shù)。。（2）畫包圍圈合并最最小項。有兩種畫圈的方法法：解：（1）由真值表畫出卡卡諾圖。由此可見，一個邏輯函數(shù)的真真值表是唯一的，，卡諾圖也是唯一一的，但化簡結(jié)果果有時不是唯一的的。（a）：寫出表達式：

（b）：寫出表達式：000001010011100101110111ABC01111110L真值表10110111

A

B

C

L10110111

A

B

C

L4．卡諾圖化簡邏輯輯函數(shù)的另一種方方法——圈0法例：已知邏輯函數(shù)的卡卡諾圖如圖示，分分別用“圈1法”和“圈0法”寫出其最簡與與—或式。（2）用圈0法，得：解：（1）用圈1法，得：對L取非得：

C

A

B

D1101111011111111

C

A

B

D11011110111111112.7.6具有無關(guān)項的邏輯輯函數(shù)的化簡1．無關(guān)項——在有些邏輯函數(shù)中中，輸入變量的某某些取值組合不會會出現(xiàn)，或者一旦旦出現(xiàn)，邏輯值可可以是任意的。這這樣的取值組合所所對應(yīng)的最小項稱稱為無關(guān)項、任意意項或約束項。例：在十字路口有紅綠綠黃三色交通信號號燈，規(guī)定紅燈亮亮停，綠燈亮行，，黃燈亮等一等，，試分析車行與三三色信號燈之間邏邏輯關(guān)系。解：設(shè)紅、綠、黃燈分分別用A、B、C表示，且燈亮為1，燈滅為0。車用L表示，車行L=1，車停L=0。列出該函數(shù)的真值值。顯而易見，在這個個函數(shù)中，有5個最小項為無關(guān)項項。帶有無關(guān)項的邏輯輯函數(shù)的最小項表表達式為：L=∑m（）+∑d（）如本例函數(shù)可寫成成L=∑m（2）+∑d（0,3,5,6,7）000001010011100101110111紅燈A綠燈B黃燈C×01×0×××

車L

真值表2．具有無關(guān)項的邏邏輯函數(shù)的化簡化簡具有無關(guān)項的的邏輯函數(shù)時，要要充分利用無關(guān)項項可以當(dāng)0也可以當(dāng)1的特點，盡量擴大大卡諾圈，使邏輯輯函數(shù)更簡。注意:在考慮無關(guān)項時，，哪些無關(guān)項當(dāng)作作1，哪些當(dāng)作0，要以盡量擴大卡卡諾圈、減少圈的的個數(shù)，使邏輯函函數(shù)更簡為原則。?？紤]無關(guān)項時，表達式為:

例：×××××010ABC0000111110

A

B

C×××××010ABC0000111110

A

B

C不考慮無關(guān)項時，表達式為：例：某邏輯函數(shù)輸入是是8421BCD碼，其邏輯表達式式為：L（A,B,C,D）=∑m（1,4,5,6,7,9）+∑d（10,11,12,13,14,15）用卡諾圖法化簡該該邏輯函數(shù)。解：