第-章質(zhì)點動力學(xué)的基本方程優(yōu)秀文檔

第11章質(zhì)點動力學(xué)的基本方程

例題§11-1動力學(xué)的基本定律§11-2質(zhì)點的運動微分方程§11-3質(zhì)點動力學(xué)的兩類基本問題1§11-1動力學(xué)的基本定律

第一定律(慣性定律):不受力作用的質(zhì)點，將保持靜止或作勻速直線運動。第二定律重力力的單位:牛[頓],第三定律

(作用與反作用定律):

兩個物體間的作用力與反作用力總是大小相等,方向相反,沿著同一直線,且同時分別作用在這兩個物體上。2§11-2質(zhì)點的運動微分方程1、在直角坐標(biāo)軸上的投影或質(zhì)點動力學(xué)的基本方程32、在自然軸上的投影

由有4§11-3質(zhì)點動力學(xué)的兩類基本問題第一類問題：已知運動求力.第二類問題：已知力求運動.混合問題：第一類與第二類問題的混合.5

設(shè)電梯以不變的加速度a

上升,求放在電梯地板上重W的物塊M

對地板的壓力。解:將物體

M

看成為自由質(zhì)點,它受重力

W

和地板約束力

FN

的作用。ma=FN

W注意到m=W/g,則由上式解得M給地板的壓力F'N與地板約束力FN等值而反向。MaMFNWx例題11-1例題

第一類問題：已知運動求力.6例題11-1上式第一部分稱為靜壓力，第二部分稱為附加動壓力，F(xiàn)'N稱為動壓力。令則n＞1,動壓力大于靜力，這種現(xiàn)象稱為超重。n＜1,動壓力小于靜力，這種現(xiàn)象稱為失重。MaMFNWx例題

第一類問題：已知運動求力.7單擺

M

的擺錘重

W

,繩長

l

,懸于固定點

O

,繩的質(zhì)量不計。設(shè)開始時繩與鉛垂線成偏角0

≤

/2

,并被無初速釋放，求繩中拉力的最大值。例題11-2OMM0φφ0例題第一類問題：已知運動求力.8解:采用自然形式的運動微分方程。任意瞬時，質(zhì)點的加速度在切向和法向的投影為寫出質(zhì)點的自然形式的運動微分方程例題11-2考慮到則式(1)化成OMM0φφ0enetanatOMM0φφ0FWanat例題

第一類問題：已知運動求力.9對上式采用定積分,把初條件作為積分下限從而得F=W(3cos2cos0)顯然,當(dāng)質(zhì)點M到達(dá)最低位置=0時,有最大值。故

Fmax=W(32cos0)例題11-2把式(4)代入式

，有例題

第一類問題：已知運動求力.10例題11-3

小球質(zhì)量為m，懸掛于長為l的細(xì)繩上，繩重不計。小球在鉛垂面內(nèi)擺動時，在最低處的速度為v；擺到最高處時，繩與鉛垂線夾角為φ，如圖所示，此時小球速度為零。試分別計算小球在最低和最高位置時繩的拉力。Oφvv=0例題

第一類問題：已知運動求力.11小球作圓周運動，受有重力W=mg和繩拉力F1。在最低處有法向加速度，由質(zhì)點運動微分方程沿法向的投影式，有則繩拉力小球在最高處φ角時，速度為零，法向加速度為零，則其運動微分方程沿法向投影式為則繩拉力解:Oφvv=0mgmgF1F2例題11-3例題

第一類問題：已知運動求力.12曲柄連桿機(jī)構(gòu)如圖所示。曲柄OA以勻角速度ω轉(zhuǎn)動，OA=r，AB=l，當(dāng)λ=r/l比較小時，以O(shè)為坐標(biāo)原點，滑塊B的運動方程可近似寫為如滑塊的質(zhì)量為m，忽略摩擦及連桿AB的質(zhì)量，試求當(dāng)和時，連桿AB所受的力。xyOABφβω例題11-4例題

第一類問題：已知運動求力.13例題11-4

以滑塊B為研究對象，當(dāng)φ=ωt時，受力如圖。連桿應(yīng)受平衡力系作用，由于不計連桿質(zhì)量，AB為二力桿，它對滑塊B的拉力F沿AB方向。由題設(shè)的運動方程，可以求得當(dāng)時，且，得AB桿受的拉力xBmgFNFβ解：寫出滑塊沿x軸的運動微分方程xyOABφβω例題

