高等應(yīng)用數(shù)學(xué)問(wèn)題的matlab求解-2008源程序math chap

3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30第4章

線性代數(shù)問(wèn)題的計(jì)算機(jī)求解高等應(yīng)用數(shù)學(xué)問(wèn)題的MATLAB求解清華大學(xué)出版社2008CAI課件開(kāi)發(fā)：薛定宇、劉瑩瑩、董雯彬3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30第4章線性代數(shù)

問(wèn)題的計(jì)算機(jī)求解特殊矩陣的輸入矩陣基本分析矩陣的基本變換與分解矩陣方程的計(jì)算機(jī)求解非線性運(yùn)算與矩陣函數(shù)求值3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:304.1特殊矩陣的輸入數(shù)值矩陣的輸入符號(hào)矩陣的輸入3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:304.1.1數(shù)值矩陣的輸入零矩陣、幺矩陣及單位矩陣隨機(jī)元素矩陣對(duì)角元素矩陣Hankel矩陣Hilbert矩陣及Hilbert逆矩陣Vandermonde矩陣伴隨矩陣3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:304.1.1.1零矩陣、幺矩陣及單位矩陣生成零矩陣、幺矩陣及單位矩陣的語(yǔ)法格式方陣

3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30

矩形矩陣生成和矩陣同樣維數(shù)的矩陣支持多維數(shù)組和其他數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30例4.1生成一個(gè)的零矩陣，并可以生成一個(gè)和維數(shù)相同的擴(kuò)展單位陣MATLAB求解語(yǔ)句注意：zeros()和

ones()也可用于多維數(shù)組的生成3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:304.1.1.2隨機(jī)元素矩陣矩陣的隨機(jī)元素滿足在區(qū)間上的均勻分布調(diào)用格式生成階標(biāo)準(zhǔn)均勻分布偽隨機(jī)數(shù)方陣生成階標(biāo)準(zhǔn)均勻分布偽隨機(jī)數(shù)矩陣3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30函數(shù)rand()也可以用于定義多維數(shù)組定義一個(gè)與同樣大小的隨機(jī)矩陣生成區(qū)間上均勻分布的隨機(jī)數(shù)3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30生成滿足N(0,1)的正態(tài)分布的隨機(jī)矩陣生成滿足N(m,s2)正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:304.1.1.3對(duì)角元素矩陣對(duì)角矩陣的數(shù)學(xué)描述其中，所有的非對(duì)角元素都為03/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30已知向量生成對(duì)角矩陣已知矩陣提取對(duì)角元素列向量生成主對(duì)角線上第k條對(duì)角線為V的矩陣注意：k可以是負(fù)整數(shù)3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30例4.2diag()函數(shù)的不同調(diào)用格式生成對(duì)角矩陣對(duì)角元素提取生成主對(duì)角線上第k條對(duì)角線為V的矩陣3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30構(gòu)造三對(duì)角矩陣構(gòu)造矩陣3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30構(gòu)造塊對(duì)角矩陣調(diào)用格式3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:304.1.1.4Hankel矩陣Hankel矩陣的一般形式給定兩個(gè)向量和3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30其中，是第一列，是第一行構(gòu)造上三角Hankel矩陣3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30例4.3建立如下的Hankel矩陣MATLAB求解語(yǔ)句3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:304.1.1.5Hilbert矩陣

