材料力學教學課件幻燈片二

返回總目錄第7章

應力狀態(tài)

提要：由于構(gòu)件在不同的材料，不同的受力情況下，其破壞情況均不相同，為了對構(gòu)件內(nèi)任一點的應力情況有一個全面的了解，本章主要研究構(gòu)件內(nèi)一點處不同方位截面上的應力變化規(guī)律——應力狀態(tài)問題。7.1應力狀態(tài)的概念一.點的應力狀態(tài)(stateofstressesatagivenpoint)在前面幾章中，在計算桿件內(nèi)的應力時，一般都是取桿的橫截面來研究的。并分析了桿件在各種基本變形時的應力分布規(guī)律，由此建立了強度條件但是，不同的材料，在不同的受力情況下，其破壞面并不都是發(fā)生在橫截面上。例如，鑄鐵在軸向拉伸時其破壞面發(fā)生在橫截面上，但在軸向壓縮時，卻是沿著大約的斜截面破壞(圖7.1(a)，(b))。又例如，當?shù)吞间撛谂まD(zhuǎn)受力時，破壞面發(fā)生在橫截面上，如果是鑄鐵受扭，破壞面卻發(fā)生在約的螺旋面上(圖7.2(a)，(b))。

(a)(b)圖7.1鑄鐵受拉壓時的破壞情況(a)鑄鐵拉伸破壞；(b)鑄鐵壓縮破壞(a)(b)圖7.2低碳鋼和鑄鐵受扭破壞情況低碳鋼受扭破壞；(b)鑄鐵受扭破壞7.1應力狀態(tài)的概念如果桿件受到幾種基本變形的組合作用，破壞面也不都是發(fā)生在橫截面上。產(chǎn)生這些情況的原因說明了斜截面上的應力可能大于橫截面上的應力，因此有必要對桿件內(nèi)某一點應力情況有個全面的了解。一般來說，受力桿件內(nèi)某點處不同方位截面上的應力的集合，稱為該點的應力狀態(tài)(stateofstressatapoint)。本章主要研究一點處的應力狀態(tài)。為了研究受力桿件內(nèi)某點的應力狀態(tài)，通常圍繞該點取出一個無限小的正六面體——單元體(element)來研究。由于單元體的邊長無限小，所以認為單元體各面上的應力是均勻分布的，且對應兩平行平面上的應力是相等的。7.1應力狀態(tài)的概念于是6個面上的應力只要知道3個面上的應力就可以了。如圖7.3(a)，取桿件內(nèi)的A點作為單元體，其橫截面上的正應力可由來確定，切應力可由來確定。根據(jù)切應力互等定理，(theoremofconjugateshearingstress)可同時確定上下兩面的應力(圖7.3(b))。一般來說，單元體各面的法線與給定的坐標軸平行，則該面上的應力、寫成、。7.1應力狀態(tài)的概念(a)(b)圖7.3梁內(nèi)A點的應力狀態(tài)(a)受集中力的簡支梁；(b)梁內(nèi)A點單元體應力狀態(tài)7.1應力狀態(tài)的概念二.主平面和主應力的概念單元體上切應力為0的面稱為主平面(principalplane)，主平面上的正應力稱為主應力(principalstress)(圖7.4(a))。根據(jù)切應力互等定理，當單元體上某個面切應力為0時，與之垂直的另兩個面的切應力也同時為0，即三個主平面是相互垂直的。由此，對應的三個主應力也是相互垂直的。主應力通常用、、表示，按其代數(shù)值的大小排列。最大值為，最小值為。如某點的三個主應力分別為，則三個主應力的排列為：。當其中一個主應力為0時，該主應力也參加排列。如某點的三個主應力為：，則，，。7.1應力狀態(tài)的概念(a)(b)(c)(d)

