專題復(fù)習(xí)函數(shù)人教版

專題復(fù)習(xí)函數(shù)

本周教學(xué)內(nèi)容：

專題復(fù)習(xí)“函數(shù)”重點(diǎn)是函數(shù)的性質(zhì)及其運(yùn)用以及數(shù)形結(jié)合思想方法的具體運(yùn)用。

重點(diǎn)與難點(diǎn)：

1.函數(shù)的內(nèi)容是高中數(shù)學(xué)教材中的重要內(nèi)容，由其在教材中所占篇幅之多可見(jiàn)其地位的重要性。函數(shù)的思想方法，就

是運(yùn)動(dòng)變化的，聯(lián)系的思想方法，這是我們正確認(rèn)識(shí)參觀世界的重要的思考方法和哲學(xué)觀點(diǎn)。因此，要充分重視對(duì)函數(shù)

的學(xué)習(xí)與研究。

2.本章內(nèi)容在高考試題中，選擇、填空題均以直接考查基本知識(shí)的小題出現(xiàn)，難度不大，但要注意對(duì)基本概念，如映

射、反函數(shù)、奇偶性、單調(diào)性、周期等的正確理解與應(yīng)用；而解答題多以方程、或二次函數(shù)為背景、綜合考查函數(shù)、方

程、不等式的知識(shí)，重視代數(shù)推理能力的考查，另外，近幾年的高考試題中的應(yīng)用問(wèn)題，也多以考查函數(shù)為主，也要多

加訓(xùn)練。

三.復(fù)習(xí)建議：

1.重視重點(diǎn)內(nèi)容的復(fù)習(xí)

2.重視基本解題方法的復(fù)習(xí)

3.重視函數(shù)思想的應(yīng)用(函數(shù)與方程，函數(shù)與不等式的綜合)

[典型例題分析與解答]

例1.已知/(x)=asinx+/?F+4(其中a、b為常數(shù))，?j/[lg(log310)]=5

則/[lg(lg3)]的值是()

A.-5B.-3C.3D.隨a、b的值的不同而變化

分析：讀題后發(fā)現(xiàn)，該題是一道求函數(shù)值的題目，通常，在給定函數(shù)解析式的情況下，往往把自變量的數(shù)值代入解

析式中，經(jīng)計(jì)算求得函數(shù)值。但本題的障礙是解析式中除自變量x以外，其系數(shù)卻是字母常數(shù)，因此怎樣避開(kāi)這個(gè)障礙,

便成了我們研究的出發(fā)點(diǎn)。

認(rèn)真觀察函數(shù)解析式，不難發(fā)現(xiàn)：asinx+b坂是奇函數(shù),顯然有y(x)+"-x)

=8,再分析所求函數(shù)值的特征，發(fā)現(xiàn)：log,10=」-

1g3

lg(log310)=lg(-^-)=-lg(lg3)

但3

/./[lg(log310)]=/[-lg(lg3)]=-5

由/(x)+f(-無(wú))=8可得/[lg(lg3)]+/[-lg(lg3)]=8

/[lg(lg3)]=8-丹一lg(lg3)]=8-5=3,故選C。

例2.已知函卻(x)=*二的反函數(shù)fT(x)的圖象的對(duì)稱中心是(-1,3),則實(shí)數(shù)a等于

x-a-l

分析：一般地，先求出「(X)的解析式，再根據(jù)對(duì)稱中心坐標(biāo)是(-1,3)來(lái)確定a的值，能否避免求「(X)的運(yùn)算

過(guò)程呢？我們知道f(x)與r(x)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱。由此可得f(x)圖象的對(duì)稱中心是(-1,3)關(guān)于直線y=x的對(duì)

稱點(diǎn)(3,T),再由

/（%）="二-=二（…二?二1=（一1）+一d一，可知〃x）的圖象對(duì)稱中心為

X—Cl—iX—U,—\X—（4+1）

（〃+1,—1）,故點(diǎn)（〃+1,—1）與點(diǎn)（3,—1）重合

。+1=3,a=2

［注］在解決有關(guān)反函數(shù)的問(wèn)題中，常常利用反函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系(數(shù)值之間或圖象之間)避免求LG)的表達(dá)式,

而直接用f(x)的表達(dá)式解決問(wèn)題。

如：荀?(x)=2iW，財(cái)T(I)=

x+5--------

例3.已知XI是方程Igx=3-尤的根，了2是方程10*=3-X的根，則X］+無(wú)2=。

分析：由兩個(gè)方程可以發(fā)現(xiàn)，要想通過(guò)解方程求出x?X2,幾乎不可能因此必須另辟蹊徑，聯(lián)想到方程與函數(shù)的關(guān)系,

可把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：XI是函數(shù)y=lgx與y=3-x的圖象交點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，整是函數(shù)y=l(T與y=3-x圖象交點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)。進(jìn)一