及Hilbert逆矩陣Hilbert矩陣的一般形式其中，3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30產(chǎn)生Hilbert矩陣的MATLAB函數(shù)求取Hilbert逆矩陣的MATLAB函數(shù)注意：Hilbert矩陣本身接近奇異的性質(zhì)，在處理該矩陣時(shí)建議盡量采用符號(hào)運(yùn)算工具箱3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:304.1.1.6Vandermonde矩陣Vandermonde矩陣的數(shù)學(xué)描述其中，生成Vandermonde矩陣3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30例4.4試建立Vandermonde矩陣MATLAB求解語(yǔ)句3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:304.1.1.7Companionmatrices一個(gè)首一化的多項(xiàng)式其伴隨矩陣3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30生成伴隨矩陣的MATLAB函數(shù)調(diào)用格式其中，為一多項(xiàng)式向量，該函數(shù)將自動(dòng)對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行首一化處理3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30例4.5考慮一個(gè)多項(xiàng)式求出它的伴隨矩陣MATLAB求解語(yǔ)句3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:304.1.2符號(hào)矩陣的輸入將數(shù)值矩陣A轉(zhuǎn)換成符號(hào)矩陣，以便求出解析解轉(zhuǎn)換成符號(hào)矩陣的語(yǔ)法格式一些特殊矩陣，需要編寫(xiě)重載的函數(shù)，并置于目錄@sym下compan,hankel,vander3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30構(gòu)造符號(hào)伴隨矩陣3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30例4.6給定多項(xiàng)式如下用解析方法建立其伴隨矩陣MATLAB求解語(yǔ)句3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30構(gòu)造符號(hào)Hankel矩陣3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30構(gòu)造符號(hào)Vandermonde

矩陣以上三個(gè)函數(shù)應(yīng)當(dāng)存在@sym目錄下避免與現(xiàn)有的函數(shù)沖突3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:304.2

矩陣基本分析矩陣基本概念與性質(zhì)逆矩陣與廣義逆矩陣矩陣的特征值問(wèn)題3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:304.2.1矩陣基本概念與性質(zhì)行列式矩陣的跡矩陣的秩矩陣范數(shù)特征多項(xiàng)式矩陣多項(xiàng)式的求解符號(hào)多項(xiàng)式與數(shù)值多項(xiàng)式的轉(zhuǎn)換3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:304.2.1.1行列式矩陣

的行列式定義為函數(shù)調(diào)用格式注意：該函數(shù)既可用于數(shù)值運(yùn)算又可用于符號(hào)運(yùn)算3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30例4.7計(jì)算如下矩陣的行列式MATLAB求解語(yǔ)句3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30例4.8用解析方法計(jì)算出的Hilbert矩陣的行列式MATLAB求解語(yǔ)句結(jié)果3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:304.2.1.2矩陣的跡假設(shè)一個(gè)方陣為它的跡定義為函數(shù)調(diào)用格式3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:304.2.1.3矩陣的秩矩陣A的秩定義為為列秩，為行秩調(diào)用格式數(shù)值方法或符號(hào)方法求秩給定精度下求數(shù)值秩3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30例4.9求下列矩陣的秩MATLAB求解語(yǔ)句3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30例4.10用數(shù)值方法和解析方法求解的Hilbert矩陣的秩MATLAB求解語(yǔ)句數(shù)值方法解析方法數(shù)值方法可能得出錯(cuò)誤的結(jié)果3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:304.2.1.4矩陣范數(shù)函數(shù)

為

向量的范數(shù)的條件：且的充要條件是，a為任意標(biāo)量對(duì)向量和，有3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30以下的p-范數(shù)滿足以上的三個(gè)條件并且為向量范數(shù)的記號(hào)3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30對(duì)任意非0向量,矩陣A的范數(shù)是常用的矩陣范數(shù)3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30

為矩陣的特征值，而為矩陣的最大特征值函數(shù)調(diào)用格式默認(rèn)的格式選項(xiàng)可以是1,2,inf,‘fro’注意：norm()

函數(shù)僅用于數(shù)值矩陣3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30計(jì)算下列矩陣的各種范數(shù)MATLAB求解語(yǔ)句3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:304.2.1.5特征多項(xiàng)式由矩陣得如下多項(xiàng)式多項(xiàng)式是矩陣的特征多項(xiàng)式函數(shù)調(diào)用格式3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30例4.11求出如下矩陣的特征多項(xiàng)式

直接計(jì)算3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30使用符號(hào)運(yùn)算工具箱Leverrier-Faddeev遞推算法其中這里使用了循環(huán)結(jié)構(gòu)3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30編寫(xiě)MATLAB函數(shù)函數(shù)主體3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30代碼，接上頁(yè)3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30例4.12試推導(dǎo)出向量對(duì)應(yīng)的Hankel矩陣的特征多項(xiàng)式MATLAB求解語(yǔ)句3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30如果多項(xiàng)式的表述如下則并且這里使用了循環(huán)結(jié)構(gòu)3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30構(gòu)造一個(gè)MATLAB函數(shù)3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30例4.13提取由向量構(gòu)成的Hankel矩陣的特征多項(xiàng)式的系數(shù)MATLABsolutions:3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:304.2.1.6矩陣多項(xiàng)式的求解矩陣多項(xiàng)式的數(shù)學(xué)表示函數(shù)調(diào)用格式其中，

