由遞推公式求通項(xiàng)公式(完整版)實(shí)用資料

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由遞推公式求通項(xiàng)公式由遞推公式求通項(xiàng)公式（完整版）實(shí)用資料(可以直接使用，可編輯完整版實(shí)用資料，歡迎下載）——幾種基本類型解法介紹南洋模范中學(xué)張珺06/05/20數(shù)列的遞推公式和數(shù)列的通項(xiàng)公式是數(shù)列的兩種不同表示形式，已知數(shù)列的遞推公式如何求數(shù)列的通項(xiàng)公式，現(xiàn)介紹幾種基本類型的解法：一、常見基本類型介紹：例1設(shè)數(shù)列滿足下列條件，試求各通項(xiàng)：（1）；（2）；（3）；（4）（5）例1中的五小題，分別對(duì)應(yīng)了常見的五種類型：（1）“型”；（2）“型”；（3）“型”；（4）“型”（5）“”二、常見類型的常用解法介紹：（1）“型”——累加相消法解：由（1）可知，上述等式累加可得，（2）“型”——累乘相消法解：由（2）可知，；；上述等式累乘可得，（3）“型”——構(gòu)造等比數(shù)列或迭代法解一：（構(gòu)造等比數(shù)列）由（3）可考慮轉(zhuǎn)化為的形式，即與遞推式比較，可得，所以遞推式轉(zhuǎn)化為則可構(gòu)造新數(shù)列，令，有解二：（迭代法）由（3）可知，，所以…………（4）“型”——構(gòu)造等差數(shù)列解：由（4）可知?jiǎng)t可構(gòu)造新數(shù)列，令，有（5）“”——構(gòu)造等比數(shù)列解：由(5）的形式，即,再與遞推式比較，可得或因此，遞推式可轉(zhuǎn)化為“”令，則由上述式子累加，可得三、轉(zhuǎn)化為常見類型求解：例2設(shè)數(shù)列滿足下列條件，試求各通項(xiàng)：（1）（2）（3）解：（1）令則，本題用除遞推式兩邊，再進(jìn)行變量代換，就可轉(zhuǎn)化為“型”，可得（2）遞推式兩邊同除以，得，就可轉(zhuǎn)化為“型”，當(dāng)然，也可以在遞推式兩邊同除以，得，則可轉(zhuǎn)化為“型”，所以得（3）遞推式兩邊同取對(duì)數(shù)，得令，則，已轉(zhuǎn)化為“型”，由累乘相消法可得根據(jù)上述的介紹，下面問題你能解決嗎？練習(xí)：設(shè)數(shù)列滿足下列條件，試求各通項(xiàng)：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）課題：一類遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法探究————形如一、教學(xué)目標(biāo)：1、進(jìn)一步理解遞推公式是定義數(shù)列的一種方法；2、加深理解等差、等比數(shù)列的定義；3、掌握形如數(shù)列遞推公式的通項(xiàng)公式的求法；4、經(jīng)歷構(gòu)造等差、等比數(shù)列的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，優(yōu)化數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。二、教學(xué)重點(diǎn)：一類遞推公式的通項(xiàng)公式的求法探討三、教學(xué)難點(diǎn)：等差、等比數(shù)列的構(gòu)造方法四、教學(xué)過程：（一）復(fù)習(xí)引入1、2021年上海高考第20題(本題滿分13分)本題共有2個(gè)小題，第一個(gè)小題滿分5分，第2個(gè)小題滿分8分。已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，（1）證明：是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并求出n為何值時(shí)，取得最小值，并說明理由。2、若數(shù)列滿足：，求，利用了什么方法？3、在數(shù)列中，，且，求，利用了什么方法？（二）求法探究1、已知數(shù)列滿足：，且，求總結(jié)探究方法：2.