新人教版九年下期數(shù)學(xué)教材之二次函數(shù)

第二十六章二次函數(shù)

□26.1二次函數(shù)

□26.2用函數(shù)觀點(diǎn)看一元二

：次方程

□26.3實(shí)際問題與二次函數(shù)

M我們知道.品數(shù)是貽述變化的一

什歌學(xué)工具.用一次雨數(shù)與反比例的

數(shù)可以4示某些問我中殳量之間的關(guān)

系.畀解決一些實(shí)陸問題.我01再來

會另一些問題中叟量之間的關(guān)系.

如果改變正方體的控長小那么

正方體的A面機(jī)y會版之改變,),與x

之同有什么關(guān)系？

物體自由下落過根中.下落的距

禹、隨下落時(shí)間，的叟化而更化，$與

r之間布?什么關(guān)系？

再看*前出,從嗜頭飛出的水

球,在空中走過一條曲線后落到草地

上.在這條曲線的各個(gè)位式上,水域

的堅(jiān)應(yīng)高度/，與它距高噴頭的水平距

禺K之間有什么關(guān)系？

上面問題中變量之間的美系可以

用邙一種函數(shù)來A示？這種函數(shù)有哪

些性修？它的圉*是什么樣的？它與

以的學(xué)習(xí)的畫致,才楣等有哪些聯(lián)

系？

通過學(xué)習(xí)本章,你不僅能回5?上

述何我.并且能體會如何用這種的數(shù)

分析和解決某些實(shí)瓊問題，從而進(jìn)一

步提高對函教的認(rèn)識和運(yùn)用能力.

e

6.1二次函數(shù)

我們看引言中正方體的表面積的問題.

正方體的六個(gè)面是全等的正方形（圖26.1-D.設(shè)

正方體的校長為工?表面積為W顯然對于#的每一個(gè)

值.y都有一個(gè)對應(yīng)值,即y是工的函數(shù),它們的具

體關(guān)系可以表示為

y=6R

K2S.11

我們再來看幾個(gè)問題.

I多邊形的對角線數(shù)［與邊數(shù)”有什么

由圖26.1-2可以想出,如果多邊形有”條邊.那

么它有一個(gè)頂點(diǎn).從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā),連接與這點(diǎn)不

相鄰的各頂點(diǎn).可以作條對角線.

因?yàn)橄窬€段MN與NM那樣,連接相同兩頂點(diǎn)

的對角線是同一條對角線.所以多邊形的對角線

總數(shù)

J="yn(n—3).

②式表示了多邊形的對角統(tǒng)數(shù)d與邊數(shù)”之間的

關(guān)系，對于"的每一個(gè)值.X都有一個(gè)對應(yīng)值,即d

是n的函數(shù).

某工廠一種產(chǎn)品現(xiàn)在的年產(chǎn)量是20件.

計(jì)劃今后兩年增加產(chǎn)量.如果每年都比上一年的產(chǎn)房

增加1倍,那么兩年后這種產(chǎn)品的產(chǎn)量,將隨計(jì)劃所

定的工的值而確定,y與X之間的關(guān)系應(yīng)怎樣表示？

這種產(chǎn)品的原產(chǎn)量是20件,一年后的產(chǎn)殳是—

—件.再經(jīng)過一年后的產(chǎn)量是件.

即兩年后的產(chǎn)量為

y=2O(14-x)z,

即

y=20^+40x+20.③

③式表示了兩年后的產(chǎn)量y與計(jì)劃增產(chǎn)的倍數(shù)x

之間的關(guān)系，對于工的每一個(gè)值,、都有一個(gè)對應(yīng)值.

即》是工的函數(shù).

函數(shù)①②③有什么共同點(diǎn)？

在上面的問題中.函數(shù)都是用自變量的二次式表

示的.一般地.形如

y=ajr-\-bx-\-c(a,b,c是常數(shù)，a7fc0)

的函數(shù),1nl做<quadraticfunction).其中，

工是自變量,“，兒c分別是函數(shù)表達(dá)式的二次項(xiàng)系

數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng).

現(xiàn)在我們學(xué)習(xí)過的函數(shù)有：一次函數(shù)》=。工+

其中包括正比例函數(shù)、=匕*十0),反比例

函數(shù)y—和二次函數(shù)?〃r+c（ar0）.

可以發(fā)現(xiàn).這些函數(shù)的名稱都反映「函數(shù)表達(dá)式與自

變艮的關(guān)系.