是特征多項(xiàng)式的按降冪排列的系數(shù)3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30點(diǎn)運(yùn)算方式定義多項(xiàng)式運(yùn)算函數(shù)調(diào)用格式給出多項(xiàng)式p(符號(hào)運(yùn)算工具箱)3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30Cayley-Hamilton定理:若矩陣的特征多項(xiàng)式為那么,，即3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30例4.14以Vandermonde矩陣為一個(gè)例，證明Cayley-Hamilton定理MATLAB求解語(yǔ)句(錯(cuò)誤的):使用poly1()函數(shù)3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:304.2.1.7符號(hào)多項(xiàng)式

與數(shù)值多項(xiàng)式的轉(zhuǎn)換給定向量數(shù)值多項(xiàng)式系數(shù)構(gòu)成的向量轉(zhuǎn)換成多項(xiàng)式表示 符號(hào)表達(dá)式轉(zhuǎn)換成系數(shù)向量的形式3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30例4.15分別用數(shù)值形式和符號(hào)形式表示下面的多項(xiàng)式轉(zhuǎn)換成符號(hào)形式的多項(xiàng)式轉(zhuǎn)換成數(shù)值形式的多項(xiàng)式3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:304.2.2逆矩陣與廣義逆矩陣矩陣的逆矩陣矩陣的廣義逆3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:304.2.2.1矩陣的逆矩陣逆矩陣的數(shù)學(xué)描述其中，是一個(gè)的非奇異方陣，那么函數(shù)調(diào)用格式3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30例4.16求Hilbert矩陣的逆

Hilbert矩陣使用invhilb()函數(shù)來(lái)直接得到逆矩陣3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30Hilbert矩陣

Hilbert矩陣3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30符號(hào)矩陣

Hilbert逆矩陣

Hilbert逆矩陣3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30例4.17求如下奇異矩陣的逆矩陣MATLAB求解語(yǔ)句使用符號(hào)運(yùn)算工具箱3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30例4.18推導(dǎo)如下Hankel矩陣的逆矩陣MATLAB求解語(yǔ)句3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30本行變換的方式求解矩陣的逆3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:304.2.2.2矩陣的廣義逆適用于奇異或/和矩形矩陣如果存在，那么

就叫做的廣義逆矩陣，記為不唯一定義范數(shù)最小化指標(biāo)3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30矩陣為矩陣的Moore-Penrose廣義逆矩陣的條件：(i)(ii)(iii)

和均為Hermite對(duì)稱矩陣記為唯一的Moore-Penrose廣義逆3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30調(diào)用格式按默認(rèn)精度求取Moore-Penrose廣義逆按指定精度求解廣義逆矩陣3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30例4.19使用pinv()函數(shù)來(lái)計(jì)算下述矩陣的逆MATLAB求解語(yǔ)句3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30檢驗(yàn)Moore-Penrose廣義逆的三個(gè)條件檢驗(yàn)3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30例4.20對(duì)下述矩陣進(jìn)行基本分析求秩3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30求廣義逆并驗(yàn)證結(jié)果3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:304.2.3矩陣的特征值問(wèn)題一般矩陣的特征值與特征向量矩陣的廣義特征向量問(wèn)題3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:304.2.3.1一般矩陣的

