復變函數與積分變換課堂第二章

復變函數與積分變換課堂第二章1第一頁，共六十九頁，2022年，8月28日§1解析函數的概念1.復變函數的導數與微分2.解析函數的概念第二頁，共六十九頁，2022年，8月28日1.復變函數的導數與微分存在,則就說f(z)在z0可導,此極限值就稱為f(z)在z0i)導數的定義定義設函數w=f(z)定義于區(qū)域D,z0為D中一點,點的導數,

記作不出D的范圍。如果極限第三頁，共六十九頁，2022年，8月28日也就是說,對于任給的時,有,存在,使得當應當注意,定義中任意的,定義中極限值存在的要求與無關,也就是說,當都趨于同一個數。若f(z)在D內處處可導,就說f(z)在Ｄ內可導。(即)的方式是的方式在區(qū)域D內以任何方式趨于z0時,比值第四頁，共六十九頁，2022年，8月28日所以例1求f(z)=z2的導數。[解]因為第五頁，共六十九頁，2022年，8月28日例2問f(z)=x+2yi是否可導？[解]設沿著平行于x軸的直線趨向于z，因而這時極限第六頁，共六十九頁，2022年，8月28日設沿著平行于x軸的直線趨向于z，因而這時極限所以f(z)=x+2yi的導數不存在。設沿著平行于y軸的直線趨向于z，因而這時極限第七頁，共六十九頁，2022年，8月28日ii)可導與連續(xù)容易證明,在z0點可導的函數必定在z0點連續(xù)。事實上,由在z0點可導的定義，對于任給的相應地有一個令則,,使得當時,有第八頁，共六十九頁，2022年，8月28日由此得所以即在連續(xù)。iii)求導法則與實函數相同,復變函數也有類似的求導公式與法則，羅列如下：,其中c為復常數。,其中n為正整數。第九頁，共六十九頁，2022年，8月28日,其中c為復常數。,其中n為正整數。。。。。，其中，其中w=f(z)與是兩個互為反函數的單值函數，且。第十頁，共六十九頁，2022年，8月28日iv)微分的概念小量,而設函數w=f(z)在z0可導,則有其中因此,如果函數在z0的微分存在,則稱函數f(z)在z0可微。是的高階無窮的線性部是函數w=f(z)的改變量分,稱為函數w=f(z)在點z0的微分,記作第十一頁，共六十九頁，2022年，8月28日即由此可見,函數w=f(z)在z0可導與在z0可微是等價的。特別,當f(z)=z時,得。于是上式可變?yōu)槿鬴(z)在區(qū)域D內處處可微,則稱f(z)在D內可微。第十二頁，共六十九頁，2022年，8月28日2.解析函數的概念定義如果函數f(z)在z0及z0的鄰域內處處可導,則稱如果f(z)在z0不解析,則稱z0為f(z)的奇點f(z)在z0解析,若f(z)在區(qū)域D內每一點解析,則稱f(z)在D內解析,或稱f(z)是D內的一個解析函數(全純函數或由定義可知,函數在區(qū)域內解析與在區(qū)域內可導是等價的。但是,函數在一點處解析和在一點處可導不等價。即,函數在一點處可導,不一定在該點處解析。函數在一正則函數)點處解析比在該點處可導的要求要高得多。第十三頁，共六十九頁，2022年，8月28日例3研究函數[解]和的解析性。由解析函數的定義與前面的例題可知，在復平面內是解析的，而卻是處處不解析的。下面研究的解析性。由于第十四頁，共六十九頁，2022年，8月28日如果，那么當時，上式的極限是零。如果，令沿直線趨于，由于k的任意性，不趨于一個確定的值。所以當的極限不存在。時，因此，僅在z=0處可導，而在其他點都不可導，由定義，它在復平面內處處不解析。第十五頁，共六十九頁，2022年，8月28日例4研究函數[解]的解析性。因為w在復平面內除點z=0外處處可導，且所以在除z=0外的復平面內，函數處處解析，而z=0是它的奇點。第十六頁，共六十九頁，2022年，8月28日所有多項式在復平面內是處處解析的,任何一個和,差,積,商(除去分母為零的點)在D內解析。2)設h=g(z)在z平面上的區(qū)域D內解析,w=f(h)在h平面上的區(qū)域G內解析。如果對D內的每一個點z,g(z)對應值h都屬于G,則復合函數w=f[g(z)]在D內有理分式函數P(z)/Q(z)在不含分母為零的點的區(qū)域內是解析函數,使分母為零的點是它的奇點。根據求導法則可知：定理1)在區(qū)域D內解析的兩個函數f(z)與g(z)的解析。第十七頁，共六十九頁，2022年，8月28日§2函數解析的充要條件第十八頁，共六十九頁，2022年，8月28日在工程中,往往是要用復變函數來解決實際問題。而實際問題中遇到的復變函數,通常都是某個實變函數延拓而來的。即,如果原來有一個實變函數f(x)，自變量是實數,函數值也是實數,則將x用一個復數代替，就產生了一個自變量和函數值都是復數的復變函數。事實上我們只關心這樣的復變函數。比如說實變函數經常就是實變函數中的基本初等函數及組合構成的初等函數延拓到復變函數。,則相應的延拓的復變函數就是第十九頁，共六十九頁，2022年，8月28日件。設f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)定義在區(qū)域D內,且在D內一點z=x+iy可導。，有判斷一個函數是否解析，如果只根據解析函數的定義，往往比較困難。因此，需要尋找判斷函數解析的簡便方法。先考察函數在一點可導(或可微)應當滿足什么條其中則對于充分小的第二十頁，共六十九頁，2022年，8月28日令。由上式得從而有由于，所以。因此得知u(x,y)和v(x,y)在(x,y)可微，而且滿足方程第二十一頁，共六十九頁，2022年，8月28日這就是函數f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)在區(qū)域D內一點z=x+iy可導的必要條件。而且滿足方程方程稱為柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)方程