圖7.4單元體上的主應力7.1應力狀態(tài)的概念根據(jù)一點的應力狀態(tài)主應力不為0的數(shù)目，將應力狀態(tài)分為三類：單向應力狀態(tài)(onedimensionalstateofstresses)，一個主應力不為0(圖7.4(b))；(2)二向應力狀態(tài)(planestateofstress)，二個主應力不為0(圖7.4(c))；(3)三向應力狀態(tài)(three-dimensionalstateofstress)，三個主應力不為0(圖7.4(d))。三向應力狀態(tài)又稱空間應力狀態(tài)，二向應力狀態(tài)又稱平面應力狀態(tài)，單向應力狀態(tài)又稱簡單應力狀態(tài)，本章主要研究平面應力狀態(tài)。7.1應力狀態(tài)的概念7.2平面應力力狀態(tài)分分析——解析法一.任意斜截截面上的的應力若單元體體有一對對平行平平面上的的應力為為0，即為平平面應力力狀態(tài)(圖7.5(a))，由于z方向無應應力，可可將單元元體改成成為圖7.5(b)的形式，，在x、y面上存在在、、，，且。下下面根據(jù)據(jù)單元體體各面上上已知應應力來確確定任一一斜截面面上的未未知應力力，從而而找出在在該點處處的最大大應力及及其方位位。設任一斜斜面的外外法線n與x軸的夾角角為(角以逆時時針轉(zhuǎn)向向為正)，該斜面面稱為為面面(圖7.5(c))，在面上上的應力力分別用用表示示，取出出面面一下下部分為為隔離體體分析(圖7.5(d))，設以以正向假假定，斜斜面面積積為，，現(xiàn)現(xiàn)分別對對斜面的的法線n和切線t取平衡方方程：因為，，(方向已確確定，所所以沒有有“－””號)整理上式式，得：：7.2平面應力力狀態(tài)分分析——解析法(7.1)(7.2)上式即為為平面應應力狀態(tài)態(tài)下任一一斜斜面面上的的計算算公式。。取另一斜斜面，面面與面面垂直()，由上式可得得面的的應力7.2平面應力狀態(tài)態(tài)分析——解析法將和相相加，，得：由此可知，任任意兩相互垂垂直面上的正正應力之和保保持不變。二.主平面和主應應力的確定7.2平面應力狀態(tài)態(tài)分析——解析法主平面切應力為0的平面即為主主平面，在式式(7.2)中，當時時，，對應的，，則面即即為主平面的的方位。特別要注意的的是，是最大大主應力與較較大值的的夾角。(7.3)2.主應力對應面上的正正應力即為主主應力，因為為主應力是相相互垂直的，，根據(jù)任意兩兩相互垂直面面上的正應力力之和保持不不變的原則可可知，主應力力就是單元體體上的正應力力極值，它們們將分別達到到極大值和極極小值。將換換算成，以及和和分分別別代入式(7.1)中，可得：(7.4)7.2平面應力狀態(tài)態(tài)分析——解析法上式為主應力力計算公式，，由此可以得得到該點處的的最大正應力力。三.最大切應力因為任意截面面的也是是變量量的函數(shù)，為為了求出最大大切應力，根根據(jù)式(7.2)，將其對求求一階導導數(shù)7.2平面應力狀態(tài)態(tài)分析——解析法當時時，使，，則所所在截面面即為切應力力的極值，將將代入入上式(7.5)利用，，上式可以以求解出兩個個角度，這兩兩個角度相差差90°。又因為，，所所以90°，即45°，說明最大切應力與主平平面夾角45°。將式(7.5)中解出，，代入式式(7.2)，求得切應力力的最大值和和最小值7.2平面應力狀態(tài)態(tài)分析——解析法(7.6)【例7.1】試計算圖7.6所示單元體上上指定截面的的應力，已知知，，，，，計算算并求出主應應力及其方向向。分析：因為已已知單元體上上x面和y面上的應力，，且斜面的法法線n與x軸的夾角30°，可以由式(7.1)和(7.2)計算出α面的正應力和和切應力；再再由式(7.4)求出主應力。。解：(1)先將，，，，和30°代入式(7.1)和(7.2)，得圖7.6例7.1圖7.2平面應應力狀狀態(tài)分分析——解析法法(2)主平面面與主主應力力。確定主主平面面方位位，根根據(jù)式式(7.3)，將單單元體體已知知應力力代入入，得得：得，，即即為最最大主主應力力與與x軸的夾夾角。。7.2平面應應力狀狀態(tài)分分析——解析法法主應力力為：：于是可可知：：7.2平面應應力狀狀態(tài)分分析——解析法法【例7.2】一受力桿件中某點點的單元體如圖7.7所示，已知：試求：60°斜面上的應力；30°斜面上的應力；最大切應力。