工程力學(xué)課件-7.2

第七章梁的彎曲內(nèi)力7.1梁彎曲的基本概念7.2梁彎曲的內(nèi)力7.3梁的平衡微分方程和積分方程7.4連續(xù)曲線法求梁的內(nèi)力圖第六章圓軸的扭轉(zhuǎn)7.1梁彎曲的基本概念q彎曲變形—桿件受到垂直于桿的軸線的外力,即橫向力,或受到位于桿軸平面內(nèi)的外力偶矩作用時(shí)，桿的軸線由直線彎成曲線（或梁軸線的曲率產(chǎn)生改變）的變形。梁—以彎曲變形為主要變形的桿件。第六章圓軸的扭轉(zhuǎn)7.1梁彎曲的基本概念第六章圓軸的扭轉(zhuǎn)7.1梁彎曲的基本概念第六章圓軸的扭轉(zhuǎn)7.1梁彎曲的基本概念受力圖第六章圓軸的扭轉(zhuǎn)7.1梁彎曲的基本概念受力圖結(jié)構(gòu)圖PaAB陽(yáng)臺(tái)梁欄桿PqAB第六章圓軸的扭轉(zhuǎn)7.1梁彎曲的基本概念工程中常見(jiàn)的梁，其橫截面均有對(duì)稱軸，例如：對(duì)稱軸對(duì)稱軸對(duì)稱軸對(duì)稱軸第六章圓軸的扭轉(zhuǎn)7.1梁彎曲的基本概念軸線縱向?qū)ΨQ面Fq彎曲后梁的軸線（撓曲線）截面對(duì)稱軸M平面彎曲—梁的撓曲線與載荷作用面共面的彎曲變形。平面彎曲的充分條件—梁截面有對(duì)稱軸及載荷作用在對(duì)稱面內(nèi)。第六章圓軸的扭轉(zhuǎn)7.1梁彎曲的基本概念梁的支座形式與計(jì)算簡(jiǎn)圖第六章圓軸的扭轉(zhuǎn)7.1梁彎曲的基本概念第六章圓軸的扭轉(zhuǎn)7.1梁彎曲的基本概念第六章圓軸的扭轉(zhuǎn)7.1梁彎曲的基本概念靜定梁——支座反力可由靜力平衡方程確定的梁。（a）簡(jiǎn)支梁（b）懸臂梁（c）外伸梁（d）靜定組合梁第六章圓軸的扭轉(zhuǎn)7.1梁彎曲的基本概念靜不定梁—支座反力不能由靜力平衡方程完全確定的梁。

（e）固支梁（f）多跨梁第六章圓軸的扭轉(zhuǎn)7.1梁彎曲的基本概念梁的純彎曲和中性軸橫力彎曲或剪切彎曲—梁橫截面上既有彎矩又有剪力。純彎曲—梁橫截面上只存在彎矩一種內(nèi)力。中性層—受拉區(qū)與受壓區(qū)的交界面為梁的中性層。中性軸—中性層與梁橫截面的交線為梁的中性軸。第六章圓軸的扭轉(zhuǎn)7.1梁彎曲的基本概念梁上荷載及其符號(hào)組合載荷第六章圓軸的扭轉(zhuǎn)7.2梁彎曲的內(nèi)力平面彎曲Cxyz截面對(duì)稱面的法線截面對(duì)稱軸梁平面彎曲時(shí)的內(nèi)力：沿截面對(duì)稱軸方向的剪力

FQ=Q=Fxy

(x-y平面）繞縱向?qū)ΨQ面的法線的彎矩

M

=Mxz第六章圓軸的扭轉(zhuǎn)7.2梁彎曲的內(nèi)力求彎曲內(nèi)力（剪力和彎矩）的基本方法——

截面法q

已知梁所受的載荷，如何確定梁任意橫截面上的內(nèi)力？Cxyz平面彎曲第六章圓軸的扭轉(zhuǎn)7.2梁彎曲的內(nèi)力

設(shè)有一簡(jiǎn)支梁AB，梁上一點(diǎn)受集中力F

作用?，F(xiàn)分析距A端為x

處的橫截面m-m

上的內(nèi)力。解：1、根據(jù)平衡條件求支座反力2、截取m-m

截面左段剪力

—使截面不產(chǎn)生移動(dòng)彎矩M—使截面不產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)得到：ALBFab第六章圓軸的扭轉(zhuǎn)7.2梁彎曲的內(nèi)力得到：如截取m-m截面右段梁:由作用力與反作用力的關(guān)系得第六章圓軸的扭轉(zhuǎn)7.2梁彎曲的內(nèi)力梁的內(nèi)力正負(fù)號(hào)規(guī)則根據(jù)變形約定內(nèi)力的正負(fù)：