。實際上，這個條件也是充分的。且也有下面的定理：第二十二頁，共六十九頁，2022年，8月28日定理一設函數f(z)=u(x,y)+iv(x,y)定義在區(qū)域D內,而f(z)在D內一點z=x+iy可導的充分必要條件是:u(x,y)與v(x,y)在點(x,y)可微,并且在該點滿足柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)方程

。[證]條件的必要性上面已經證明,下面證充分性。[充分性]由于第二十三頁，共六十九頁，2022年，8月28日這里[充分性]由于又因為u(x,y)與v(x,y)在點(x,y)可微，可知第二十四頁，共六十九頁，2022年，8月28日因此根據柯西-黎曼方程所以第二十五頁，共六十九頁，2022年，8月28日或最后兩項都趨于零。因此這就是說,函數f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在點z=x+iy處可導因為，故當趨于零時，上式右端的第二十六頁，共六十九頁，2022年，8月28日根據函數在區(qū)域內解析的定義及定理一，就可得由定理一可得函數f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在點z=x+iy處的導數公式：到判斷函數在區(qū)域D內解析的一個充要條件。定理二函數f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在其定義域D內解析的充要條件是u(x,y)與v(x,y)在D內可微,并滿足柯西-黎曼方程。第二十七頁，共六十九頁，2022年，8月28日這兩個定理是本章的主要定理。不但提供了判斷函數f(z)在某點是否可導，在區(qū)域內是否解析的常用辦法，而且給出了一個簡潔的求導公式。是否滿足柯西-黎曼方程是定理中的主要條件。如果f(z)在區(qū)域D內不滿足柯西-黎曼方程，那么，f(z)在D內不解析；如果在D內滿足柯西-黎曼方程,且u和v具有一階連續(xù)偏導數,那么,f(z)在D內解析。對于f(z)在一點z=x+iy的可導性，也有類似的結論。第二十八頁，共六十九頁，2022年，8月28日例1

判斷下列函數在何處可導,在何處解析：[解]不可導,處處不解析。1)因為可知柯西-黎曼方程不滿足,所以在復平面內處處第二十九頁，共六十九頁，2022年，8月28日2)因為柯西-黎曼方程成立,由于上面四個偏導數都是連續(xù)的,所以f(z)在復平面內處處可導,處處解析,且有從而[解]例1

判斷下列函數在何處可導,在何處解析：第三十頁，共六十九頁，2022年，8月28日3)

