復(fù)變函數(shù)與積分變換課堂第二章

復(fù)變函數(shù)與積分變換課堂第二章1第一頁，共六十九頁，2022年，8月28日§1解析函數(shù)的概念1.復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分2.解析函數(shù)的概念第二頁，共六十九頁，2022年，8月28日1.復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分存在,則就說f(z)在z0可導(dǎo),此極限值就稱為f(z)在z0i)導(dǎo)數(shù)的定義定義設(shè)函數(shù)w=f(z)定義于區(qū)域D,z0為D中一點,點的導(dǎo)數(shù),

記作不出D的范圍。如果極限第三頁，共六十九頁，2022年，8月28日也就是說,對于任給的時,有,存在,使得當(dāng)應(yīng)當(dāng)注意,定義中任意的,定義中極限值存在的要求與無關(guān),也就是說,當(dāng)都趨于同一個數(shù)。若f(z)在D內(nèi)處處可導(dǎo),就說f(z)在Ｄ內(nèi)可導(dǎo)。(即)的方式是的方式在區(qū)域D內(nèi)以任何方式趨于z0時,比值第四頁，共六十九頁，2022年，8月28日所以例1求f(z)=z2的導(dǎo)數(shù)。[解]因為第五頁，共六十九頁，2022年，8月28日例2問f(z)=x+2yi是否可導(dǎo)？[解]設(shè)沿著平行于x軸的直線趨向于z，因而這時極限第六頁，共六十九頁，2022年，8月28日設(shè)沿著平行于x軸的直線趨向于z，因而這時極限所以f(z)=x+2yi的導(dǎo)數(shù)不存在。設(shè)沿著平行于y軸的直線趨向于z，因而這時極限第七頁，共六十九頁，2022年，8月28日ii)可導(dǎo)與連續(xù)容易證明,在z0點可導(dǎo)的函數(shù)必定在z0點連續(xù)。事實上,由在z0點可導(dǎo)的定義，對于任給的相應(yīng)地有一個令則,,使得當(dāng)時,有第八頁，共六十九頁，2022年，8月28日由此得所以即在連續(xù)。iii)求導(dǎo)法則與實函數(shù)相同,復(fù)變函數(shù)也有類似的求導(dǎo)公式與法則，羅列如下：,其中c為復(fù)常數(shù)。,其中n為正整數(shù)。第九頁，共六十九頁，2022年，8月28日,其中c為復(fù)常數(shù)。,其中n為正整數(shù)。。。。。，其中，其中w=f(z)與是兩個互為反函數(shù)的單值函數(shù)，且。第十頁，共六十九頁，2022年，8月28日iv)微分的概念小量,而設(shè)函數(shù)w=f(z)在z0可導(dǎo),則有其中因此,如果函數(shù)在z0的微分存在,則稱函數(shù)f(z)在z0可微。是的高階無窮的線性部是函數(shù)w=f(z)的改變量分,稱為函數(shù)w=f(z)在點z0的微分,記作第十一頁，共六十九頁，2022年，8月28日即由此可見,函數(shù)w=f(z)在z0可導(dǎo)與在z0可微是等價的。特別,當(dāng)f(z)=z時,得。于是上式可變?yōu)槿鬴(z)在區(qū)域D內(nèi)處處可微,則稱f(z)在D內(nèi)可微。第十二頁，共六十九頁，2022年，8月28日2.解析函數(shù)的概念定義如果函數(shù)f(z)在z0及z0的鄰域內(nèi)處處可導(dǎo),則稱如果f(z)在z0不解析,則稱z0為f(z)的奇點f(z)在z0解析,若f(z)在區(qū)域D內(nèi)每一點解析,則稱f(z)在D內(nèi)解析,或稱f(z)是D內(nèi)的一個解析函數(shù)(全純函數(shù)或由定義可知,函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析與在區(qū)域內(nèi)可導(dǎo)是等價的。