人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)全等三角形判定一（ASASAS）（提高）知識(shí)講解

PAGE全等三角形判定一（ASA，SAS）（提高）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．理解和掌握全等三角形判定方法1——“角邊角”，和判定方法2——“邊角邊”；2．能把證明角相等或線段相等的問題，轉(zhuǎn)化為證明它們所在的兩個(gè)三角形全等.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、全等三角形判定1——“角邊角”全等三角形判定1——“角邊角”兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡寫成“角邊角”或“ASA”）.要點(diǎn)詮釋：如圖，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，則△ABC≌△.要點(diǎn)二、全等三角形判定2——“邊角邊”1.全等三角形判定2——“邊角邊”兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡寫成“邊角邊”或“SAS”）.要點(diǎn)詮釋：如圖，如果AB＝，∠A＝∠，AC＝，則△ABC≌△.注意：這里的角，指的是兩組對(duì)應(yīng)邊的夾角.2.有兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形不一定全等.如圖，△ABC與△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC與△ABD不完全重合，故不全等，也就是有兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形不一定全等.

【典型例題】類型一、全等三角形的判定1——“角邊角” 1、如圖，G是線段AB上一點(diǎn)，AC和DG相交于點(diǎn)E.請(qǐng)先作出∠ABC的平分線BF，交AC于點(diǎn)F；然后證明：當(dāng)AD∥BC，AD＝BC，∠ABC＝2∠ADG時(shí)，DE＝BF.【思路點(diǎn)撥】通過已知條件證明∠DAC＝∠C，∠CBF＝∠ADG，則可證△DAE≌△BCF【答案與解析】 證明：∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠C∵BF平分∠ABC∴∠ABC＝2∠CBF∵∠ABC＝2∠ADG∴∠CBF＝∠ADG在△DAE與△BCF中∴△DAE≌△BCF（ASA）∴DE＝BF【總結(jié)升華】利用全等三角形證明線段(角)相等的一般方法和步驟如下：(1)找到以待證角(線段)為內(nèi)角(邊)的兩個(gè)三角形；(2)證明這兩個(gè)三角形全等；(3)由全等三角形的性質(zhì)得出所要證的角(線段)相等．舉一反三：【變式】已知：如圖，在△MPN中，H是高M(jìn)Q和NR的交點(diǎn)，且MQ＝NQ．求證：HN＝PM.【答案】證明：∵M(jìn)Q和NR是△MPN的高，∴∠MQN＝∠MRN＝90°，又∵∠1＋∠3＝∠2＋∠4＝90°，∠3＝∠4∴∠1＝∠2在△MPQ和△NHQ中，∴△MPQ≌△NHQ（ASA）∴PM＝HN類型二、全等三角形的判定2——“邊角邊”

2、如圖，AD是△ABC的中線，求證：AB＋AC＞2AD．【思路點(diǎn)撥】延長AD到點(diǎn)E，使AD＝DE，連接CE．通過證全等將AB轉(zhuǎn)化到△CEA中，同時(shí)也構(gòu)造出了2AD．利用三角形兩邊之和大于第三邊解決問題.【答案與解析】證明：如圖，延長AD到點(diǎn)E，使AD＝DE，連接CE．在△ABD和△ECD中，AD＝DE，∠ADB＝∠EDC，BD＝CD．∴△ABD≌△ECD．∴AB＝CE．∵AC＋CE＞AE，∴AC＋AB＞AE＝2AD．即AC＋AB＞2AD．【總結(jié)升華】證明邊的大小關(guān)系主要有兩個(gè)思路：（1）兩點(diǎn)之間線段最短；（2）三角形的兩邊之和大于第三邊．要證明AB＋AC＞2AD，如果歸到一個(gè)三角形中，邊的大小關(guān)系就是顯然的，因此需要轉(zhuǎn)移線段，構(gòu)造全等三角形是轉(zhuǎn)化線段的重要手段．可利用旋轉(zhuǎn)變換，把△ABD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到△CED，也就把AB轉(zhuǎn)化到△CEA中，同時(shí)也構(gòu)造出了2AD．若題目中有中線，倍長中線，利用旋轉(zhuǎn)變換構(gòu)造全等三角形是一種重要方法．3、（2020?吉林）如圖，△ABC和△DAE中，∠BAC=∠DAE，AB=AE，AC=AD，連接BD，CE，求證：△ABD≌△AEC．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)∠BAC=∠DAE，可得∠BAD=∠CAE，再根據(jù)全等的條件可得出結(jié)論．【答案與解析】 證明：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC﹣∠BAE=∠DAE﹣∠BAE，即∠BAD=∠CAE，在△ABD和△AEC中，，∴△ABD≌△AEC（SAS）．【總結(jié)升華】本題考查利用“邊角邊”定理來證明三角形全等，注意等角減等角，差相等.舉一反三：【變式】（2020?啟東市模擬）如圖，給出下列四組條件：①AB=DE，BC=EF，AC=DF；②AB=DE，∠B=∠E．BC=EF；③∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F；④AB=DE，AC=DF，∠B=∠E．其中，能使△ABC≌△DEF的條件共有（）A.1組 B.2組 C.3組 D.4組【答案】C．解：第①組滿足SSS，能證明△ABC≌△DEF．第②組滿足SAS，能證明△ABC≌△DEF．第③組滿足ASA，能證明△ABC≌△DEF．第④組只是SSA，不能證明△ABC≌△DEF．所以有3組能證明△ABC≌△DEF．故符合條件的有3組．故選：C．類型三、全等三角形判定的實(shí)際應(yīng)用4、如圖，公園里有一條“Z字形道路ABCD，其中AB∥CD，在AB，BC，CD三段路旁各有一個(gè)小石凳E，M，F(xiàn)，且BE＝CF，M在BC的中點(diǎn).試判斷三個(gè)石凳E，M，F(xiàn)是否恰好在一條直線上？為什么？【答案與解析】三個(gè)小石凳在一條直線上證明：∵AB平行CD（已知）∴∠B＝∠C（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）∵M(jìn)在BC的中點(diǎn)（已知）∴BM＝CM（中點(diǎn)定義）在△BME和△CMF中∴△BME≌△CMF（SAS）∴∠EMB＝∠FMC（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）∴∠EMF＝∠EMB＋∠BMF＝∠FMC＋∠BMF＝∠BMC＝180°（等式的性質(zhì)）∴E，M，F(xiàn)