特征值與特征向量數(shù)學(xué)描述非零向量是特征向量,數(shù)值是特征值調(diào)用格式或3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30例4.21計(jì)算下述矩陣的特征值和特征向量直接運(yùn)算3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30求出特征根的精確解結(jié)果：3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:304.2.3.2矩陣的廣義特征向量問(wèn)題數(shù)學(xué)描述非零向量是特征向量,數(shù)值是特征值，是整定對(duì)稱矩陣調(diào)用格式或3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30例4.22已知如下，試求它們的廣義特征值與特征向量矩陣。矩陣3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30MATLAB求解語(yǔ)句3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:304.3矩陣的基本變換與分解矩陣的相似變換與正交矩陣矩陣的三角分解和Cholesky分解矩陣的伴隨變換、對(duì)角變換和Jordan變換矩陣的奇異值分解3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:304.3.1矩陣的相似變換與正交矩陣矩陣的相似變換的數(shù)學(xué)描述正交矩陣的數(shù)學(xué)描述函數(shù)調(diào)用格式3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30例4.23求下列矩陣的正交矩陣MATLAB求解語(yǔ)句和證明3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30例4.24給定試求出其正交基矩陣并證明其性質(zhì)3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:304.3.2矩陣的三角分

解和Cholesky分解一般矩陣的三角分解對(duì)稱矩陣的三角分解——Cholesky分解正定、正規(guī)矩陣的定義與判定3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:304.3.2.1一般矩陣的三角分解數(shù)學(xué)描述其中3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30遞推計(jì)算公式：遞推初值：3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30MATLAB函數(shù)調(diào)用格式LU分解為置換矩陣,3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30LU分解的MATLAB解析程序,置于@sym下3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30例4.25給定兩種方法調(diào)用lu()函數(shù)MATLAB求解語(yǔ)句步驟1：3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30步驟2：證明：解析解3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:304.3.2.2對(duì)稱矩陣的三角

分解——Cholesky分解數(shù)學(xué)描述其中

是對(duì)稱矩陣3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30對(duì)稱矩陣的Cholesky分解算法函數(shù)調(diào)用格式3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30重載函數(shù)chol()，求解析解，置于目錄@sym下注意：Cholesky分解不能用于非對(duì)稱矩陣3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30例4.26對(duì)下列矩陣進(jìn)行Cholesky分解MATLAB求解語(yǔ)句3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:304.3.2.3正定、正規(guī)

矩陣的定義與判定數(shù)學(xué)描述正定矩陣：對(duì)稱矩陣所有的主子行列式均為正數(shù)3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30判定正定矩陣的調(diào)用格式正規(guī)矩陣其中

是負(fù)數(shù)方陣,是的Hermite轉(zhuǎn)置檢驗(yàn)正規(guī)矩陣的調(diào)用格式3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30例4.27給定判定它是否為正定矩陣，并對(duì)其進(jìn)行Cholesky分解.MATLAB求解語(yǔ)句3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:304.3.3矩陣的伴隨變換、對(duì)

角變換和Jordan變換一般矩陣變換成伴隨矩陣矩陣的對(duì)角化矩陣的Jordan變換3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:304.3.3.1一般矩陣變換成伴隨矩陣如果存在非奇異矩陣和列向量矩陣

可以轉(zhuǎn)換成一個(gè)與類(lèi)似伴隨矩陣的形式3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30例4.28給定將該矩陣轉(zhuǎn)換成伴隨矩陣MATLAB求解語(yǔ)句3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30接上頁(yè)標(biāo)準(zhǔn)伴隨形式3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:304.3.3.2矩陣的對(duì)角化如果矩陣的特征值互異，則特征向量矩陣為非奇異矩陣，可將原矩陣變換成對(duì)角矩陣含有復(fù)數(shù)特征根的矩陣能得出復(fù)數(shù)的對(duì)角矩陣和復(fù)數(shù)相似變換矩陣。3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30例4.29試求出下述矩陣的對(duì)角矩陣及變換矩陣MATLAB求解語(yǔ)句3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30例4.30試求出下述矩陣的對(duì)角矩陣變換MATLAB求解語(yǔ)句3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30如若得出實(shí)矩陣可以得出改進(jìn)的Jordan矩陣及其變換矩陣為3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:304.3.3.3矩陣的Jordan變換Jordan變換用于處理含有重特征值的矩陣函數(shù)調(diào)用格式只返回Jordan矩陣返回Jordan矩陣，和廣義特征向量矩陣3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30例4.31給定分別用數(shù)值方法和解析方法求出該矩陣的特征值與特征向量矩陣3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30數(shù)值和解析方法3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30例4.32求如下矩陣的Jordan分解MATLAB求解語(yǔ)句3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30例4.33試得出下面矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型和變換矩陣3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30MATLAB求解語(yǔ)句3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30得出實(shí)矩陣直接進(jìn)行相似變換3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:304.3.4矩陣的奇異值分解數(shù)學(xué)描述理論上奇異值定義其中，是非負(fù)特征值3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30例4.34給定計(jì)算它的秩，其中計(jì)算MATLAB直接求解3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30奇異值分解(SVD)的數(shù)學(xué)描述其中，