同一位置處左、右側(cè)截面上內(nèi)力分量必須具有相同的正負(fù)號(hào)。剪力：

梁的左側(cè)截面上向上的剪力為正，梁的右側(cè)截面上向下的剪力為正，反之則為負(fù)。概括為“左(向)上或右(向)下，剪力為正”。第六章圓軸的扭轉(zhuǎn)7.2梁彎曲的內(nèi)力彎矩M：使梁彎曲呈向上凹形的彎矩為正，反之則為負(fù)。受壓側(cè)受拉側(cè)或記為：

梁的左側(cè)截面上順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)的彎矩或梁的右側(cè)截面上逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)的彎矩為正，反之則為負(fù)。概括為“左順右逆，彎矩為正”。內(nèi)力正負(fù)號(hào)規(guī)則：梁下側(cè)受拉為正第六章圓軸的扭轉(zhuǎn)7.2梁彎曲的內(nèi)力

“Happy”Beamis

“Sad”Beamis

+，正彎矩和正剪力內(nèi)力正負(fù)號(hào)規(guī)則：MM對(duì)彎矩符號(hào)可根據(jù)彎曲的形狀來(lái)記憶：第六章圓軸的扭轉(zhuǎn)7.2梁彎曲的內(nèi)力梁上的分布載荷第六章圓軸的扭轉(zhuǎn)7.2梁彎曲的內(nèi)力例4-1：

一簡(jiǎn)支梁受力如圖所示。試求C截面（跨中截面）上的內(nèi)力。解：1、根據(jù)平衡條件求支座反力qAB4aaaC第六章圓軸的扭轉(zhuǎn)7.2梁彎曲的內(nèi)力2、求C截面（跨中截面）上的內(nèi)力得到：（剪力的實(shí)際方向與假設(shè)方向相反，為負(fù)剪力）得到：（彎矩Mc

的實(shí)際方向與假設(shè)方向相同，為正彎矩）第六章圓軸的扭轉(zhuǎn)7.2梁彎曲的內(nèi)力如取右側(cè)梁作為研究對(duì)象，則：為了計(jì)算方便，通常取外力比較簡(jiǎn)單的一段梁作為研究對(duì)象。第六章圓軸的扭轉(zhuǎn)7.2梁彎曲的內(nèi)力解：1、根據(jù)平衡條件求支座反力例4-2：一外伸梁受力如圖所示。試求C截面、截面和截面上的內(nèi)力。AB1m1m1m1m2mq=2KN/mP=2KNECDF第六章圓軸的扭轉(zhuǎn)7.2梁彎曲的內(nèi)力2、求指定橫截面上的剪力和彎矩C

截面：AB1m1m1m1m2mq=2KN/mP=2KNECDF第六章圓軸的扭轉(zhuǎn)7.2梁彎曲的內(nèi)力截面：AB1m1m1m1m2mq=2KN/mP=2KNECDF第六章圓軸的扭轉(zhuǎn)7.2梁彎曲的內(nèi)力AB1m1m1m1m2mq=2KN/mP=2KNECDF截面：與截面相比，該截面的內(nèi)力只增加了約束反力，故有：亦可取梁的右側(cè)的外力簡(jiǎn)化，但必須注意外力的符號(hào)變化。第六章圓軸的扭轉(zhuǎn)7.2梁彎曲的內(nèi)力

在一般情況下，梁橫截面上的剪力和彎矩隨截面的位置而變化。因此，剪力和彎矩均可表示為截面位置x

的函數(shù)，即稱為剪力方程和彎矩方程AB1m1m1m1m2mq=2KN/mP=2KNECDF第六章圓軸的扭轉(zhuǎn)7.2梁彎曲的內(nèi)力彎矩和剪力的變化規(guī)律：

在載荷無(wú)突變的一段桿的各截面上，內(nèi)力按相同的規(guī)律變化。第六章圓軸的扭轉(zhuǎn)7.2梁彎曲的內(nèi)力AB1m1m1m1m2mq=2KN/mP=2KNEDF◆因此，必須分段列出梁的剪力方程和彎矩方程，各段的分界點(diǎn)為各段梁的控制截面。

