2016屆甘肅省蘭州第一高三上學期期中考試數(shù)學（文）試題

蘭州2015-2016-1學期高三年級期中考試試題數(shù)學（文科）說明:本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分。滿分150分,考試時間120分鐘。答案寫在答題卡上,交卷時只交答題卡。第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合A=則（CRA）B=(B) A． B． C．D．2.已知函數(shù),則是(A)最小正周期為的奇函數(shù)最小正周期為的偶函數(shù)最小正周期為的奇函數(shù)最小正周期為的偶函數(shù)3.下列說法中，正確的是（B）A.命題“若，則”的否命題是假命題B.設為兩不同平面，直線，則“”是“”成立的充分不必要條件C.命題“存在”的否定是“對任意”D.已知，則“”是“”的充分不必要條件4.設向量a＝(－1，2)，b＝(m，1),如果向量a＋2b與2a－b平行,則a與b的數(shù)量積等于(D)A．－eq\f(7,2)B．－eq\f(1,2)C.eq\f(3,2) D.eq\f(5,2)5.若，，，則(A)A． B． C． D．6.已知角α的終邊過點P(－8m，－6sin30°)，且cosα＝－eq\f(4,5)，則m的值為(A)A．eq\f(1,2) B.－eq\f(1,2)C．－eq\f(\r(3),2) D.eq\f(\r(3),2)7.函數(shù)是奇函數(shù),且在（）內(nèi)是增函數(shù),,則不等式的解集為(D) A． B． C． D．8.為了得到函數(shù)y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的圖象，可將函數(shù)y＝sin2x的圖象(C)A．向左平移eq\f(5π,6)個單位長度B．向右平移eq\f(5π,6)個單位長度C．向左平移eq\f(5π,12)個單位長度D．向右平移eq\f(5π,12)個單位長度9．設f(x)、g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù),當x＜0時,且g(3)=0.則不等式的解集是(D) A．（－3,0)∪(3,+∞) B．(－3,0)∪(0,3)C．(－∞,-3)∪(3,+∞) D．(－∞,－3)∪(0,3)10.如圖所示，兩個不共線向量,的夾角為，分別為與的中點，點在直線上，且，則的最小值為(B)11.設是定義在上的增函數(shù)，且對任意，都有恒成立，如果實數(shù)滿足不等式，那么的取值范圍是(A)（9，49）（13，49）（9，25）（3，7）12.已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝(eq\f(1,2))x－m，若對?x1∈[0,3]，?x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，則實數(shù)m的取值范圍是(A)A．[eq\f(1,4)，＋∞)B．(－∞，eq\f(1,4)]C．[eq\f(1,2)，＋∞)D．(－∞，－eq\f(1,2)]第Ⅱ卷（非選擇題共90分）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD為BC邊上的高，O為AD的中點，若eq\o(AO,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(BC,\s\up6(→))，則λ＋μ________.答案：14.若coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))－sin＝eq\f(3\r(3),5)，則sin＝________.答案：eq\f(3,5)15.已知向量a，b滿足|a|＝1，|a＋b|＝eq\r(7)，〈a，b〉＝eq\f(π,3)，則|b|＝________.答案216.設函數(shù)f(x)＝lnx－eq\f(1,2)ax2－bx，若x＝1是f(x)的極大值點，則a的取值范圍為________.答案：(－1，＋∞)三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（本小題10分）已知＝(coseq\f(x,2)＋sineq\f(x,2)，－sineq\f(x,2))，＝(coseq\f(x,2)－sineq\f(x,2)，2coseq\f(x,2)).(1)設f(x)＝，求f(x)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；(2)設有不相等的兩個實數(shù)x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)＝1，求x1＋x2的值.解：(1)由f(x)＝得f(x)＝(coseq\f(x,2)＋sineq\f(x,2))·(coseq\f(x,2)－sineq\f(x,2))＋(－sineq\f(x,2))·2coseq\f(x,2)＝cos2eq\f(x,2)－sin2eq\f(x,2)－2sineq\f(x,2)coseq\f(x,2)＝cosx－sinx＝eq\r(2)cos(x＋eq\f(π,4))，所以f(x)的最小正周期T＝2π.又由2kπ≤x＋eq\f(π,4)≤π＋2kπ，k∈Z，得－eq\f(π,4)＋2kπ≤x≤eq\f(3π,4)＋2kπ，k∈Z.故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是[－eq\f(π,4)＋2kπ，eq\f(3π,4)＋2kπ](k∈Z).