是一個(gè)矩陣，

和為正交矩陣是對(duì)角矩陣對(duì)角元素滿足3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30函數(shù)調(diào)用格式只計(jì)算矩陣的奇異值矩陣奇異值與變換矩陣3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30矩陣的條件數(shù)其中，和是最大的奇異值，和是最大的奇異值函數(shù)調(diào)用格式3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30例4.35對(duì)下列矩陣進(jìn)行奇異值分解MATLAB求解語(yǔ)句：條件數(shù)3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30例4.36對(duì)下面的矩陣進(jìn)行奇異值分解，并驗(yàn)證結(jié)果

MATLAB求解語(yǔ)句3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:304.4矩陣方程的計(jì)算機(jī)求解線性方程組的計(jì)算機(jī)求解Lyapunov方程的計(jì)算機(jī)求解Sylvester方程的計(jì)算機(jī)求解Riccati方程的計(jì)算機(jī)求解3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:304.4.1線性方程組的計(jì)算機(jī)求解數(shù)學(xué)描述其中，和為給定矩陣3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30存在定理：當(dāng)

并且

，則唯一解存在函數(shù)調(diào)用格式注意：推薦使用符號(hào)運(yùn)算方法唯一解3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30例4.37求解線性代數(shù)方程3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30MATLAB求解語(yǔ)句：3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30解的判定矩陣當(dāng)

,則方程組有無(wú)窮多個(gè)解方程組有無(wú)窮多解3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30通解其中，是任意常數(shù)函數(shù)調(diào)用格式求解矩陣的化零矩陣求解矩陣的化零矩陣的規(guī)范形式3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30例4.38求下列方程組的解MATLAB求解語(yǔ)句判定矩陣方程的可解性3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30通解采用基本行變換方法：3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30例4.39試求解線性代數(shù)方程組3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30MATLAB求解語(yǔ)句：3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30如果，則只能利用Moore-Penrose廣義逆求解出方程的最小二乘解它使誤差的范數(shù)測(cè)度取最小值.方程組無(wú)解3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30例4.40試求方程組MATLAB求解語(yǔ)句最小二乘解3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30如果線性方程組為對(duì)上式兩端進(jìn)行轉(zhuǎn)置處理式中，再套用上述的幾種情況，則可以求解原始線性方程組3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:304.4.2Lyapunov方程的計(jì)算機(jī)求解連續(xù)Lyapunov方程Lyapunov方程的解析解Stein方程的求解離散Lyapunov方程3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:304.4.2.1連續(xù)Lyapunov方程書(shū)序描述這里，假定為對(duì)稱正定的矩陣函數(shù)調(diào)用格式（該函數(shù)為控制系統(tǒng)工具箱中的函數(shù)）3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30例4.41給定求解相應(yīng)的Lyapunov方程，并驗(yàn)證精度MATLAB求解語(yǔ)句3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:304.4.2.2Lyapunov方程的解析解數(shù)學(xué)描述將Lyapunov方程的各個(gè)矩陣參數(shù)表示為3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30接前頁(yè)可以將Lyapunov方程改寫(xiě)成:3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30