7.2平面應力狀態(tài)分析析——解析法(a)(b)(c)(d)圖7.7例7.2圖分析：該單元體上上只有正應力沒有有切應力，利用式式(7.1)、(7.2)和(7.6)時，只要將tx=0代入即可。解：(1)求60°斜面上的應力，，可設設，由式(7.1)和(7.2)，可得：7.2平面應力狀態(tài)分析析——解析法(2)求30°。斜面的應力，同同樣采用式(7.1)和(7.2)，可得：(3)最大切應力，由式式(7.6)，可得：7.2平面應力狀態(tài)分析析——解析法最大切應力所在平平面，，45°，即45°角。在45°面上的正應力為：：【例7.3】一鑄鐵材料的圓軸軸(圖7.8(a))，試分析扭轉(zhuǎn)時邊邊緣上點A的應力情況。圖7.8例7.3圖7.2平面應力狀態(tài)分析析——解析法解：由式(7.4)可得：分析：圓軸受扭時時，橫截面邊緣處處切應力最大，其其值為：取邊緣上的點A分析(圖7.8(b))，因為單元體各面面上正應力為0，故該單元體屬于純切切應力狀態(tài)，代入入式(7.4)可求出邊緣上點A的主應力。7.2平面應力狀態(tài)分析析——解析法主應力方向：7.2平面應力狀態(tài)分析析——解析法上述結(jié)果表明，在在桿軸向±45°方向，主應力分別別達到最大和最小小，一為拉應力，，一為壓應力。圓圓軸在受扭時，表表面各點在在主平面內(nèi)加連連成傾角45°的螺旋面(圖7.2(b))。由于鑄鐵抗拉強強度低于抗壓強度度，桿件將沿這一一螺旋面因拉伸而而發(fā)生斷裂破壞。。解得：在上節(jié)對平面應力力狀態(tài)分析的解析析法中，已知單元元體的，可由解析法計算算出任一斜面上的的應力，，下面將用用圖解的方式來描描述單元體上的應應力情況。現(xiàn)將式(7.1)和(7.2)消去，將(a)改寫為7.3平面應力狀態(tài)分析析——圖解法(a)將上兩式等號兩邊邊平方，再相加，，得：因為是是已知量量，所以式(b)是一個以為為水平坐標、為為縱坐標、圓心在()點、半半徑為為的的圓圓，稱稱這個個由所所構(gòu)構(gòu)成的的圓為為應力圓圓(stresscircle)，該應應力最最早由由德國國工程程師莫莫爾(OttoMohr,1835——1918)引入，，故又又稱為為莫爾爾應力力圓(Mohrcircleforstresses)7.3平面應應力狀狀態(tài)分分析——圖解法法下面根據(jù)單單元體上已已知應力(圖7.9(a))作出相應的的應力圓(圖7.9(b))。(a)(b)圖7.9根據(jù)單元體體作出的應應力圓(a)單元體應力力分布；(b)單元體應力力圓7.3平面應力狀狀態(tài)分析——圖解法在～～直直角坐標系系內(nèi)，選取取適當比例例，量取，，，，，得D2點，連接D1D2兩點，D1D2與軸相交于于點C，以C為圓心，CD1為半徑作圓圓，即為單單元體所對應的應力力圓。顯然然，圓心C的坐標為，，半徑為為或CD2，且。因為點點D1的坐標即代代表單元體體x面上的應力力，若要求求單元體上上某一面上上的的應力和和，，只只要從應力力圓的半徑徑按按2同向轉(zhuǎn)動，，得到半經(jīng)經(jīng)，，點E的坐標即即為所所求?，F(xiàn)證證明如下：：E點的坐標7.3平面應力狀狀態(tài)分析——圖解法于是，同理，7.3平面應力狀狀態(tài)分析——圖解法在單元體上上從x面的法線順順時針轉(zhuǎn)即即為主平平面方位。。也可以在應應力圓上過過D1點作軸的平平行線交圓圓周與E2點，連E2A1線，在單元元體上作E2A1的平行線，，即為主平平面的方位位。因為圓圓弧D1A1對應的圓周周角是同弧弧對應的圓圓心角的一一半。只要要x面的法線與與水平坐標標軸平行即即可以很容容易確定主主平面的方方位。二.主切應力及及方位單元體上最最大切應力力(maximumshearingstress)可由解析法法中式(7.6)求出，在應應力圓上，，主切應力力在應力圓圓的最高點點Do和最低點Do′(圖7.10)，該兩點的的縱坐標即即為兩個主主切應力的的值。