練習(xí)

I.一個(gè)畫拄的甬等于底面半徑.寫出它的表面

積S與半徑r之間的關(guān)系式.

2.”支球隊(duì)參加比賽.每兩隊(duì)之間進(jìn)行一場比

騫.寫出比騫的場次數(shù)，，，與球J人數(shù)"之間

的關(guān)系式.

感思考_________________________

一次函數(shù)的圖象是一條直線.反比例函數(shù)的

結(jié)合圖象討論姓

圖象是雙曲線.二次函數(shù)的圖象是什么形狀呢？

盾是數(shù)形結(jié)合地研究

函數(shù)的史臭方法.我通幡怎樣畫一個(gè)函數(shù)的圖象？

們將從最簡單的二次

函數(shù)開始逐步采入地

訶論一般二次函數(shù)的我們先來畫最簡單的二次函數(shù)v-.r的圖象.

圖象加性質(zhì).在yhf中自變也,可以是任意實(shí)數(shù).列表表示

■■=緊

幾組對應(yīng)值（填表》:

一3-2—10123

還記存如何用

描點(diǎn)法再一個(gè)函數(shù)y—J.??????

的出泉嗎？

根據(jù)表中八y的數(shù)值在坐標(biāo)平面中描點(diǎn)（X.y）

（m26.13）,再用平滑曲線順次連接各點(diǎn).就得到

丫一」」的圖象（圖26.I4）.

6

可以看出.二次函數(shù)的圖象是一條曲線.

S它的形狀類似于投籃球或擲錯(cuò)球時(shí)球在空'I?所經(jīng)過的

"路線.只是這條曲線開口向匕這條曲線叫做拋物線

3.、，=/.實(shí)際上?二次函數(shù)的圖象都是拋物線?它們的

開口或者向上或者向下.一般地.二次函數(shù)y=“./+

〃.「+＜的圖象叫做拋物線y—cir^+b.r+c.

由于點(diǎn)（in,還可以看出.了軸足拋物線），1產(chǎn)的勸稱軸.地

”/）和它關(guān)于.V軸物線與它的時(shí)稱軸的交點(diǎn)（0.0）叫做拋物線

的對林點(diǎn)（tn,kM的頂點(diǎn),它是拋物線kM的最低點(diǎn).實(shí)際上,

）都在削物線

y-r'上.所以拋物每條拋物線都有對稱軸.拋物線與對稱軸的交點(diǎn)叫做

踐y—.r關(guān)于y軸拋物線的頂點(diǎn).頂點(diǎn)是拋物線的最低點(diǎn)或最高點(diǎn).

時(shí)稱.

-■1!!在同'flffl坐標(biāo)系中.回tli函數(shù)v=.）r-.

y—2/的圖象.

幅分別填表,再畫出它們的圖象（圖26.15）.

x一432-101234

1」

尸彳4

x21.510.500.5I1.52

產(chǎn)

|?26.152/

jrz±7t>

西嶼觀察

函數(shù)y=^j^.y=2.r2的圖象與四效y=.r

（圖26.15中的虛線圖形）的圖象相比.有什么

共同點(diǎn)和不同點(diǎn)？

、、探究

?出函數(shù)*=—J2.y——^jr2.y——2^的

圖臬.并考慮這些熨物線有什么共同點(diǎn)和不同點(diǎn).

你畫出的圖象坷圖26.16相同嗎？

對比他物錢y—

J*和y-.r.它們

關(guān)于J■軸對價(jià)嗎？-

故地.拋物城J—UJT

圖3636

一般地.拋物線y=?的對稱軸是￥軸?璃點(diǎn)是原點(diǎn).當(dāng)〃>0時(shí)?塘

物線的開口向上.m點(diǎn)是地制線的最低點(diǎn).“越大.拋物線的開口糖小；當(dāng)。

<09f.拋物線的開口向一.項(xiàng)點(diǎn)是嵬物戰(zhàn)的最一點(diǎn)?“越大?拋物線的

開口越.

8?二十

在同?百角坐標(biāo)系中.畫出二次函數(shù)

尸/-1.￥=/1的圖配

先列去：

x,??-3-2—I0123

一/一1

然后描點(diǎn)畫圖.得y=r+l..v=F1的圖象（圖

26.1-7）.

w----------

（D拋物線「=合+1,y=M1的開口方向、

對張軸、頂點(diǎn)各是什么？

（2）報(bào)物線、，=/-1..v=/I與微物段

1y="有什么關(guān)系？

可以發(fā)現(xiàn).把拋物線尸，向卜.平?移】個(gè)玳位.就得

到拋物線.、，=./+1：把拋物線.、,=/向卜平移I個(gè)單位.