第一類問題：已知運動求力.14混合問題：第一類與第二類問題的混合.運動：因動參考系作平動，牽連加速度，科氏加速度。當(dāng)時，，鐵球就會緊貼筒壁轉(zhuǎn)過最高點而不脫離筒壁落下，起不到粉碎礦石的作用。繩的張力與拉力F的大小相等。如忽略介質(zhì)阻力，應(yīng)有μ=0。代入則此物塊的運動方程為第二類問題：已知力求運動.為了使鐵球獲得粉碎礦石的能量，鐵球應(yīng)在θ=θ0時（如圖）才掉下來?；旌蠁栴}：第一類與第二類問題的混合.擺到最高處時，繩與鉛垂線夾角為φ，如圖所示，此時小球速度為零。設(shè)電梯以不變的加速度a上升,求放在電梯地板上重W的物塊M對地板的壓力。擺到最高處時，繩與鉛垂線夾角為φ，如圖所示，此時小球速度為零。不受力作用的質(zhì)點，將保持靜止或作勻速直線運動?；旌蠁栴}：第一類與第二類問題的混合.令：，則上式可寫為自由振動微分方程的標(biāo)準(zhǔn)式第二類問題：已知力求運動.例題11-4得

時，而，AB桿受壓力。xBmgFNFβ則有xyOABφβω例題

第一類問題：已知運動求力.15質(zhì)量是

m

的物體

M

在均勻重力場中沿鉛直線由靜止下落，受到空氣阻力的作用。假定阻力FR

與速度平方成比例，即

FR=cv2

，阻力系數(shù)

c

單位取kg·m－1，數(shù)值由試驗測定，試求物體的運動規(guī)律。例題11-5xxFRmgvM例題

第二類問題：已知力求運動.1、力是速度函數(shù)的情形16解：取坐標(biāo)軸Ox鉛直向下，原點在物體的初始位置。寫出物體

M的運動微分方程。以

m除式(1)兩端,并代入

v0

的值,得xxFRmgv當(dāng)時，加速度為零。這個v1就是物體的極限速度。例題11-5M例題

第二類問題：已知力求運動.17分離變量,并取定積分,有由上式求解v，得于是物體速度隨時間而變化的規(guī)律為th是雙曲正切。例題11-5例題

第二類問題：已知力求運動.18于是求得物體的運動方程為為了求出物體的運動規(guī)律，只需把(3)再積分一次，有例題11-5例題

第二類問題：已知力求運動.19質(zhì)量為m的小球以水平速度v0射入靜水之中，如圖所示。如水對小球的阻力F與小球速度v的方向相反，而大小成正比，即F=-cv。c為阻力系數(shù)。忽略水對小球的浮力，試分析小球在重力和阻力作用下的運動。xyxmaxv0vFmgOM例題11-6例題

第二類問題：已知力求運動.1、力是速度函數(shù)的情形20小球在任意位置M處，受力有重力mg和阻力F=

–cvxi–cvyj。為求vx，vy將上兩式分離變量，得解：小球沿x，y軸的運動微分方程為xyxmaxv0vFmgOM例題11-6例題

第二類問題：已知力求運動.21上兩式的不定積分為按題意，t=0時，vx=v0，vy=0。代入上兩式求得兩個定分積常數(shù)將C1值代入式改寫為可得xyxmaxv0vFmgOM例題11-6例題

第二類問題：已知力求運動.22整理為或可得將D1值代入式可得可得

xyxmaxv0vFmgOM例題11-6例題

第二類問題：已知力求運動.23取初始位置為坐標(biāo)原點，即t=0時，x=y=0

。代入上兩式，求得常數(shù)再積分得xyxmaxv0vFmgOM例題11-6例題

第二類問題：已知力求運動.24則質(zhì)點的運動方程為如忽略介質(zhì)阻力，應(yīng)有μ=0。當(dāng)μ→0時，質(zhì)點的運動方程為xyxmaxv0vFmgOM例題11-6例題