7.3平面應力狀狀態(tài)分析——圖解法由應力圓可可見，DoA1圓弧所對應應的圓心角角為90°，從A1到Do逆時針轉(zhuǎn)向向，在單元元體上從主主應力逆時時針轉(zhuǎn)45°得到正號主主切應力平平面，順時時針轉(zhuǎn)可得得負號主切切應力平面面。因此，，主切應力力與主應力力夾45°角?！纠?.4】一平面應力力狀態(tài)如圖圖7.11(a)所示，已知知：用圖解法試試求：(1)在截截面上的應應力。(2)主應力，并并在單元體體上繪出主主平面位置置及主應力力方向。(3)主切應力，，并在單元元體上繪出出主切應力力作用平面面。7.3平面應力狀狀態(tài)分析——圖解法(a)(b)(c)圖7.11例7.4圖7.3平面應力狀狀態(tài)分析——圖解法分析：因為為已知單元元體上x面和y面上的應力力，根據(jù)該該兩面上的的應力先作作出應力圓圓，由斜面面的法線n與x軸的夾角，，過過應力圓上上的的半徑逆逆時針轉(zhuǎn)，，交圓圓周點E，E的坐標即為為所求。應應力圓在軸軸上的交點點A1,A2即為主應力力，應力圓圓在縱縱坐標標的最高點點即為。再根據(jù)D1和A1所夾圓心角角和和和和A1的夾角，可可確定和和的方向。解：首先在在(圖7.11(b))坐標內(nèi)按比比例確定D1(50,20)H和D2(0,-20)兩點，連D1和D2,交軸于C點，以C為圓心，為為半半徑作圓，，此為所求求應力圓。。7.3平面應力狀狀態(tài)分析——圖解法(1)求面面的的應力。在在應力圓上上，由的的半半徑逆時針針轉(zhuǎn)120°交圓周于E點，量取E的坐標值，，，，此為面上上的應力。。(2)求主應力。。在應力圓圓上，圓周周與軸的交交點是A1,和A2，該兩點的的橫坐標就就是單元體體的兩個主主應力，量量取其大小小，得：因為從D1到A1,的圓弧對應應的圓心角角為：7.3平面應力狀狀態(tài)分析——圖解法在單元體上上順時針轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)即可得主主平面方向向。也可以以作圖得出出，過D1作軸的平行行線交應力力圓圓周的的點D1′，連D1′A1，因為與與軸的的夾角即為，，在單元元體上作的的平行線線，即為的的方向。(3)求主切應力。主切應力所對應應的位置在應力力圓上的Do和Do′點，量取其大小小因為Do與A2夾90°角，即與與夾45°角，又因為Do與D1的夾角為：可在單元體中由由x面逆時針轉(zhuǎn)得得到的的平面，，負號主切應力面面垂直(圖7.11(c))。7.3平面應力狀態(tài)分分析——圖解法分析：因為單元體上各各方向的應力都都在應力圓的圓圓周上，面面和y面的應力也在圓圓周上。因此，，在坐坐標上，，按比例確定面面對應的的點D1(25,10)和y面對應的點D2(5,－5)。連D1D2，作D1D2的垂直平分線，，交軸于C，以C為圓心，為為半徑作圓，，即為該單元體體對應的的應力圓(圖7.13(a))【例7.5】已知單元體(圖7.12)中面和y面上的應力，。。試試求：(1)單元體上的主應應力及其方向。。(2)單元體上x面上的應力。。7.3平面應力狀態(tài)分分析——圖解法解：(1)量取,得，，量取,得。。再量取D1A1對應的圓心角，，在單元體上上的面順時針轉(zhuǎn)30°得主應力力所在在平平面。量量取D1A2對應的圓圓心角，在單元元體上上的的y面逆時針針轉(zhuǎn)30°得主應力力所所在平平面(圖7.13(b))。因為面與與x面夾角60°，過半半徑，量量取，，交交圓周于E(圖7.13(c))，E點的坐標標即為x面的應力力，量取取E的坐標值值，。此題也可可以由解解析法求求出主應應力，請請讀者自自行練習習。7.3平面應力力狀態(tài)分分析——圖解法圖7.13例7.5圖解法7.3平面應力力狀態(tài)分分析——圖解法7.4梁的主應應力與主主應力跡跡線梁在橫力力彎曲時時，除橫橫截面上上下邊緣緣各點處處于單向向應力狀狀態(tài)外，，其余各各點均產(chǎn)產(chǎn)生正應應力和切切應力，，由于橫橫截面上上無擠壓壓，故，，且橫截面正正應力力，，切切應力力，，梁內(nèi)內(nèi)任一一點的的主應應力計計算式式：一.