就得到拋物線尸r1.

9

思

把揪物我.\，=如向上平移5個(gè)單位.會得到哪

條撇物投？向下工移3.，1個(gè)單位呢？

由同一直角坐標(biāo)系中.自出下列二次鬲敕的田京:

y-?y-J-?*-2,尸IJ-2.

叱猱三條桃物汽的相互關(guān)系.并分別指出它們的開口方向.對母軸及m點(diǎn).

你能說出粒物線.、，一的開"方向、對稱軸及m點(diǎn)嗎？它與檢物段.、，一

4-r有什么關(guān)系？

、、探無

畫出二次函數(shù).v=\(H+1尸..v=l(.r1):

￡?￡>

的圖象.并考慮它們的開口方向、對秣軸和頂點(diǎn).

先列表：

x???—3—2—10123???

y——^(1+1?

:

y二-4(.r1)

然后描點(diǎn)畫圖.得丫=\("+1)?v=\(-r1)=

JO?二十六?

的圖象（圖26.>8）.

陰“L8

可以行也.拋物線.v=的開II向卜.,

對稱軸是經(jīng)過點(diǎn)（I,0）且與h軸垂直的直線.我們

把它記作上=1?頂點(diǎn)貼（1.0）:拋物線.v=J

（xD:的陽響?對稱軸是,頂點(diǎn)

&____________.

w-----------

盤物段N=,：（H—1>，.v=.；（r1〉與

拋物線y=有什么關(guān)系？

可以發(fā)現(xiàn)?把拋物線了=一；r.向左平移1個(gè)小位,

就得到拋物線v=（.r+1）;把拋物線v=-^.r

向右不移1個(gè)單位.就得到拋物線N=1（.r-l）\

11

練習(xí)

在同一亢角坐標(biāo)系內(nèi)畫出下列二次函數(shù)的圖象：

:

J尸，1y=3（,+2）：.y=1（x—2）

觀察三條拋物線的相互關(guān)系.并分別指出它們的開口方向.對林軸及

頂點(diǎn).

畫出函數(shù)第=一｝丁+1＞一1的圖象.指出

它的開口方向、時(shí)稱軸及頂點(diǎn).拋物線）:一;『經(jīng)

過怎樣的變換可以得到拋物線.v=一孑（-r+I）,-!?

函數(shù)3，=，；（1+1產(chǎn)1的圖象如圖26.1-9

所示.

拋物線丫=一23+1）2—1的開口方向向下、對

遷有其他

平移方法嗎？稱軸是*=-1?頂點(diǎn)是《一1?一1）.

把拋物線、，=—向下平移I個(gè)電位?再向左

平移1個(gè)單位.就得到拋物線y=-".r+1尸一1.

12

歸納-----------------------------------------------------------------

一般地?擷物線了=。(丁一刀尸+為與形狀相同.位置不同.把拋

物級yuGT2向上(下)向左(右)平移.可以得■到拋物綬y=a(1—A>+4.

平移的方向、足離要根據(jù)G.4的值來決定.

一輸線y—a(.r—hy+k有如下特點(diǎn):

(1)當(dāng)。>0時(shí),開口向上；當(dāng)aVO時(shí).開口向下；

(2)對稱軸是直慢才=/?；

⑶頂點(diǎn)坐標(biāo)是(A,*).

我們來看一個(gè)與章前圖有關(guān)的問題.

例4要修建一個(gè)圓形噴水池.在池中心豎直安

裝一根水管.在水管的頂端安一個(gè)噴水頭,使噴出的

拋物線形水柱在與池中心的水平距離為1m處達(dá)到水

高,高度為3m.水柱落地處離池中心3m.水管應(yīng)多

氏？

沱如圖26.110建立直角坐標(biāo)系.點(diǎn)(1.3)

是圖中這段拋物線的頂點(diǎn).因此可設(shè)這段拋物線對應(yīng)

的函數(shù)是

3>=?(.i—1)24-3(0<j<3).

由這段拋物線經(jīng)過點(diǎn)(3.0)可得

O=a(3-l)2+3.