但是,函數(shù)在一點處解析和在一點處可導(dǎo)不等價。即,函數(shù)在一點處可導(dǎo),不一定在該點處解析。函數(shù)在一正則函數(shù))點處解析比在該點處可導(dǎo)的要求要高得多。第十三頁，共六十九頁，2022年，8月28日例3研究函數(shù)[解]和的解析性。由解析函數(shù)的定義與前面的例題可知，在復(fù)平面內(nèi)是解析的，而卻是處處不解析的。下面研究的解析性。由于第十四頁，共六十九頁，2022年，8月28日如果，那么當(dāng)時，上式的極限是零。如果，令沿直線趨于，由于k的任意性，不趨于一個確定的值。所以當(dāng)?shù)臉O限不存在。時，因此，僅在z=0處可導(dǎo)，而在其他點都不可導(dǎo)，由定義，它在復(fù)平面內(nèi)處處不解析。第十五頁，共六十九頁，2022年，8月28日例4研究函數(shù)[解]的解析性。因為w在復(fù)平面內(nèi)除點z=0外處處可導(dǎo)，且所以在除z=0外的復(fù)平面內(nèi)，函數(shù)處處解析，而z=0是它的奇點。第十六頁，共六十九頁，2022年，8月28日所有多項式在復(fù)平面內(nèi)是處處解析的,任何一個和,差,積,商(除去分母為零的點)在D內(nèi)解析。2)設(shè)h=g(z)在z平面上的區(qū)域D內(nèi)解析,w=f(h)在h平面上的區(qū)域G內(nèi)解析。如果對D內(nèi)的每一個點z,g(z)對應(yīng)值h都屬于G,則復(fù)合函數(shù)w=f[g(z)]在D內(nèi)有理分式函數(shù)P(z)/Q(z)在不含分母為零的點的區(qū)域內(nèi)是解析函數(shù),使分母為零的點是它的奇點。根據(jù)求導(dǎo)法則可知：定理1)在區(qū)域D內(nèi)解析的兩個函數(shù)f(z)與g(z)的解析。第十七頁，共六十九頁，2022年，8月28日§2函數(shù)解析的充要條件第十八頁，共六十九頁，2022年，8月28日在工程中,往往是要用復(fù)變函數(shù)來解決實際問題。而實際問題中遇到的復(fù)變函數(shù),通常都是某個實變函數(shù)延拓而來的。即,如果原來有一個實變函數(shù)f(x)，自變量是實數(shù),函數(shù)值也是實數(shù),則將x用一個復(fù)數(shù)代替，就產(chǎn)生了一個自變量和函數(shù)值都是復(fù)數(shù)的復(fù)變函數(shù)。事實上我們只關(guān)心這樣的復(fù)變函數(shù)。比如說實變函數(shù)經(jīng)常就是實變函數(shù)中的基本初等函數(shù)及組合構(gòu)成的初等函數(shù)延拓到復(fù)變函數(shù)。,則相應(yīng)的延拓的復(fù)變函數(shù)就是第十九頁，共六十九頁，2022年，8月28日件。設(shè)f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)定義在區(qū)域D內(nèi),且在D內(nèi)一點z=x+iy可導(dǎo)。，有判斷一個函數(shù)是否解析，如果只根據(jù)解析函數(shù)的定義，往往比較困難。因此，需要尋找判斷函數(shù)解析的簡便方法。先考察函數(shù)在一點可導(dǎo)(或可微)應(yīng)當(dāng)滿足什么條其中則對于充分小的第二十頁，共六十九頁，2022年，8月28日令。由上式得從而有由于，所以。因此得知u(x,y)和v(x,y)在(x,y)可微，而且滿足方程第二十一頁，共六十九頁，2022年，8月28日這就是函數(shù)f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)在區(qū)域D內(nèi)一點z=x+iy可導(dǎo)的必要條件。而且滿足方程方程稱為柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)方程