第二類問題：已知力求運動.25例題11-7質(zhì)量為m的質(zhì)點帶有電荷e，以速度v0進(jìn)入強(qiáng)度按E=Acoskt變化的均勻電場中，初速度方向與電場強(qiáng)度垂直，如圖所示。質(zhì)點在電場中受力F=-eE作用。已知常數(shù)A，k，忽略質(zhì)點的重力，試求質(zhì)點的運動軌跡。交流電源平板電容器xyOmv0vF質(zhì)點運動軌跡E例題

第二類問題：已知力求運動.2、力是時間函數(shù)的情形26例題11-7取質(zhì)點的初始位置O為坐標(biāo)原點，取x，y軸如圖所示，而z軸與x

，y軸垂直。于是力在三軸上投影為Fx=Fz=0因為力和初速度在z軸上的投影均等于零，質(zhì)心的軌跡必定在Oxy平面內(nèi)。寫出質(zhì)心運動微分方程在x軸和y軸上的投影式解：交流電源平板電容器xyOmv0vF質(zhì)點運動軌跡E例題

第二類問題：已知力求運動.27例題11-7得按題意，時，以此為下限，式和交流電源平板電容器xyOmv0vF質(zhì)點運動軌跡E的定積分分別為例題

第二類問題：已知力求運動.28從以上兩式中消去時間t，得軌跡方程軌跡為余弦曲線，如圖所示。對以上兩式分離變量，并以t=0時，x=y=0為下限，做定積分交流電源平板電容器xyOmv0vF質(zhì)點運動軌跡E得質(zhì)點運動方程例題11-7例題

第二類問題：已知力求運動.29從以上兩式中消去時間t，得軌跡方程因為力和初速度在z軸上的投影均等于零，質(zhì)心的軌跡必定在Oxy平面內(nèi)。將物體M看成為自由質(zhì)點,它受重力W和地板約束力FN的作用。將式(2)積分,并利用初始條件(3)確定積分變量,求得質(zhì)點的相對運動規(guī)律為,將式(a)的變量分離并代入初始條件進(jìn)行積分消去時間t后,得到相對軌跡方程混合問題：第一類與第二類問題的混合.§11-2質(zhì)點的運動微分方程如忽略介質(zhì)阻力，應(yīng)有μ=0。擺到最高處時，繩與鉛垂線夾角為φ，如圖所示，此時小球速度為零。不受力作用的質(zhì)點，將保持靜止或作勻速直線運動。取坐標(biāo)軸Ox鉛直向下，原點在物體的初始位置。不受力作用的質(zhì)點，將保持靜止或作勻速直線運動。物塊在光滑水平面上與彈簧相連，如圖所示。物塊質(zhì)量為m，彈簧剛度系數(shù)為k。在彈簧拉長變形量為a時，釋放物塊。求物塊的運動規(guī)律。mOxFx例題11-8例題

第二類問題：已知力求運動.3、力是坐標(biāo)函數(shù)的情形30或上式化為自由振動微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式解：以彈簧未變形處為坐標(biāo)原點O，物塊在任意坐標(biāo)x處彈簧變形量為│x│

，彈簧力大小為，并指向點O，如圖所示。則此物塊沿x軸的運動微分方程為令mOxFx例題11-8例題

第二類問題：已知力求運動.31此微分方程的解可寫為由此解出mOxFx其中A，θ為任意常數(shù)，應(yīng)由運動的初始條件決定。由題意，取x=a處的時間為t=0，且此時有。代入上式，有例題11-8例題

第二類問題：已知力求運動.32代入則此物塊的運動方程為可見此物塊做簡諧振動，振動中心為O，振幅為a，周期。稱為圓頻率，應(yīng)由其標(biāo)準(zhǔn)形式的運動微分方程直接確定。將mOxFx例題11-8例題

第二類問題：已知力求運動.33一圓錐擺，如圖所示。質(zhì)量m=0.1kg的小球系于長l=0.3m的繩上，繩的一端系在固定點O，并與鉛直線成θ=60o角。如小球在水平面內(nèi)作勻速圓周運動，求小球的速度v與繩的張力F的大小。Olθ例題11-9例題

混合問題：第一類與第二類問題的混合.34Olθ以小球為研究的質(zhì)點，作用于質(zhì)點的力有重力mg和繩的拉力F。因，于是解得繩的張力與拉力F的大小相等。enetebmgF解：選取在自然軸上投影的運動微分方程，得例題11-9例題