解得

因此

當(dāng)H=0時(shí)?y=2.25,也就是說?水管應(yīng)長

2?25m

■二十六里13

練習(xí)

說出下列拋物線的開口方向、片稱軸及頂點(diǎn)：

(1)1+5,(2)y=3(x1>:2;

(3)y-l(,r3尸+7$(4)y-5(x^2)6?

卜血通過畫y=—6.r+21的圖象.討論?般

地怎樣畫二次函數(shù)j，=aM+4r+，的圖象.

思考__________________________

我們知道.像y=“(.r-力尸+A這樣的函數(shù).

容易確定相應(yīng)拋物線的柒點(diǎn)為(/，.&).二次西致

^=4^-6.r+21也能化成這樣的形式嗎？

配方可得:

y="^x:—6x+21

由此可知.拋物線k奸一61+21的頂點(diǎn)是

點(diǎn)(6.3).對稱軸是真線工=6.

接下來.利用圖象的對稱性列表(請?zhí)畋?：

x…3456789…

y=―6):-3

然后描點(diǎn)帕圖,得到)，=)(1-6尸+3的圖象

W26.111(圖26.111).

這是確定一般坨.我度可以用配方求植物線.、，=.萬一

4H物戰(zhàn)頂點(diǎn)與〃r+NaKO)的頂點(diǎn)與對稱軸.

對林軸的公式.v=our'+6.r+c

不要求掌握公

/b\'Aac-lr

式報(bào)導(dǎo)過以和=中一五)+值，

記憶公式.

因此.推物線.v=a,r:-〃/+C的對冰軸是

.r=-/?頂點(diǎn)坐標(biāo)是若產(chǎn)).

…?f

、,探究

用總長為60m的籬笆也成矩形質(zhì)地.矩形面

枳S版矩形一邊長/的變化而變化.當(dāng)/是多少

時(shí).場地的面積S妖大？

先寫出S與/的函數(shù)關(guān)系式.再求出使S

最大的/值.

矩形場地的周氏是60m,一邊長為/.則另一邊

長為/)m.場地的面積

S=/(30/).

100

即

S=-/2-3O/?XZ<30).

510152025W

網(wǎng)出這個(gè)函數(shù)的圖象(圖26.1-12).

圖26.1-12

可以公出，這個(gè)函數(shù)的圖象是條拋物線的一部

分.這條拋物線的頂點(diǎn)是函數(shù)的圖象的最高點(diǎn).也就

是說?當(dāng)/取頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)時(shí).這個(gè)函數(shù)有最人傷.

由公式可求出頂點(diǎn)的橫坐標(biāo).

15

因此?當(dāng)/=2:\尸5時(shí).5有最

大值=I、=225.也就是說，當(dāng)/足15m

-It/*1AV-1)

時(shí).場地的曲枳s最大(S=225m).

一般地，因?yàn)閽佄锞€N=aM—〃.r—c的頂點(diǎn)是最低(商)點(diǎn)，所以

當(dāng).r=j時(shí)，二次函敷v=d.r—A.r+t有最小(大)值

練習(xí)

I.寫出下列極物我的開。方向、對?珞軸及項(xiàng)點(diǎn)坐標(biāo).當(dāng)了為何值時(shí)y的

值最小(大)？

(1)ynXi4+Nrs(2)y=.r22.r；

(3)v-8；(4)v-i.r->-3.

2,已知交向三用形兩條支角邊的和等于8.兩條支用邊各為多少時(shí).這

個(gè)直角三角形的面似最大.最大值是多少？

習(xí)題26.”

復(fù)習(xí)鞏固

一個(gè)長方形的K是寬的2倍.寫出這個(gè)長方形的面積與寬之何的函數(shù)關(guān)系式.

某種商品的價(jià)格是2元.準(zhǔn)笛進(jìn)行兩次降價(jià).如果每次辟價(jià)的仃分率都是.r.經(jīng)

過兩次降價(jià)后的價(jià)格￥(惟位：元)做每次降價(jià)的仃分率r的變化而變化.V

之間的關(guān)系可以用怎樣的函數(shù)來表示？

住同直角坐標(biāo)系中庖出卜列函數(shù)的圖象，

3

V—3X.V——3JT.v—_JT

16

分別寫出拋物線y=h與N=-5M的開口方向、對稱軸及頂點(diǎn).

分別在同?宜角坐標(biāo)系內(nèi).描點(diǎn)畫出下列各組二次函數(shù)的圖象?并寫出對稱軸與

頂點(diǎn)t

(1)y卜3?丫=-；「2?