(2)由f(x)＝1得eq\r(2)cos(x＋eq\f(π,4))＝1，故cos(x＋eq\f(π,4))＝eq\f(\r(2),2).又x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，于是有x＋eq\f(π,4)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(3,4)π))，得x1＝0，x2＝－eq\f(π,2)，所以x1＋x2＝－eq\f(π,2).18.（本小題12分）根據(jù)國家環(huán)保部新修訂的《環(huán)境空氣質(zhì)量標準》規(guī)定：居民區(qū)PM2.5的年平均濃度不得超過35微克/立方米，PM2.5的24小時平均濃度不得超過75微克/立方米.某城市環(huán)保部門隨機抽取了一居民區(qū)去年20天PM2.5的24小時平均濃度的監(jiān)測數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：組別PM2.5濃度（微克/立方米）頻數(shù)（天）頻率第一組(0,25]30.15第二組(25,50]120.6第三組(50,75]30.15第四組(75,100)20.1(Ⅰ)從樣本中PM2.5的24小時平均濃度超過50微克/立方米的5天中，隨機抽取2天，求恰好有一天PM2.5的24小時平均濃度超過75微克/立方米的概率；（Ⅱ）求樣本平均數(shù)，并根據(jù)樣本估計總體的思想，從PM2.5的年平均濃度考慮，判斷該居民區(qū)的環(huán)境是否需要改進？說明理由．解：(Ⅰ)設PM2.5的24小時平均濃度在(50,75]內(nèi)的三天記為，PM2.5的24小時平均濃度在(75,100)內(nèi)的兩天記為．所以5天任取2天的情況有：，，，，，，，，共10種．……4分其中符合條件的有：，，，，，共6種．…………6分所以所求的概率．……8分（Ⅱ）去年該居民區(qū)PM2.5年平均濃度為：（微克/立方米）．……………10分因為，所以去年該居民區(qū)PM2.5年平均濃度不符合環(huán)境空氣質(zhì)量標準，故該居民區(qū)的環(huán)境需要改進．………………12分19.（本小題12分）EPDCBA如圖，在四棱錐中，底面EPDCBA是的中點.（Ⅰ）證明；（Ⅱ）求三棱錐A-BDP的體積.證明：（Ⅰ）連接AC交BD于O,連接OE∴是正方形∵O是AC中點.又E是PC中點，∵OE∥PA,∴……6分（Ⅱ）……12分20.（本小題12分）己知、、是橢圓：（）上的三點，其中點的坐標為，過橢圓的中心，且，。（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）過點的直線(斜率存在時)與橢圓交于兩點，，設為橢圓與軸負半軸的交點，且，求實數(shù)的取值范圍．【解析】（Ⅰ）∵且過，則．∵，∴，即．……2分又∵，設橢圓的方程為，將C點坐標代入得，解得，．∴橢圓的方程為．……5分（Ⅱ）由條件，當時，顯然；………6分當時，設：，，消得由可得，……①………8分設，，中點，則，,∴．………10分由，∴，即?！?，化簡得……②∴將①代入②得，?！嗟姆秶?。綜上．………1221.（本小題12分）已知函數(shù)，.（1）若，曲線在點處的切線與軸垂直，求的值；（2）在（1）的條件下，求證：解：(1)時，所以由題 （6分）（2）由（1）可得只需證設， 令，得。（8分）當時，，當時，，所以，所以， 22．選考題（本小題10分）請從下列三道題當中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分，請在答題卷上注明題號。22—1.（本小題滿分10分）選修4-1:幾何證明選講如圖，AB是⊙O的一條切線，切點為B，直線ADE，CFD，CGE都是⊙O的割線，已知AC=AB.(1)若CG=1，CD=4，求的值.(2)求證：FG//AC;【解析】(Ⅰ)由題意可得：四點共圓，.∽..又，=4.………4分(Ⅱ)因為為切線，為割線，，又因為，所以．所以，又因為，所以∽，所以，又因為，所以，所以．………10分22—2．（本小題滿分10分）選修4～4：坐標系與參數(shù)方程 在直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）在極坐標系（與直角坐標系xOy取相同的長度單位。且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸）中，圓C的方程為 （I）求圓C的直角坐標方程； （Ⅱ）設圓C與直線l交于點A，B．若點P的坐標為（1,2）,求的最小值．解：（Ⅰ）由得，化為直角坐標方程為，即.……………4分（Ⅱ）將的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標方程，得.由，故可設是上述方程的兩根，所以又直線過點，故結(jié)合t的幾何意義得=所以的最小值為……………10分22—3．（本小題滿分10分）選修4～5：不等式選講設不等式－2<|x－1|－|x＋2|<0的解集為M，a，b∈M.(1)證明：eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)a＋\f(1,6)b))<eq\f(1,4)；(2)比較|1－4ab|與2|a－b|的大小，并說明理由．【解析】(1)證明：記f(x)＝|x－1|－|x＋2|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3，x≤－2，,－2x－1，－2<x<1，,－3，x≥1.))由－2<－2x－1<0，解得－eq\f(1,2)<x<eq\f(1,2)，則M＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2))).所以eq\b\