。實際上，這個條件也是充分的。且也有下面的定理：第二十二頁，共六十九頁，2022年，8月28日定理一設(shè)函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)定義在區(qū)域D內(nèi),而f(z)在D內(nèi)一點z=x+iy可導(dǎo)的充分必要條件是:u(x,y)與v(x,y)在點(x,y)可微,并且在該點滿足柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)方程

。[證]條件的必要性上面已經(jīng)證明,下面證充分性。[充分性]由于第二十三頁，共六十九頁，2022年，8月28日這里[充分性]由于又因為u(x,y)與v(x,y)在點(x,y)可微，可知第二十四頁，共六十九頁，2022年，8月28日因此根據(jù)柯西-黎曼方程所以第二十五頁，共六十九頁，2022年，8月28日或最后兩項都趨于零。因此這就是說,函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在點z=x+iy處可導(dǎo)因為，故當(dāng)趨于零時，上式右端的第二十六頁，共六十九頁，2022年，8月28日根據(jù)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析的定義及定理一，就可得由定理一可得函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在點z=x+iy處的導(dǎo)數(shù)公式：到判斷函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)解析的一個充要條件。定理二函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在其定義域D內(nèi)解析的充要條件是u(x,y)與v(x,y)在D內(nèi)可微,并滿足柯西-黎曼方程。第二十七頁，共六十九頁，2022年，8月28日這兩個定理是本章的主要定理。不但提供了判斷函數(shù)f(z)在某點是否可導(dǎo)，在區(qū)域內(nèi)是否解析的常用辦法，而且給出了一個簡潔的求導(dǎo)公式。是否滿足柯西-黎曼方程是定理中的主要條件。如果f(z)在區(qū)域D內(nèi)不滿足柯西-黎曼方程，那么，f(z)在D內(nèi)不解析；如果在D內(nèi)滿足柯西-黎曼方程,且u和v具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),那么,f(z)在D內(nèi)解析。對于f(z)在一點z=x+iy的可導(dǎo)性，也有類似的結(jié)論。第二十八頁，共六十九頁，2022年，8月28日例1

判斷下列函數(shù)在何處可導(dǎo),在何處解析：[解]不可導(dǎo),處處不解析。1)因為可知柯西-黎曼方程不滿足,所以在復(fù)平面內(nèi)處處第二十九頁，共六十九頁，2022年，8月28日2)因為柯西-黎曼方程成立,由于上面四個偏導(dǎo)數(shù)都是連續(xù)的,所以f(z)在復(fù)平面內(nèi)處處可導(dǎo),處處解析,且有從而[解]例1

判斷下列函數(shù)在何處可導(dǎo),在何處解析：第三十頁，共六十九頁，2022年，8月28日3)

由容易看出，這四個偏導(dǎo)數(shù)處處連續(xù)，但僅當(dāng)x=y=0時，,得,所以才滿足柯西-黎曼方程，因而函數(shù)僅在z=0可導(dǎo)，但在復(fù)平面內(nèi)任何地方都不解析。[解]例1判斷下列函數(shù)在何處可導(dǎo),在何處解析：第三十一頁，共六十九頁，2022年，8月28日1)因為時，柯西-黎曼方程才成立，故此函數(shù)在直線從而僅當(dāng)[解]例判斷下列函數(shù)在何處可導(dǎo),在何處解析：上處處可導(dǎo)，而在復(fù)平面上處處不解析。32第三十二頁，共六十九頁，2022年，8月28日2)因為時，柯西-黎曼方程才成立，故此函數(shù)在直線從而僅當(dāng)[解]例判斷下列函數(shù)在何處可導(dǎo),在何處解析：上處處可導(dǎo)，而在復(fù)平面上處處不解析。33第三十三頁，共六十九頁，2022年，8月28日例2

設(shè)函數(shù)問常數(shù)a,b,c,d取何值時,f(z)在復(fù)平面內(nèi)處處解析?[解]由于從而要使只需因此,當(dāng)內(nèi)處處解析,這時時,此函數(shù)在復(fù)平面第三十四頁，共六十九頁，2022年，8月28日例設(shè)函數(shù)問常數(shù)a,b,c取何值時,f(z)在復(fù)平面內(nèi)處處解析?[解]先求從而要使只需，因此,所以，有35第三十五頁，共六十九頁，2022年，8月28日例設(shè)解析函數(shù)的實部[解]由于又函數(shù)解析，則有即對求v關(guān)于y的偏導(dǎo)數(shù)，得積分得，那么求f(z)。則即所以有36第三十六頁，共六十九頁，2022年，8月28日例3

如果所以u=常數(shù),v=常數(shù),因而f(z)在D內(nèi)是常數(shù)。[證]因為在區(qū)域D處處為零,則f(z)在D內(nèi)為故一常數(shù)。第三十七頁，共六十九頁，2022年，8月28日例4