梁的主主應力力不論是是拉還還是壓壓，主主應力力只有有和和，，，，且且一為為主拉拉應力力，一一為主主壓應應力。。(7.7)二.主應力力跡線線取梁內(nèi)內(nèi)任一一截面面m-m，沿高高度選選取1、2、3、4、5個點(圖7.14)，根據(jù)據(jù)各點點的正正應力力和切切應力力，利利用應應力圓圓來確確定這這些點點處主主應力力的數(shù)數(shù)值與與主平平面位位置。。在m-m截面處處，1、5兩點處處于單單向應應力狀狀態(tài)，，3點處于于純切切應力力狀態(tài)態(tài)，2、4點處于于雙向向應力力狀態(tài)態(tài)。從從這些些點的的單元元體和和應力力圓上上可以以看出出，主主應力力方向向沿梁梁的高高度是是連續(xù)續(xù)變化化的。。梁內(nèi)主主應力力方向向的變變化規(guī)規(guī)律就就是主主應力力跡線線，主主應力力跡線線是一一條曲曲線，，也就就是該該曲線線的切切線與與該點點主應應力方方向一一致。。7.4梁的主主應力力與主主應力力跡線線圖7.14梁內(nèi)m-m截面各點主應力力方向7.4梁的主應力與主主應力跡線在梁上取等距離離的若干截面1、2、3…(圖7.15(a))，在a點求得該點的主主應力，，并延長到2截面交于b點，再求b點主應力方向，，并延長交于3截面c點，以此類推，，可得a、b、c…的折線，這就是是主應力的軌跡跡線。相鄰截面面越近，跡線也也越真實。同樣樣可得出主應力力的跡線(圖7.15(b))，實線代表，，虛線代代表。。梁的主應力跡跡線在中性層的的交角都是45°，在梁的上下邊邊緣，主應力與與梁軸線平行或或垂直，兩主應應力跡線在交點點處的切線是垂垂直的。7.4梁的主應力與主主應力跡線圖7.15主應力跡線(a)主應力軌跡線；；(b)主應力、、跡線線知道了梁的主應應力方向的變化化規(guī)律，在工程程設計中是很有有用的。如在鋼鋼筋混凝土梁中中，按照主應力力的跡線可判斷斷裂縫發(fā)生的方方向，適當?shù)呐渑渲娩摻?，以承承擔梁?nèi)各點的的最大拉應力。。7.4梁的主應力與主主應力跡線7.5三向應力狀態(tài)當單元體上三個個主應力均不為為0時，就稱為三向向應力狀態(tài)。如如低碳鋼在拉伸伸時，斷口處的的應力狀態(tài)就是是三向應力狀態(tài)態(tài)(圖7.16(a))。用與拉桿的橫橫截面和縱截面面平行的截面取取一單元體(圖7.16(b))，因為這三個相相互垂直的平面面都是主平面，，拉伸時三個主主應力都是拉應應力的三向應力力狀態(tài)。下面利利用應力圓來確確定該點處的最最大正應力和最最大切應力。圖7.16低碳鋼拉伸斷口口處的應力先研究究一個個與主主應力力平平行行的斜斜截面面上的的應力力情況況(圖7.17(a))，因為與與該截截面平平行，，所以以該斜斜截面面上的的應力力、、與與無無關，只只由主主應力力和和決決定。。于是是，可可由和和所所作作的應應力圓上的的點來來表示示。該該圓的的最大大最小小正應應力分分別是是和和。。同理理，在平行行于和和的的斜斜截面面上的的，，也也可可以分分別由由(，)，(,)所作的應力圓圓來表示(圖7.17(b))。當與三個主主應力都不平平行的任意斜斜截面(圖7.17(c))上的應力、、(a，b，c截面)必處在三個應應力圓所圍成成的陰影范圍圍之內(nèi)的某D點。由于D點的確定較為為復雜且不常常用，這里不不再作進一步步的介紹。7.5三向應力狀態(tài)態(tài)(a)(b)(c)圖7.17三向應力狀態(tài)態(tài)與主應力平行行的斜截面應應力情況；(b)應力圓；(c)與三個主應力力均不平行的的斜截面應力力狀態(tài)7.5三向應力狀態(tài)態(tài)根據(jù)以上分析析，在三向應應力圓中，和和所所作的的應力圓是三三個應力圓中中最大的應力力圓，又稱極限應力圓。是該該點的最大正正應力，而是是該該點的最小正正應力。單元元體中任意斜斜截面的應力力一定在和之之間。