由容易看出，這四個偏導數處處連續(xù)，但僅當x=y=0時，,得,所以才滿足柯西-黎曼方程，因而函數僅在z=0可導，但在復平面內任何地方都不解析。[解]例1判斷下列函數在何處可導,在何處解析：第三十一頁，共六十九頁，2022年，8月28日1)因為時，柯西-黎曼方程才成立，故此函數在直線從而僅當[解]例判斷下列函數在何處可導,在何處解析：上處處可導，而在復平面上處處不解析。32第三十二頁，共六十九頁，2022年，8月28日2)因為時，柯西-黎曼方程才成立，故此函數在直線從而僅當[解]例判斷下列函數在何處可導,在何處解析：上處處可導，而在復平面上處處不解析。33第三十三頁，共六十九頁，2022年，8月28日例2

設函數問常數a,b,c,d取何值時,f(z)在復平面內處處解析?[解]由于從而要使只需因此,當內處處解析,這時時,此函數在復平面第三十四頁，共六十九頁，2022年，8月28日例設函數問常數a,b,c取何值時,f(z)在復平面內處處解析?[解]先求從而要使只需，因此,所以，有35第三十五頁，共六十九頁，2022年，8月28日例設解析函數的實部[解]由于又函數解析，則有即對求v關于y的偏導數，得積分得，那么求f(z)。則即所以有36第三十六頁，共六十九頁，2022年，8月28日例3

如果所以u=常數,v=常數,因而f(z)在D內是常數。[證]因為在區(qū)域D處處為零,則f(z)在D內為故一常數。第三十七頁，共六十九頁，2022年，8月28日例4

如果f(z)=u+iv為一解析函數，且f'(z)0，則曲線族u(x,y)=c1和v(x,y)=c2必互相正交，其中c1,c2為[證]由于如果在曲線交點處uy與vy都不為零，由隱函數求導法則知曲線族中任一條曲線的斜率分別為利用柯西-黎曼方程得和故uy與vy不全為零。常數。第三十八頁，共六十九頁，2022年，8月28日例4

如果f(z)=u+iv為一解析函數，且f'(z)0，則曲線族u(x,y)=c1和v(x,y)=c2必互相正交，其中c1,c2為因此，二曲線族互相正交。如果uy與vy其中有一個為零，則另一個必不為零,此時易知交點的切線一條是垂直,一條是水平,仍然正交。常數。[證]利用柯西-黎曼方程得39第三十九頁，共六十九頁，2022年，8月28日§3初等函數１.指數函數２.對數函數３.乘冪與冪函數４.三角函數與雙曲函數５.反三角函數與反雙曲函數第四十頁，共六十九頁，2022年，8月28日1.指數函數內也能定義一個函數f(z)具有ex的三個性質:i)

f(z)在復平面內解析;前面的例題中已經知道,函數是一個在復平面處處解析的函數,且有時,f(z)=ex。f(z)稱為指數函數。記作實函數中的指數函數是很特殊的,希望能夠在復平面ii)

f'(z)=f(z);iii)當Im(z)=0時,f(z)=ex,其中x=Re(z)。,當y=0第四十一頁，共六十九頁，2022年，8月28日等價于關系式：為整數)由上式可知事實上,設z1=x1+iy1,z2=x2+iy2,按定義有跟ex一樣,expz也服從加法定理：第四十二頁，共六十九頁，2022年，8月28日鑒于expz滿足條件iii)，且加法定理也成立，為了方便，往往用ez代替expz。但必須注意，這里的ez沒有冪的意義，僅僅作為代替expz的符號使用，因此就有由加法定理,可以推出expz的周期性。,即特別,當x=0時,有其中k為任何整數。這個性質是實變指數函數沒有的。它的周期是第四十三頁，共六十九頁，2022年，8月28日2.對數函數所以和實變函數一樣，對數函數定義為指數函數的反函數。將滿足方程的函數w=f(z)稱為對數函數。令,則由于Argz為多值函數，所以對數函數w=f(z)為多因此值函數，并且每兩個值相差的整數倍,記作第四十四頁，共六十九頁，2022年，8月28日如果規(guī)定上式中的Argz取主值argz，則Lnz為一單值函數，記作lnz,稱為Lnz的主值,因此有表達。對于每一個固定的k，上式為一單值函數,稱為Lnz的一個分支。而其余各值可由特別,當z=x>0時,Lnz的主值lnz=lnx,就是實變數對數函數。第四十五頁，共六十九頁，2022年，8月28日例1