(2>v-卜1+2>'?y=—?(.r-1>21

(3>y—^-(.r4-2);2.y二,：(111+2?

先確定F列粒物線的開口方向、時(shí)林軸及原點(diǎn)(用公式)?再描點(diǎn)畫圖：

(I)>=—3^+12.「一3$(2)一214+26，

<3>y=2jr+8LT—6>(4)丫=[y—2?r—1.

如圖.在zM/RC中.ZB9()二A〃1.2cm.BC2.Icm?

動(dòng)點(diǎn)戶從點(diǎn)4升蛤沿邊A"向/，以2mm、的速度移動(dòng).動(dòng)點(diǎn)

Q從點(diǎn)B開始沿邊BC向C?以4mms的速度移動(dòng).如果P、

Q分別從A.8同時(shí)出發(fā).那么2JWQ的面積S隨出發(fā)時(shí)間，

(第7胎)

如何變化？寫出函數(shù)關(guān)系式及/的取值范圍.

一輛汽車的行駛跑離、(單位,m)與行駛時(shí)間/(單位：C

的函數(shù)關(guān)系式是s=9，-：，\經(jīng)12,汽車行駛了多遠(yuǎn)？行

駛38。m否要多少時(shí)間？

從地面1s克向上衲出一小球.小球的高度/，(單位：m)與

小球運(yùn)動(dòng)時(shí)間，(單位：C之間的關(guān)系式是，=3W-5H

小球運(yùn)動(dòng)的時(shí)間居多少時(shí).小球出高？小球運(yùn)動(dòng)中的城大高

度是多少?

（案91）（%103

17

如圖.網(wǎng)邊形的兩條對角線AC.互相球if.AC-BD-10.當(dāng)AC.BD的

長是多少時(shí)?四邊形人以7）的面積最大？

輛球從斜而頂端由靜止JT始沿科而滾下.速度林秒增加1.5ms.

（1）寫出潼動(dòng)的甑離，（單位：m）與滾動(dòng)的時(shí)間”單

位，S）之間的關(guān)系式?（提示,本一中.用陶一平

均速度7%時(shí)間r.i="7'.其中?“咫開始時(shí)的）

速度,u是r秒時(shí)的遞貨.）

（2）如果斜面的長是1.5m.從斜面頂端滾到底端用多

長時(shí)間?

填空,

（1）已知雨故當(dāng)x<時(shí)F隨，的增大而減小.當(dāng)上>

時(shí)yfifi.，的增大而增大?當(dāng)上一時(shí),v最；

（2）已知函數(shù)丫一一2「一，一I.與，?時(shí)、糖，的增大而增大.當(dāng)，?

時(shí)N隨，的增大而誠小?當(dāng).r-時(shí).v最.

選學(xué)

推測植物的生長與溫度的關(guān)系

科幻小說、實(shí)胎室的故，，中.有這樣一個(gè)精節(jié)：書?學(xué)家把一科珍奇植物分別放在不

同溫度的環(huán)境中.經(jīng)過一定時(shí)間后.洲試出這種狀物的增長植況（如下去）.

溫度

依物“度增長依〃mm12439494941251

由這些敕據(jù).科學(xué)家推測出植物的增長量,與工皮，的國效關(guān)系.并由它粉測出及過

合這種植物增長的溫度.

你能想出科學(xué)家是怎樣推;明的嗎？

18

利用上面的實(shí)驗(yàn)結(jié)W.我們可以進(jìn)行如下幟究,

隹表內(nèi)教據(jù)中.當(dāng)1一-2"，一。時(shí).植物增長最快,從0X7起婕溫度逐小增加.增

長皆逐漸或小,從一2t起度逐新或少.增長，■逐淅版小.由此可以猜也.2件力，

的工我.X用電的雜技工中間高兩邊低.且有葉稱姓.由此價(jià)”.圖求可能是出物段.即

I可能是，的二次加繳.

力檢驗(yàn)上述猜星.迂立坐標(biāo)系.)乂，力橫坐標(biāo)./力

M型標(biāo).攝出表中我據(jù)計(jì)應(yīng)的8字上,并用平滑曲我遑

揍它們(ffl1).可以看出.這條構(gòu)貨像是為物優(yōu).于是.

我們用二次西式皋近偏地.表示/與i的美系.

dtl—<ul+bi+c,如何■典宅常於u.6.??

國為，-0時(shí)/一49.