而最大切應力力則等于最大大應力圓上B點的坐標，即即該應力圓的的半徑為：(7.8)且所所在平面與的的方向平平行，與和和的的主平面交45°角。7.5三向應力狀態(tài)態(tài)【例7.6】一空間應力狀狀態(tài)單元體如如圖7.18(a)所示，已知，試求該單元體體的正應力和和最大切應力力。圖7.18例7.6圖7.5三向應力狀態(tài)態(tài)分析：這是是三向應力力狀態(tài)，已已知所所在平平面是主平平面，即是是一個主應應力。因此此，只要根根據(jù)X、Y面上的應力力、、、、作作出應力力圓，即可可求出其余余兩個主應應力(圖7.18(b))。解：由圖解解法(圖7.18(b))可得：可見最小正正應力為：：最大切應力力為和和所所組組成的應力力圓的最高高點B7.5三向應力狀狀態(tài)7.6廣義胡克定定律四.材料在壓縮縮時的力學學性能一般細長桿桿件壓縮時時容易產(chǎn)生生失穩(wěn)現(xiàn)象象，因此材材料的壓縮縮試件一般般做成短而而粗。金屬屬材料的壓壓縮試件為為圓柱，混混凝土、石石料等試件件為立方體體。圖2.20低碳鋼壓縮縮時的曲線線圖低碳鋼壓縮縮時的應力力―應變曲線如如圖2.20所示。為了了便于比較較，圖中還還畫出了拉拉伸時的應應力―應變曲線，，用虛線表表示?？梢砸钥闯?，在在屈服以前前兩條曲線線基本重合合，這表明明低碳鋼壓壓縮時的彈彈性模量E、屈服極限限等等都與拉拉伸時基本本相同。不同的是，，隨著外力力的增大，，試件被越越壓越扁卻卻并不斷裂裂，如圖2.21所示。由于于無法測出出壓縮時的的強度極限限，所以對對低碳鋼一一般不做壓壓縮實驗，，主要力學學性能可由由拉伸實驗驗確定。類類似情況在在一般的塑塑性金屬材材料中也存存在，但有有的塑性材材料，如鉻鉻鉬硅合金金鋼，在拉拉伸和壓縮縮時的屈服服極限并不不相同，因因此對這些些材料還要要做壓縮試試驗，以測測定其壓縮縮屈服極限限。圖2.21低碳鋼壓縮縮時的變形形示意圖7.6廣義胡克定定律脆性材料拉拉伸時的力力學性能與與壓縮時有有較大區(qū)別別。例如鑄鑄鐵，其壓壓縮和拉伸伸時的應力力―應變曲線分分別如圖2.22中的實線和和虛線所示示。由圖可可見，鑄鐵鐵壓縮時的的強度極限限比拉伸時時大得多，，約為拉伸伸時強度極極限的3～4倍。鑄鐵壓壓縮時沿與與軸線約成成45°的斜面斷裂，，如圖2.23所示，說明是是切應力達到到極限值而破破壞。拉伸破破壞時是沿橫橫截面斷裂，，說明是拉應應力達到極限限值而破壞。。其他脆性材材料，如混凝凝土和石料，，也具有上述述特點，抗壓壓強度也遠高高于抗拉強度度。因此，對對于脆性材料料，適宜做承承壓構(gòu)件。7.6廣義胡克定律律綜上所述，塑塑性材料與脆脆性材料的力力學性能有以以下區(qū)別：塑性材料在斷斷裂前有很大大的塑性變形形，而脆性材材料直至斷裂裂，變形卻很很小，這是二二者基本的區(qū)區(qū)別。因此，，在工程中，，對需經(jīng)鍛壓壓、冷加工的的構(gòu)件或承受受沖擊荷載的的構(gòu)件，宜采采用塑性材料料。(2)塑性材料抵抗抗拉壓的強度度基本相同，，它既可以用用于制作受拉拉構(gòu)件，也可可以用于制作作受壓構(gòu)件。。在土木工程程中，出于經(jīng)經(jīng)濟性的考慮慮，常使用塑塑性材料制作作受拉構(gòu)件。。而脆性材料料抗壓強度遠遠高于其抗拉拉強度，因此此使用脆性材材料制作受壓壓構(gòu)件，例如如建筑物的基基礎等。但是材料是塑塑性還是脆性性是可以隨著著條件變化的的，例如有些些塑性材料在在低溫下會變變得硬脆，有有些塑性材料料會隨著時間間的增加變脆脆。溫度、應應力狀態(tài)、應應變速率等都都會使其發(fā)生生變化。7.6廣義胡克定律律前面已經(jīng)討論論了軸向拉伸伸或壓縮時，，桿件的應力力計算和材料料的力學性能能，因此可進進一步討論桿桿的強度計算算問題。一.許用應力由材料的拉伸伸或壓縮試驗驗可知：脆性性材料的應力力達到強度極極限時，，會發(fā)生斷裂裂；塑性材料料的應力達到到屈服極限(或)時，會發(fā)生顯顯著的塑性變變形。