求Ln2,Ln(-1)以及它們相應的主值。[解]因為,所以它的主值就是ln2。而(k為整數),所以它的主值是。不再成立。而且正實數的對數也是無窮多值的。在實變函數中,負數無對數,此例說明在復數范圍內利用幅角的性質不難證明，復變數對函數函數保持了實變數對數函數的基本性質：第四十六頁，共六十九頁，2022年，8月28日例求Ln(-i),Ln(-3+4i)以及它們相應的主值。[解]因為所以它的主值就是而(k為整數),所以它的主值是,47第四十七頁，共六十九頁，2022年，8月28日但應注意，與第一章中關于乘積和商的輻角等式體是相同的，還應注意的是，等式：不再成立，其中n為大于1的正整數。一樣，這些等式也應理解為兩端可能取的函數值的全對數函數的解析性就主值lnz而言,其中l(wèi)n|z|除原點外在其它點都是連續(xù)的，而argz在原點與負實軸上都不連續(xù)。第四十八頁，共六十九頁，2022年，8月28日所以除去原點與負實軸，在復平面內其他點，lnz處處因為若設z=x+iy,則當z<0時,連續(xù)。在區(qū)域數w=lnz是單值的。由反函數的求導法則可知：綜上所述，內的反函所以,lnz在除去原點及負實軸的平面內解析。第四十九頁，共六十九頁，2022年，8月28日而且有，Lnz的各個分支在除去原點及負實軸的平面內也解析,并且有相同的導數值.今后應用對數函數Lnz時,指的都是它在除去原點及負實軸的平面內的某一單值分支。第五十頁，共六十九頁，2022年，8月28日3.乘冪ab與冪函數可表示為ab=eblna,現在將它推廣到復數的情形。設a為不等于0的一個復數,b為任意一個復數,定義乘冪多值的。當b為整數時,由于在高等數學中,如果a為正數,b為實數,則乘冪ab由于是多值的,因而ab也是ab為ebLna,即第五十一頁，共六十九頁，2022年，8月28日所以這時ab具有單一的值。當b=p/q(p和q為互質的整數,q>0)時,由于ab具有q個值,即當k=0,1,...,(q-1)時相應的各個值。除此而外,一般而論ab具有無窮多個值。第五十二頁，共六十九頁，2022年，8月28日例2求和的值。[解]由此可見,是正實數，它的主值是第五十三頁，共六十九頁，2022年，8月28日例求和的值。[解]54第五十四頁，共六十九頁，2022年，8月28日例求和的值。[解]55第五十五頁，共六十九頁，2022年，8月28日時是與a的n次冪及a的n次根的定義是完全一致的。應當指出，定義，當b為正整數n及分數i)當b為正整數n時，根據定義(指數n項)(因子n個)(因子n個)ii)當b為分數時，有因為第五十六頁，共六十九頁，2022年，8月28日ii)當b為分數時，有其中所以，如果a=z為一復變數，就得到一般的冪函數，當b=n與時，就分別得到通常的冪函數及zn在復平面內是單值解析函數,且(zn)'=nzn-1.第五十七頁，共六十九頁，2022年，8月28日對數函數Lnz的各個分支在除去原點和負實軸的復平面內是解析的,因而各個分支在除去原點和負實軸的復平面內也是解析的，且有冪函數是一個多值函數，具有n個分支，又值函數，當b為無理數或復數時，是無窮多值的。同樣的道理，它的各個分支在除去原點和負實軸的復平面冪函數(除去b=n與兩種情況外)也是一個多內也是解析的，并且有第五十八頁，共六十九頁，2022年，8月28日4.三角函數和雙曲函數現將其推廣到自變數取復值的情形,定義當z為實數時,顯然這與上式完全一致。由歐拉公式有將這兩式相加與相減,分別得到第五十九頁，共六十九頁，2022年，8月28日為周期的周期函數,因此cosz和