步發(fā)現(xiàn)：y=lgx與y=l(T互為反函數(shù)，其圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，于是可結(jié)合圖形解決該問(wèn)題，而直線y=x與直線y=3-x

垂直。故P、Q關(guān)于直線y=x對(duì)稱，且其中點(diǎn)是

的交點(diǎn)M(-,-),(見(jiàn)圖示)

［y=3—x22

由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，易知七+》2

［注］在解決有關(guān)如上述所示的超越方程的問(wèn)題時(shí)，往往需要聯(lián)系函數(shù)圖象，進(jìn)行數(shù)形結(jié)合，使方程問(wèn)題明朗化,

直觀化，進(jìn)而得解。

例4.設(shè)P(1,0)關(guān)于直線y=kx的對(duì)稱點(diǎn)為Q,直線0Q的斜率記為f(k)

(I)寫出以k為自變量的函數(shù)f(k)的表達(dá)式，并指出此函數(shù)的定義域；

(II)判定f(k)的奇偶性；

(III)當(dāng)ke(1,+8)時(shí)，判定f(k)的增減性。

分析：如下圖，通常解法是先利用P、Q的對(duì)稱性，求出Q點(diǎn)坐標(biāo)，再利用斜率公式求出f(k)的表達(dá)式，如果深入分析

圖形的特征，聯(lián)想斜率與傾斜角的關(guān)系，不難發(fā)現(xiàn)：若設(shè)直線0P的傾角為0,則k=tg0；而直線0Q的傾斜角為2。(當(dāng)0。

0<90°時(shí))或29—n(當(dāng)90°W。<180°時(shí))，且f(k)=tg29,于是可利用三角公式迅速求解，可避開(kāi)了求Q點(diǎn)坐標(biāo)。

解：（/）設(shè)％=次夕則直線。。的傾角為2減26-〃

￡，、、cc2tge2k演

f（k）=tgie=——-5―=—5，或

\-tg26l-k2

2k

/（%）=吆（26_萬(wàn)）=吆26=「^

I-K

函數(shù)且為，定義域?yàn)椋ㄒ?,-1）U（-L1）U（1，+8）

i—k~

（//）???/（口的定義域?yàn)椋ㄒ?,-1）U（-1，1）U（b+8）

2（-火）2k

即（一左）==-fW

1一（一Q21-k2

故/■伏）是奇函數(shù)。

（///）設(shè)七>%>1，則

2A22kl2（&2—?i）（l+：/2）

f*2）-fg=

]_與2_]_占2一（1―42）（1—七2）

?/k2>k［>1,

2

:.k2-k,>0,1+%/2>°，1—左：<0,i-jl2<0

.??/（左2）-/（吊）>0即/（的）>/（占）

.?./⑹在（1,+8）上是增函數(shù)。

［注］熟練用函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性的定義，解決函數(shù)奇偶性，單調(diào)性的判定問(wèn)題，是研究函數(shù)的基本技能，應(yīng)充

分重視并熟練掌握。

例5.已知上aWl,若/（》）=+_2了+1在區(qū)間［1,3］上的最大值為M（a）,

最小值為N（。），令g（a）=M（a）-N（a）

(I)求g(a)的函數(shù)表達(dá)式；

(ID判斷g(a)的單調(diào)性，并求Hlg(a)的最小值。

分析：本題的題意明確：把f(x)在［1,3］上的最大值，最小值表示出來(lái)，但要注意拋物線的頂點(diǎn)是否在區(qū)間［1,

3］內(nèi)，何時(shí)在頂點(diǎn)處求得最值，何時(shí)在區(qū)間的端點(diǎn)處取得最值。

解：(/)

3

.??/⑴=ax2-2x+1表示開(kāi)口向上的拋物線

/(x)=a(x--)24-(1--),拋物線的對(duì)稱軸為直線x=—

aaa

由可知

3a

/(x)的最小值為/(』)=1」

aa

即N(a)=l-L

a

/(D=?-h/(3)=9?-5,/(l)-/(3)=-8(?-1)

當(dāng)gw。wg時(shí)，/⑴>/(3),則〃x)在［1,3］上的最大值為了⑴=。一1,即

M(a)=a-\,此時(shí)g(a)=M{a}-N(a)=(a-1)-(1--)=a+—-2

aa

當(dāng)g<aWlH寸，/⑴</(3),則〃x)在［1,3］上的最大值為〃3)=9.-5,

即"(a)=9a-5,此時(shí)，g(a)=M(a)-N(a)=(9a-5)-(1-,)=9a+2一6

aa

1

ae-,

［3

???g(a)=J］

9ad----6ae

a

(〃)<a2<—,則g(4)-g(a2)=(%---——)>0

32-a1a2

.-..?(?,)>g(a2)

r.g(a)在;，g上是減函數(shù)

設(shè)‘<%<的<1，則g(aj-g(a2)=...-)<0

2aia2

???g(%)<g(%)

，g(a)在(g,1上是增函數(shù)