控制截面的概念：外力規(guī)律發(fā)生變化的截面—如集中力、集中力偶作用點(diǎn)、分布載荷的起點(diǎn)和終點(diǎn)所位于的橫截面.第六章圓軸的扭轉(zhuǎn)7.2梁彎曲的內(nèi)力剪力圖和彎矩圖——用圖示的方法形象地表示剪力和彎矩沿梁軸線變化情況的曲線。注意：在內(nèi)力圖中必須標(biāo)明絕對(duì)值最大的內(nèi)力值2)在內(nèi)力圖中必須標(biāo)明控制截面上的內(nèi)力值第六章圓軸的扭轉(zhuǎn)7.2梁彎曲的內(nèi)力例4-3:懸臂梁受力如圖所示。試列出梁的剪力方程和彎矩方程，作出梁的剪力圖和彎矩圖，并求出梁的和及其所在截面位置。取參考坐標(biāo)系xAy。解：1、列出梁的剪力方程和彎矩方程AB段:第六章圓軸的扭轉(zhuǎn)7.2梁彎曲的內(nèi)力BC段:2、作梁的剪力圖和彎矩圖3、求和（在BC段的各截面）（在AB段的各截面）第六章圓軸的扭轉(zhuǎn)7.2梁彎曲的內(nèi)力注意：1、在列梁的剪力方程和彎矩方程時(shí)，參數(shù)x

可以從坐標(biāo)原點(diǎn)算起，也可從另外的點(diǎn)算起，僅需要寫清楚方程的適用范圍（x

的區(qū)間）即可。2、剪力、彎矩方程的適用范圍，在集中力（包括支座反力）作用處，應(yīng)為開(kāi)區(qū)間，因在該處剪力圖有突變；而在集中偶作用處，M(x)

應(yīng)為開(kāi)區(qū)間，因在該處彎矩圖有突變。3、若所得方程為x

的二次或二次以上方程時(shí)，則在作圖時(shí)除計(jì)算控制截面的值外，應(yīng)注意曲線的凹凸方向及其極值。第六章圓軸的扭轉(zhuǎn)7.2梁彎曲的內(nèi)力例4-4：

外伸簡(jiǎn)支梁受力如圖所示。試列出梁的剪力方程和彎矩方程，作梁的剪力圖和彎矩圖。ABqF=qaC解：1、取參考坐標(biāo)系xCy。根據(jù)平衡條件求支座反力第六章圓軸的扭轉(zhuǎn)7.2梁彎曲的內(nèi)力2、列出梁的剪力方程和彎矩方程yABqF=qaCa2axCA段:AB段:yABqF=qaCa2ax3、作梁的剪力圖和彎矩圖-qa(-)(-)(+)(-)E(+)求彎矩的極值-

確定剪力為零的位置

xyABqF=qaCa2ax-qa(-)(-)(+)(-)E(+)x注意：在內(nèi)力圖中必須標(biāo)明絕對(duì)值最大的內(nèi)力值及相應(yīng)位置；2)在內(nèi)力圖中必須標(biāo)明控制截面上的內(nèi)力值。在A點(diǎn)在A點(diǎn)第六章圓軸的扭轉(zhuǎn)7.3梁的平衡微分方程和積分方程考察受任意載荷作用的梁。規(guī)定向上的分布載荷q(x)

為正。建立xoy坐標(biāo)系。研究梁的微分段的平衡。q(x)o取一長(zhǎng)度為dx的微分段，及考察此微段的受力與平衡q(x)xydx

x由此式知：剪力圖曲線上一點(diǎn)處的斜率等于梁上相應(yīng)點(diǎn)處的載荷集度

q。微分段的平衡剪力圖曲線上一點(diǎn)處的斜率等于梁上相應(yīng)點(diǎn)處的分布載荷集度

q。yABqF=qaCa2ax-qa(-)(-)(+)(-)E(+)略去二階微量

，得：

由此式知：彎矩圖曲線上一點(diǎn)的斜率等于梁上相應(yīng)截面處的剪力。微分段的平衡彎矩圖曲線上一點(diǎn)的斜率等于梁上相應(yīng)截面處的剪力

FQ

。yABqF=qaCa2ax-qa(-)(-)(+)(-)E(+)由此式知：彎矩圖曲線上某點(diǎn)處的凹凸方向由梁上相應(yīng)點(diǎn)處的分布載荷集度q

的符號(hào)決定。彎矩、剪力和分布荷載集度之間的關(guān)系梁內(nèi)力分量間的微分關(guān)系

荷載剪力方程彎矩方程剪力圖彎矩圖常數(shù)線性二次曲線

線性突變無(wú)變化突變拐折取極值常數(shù)集中力集中力偶0=QF例4-5

一外伸梁受力如圖所示。試作梁的剪力圖、彎矩圖。解：1、根據(jù)平衡條件求支座反力AB1m1m4mF=3KNCDq=2KN/m校核無(wú)誤。由0，=?yFAB1m1m4mF=3KNCDq=2KN/m2、由微分關(guān)系判斷各段的形狀。載荷CADBAD斜直線斜直線AB1m1m4mF=3KNCDq=2KN/m3、作-圖。4、作M-圖。CA段：(-)AD段：-3KN4.2KN-3.8KN(