變式探究①、在數(shù)列中，，且滿足，求②、在數(shù)列中，，且滿足，求（三）課堂小結(jié)1、體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想有：類比、構(gòu)造，2、用到的方法有：構(gòu)造等差、等比數(shù)列；累加法3、細(xì)節(jié)決定成敗，從數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的細(xì)微差別，激發(fā)解題的求異思維（四）作業(yè)布置1、已知數(shù)列滿足：，且，求2、已知數(shù)列中，與3、設(shè)數(shù)列中的前n項(xiàng)和是,且，求與（五）教學(xué)反思：由數(shù)列遞推公式求通項(xiàng)公式通法已知數(shù)列的遞推公式，求取其通項(xiàng)公式是數(shù)列中一類常見的題型，這類題型如果單純的看某一個(gè)具體的題目，它的求解方法靈活是靈活多變的，構(gòu)造的技巧性也很強(qiáng)，但是此類題目也有很強(qiáng)的規(guī)律性，存在著解決問題的通法，本文就高中數(shù)學(xué)中常見的幾類題型從解決通法上做一總結(jié)，方便于學(xué)生學(xué)習(xí)和老師的教學(xué)，不涉及具體某一題目的獨(dú)特解法與技巧。一、型數(shù)列，（其中不是常值函數(shù))此類數(shù)列解決的辦法是累加法，具體做法是將通項(xiàng)變形為，從而就有將上述個(gè)式子累加，變成，進(jìn)而求解。例1.在數(shù)列中,解：依題意有逐項(xiàng)累加有，從而。注：在運(yùn)用累加法時(shí),要特別注意項(xiàng)數(shù),計(jì)算時(shí)項(xiàng)數(shù)容易出錯(cuò).類似題型練習(xí)：已知滿足，求的通項(xiàng)公式。二、型數(shù)列，（其中不是常值函數(shù))此類數(shù)列解決的辦法是累積法，具體做法是將通項(xiàng)變形為，從而就有將上述個(gè)式子累乘，變成，進(jìn)而求解。例2.已知數(shù)列中，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：當(dāng)時(shí)，將這個(gè)式子累乘，得到，從而，當(dāng)時(shí)，，所以。注：在運(yùn)用累乘法時(shí),還是要特別注意項(xiàng)數(shù),計(jì)算時(shí)項(xiàng)數(shù)容易出錯(cuò).類似題型練習(xí)：在數(shù)列中,>0,,求.提示：依題意分解因式可得，而>0,所以，即。三、型數(shù)列此類數(shù)列解決的辦法是將其構(gòu)造成一個(gè)新的等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行求解，構(gòu)造的辦法有兩種，一是待定系數(shù)法構(gòu)造，設(shè)，展開整理，比較系數(shù)有，所以，所以是等比數(shù)列，公比為，首項(xiàng)為。二是用做差法直接構(gòu)造，，，兩式相減有，所以是公比為的等比數(shù)列。例3.在數(shù)列中，，當(dāng)時(shí)，有，求的通項(xiàng)公式。解法1：設(shè)，即有，對(duì)比，得，于是得，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，所以有。解法2：由已知遞推式，得，上述兩式相減，得，因此，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列。所以，即，所以。類似題型練習(xí)：已知數(shù)列滿足求數(shù)列的通項(xiàng)公式.注：根據(jù)題設(shè)特征恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造輔助數(shù)列,利用基本數(shù)列可簡(jiǎn)捷地求出通項(xiàng)公式.四．型數(shù)列（p為常數(shù)）此類數(shù)列可變形為，則可用累加法求出，由此求得.例4已知數(shù)列滿足,求.解:將已知遞推式兩邊同除以得,設(shè),故有，,從而.注：通過變形,構(gòu)造輔助數(shù)列,轉(zhuǎn)化為基本數(shù)列的問題,是我們求解陌生的遞推關(guān)系式的常用方法.若為的一次函數(shù),則加上關(guān)于的一次函數(shù)構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列;若為的二次函數(shù),則加上關(guān)于的二次函數(shù)構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列.這時(shí)我們用待定系數(shù)法來求解.例5．已知數(shù)列滿足解:作,則,代入已知遞推式中得:.令這時(shí)且顯然,,所以.注：通過引入一些待定系數(shù)來轉(zhuǎn)化命題結(jié)構(gòu),經(jīng)過變形和比較,把問題轉(zhuǎn)化成基本數(shù)列,從而使問題得以解決.類似題型練習(xí)：（1）已知滿足，求。（2）已知數(shù)列，表示其前項(xiàng)和，若滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。提示：（2）中利用，把已知條件轉(zhuǎn)化成遞推式。五、型數(shù)列（為非零常數(shù)）這種類型