所以aX0+6X04-c-49.c-49.

又i-----2時(shí)2—49，2時(shí)/—41,印

[(一2)，+〈一2)6+49—49.

1分a+彷+49-41.

解得

(a-----1.

1&-----2.

這柞我們得到二次品數(shù)

I----z*-2/4-49.

把我中，的其他值代人上大.可以復(fù)現(xiàn)對&的2(1基本與裊中僅一武.個(gè)那不一致的

心相是不多(這可帳是因?yàn)樵圐g中存在現(xiàn)祭課的.克才是這個(gè)W我只近以及映1與，的關(guān)

樂》.因比./與〈的關(guān)系可以同函4t①來將述.

由鼠奴，一一八一2，十494如.當(dāng)/一一――一1時(shí).2喜最大值50.這說明

4K1一X/

-1P是最適合這種粒物生長的溫度.

上而我們根據(jù)實(shí)際舊題中的有關(guān)被提，式彩拈臺比求出表示宜卡?向關(guān)系的函我,這屬

于虛立模內(nèi)西式摘述實(shí)林問題.有時(shí)這樣的詼我可悵只是近似地反映實(shí)際蛻律.但是它時(shí)

認(rèn)識事物有一定作用.

?二十.W

用函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次方程

如圖,以40m/s的速度將小球沿與地面成

30°角的方向擊出時(shí).球的飛行路線將是一條拋狗線.

如果不考慮空氣阻力.球的飛行高度4單位；m)與飛

行時(shí)間"單位：*之間具有關(guān)系

/1=20/-5/\

考慮以下問題：

<0球的飛行四度能否達(dá)到15m?如能.需要多

少飛行時(shí)間？

(2)球的飛行高度能否達(dá)到20tn?如能，得要多

少飛行時(shí)間？

(3)球的飛行高度施否達(dá)到20.5m?為什么？

(4)球從飛出到落地要用多少時(shí)間？

圖26.24

由于球的飛行高度人與飛行時(shí)間，的關(guān)系

是二次語數(shù)

A=20r-5?,

所以可以將問題中八的值代入函數(shù)解析式,得到關(guān)于，

的一元二次方程，如果方程有合乎實(shí)際的解.則說明

球的飛行高度可以達(dá)到問題中人的值；否則.說明球

的飛行高度不能達(dá)到問題中A的值.

20

你能性合用(1)解方程

26.2I指出為什么15-20/-5/'.

在兩個(gè)時(shí)同球的高/'-〃+3—0.

度為15m嗎？

/|―-1?(2-—3.

當(dāng)球&行I6和3s時(shí)?它的高度為15m.

(2)解方程

你能括合用

20-20/-5f.

26.2I指出為什么

只在一個(gè)時(shí)間球的/■—1/4-4—0.

高及為20m嗎？11-h-2>

當(dāng)理K行2s時(shí)?它的高度為20m.

(3)解方程

20.5-20/-5/'.

/1-4/4-4.1-0.

因?yàn)?-4)；-4X4.1VO.所以方程無解.

球的匕行高度達(dá)不到20.5m.

(4)解方程

你能露臺田

0=20，-5一.

26.2I指出為什么

在兩個(gè)時(shí)間球的南

度為。m嗎？/i—0?li—11.

當(dāng)球E行0S和IS時(shí).它的高度為0m.即0S時(shí)

球從地曲K出.Is時(shí)球落網(wǎng)地面.

從上面可以看出.二次函上與一元二次方程關(guān)系

密切.例如.已知二次函數(shù)3，一一/十廿的值為3.

求自變V，的值.可以解一元二次方程

一M+，Lr-3(即>-4"+3—0).反過來.解方程

了'-41+3—0乂可以看作已知二次函數(shù)y-/—1+3的

值為0.求自刎匕的值.

一般地,我們可以利用二次函數(shù)、，=“/+/"+<?

深入討論一元二次方程u*+Ax+c-0.

21

下列二次西數(shù)的圖象與工軸有公共點(diǎn)嗎？如

果有?公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)是多少？當(dāng)了率公共點(diǎn)的

快坐標(biāo)時(shí).函數(shù)的值是多少？由此,你能得出相

應(yīng)的一元二次方程的根嗎？

(1)、=/+.「2；

(2)￥=./—6.r+9；

(3)y=jrx-t-1.

圖26.22

這些函數(shù)的圖象如圖26.2-2所示.