混合問題：第一類與第二類問題的混合.35粉碎機(jī)滾筒半徑為R，繞通過中心的水平軸勻速轉(zhuǎn)動，筒內(nèi)鐵球由筒壁上的凸棱帶著上升。為了使鐵球獲得粉碎礦石的能量，鐵球應(yīng)在θ=θ0時（如圖）才掉下來。求滾筒每分鐘的轉(zhuǎn)數(shù)n。θ0n例題11-10例題

混合問題：第一類與第二類問題的混合.36θ視鐵球為質(zhì)點。鐵球被旋轉(zhuǎn)的滾筒帶著沿圓弧上向運動，當(dāng)鐵球到達(dá)某一高度時，會脫離筒壁而沿拋物線下落。質(zhì)點在上升過程中，受到重力mg，筒壁的法向力FN和切向力F的作用。mgFNF解：列出質(zhì)點的運動微分方程在主法線上的投影式質(zhì)點在未離開筒壁前的速度等于筒壁的速度。即n例題11-10例題

混合問題：第一類與第二類問題的混合.37于是解得當(dāng)θ=θ0時，鐵球?qū)⒙湎拢@時FN=0，于是得顯然，越小，要求n越大。當(dāng)時，，鐵球就會緊貼筒壁轉(zhuǎn)過最高點而不脫離筒壁落下，起不到粉碎礦石的作用。θmgFNF例題11-10例題

混合問題：第一類與第二類問題的混合.38如圖所示單擺，擺長為l，小球質(zhì)量為m，其懸掛點O以加速度a0向上運動，求此時單擺作微振動的周期。a0Oφm例題11-11例題

混合問題：第一類與第二類問題的混合.39第二類問題：已知力求運動.在初瞬時，=0，=2，試寫出小環(huán)M相對于大圓環(huán)的運動微分方程，并求出大圓環(huán)對小環(huán)M的約束力。Fmax=W(32cos0)第二類問題：已知力求運動.第一類問題：已知運動求力.以彈簧未變形處為坐標(biāo)原點O，物塊在任意坐標(biāo)x處彈簧變形量為│x│，彈簧力大小為，并指向點O，如圖所示。設(shè)車廂以均加速度a沿水平直線軌道向右行駛。不受力作用的質(zhì)點，將保持靜止或作勻速直線運動。§11-3質(zhì)點動力學(xué)的兩類基本問題消去時間t后,得到相對軌跡方程試分別計算小球在最低和最高位置時繩的拉力。第一類問題：已知運動求力.為了使鐵球獲得粉碎礦石的能量，鐵球應(yīng)在θ=θ0時（如圖）才掉下來。第二類問題：已知力求運動.繩的張力與拉力F的大小相等。在彈簧拉長變形量為a時，釋放物塊。質(zhì)量為m的小球以水平速度v0射入靜水之中，如圖所示。在懸掛點O上固結(jié)一平動參考系Ox'y'，小球相對于此動參考系的運動相當(dāng)于懸掛固定的單擺振動。分析小球受力：重力，繩子張力F。運動：因動參考系作平動，牽連加速度，科氏加速度。解：建立相對運動動力學(xué)基本方程例題11-11例題

混合問題：第一類與第二類問題的混合.a0Oφmy'x'WetF40將上式投影到切向軸et上，得當(dāng)擺作微振動時，φ

角很小，有，且，上式成為例題11-11例題

混合問題：第一類與第二類問題的混合.a0Oφmy'x'WetF41令：，則上式可寫為自由振動微分方程的標(biāo)準(zhǔn)式其解的形式為，而振動周期為例題11-11例題

混合問題：第一類與第二類問題的混合.a0Oφmy'x'WetF42設(shè)車廂以均加速度a沿水平直線軌道向右行駛。求由車廂棚頂

M0

處自由落下的質(zhì)點

M

的相對運動。O1M0ahMx1y1z1例題11-12例題

混合問題：第一類與第二類問題的混合.43解:取動坐標(biāo)系O1x1y1z1固連車廂。因為動坐標(biāo)系作直線平動,有mar+mae

=W(1)ae=ae,方向與車廂加速度

a相同把式(1)向動坐標(biāo)系各軸上投影,得相對運動微分方程即根據(jù)所選坐標(biāo)系,質(zhì)點運動的初始條件寫成當(dāng)t=0時,O1M0