如果f(z)=u+iv為一解析函數(shù)，且f'(z)0，則曲線族u(x,y)=c1和v(x,y)=c2必互相正交，其中c1,c2為[證]由于如果在曲線交點處uy與vy都不為零，由隱函數(shù)求導(dǎo)法則知曲線族中任一條曲線的斜率分別為利用柯西-黎曼方程得和故uy與vy不全為零。常數(shù)。第三十八頁，共六十九頁，2022年，8月28日例4

如果f(z)=u+iv為一解析函數(shù)，且f'(z)0，則曲線族u(x,y)=c1和v(x,y)=c2必互相正交，其中c1,c2為因此，二曲線族互相正交。如果uy與vy其中有一個為零，則另一個必不為零,此時易知交點的切線一條是垂直,一條是水平,仍然正交。常數(shù)。[證]利用柯西-黎曼方程得39第三十九頁，共六十九頁，2022年，8月28日§3初等函數(shù)１.指數(shù)函數(shù)２.對數(shù)函數(shù)３.乘冪與冪函數(shù)４.三角函數(shù)與雙曲函數(shù)５.反三角函數(shù)與反雙曲函數(shù)第四十頁，共六十九頁，2022年，8月28日1.指數(shù)函數(shù)內(nèi)也能定義一個函數(shù)f(z)具有ex的三個性質(zhì):i)

f(z)在復(fù)平面內(nèi)解析;前面的例題中已經(jīng)知道,函數(shù)是一個在復(fù)平面處處解析的函數(shù),且有時,f(z)=ex。f(z)稱為指數(shù)函數(shù)。記作實函數(shù)中的指數(shù)函數(shù)是很特殊的,希望能夠在復(fù)平面ii)

f'(z)=f(z);iii)當(dāng)Im(z)=0時,f(z)=ex,其中x=Re(z)。,當(dāng)y=0第四十一頁，共六十九頁，2022年，8月28日等價于關(guān)系式：為整數(shù))由上式可知事實上,設(shè)z1=x1+iy1,z2=x2+iy2,按定義有跟ex一樣,expz也服從加法定理：第四十二頁，共六十九頁，2022年，8月28日鑒于expz滿足條件iii)，且加法定理也成立，為了方便，往往用ez代替expz。但必須注意，這里的ez沒有冪的意義，僅僅作為代替expz的符號使用，因此就有由加法定理,可以推出expz的周期性。,即特別,當(dāng)x=0時,有其中k為任何整數(shù)。這個性質(zhì)是實變指數(shù)函數(shù)沒有的。它的周期是第四十三頁，共六十九頁，2022年，8月28日2.對數(shù)函數(shù)所以和實變函數(shù)一樣，對數(shù)函數(shù)定義為指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)。將滿足方程的函數(shù)w=f(z)稱為對數(shù)函數(shù)。令,則由于Argz為多值函數(shù)，所以對數(shù)函數(shù)w=f(z)為多因此值函數(shù)，并且每兩個值相差的整數(shù)倍,記作第四十四頁，共六十九頁，2022年，8月28日如果規(guī)定上式中的Argz取主值argz，則Lnz為一單值函數(shù)，記作lnz,稱為Lnz的主值,因此有表達(dá)。對于每一個固定的k，上式為一單值函數(shù),稱為Lnz的一個分支。而其余各值可由特別,當(dāng)z=x>0時,Lnz的主值lnz=lnx,就是實變數(shù)對數(shù)函數(shù)。第四十五頁，共六十九頁，2022年，8月28日例1