可以看出：

(1)拋物線.v=M-.r—2與丁軸仃兩個(gè)公共點(diǎn)?它

反過來.由ff］的橫坐標(biāo)是2,1.巧上取公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)時(shí).函數(shù)的

一元二次方針的體戲。.由此得出方程2=0的根是2,1.

根的情況，也可(2)拋物線、=.r,6.r+9與7軸仃?個(gè)公共點(diǎn),

以嗡定相應(yīng)的二這點(diǎn)的橫坐標(biāo)是3.當(dāng)丁=3時(shí).函數(shù)的值是0.由此

次國較與3軸的

得出方程*&r-9=0仃兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根3.

位五關(guān)系.

⑶拋物線、=.，-.r+1與.r軸沒彳公共點(diǎn).|1|

此可知.方程/r+l=0沒有實(shí)數(shù)根.

一般地，從二次函敬、,=GF;"HW-＜：的圖象可知，

(1＞如果拋物線y=“M-/tr+c與z軸有公共點(diǎn)，公共點(diǎn)的物坐標(biāo)

是心，那么當(dāng)1=4時(shí).函數(shù)的值是0.因此工=4就是方程，川十

b,r—c=0的一個(gè)根.

＜2)二次函數(shù)的圖象與.r軸的位置關(guān)系有三種：沒有公共點(diǎn).有一

個(gè)公共點(diǎn)，有兩個(gè)公共點(diǎn).這對應(yīng)著一元二次方建根的三種情況：沒有實(shí)

數(shù)據(jù).有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根.

22

由I.血的結(jié)論,我們可以利用二次函數(shù)的圖象求

一無二次方程的根.由于作圖或觀察"I能存在誤差.

山圖象求得的根.?般是近似的.

利用函數(shù)圖象求方程X-Zx-20的實(shí)數(shù)根

Iv=*-2x-2.

《精確到Q.D.

j作3JT-tx-'l的圖象(圖26.2-3).它,J

?T軸的公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)大的是一0.7.2.7.

所以方程,r-2.r-2-O的實(shí)數(shù)根為

?.仃於

M26.2-3.ri0.72.7.

復(fù)習(xí)鞏固

巳知由數(shù)y—3M，r?L

(1)湎出函數(shù)的圖象；

(2)觀察圖象.當(dāng)/取哪些值時(shí).雨數(shù)侑為U?

用函數(shù)的圖象求卜列方程的解,

(1)3上+2—0*(2)-M-6.r—9—。1

(3)/+4?+2Voi(4)4-i一廠=0.

綜合運(yùn)用

如圖.一名男生推措理.鉗球行進(jìn)高度￥與水平厚周，之間的關(guān)

系是

產(chǎn)一標(biāo)

(”向出函數(shù)的圖象；

(2>觀察圖象.指出附球推出的距肉.

拋物線勺，軸的公共點(diǎn)是(一1?0).<3.。).求這條拋物線的對(?30)

稱機(jī)

?二十六

拓廣探索

面出函fty-.r2r—3的圖象.利用圖象I可答：

（1）方程/2.r3-0的解是什么；

（2）a取什么值時(shí),一故值大F0:

（3），取什么例時(shí).一畋值小于0.

卜列情形時(shí),如果“>0.拋物線.v-aMT.r+c的頂點(diǎn)在什么位置?

（1）方程“M-a，一c一0有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根；

（2）方程a.Hr—0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根t

（3）方程“./+/W一,一0無實(shí)數(shù)根.

如果?<0呢？

信息技術(shù)應(yīng)用

選學(xué)

探索二次函數(shù)的性質(zhì)

用生些計(jì)算機(jī)西出軟件（如?:幾何自奴力，可以方便地自出二次

加數(shù)的圖案.進(jìn)而從圖彖探索二次樂效的性質(zhì).如用1.冏計(jì)界機(jī)軟

仲占出的it.v-M2.r3的圖象.推動(dòng)圖&上的一點(diǎn)F.讓這點(diǎn)沿

拋物線移動(dòng),晚系動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)的變化,可以發(fā)現(xiàn)：

陽泉最低點(diǎn)的坐標(biāo)是（1.4）.也就是說.當(dāng)工一1時(shí).N有最

小值h

當(dāng)rVl時(shí)..v隨，的增大而或小.當(dāng)1>1時(shí).yRt，的增大而增大.