斷裂當當然是不容許許的，但是構(gòu)構(gòu)件發(fā)生較大大的變形一般般也是不容許許的，因此，，斷裂是破壞壞的形式，屈屈服或出現(xiàn)較較大變形也是是破壞的一種種形式。材料料破壞時的應應力稱為極限應力(ultimatestress)，用表表示。塑性材材料通常以屈屈服應力作作為極極限應力，脆脆性材料以強強度極限作作為極極限應力。7.6廣義胡克定律律根據(jù)分析計算算所得構(gòu)件的的應力稱為工工作應力(workingstress)。為了保證構(gòu)構(gòu)件有足夠的的強度，要求求構(gòu)件的工作作應力必須小小于材料的極極限應力。由由于分析計算算時采取了一一些簡化措施施，作用在構(gòu)構(gòu)件上的外力力估計不一定定準確，而且且實際材料的的性質(zhì)與標準準試樣可能存存在差異等因因素可能使構(gòu)構(gòu)件的實際工工作條件偏于于不安全，因因此，為了有有一定的強度度儲備，在強強度計算中，，引進一個安全系數(shù)(factorofsafety)，設定了構(gòu)件件工作時的最最大容許值，，即許用應力(allowablestress)，用[]表示(2.14)式中是一個大大于1的系數(shù)，因此此許用應力低低于極限應力力。7.6廣義胡克定律律確定安全系數(shù)數(shù)時，應考慮慮材質(zhì)的均勻勻性、構(gòu)件的的重要性、工工作條件及載載荷估計的準準確性等。在在建筑結(jié)構(gòu)設設計中傾向于于根據(jù)構(gòu)件材材料和具體工工作條件，并并結(jié)合過去制制造同類構(gòu)件件的實踐經(jīng)驗驗和當前的技技術(shù)水平，規(guī)規(guī)定不同的安安全系數(shù)。對于各種材料料在不同工作作條件下的安安全系數(shù)和許許用應力，設設計手冊或規(guī)規(guī)范中有具體體規(guī)定。一般般在常溫、靜靜載下，對塑塑性材料取n＝1.5～2.2，對脆性材材料一般取取n=3.0～5.0甚至更大。。7.6廣義胡克定定律一.強力條件為了保證構(gòu)構(gòu)件在工作作時不至于于因強度不不夠而破壞壞，要求構(gòu)構(gòu)件的最大大工作應力力不超過材材料的許用用應力，于于是得到強度條件(strengthcondition)為≤(2.15)對于軸向拉拉伸和壓縮縮的等直桿桿，強度條條件可以表表示為(2.16)≤式中，為為桿桿件橫截面面上的最大大正應力；；為為桿件的的最大軸力力，A為橫截面面面積；為為材料料的許用應應力。7.6廣義胡克定定律在研究單向向拉伸與壓壓縮時，已已經(jīng)知道了了當正應力力未超過比比例極限時時，正應力力與線應變變成線性關關系。橫向線應變變根據(jù)材料料的泊松比比可得出：：7.6廣義胡克定定律本節(jié)將研究究在復雜應應力狀態(tài)下下，應力與與應變之間間的關系——廣義胡克定定律。當受力桿桿件內(nèi)一一點A處的三個個主應力力、、、、均均在比比例極限限以內(nèi)時時，利用用疊加原原理，可可以認為為三向應應力狀態(tài)態(tài)單元體體是由三三個單向向應力狀狀態(tài)單元元體疊加加而成的的(圖7.19(a))。(a)(b)(c)(d)圖7.19三向應力力狀態(tài)的的疊加(a)三向應力力狀態(tài)；；(b)單獨作用用；(c)單獨作用用；(d)單獨作用用7.6廣義胡克克定律在正應力力單單獨獨作用時時(圖7.19(b))，單元體體在方方向的線線應變，，在在主應力力和和單單獨作作用時(圖7.19(c)、(d))，單元體在方向向的線應應變分別別為：在、、、、共共同同作用下下，單元元體在方方向向的線應應變?yōu)椋海?.6廣義胡克克定律這就是三三向應力力狀態(tài)時時的廣義胡克克定律(generalizedHook’slaw)，分別與主主應力的的方向向一致，，稱為一一點處的的主應變。三三個主應應變按代代數(shù)值的的大小排排列，，，其中中，分別是該該點處沿沿各方向向線應變變的最大大值和最最小值。。