由g(a)在1,1上的單調(diào)性的討論可知

當(dāng)時(shí)，g(q)有最小值，且最小值為g。

例6.設(shè)/1(x)是定義在(-8,+8)上以2為周期的函數(shù)，且為偶函數(shù)，在

區(qū)間[2,3]±,/(x)=4-2(x-3)2

(/)求xe[l,2]上/1(X)的解析表達(dá)式；

(II)若矩形ABCD的兩個(gè)頂點(diǎn)A、B在x軸上，C、D在函數(shù)y=f(x)(0WxW2)的圖象上，求矩形面積S的最大值。

分析：(1)可以先利用偶函數(shù)的概念，求得f(x)在[-3,-2]上的表達(dá)式，再利用周期的條件，求出f(x)在[1,2]

上的表達(dá)式；

(II)設(shè)出A(x,0),建立矩形ABCD的面積表達(dá)式S=f(x),進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值。

解：(/)①設(shè)xe[—3,-2],則一xe[2,3],由已知條件，有

/(-x)=4-2(-x-3)2=4-2(x+3)2,而f(x)為偶函數(shù)

/./(-x)=/(x)

f(x)=4-2(x+3)~,xG3f-2]

②設(shè)2],則X-4e[-3,-2]

???/(X)的周期為2,

"(x)=/(x-4)

阿(x-4)=4—2(X-4+3)2=4-2(X-1)2

2

.?./(X)=4-2(X-1),XG[1,2]

(//)設(shè)xe[0,1],則x+2e[2,3]

.?./(x+2)=4—2(x+2—3產(chǎn)=4-2(x-l)2

而/Xx)以2為周期，

f(x+2)=f(x)

.?./(x)=4-2(無(wú)一1)2,xe[0,1]

綜合(/),可知/(X)=4-2(X—1)2,XG[O,2],它表示以直線x=l為對(duì)稱

軸，頂點(diǎn)在(1,4),且開(kāi)口向下的拋物線的一段，(見(jiàn)下圖)

/.矩形48CD關(guān)于直線x=1對(duì)稱

ia4(1-Z,0),則6(1+30),其中0WY1

/.矩形48co的面積S=1AB\\6cl=2..(4-2/)=4r?(2-J)

52=⑹2(2-產(chǎn)-

——3

222

=8-[2/.(2-/)(2-/)]<8-2/+(2-？+(2—廠)=8x^4

當(dāng)且僅當(dāng)2/=2-/，即/=當(dāng)時(shí)，S2取最大值，從而$取最大值，且s的最大值為苧。

.?.當(dāng)f=，，即A點(diǎn)坐標(biāo)為(1-日,0)時(shí)，矩形A8CD的面積最大值為萼

例7.解方程J31gx-2-31gx+4=0

分析I：這是一個(gè)對(duì)數(shù)方程與無(wú)理方程的組合式方程，從其特征看，可將Igx換元后變?yōu)橐粋€(gè)比較簡(jiǎn)單的無(wú)理方程。

(注意：換元法在解某些復(fù)雜的方程，不等式中發(fā)揮著無(wú)與比擬的作用，應(yīng)充分利用它解題)

解：設(shè)Igx=/,則原方程可化為J3r-2=3,-4

年2

3/-2>03

它等價(jià)于13/-420n<

nf=2

3

3—2=(3—4>

r2-3r+2=0

即lgx=2,.?.x=100(因方程變形中的同解性，故可不必檢驗(yàn))

二原方程的解為x=100。

分析II：本題在解法上，亦可對(duì)根式部分作整體換元，解法如下:

設(shè)J31gx-2=3則原方程可化為f-J+2=0

解得f=-1或/=2

注意到J31gx-220,BP/>0,故f=-l應(yīng)舍去，取f=2

即J31gx-2=2n31gx-2=4=>lgx=2=>x=100

原方程的解為x=100.

例8.某蔬菜基地種植西紅柿，由歷年市場(chǎng)行情得知，從二月一日起的300天內(nèi)，西紅柿的市場(chǎng)售價(jià)與上市時(shí)間的關(guān)

系用圖一的一條折線表示，西紅柿的種植成本與上市時(shí)間的關(guān)系用圖二的拋物線表示。

(I)寫出圖一表示的市場(chǎng)售價(jià)與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式

P=f(t)；

寫出圖二表示的種植成本與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式

Q=g(t)；

(II)認(rèn)定市場(chǎng)售價(jià)減去種植成本為純收益，問(wèn)何時(shí)上市的西紅柿純收益最大？

(注：市場(chǎng)售價(jià)和種植成本的單位：元/100公斤，時(shí)間單位：天)

分析：(I)由給定的函數(shù)圖象求函數(shù)解析式，即由形到數(shù)，需要認(rèn)真觀察，分析函數(shù)圖象，要注意圖象中的特殊點(diǎn),

如最高點(diǎn)，最低點(diǎn)，與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，以及圖象的類型，是直線，還是拋物線，還是指數(shù)曲線，從而預(yù)