又+*出2.即計(jì)算機(jī)軟件品出國數(shù).、，一M1.r3的出要，拖

動(dòng)用束上的一點(diǎn)P.可以發(fā)現(xiàn)：

國象最高點(diǎn)的坐標(biāo)是（2.1）.也就是說.當(dāng).r=2時(shí).y有

最大值L

當(dāng)Y2時(shí)..\，隨,的增大而增大.,r>2時(shí)..V隨.r的增

大而減小.

利用計(jì)算機(jī)軟件的昌圖功能?很容易利用二次品敕的留辨解一元

二次方fl.奏斛方11a.l-Ar■*■（■=（）.只費(fèi)用計(jì)算機(jī)軟件◎出相應(yīng)撤物我b.r—c.

再讓計(jì)算機(jī)就件顯示拋物段與上軸的公共點(diǎn)的坐標(biāo).就能祥山奏求的方刊的根.利用困

1.m2中的圖拿試一試，分別求出方現(xiàn)〃一2上3-0..r-V3—。的根.

24

實(shí)際問題與二次函數(shù)

前面我們結(jié)合實(shí)際問即.討論了二次函數(shù).看到

了二次函數(shù)在解決實(shí)際問即中的一些應(yīng)用.下面我們

進(jìn)一步用二次函數(shù)討論一些實(shí)際問題.

、、揉窕1

其商品現(xiàn)在的售價(jià)為每件60元.每星期可賣

出300件.市場姻查反映：如調(diào)整價(jià)格.每漲價(jià)

1元.每星期要少賣出10件；每降價(jià)1元.每星

期可多賣出18件.巳知商品的進(jìn)價(jià)為每件40元.

如何定價(jià)才能便利潤最大？

調(diào)整價(jià)格包括漲價(jià)和降價(jià)兩種情況.我們

先來看漲價(jià)的情況.

（1）設(shè)每件漲價(jià)了元?則每星期將出商品的利潤

怎樣磺定,上?，隨之變化.我們先來確定'，隨1變化的函數(shù)式.漲

的取值范國？

價(jià).r元時(shí).每星期少賣101件.實(shí)際賣出（300—10公

件.銷售額為（60+丁）（30010.r）元.買進(jìn)商品需付

40（300—10.r）元.因此.所得利潤

y=（604-.r）（300-104-）-40（300-10J）,

即

y=—l（）j2+100.r4-6000,

其中.0?30.

根據(jù)上面的函數(shù).填空：

當(dāng)r一時(shí)?一v最大.也就是說.在漲價(jià)的情況

F.漲價(jià)元.即定價(jià)元時(shí).利潤最大.最

25

大利潤他.

（2）在降價(jià)的情況卜.最大利潤是多少？請你參

考⑴的討論自己得出答案.

由（1）（2）的討論及現(xiàn)在的銷售狀況?你知道應(yīng)

如何定價(jià)能使利潤最大了嗎？

、-f

、、探無2

計(jì)算機(jī)把數(shù)據(jù)存儲在碳盤上?磁盤是帶克碳

性物質(zhì)的回叁,磁盤上有一些同心回軌道.叫做

由道.如圖26.31.現(xiàn)有一張半徑為45mm的

磁盤.

可以查閱

有關(guān)皆料.了

解磁盤存儲敦圖26.削1

據(jù)的原理.（1）磁盤最內(nèi)磁道的半徑為rmm.其上每

0.015mm的名.長為I個(gè)存儲單元.這條碳道有多

少個(gè)存儲單元？

（2）磁身上各破道之間的寬度必宛不小于

0.3mm.磁盤的小回網(wǎng)不是磁道.這張破叁最多

有多少條碳道？

（3）如果各破道的存儲單元數(shù)目與最內(nèi)磁道

相同.強(qiáng)內(nèi)磁道的半徑「是多少時(shí).磁盤的存儲

置強(qiáng)大?

（1）堆內(nèi)破道的周長為2即mm,它上血的

。儲單元的個(gè)數(shù)不超過02落

U?UID

26

（2）由于磁盤上于磁道之間的寬度必須不小于

0.3mm.磁盤的外留均不是磁道.各磁道分布在磁盤

匕內(nèi)徑為，?外徑為45的圓環(huán)區(qū)域,所以這張磁盤最多

有窄亍條破道.

（3）當(dāng)各磁道的存儲單元數(shù)目寸最內(nèi)磁道相同時(shí).

磁盤每面存儲hr-每條磁道的存儲單元數(shù)X磁道數(shù).

設(shè)磁盤每面存:儲收為“則

_2充-15—r