(7.9)7.6廣義胡克克定律一般情況況下，在在受力桿桿件內(nèi)某某點處的的單元體體，各面面上既有有正應力力也有切切應力。。由彈性性理論可可以證明明，對于于各向同同性材料料，在線線彈性范范圍內(nèi)，，處于小小變形時時，一點點處的線線應變只只與該點點的正應應力有關關，而切切應變只只與與該點的的切應力力有有關。。因此，，求線應應變時，，可不考考慮切應應力的影影響，求求切應變變時不考考慮正應應力的影影響。于于是只要要將圖7.19中的換換成成，，即可得得到單元元體沿方方向的的線應變變：(7.10)7.6廣義胡克克定律在平面應應力狀態(tài)態(tài)時，即即當時時，上式式成為：：(7.11)(7.12)7.6廣義胡克克定律在平面應應變狀態(tài)態(tài)時，即即時時，。。由上式可可以看出出，在平平面應力力狀態(tài)下下，；；在平平面應變變狀下，，，這是值值得注意意的。同理，切切應變也也可由切切應力得得出：(7.12)7.6廣義胡克克定律【例7.7】】如圖7.20所示鋼梁梁，在梁梁的A點處測得得線應變變,試求：A點處沿X、Y方向的正正應力和和Z方向的線線應變。。已知彈性性模量，，泊松松比。。圖7.20例7.7圖7.6廣義胡克克定律分析：因為A點的單元體上上，，該該單元體處于于平面應力狀狀態(tài)，將代入式(7.11)中，即為所求求。解：解得7.6廣義胡克定律律再由7.6廣義胡克定律7.7三向應力狀態(tài)下的的變形能一.體積應變當單元體處在復雜雜應力狀態(tài)時，其其體積也將發(fā)生變變化。設單元體各各邊長分別為，，變形前單元體體的體積為變形后單元體的體體積變?yōu)槁匀ザA以上微量量，得故單元體單位體積積的改變或體積應變(volumetricstrain)為將式(7.9)中的三個主應變變代入上式，得得(7.14)(7.15)7.7三向應力狀態(tài)下下的變形能上式表明，任意意一點處的體積積應變?nèi)∪Q于三個主應應力之和，而不不取決于它們之之間的大小比例例。對于純剪切的平平面應力狀態(tài)，，因為，，由由式(7.14)可知，其體積應應變。。對于一一般形式的空間間應力狀態(tài)，切切應力對體積應應變無影響，體體積應變只與正正應力有關，于于是：(7.16)當單元體各面上上的三個主應力力相等時，，，則式式(7.15)變?yōu)椋海?.7三向應應力狀狀態(tài)下下的變變形能能式中，，稱為體積變變形系系數(shù)。若將圖圖7.21(a)所示單單元體體分解解為圖圖7.21(b)和圖7.21(c)兩種應應力情情況的的疊加加，則則在圖圖7.21(b)中，單單元體體各面面上作作用著著數(shù)值值相等等的主主應力力，該單單元體體各邊邊長按按同比比例伸伸長或或縮短短，所所以單單元體體只發(fā)生體體積改改變而而不發(fā)發(fā)生形形狀改改變。。(7.17)7.7三向應應力狀狀態(tài)下下的變變形能能圖7.21單元體體變形形包括括體積積改變變和形形狀改改變7.7三向應應力狀狀態(tài)下下的變變形能能在圖7.21(c)中，三三個主主應力力分別別為這三個個主應應力之之和為為即，，該該單元元體只只發(fā)生生形狀狀改變變而不不發(fā)生生體積積改變變。由由此可可知，，圖7.21(a)中所示示的單單元體體的變變形將將同時時包括括體積積改變變和形形狀改改變。。7.7三向應應力狀狀態(tài)下下的變變形能能二.三向應應力狀狀態(tài)下下的彈彈性變變形比比能在對各各種基基本變變形桿桿件變變形能能分析析時，，變形形比能能就是是單位位體積積內(nèi)儲儲存的的變形形能，，在單單向應應力狀狀態(tài)下下：對于圖7.21(a)所示的三向應力狀狀態(tài)下的單元體，，其變形比能為7.7三向應力狀態(tài)下的的變形能將式(7.9)代入上式，可寫成成：這就是由主應力計計算桿件在單位體體積內(nèi)的彈性變形形比能公式。因為單元體的變形形可分為體積改變變和形狀改變，所所以變形比能也可可以看成由體積改改變比能和形狀改改變比能這兩部分分的組合。(7.1