表示矩陣和的Kronecker乘積函數(shù)調(diào)用格式3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30例4.42給定試求解得到Lyapunov方程的解析解MATLAB求解語(yǔ)句：3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30例4.43假定其中，不為實(shí)對(duì)稱正定矩陣考察，由它們構(gòu)成的Lyapunov方程是否有解3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30MATLAB求解語(yǔ)句結(jié)論：不考慮Lyapunov方程穩(wěn)定性的物理意義和函數(shù)的能量意義，矩陣C可以是任一個(gè)3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:304.4.2.3Stein方程的求解數(shù)學(xué)描述所有矩陣都為方陣令為矩陣的向量展開(kāi)，為矩陣的向量展開(kāi)，Stein方程可以由下面的線性方程直接解出3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30例4.44試求解Stein方程MATLAB求解語(yǔ)句3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:304.4.2.4離散Lyapunov方程數(shù)學(xué)描述函數(shù)調(diào)用格式3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30例4.45求解離散Lyapunov方程MATLAB求解語(yǔ)句3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:304.4.3Sylvester方程的計(jì)算機(jī)求解廣義Lyapunov方程的數(shù)學(xué)描述函數(shù)調(diào)用格式使用Kronecker乘積得到解析解3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30構(gòu)造MATLAB函數(shù)3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30函數(shù)調(diào)用格式連續(xù)Lyapunov方程離散Lyapunov方程，重新寫(xiě)成

Sylvester方程3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30例4.46求解下面的Sylvester方程3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30數(shù)值解解析解3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30例4.47是得到如下方程的解析解MATLAB求解語(yǔ)句3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30例4.48求解下面的Sylvester方程MATLAB求解語(yǔ)句3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:304.4.4Riccati方程的計(jì)算機(jī)求解Riccati方程的數(shù)學(xué)描述函數(shù)調(diào)用格式注意：函數(shù)are()是基于數(shù)值運(yùn)算的方法，ARE表示“algebraicRiccatiequation.”3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30例4.49解由如下矩陣構(gòu)成的Riccati方程3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30MATLAB求解語(yǔ)句結(jié)果遺留問(wèn)題：對(duì)于二次方程，只能得到一個(gè)解，見(jiàn)第六章3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:304.5非線性運(yùn)算與矩陣函數(shù)求值面向矩陣元素的非線性運(yùn)算矩陣函數(shù)求值3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:304.5.1面向矩陣元素的非線性運(yùn)算常用的面向矩陣元素的非線性運(yùn)算函數(shù)3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30接上頁(yè)函數(shù)調(diào)用格式3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30例4.50給定對(duì)該矩陣進(jìn)行面向矩陣元素的指數(shù)和正弦運(yùn)算MATLAB求解語(yǔ)句3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:304.5.2矩陣函數(shù)求值矩陣指數(shù)的運(yùn)算矩陣的三角函數(shù)運(yùn)算矩陣三角函數(shù)的解析求解一般矩陣函數(shù)的運(yùn)算3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:304.5.2.1矩陣指數(shù)的運(yùn)算共有19種不同的數(shù)值算法可以求解出矩陣指數(shù)MATLAB的內(nèi)置函數(shù)的調(diào)用格式也可以同樣用于符號(hào)運(yùn)算3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30例4.51給定求出，和解析解數(shù)值求解法3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30函數(shù)expm()也可用于符號(hào)矩陣的求解結(jié)果3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30例4.52給定矩陣試求出MATLAB求解語(yǔ)句3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30使用基于Jordan矩陣變換的矩陣處理方法：那么，原矩陣的指數(shù)函數(shù)為3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:304.5.2.2矩陣的三角函數(shù)運(yùn)算MATLAB下沒(méi)有對(duì)矩陣進(jìn)行三角函數(shù)運(yùn)算的現(xiàn)成函數(shù)求解任意非線性矩陣函數(shù)的函數(shù)調(diào)用格式3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30例4.53給定求出MATLAB求解語(yǔ)句3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30正弦函數(shù)的Taylor級(jí)數(shù)展開(kāi)構(gòu)造一個(gè)MATLAB函數(shù)，實(shí)現(xiàn)正弦函數(shù)冪級(jí)數(shù)的展開(kāi)3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30例4.54給定試求出MATLAB求解語(yǔ)句3/16/2023星期六,2008-9-6,13:08:30根據(jù)著名的Euler公式推導(dǎo)出此公式可以直接用于矩陣的形式4.5.2.3矩陣三