求Ln2,Ln(-1)以及它們相應(yīng)的主值。[解]因為,所以它的主值就是ln2。而(k為整數(shù)),所以它的主值是。不再成立。而且正實數(shù)的對數(shù)也是無窮多值的。在實變函數(shù)中,負(fù)數(shù)無對數(shù),此例說明在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)利用幅角的性質(zhì)不難證明，復(fù)變數(shù)對函數(shù)函數(shù)保持了實變數(shù)對數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)：第四十六頁，共六十九頁，2022年，8月28日例求Ln(-i),Ln(-3+4i)以及它們相應(yīng)的主值。[解]因為所以它的主值就是而(k為整數(shù)),所以它的主值是,47第四十七頁，共六十九頁，2022年，8月28日但應(yīng)注意，與第一章中關(guān)于乘積和商的輻角等式體是相同的，還應(yīng)注意的是，等式：不再成立，其中n為大于1的正整數(shù)。一樣，這些等式也應(yīng)理解為兩端可能取的函數(shù)值的全對數(shù)函數(shù)的解析性就主值lnz而言,其中l(wèi)n|z|除原點外在其它點都是連續(xù)的，而argz在原點與負(fù)實軸上都不連續(xù)。第四十八頁，共六十九頁，2022年，8月28日所以除去原點與負(fù)實軸，在復(fù)平面內(nèi)其他點，lnz處處因為若設(shè)z=x+iy,則當(dāng)z<0時,連續(xù)。在區(qū)域數(shù)w=lnz是單值的。由反函數(shù)的求導(dǎo)法則可知：綜上所述，內(nèi)的反函所以,lnz在除去原點及負(fù)實軸的平面內(nèi)解析。第四十九頁，共六十九頁，2022年，8月28日而且有，Lnz的各個分支在除去原點及負(fù)實軸的平面內(nèi)也解析,并且有相同的導(dǎo)數(shù)值.今后應(yīng)用對數(shù)函數(shù)Lnz時,指的都是它在除去原點及負(fù)實軸的平面內(nèi)的某一單值分支。第五十頁，共六十九頁，2022年，8月28日3.乘冪ab與冪函數(shù)可表示為ab=eblna,現(xiàn)在將它推廣到復(fù)數(shù)的情形。設(shè)a為不等于0的一個復(fù)數(shù),b為任意一個復(fù)數(shù),定義乘冪多值的。當(dāng)b為整數(shù)時,由于在高等數(shù)學(xué)中,如果a為正數(shù),b為實數(shù),則乘冪ab由于是多值的,因而ab也是ab為ebLna,即第五十一頁，共六十九頁，2022年，8月28日所以這時ab具有單一的值。當(dāng)b=p/q(p和q為互質(zhì)的整數(shù),q>0)時,由于ab具有q個值,即當(dāng)k=0,1,...,(q-1)時相應(yīng)的各個值。除此而外,一般而論ab具有無窮多個值。第五十二頁，共六十九頁，2022年，8月28日例2求和的值。[解]由此可見,是正實數(shù)，它的主值是第五十三頁，共六十九頁，2022年，8月28日例求和的值。[解]54第五十四頁，共六十九頁，2022年，8月28日例求和的值。[解]55第五十五頁，共六十九頁，2022年，8月28日時是與a的n次冪及a的n次根的定義是完全一致的。應(yīng)當(dāng)指出，定義，當(dāng)b為正整數(shù)n及分?jǐn)?shù)i)當(dāng)b為正整數(shù)n時，根據(jù)定義(指數(shù)n項)(因子n個)(因子n個)ii)當(dāng)b為分?jǐn)?shù)時，有因為第五十六頁，共六十九頁，2022年，8月28日ii)當(dāng)b為分?jǐn)?shù)時，有其中所以，如果a=z為一復(fù)變數(shù)，就得到一般的冪函數(shù)，當(dāng)b=n與時，就分別得到通常的冪函數(shù)及zn在復(fù)平面內(nèi)是單值解析函數(shù),且(zn)'=nzn-1.第五十七頁，共六十九頁，2022年，8月28日對數(shù)函數(shù)Lnz的各個分支在除去原點和負(fù)實軸的復(fù)平面內(nèi)是解析的,因而各個分支在除去原點和負(fù)實軸的復(fù)平面內(nèi)也是解析的，且有冪函數(shù)是一個多值函數(shù)，具有n個分支，又值函數(shù)，當(dāng)b為無理數(shù)或復(fù)數(shù)時，是無窮多值的。同樣的道理，它的各個分支在除去原點和負(fù)實軸的復(fù)平面冪函數(shù)(除去b=n與兩種情況外)也是一個多內(nèi)也是解析的，并且有第五十八頁，共六十九頁，2022年，8月28日4.三角函數(shù)和雙曲函數(shù)現(xiàn)將其推廣到自變數(shù)取復(fù)值的情形,定義當(dāng)z為實數(shù)時,顯然這與上式完全一致。由歐拉公式有將這兩式相加與相減,分別得到第五十九頁，共六十九頁，2022年，8月28日為周期的周期函數(shù),因此cosz和