2023屆河南省名校聯(lián)盟高三年級上冊學期1月新未來聯(lián)考數(shù)學（理）試題【含答案】

2023屆河南省名校聯(lián)盟高三上學期1月新未來聯(lián)考數(shù)學（理）試題一、單選題1．已知集合，設全集，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】求出集合中元素范圍，再根據(jù)集合的運算逐一判斷選項即可.【詳解】，，，則，，，故選：C.2．復數(shù)（

）A． B．1 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)復數(shù)的乘方運算求解即可.【詳解】解：.故選：B.3．的展開式中，的系數(shù)為（

）A．16 B． C．6 D．【答案】D【分析】寫出的展開式，再根據(jù)展開式求中含的項即可得答案.【詳解】，則中含的項為，的系數(shù)為，故選：D.4．已知圓上的點均滿足則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分別求出圓心到兩直線的距離，進行比較即可求解.【詳解】因為圓上的點均滿足所以即在圓上，又在兩直線之間，畫出圖形，如圖圓心到直線的距離，點到直線的距離，因為，由圖可知所以的最大值為，故選：.二、多選題5．某公司對2021年的營收來源進行了統(tǒng)計，并繪制餅圖如圖所示．在華中地區(qū)的三省中，湖北省的營收額最多，河南省的營收額最少，湖南省的營收額約1421萬元．則下列說法錯誤的是（

）A．該公司在華東地區(qū)的營收額，約為東北地區(qū)營收額的三倍B．該公司在華南地區(qū)的營收額，比西南地區(qū)的營收額和河南省的營收額之和還要多C．該公司2021年營收總額約為20300萬元D．該公司在湖南省的營收額，在華中地區(qū)的營收額的占比約為34.18%【答案】ACD【分析】根據(jù)餅圖，結合選項逐一判斷即可.【詳解】A：因為，所以本選項正確；B：因為在華中地區(qū)的三省中，河南省的營收額最少，所以河南省的營收額為，因為，所以本選項不正確；C：因為在華中地區(qū)的三省中，湖北省的營收額最多，河南省的營收額最少，湖南省的營收額約1421萬元．所以有，因此本選項正確；D：因為在華中地區(qū)的三省中，河南省的營收額最少，所以公司在湖南省的營收額，在華中地區(qū)的營收額的占比為，因此本選項說法正確；故選：ACD三、單選題6．已知點是拋物線上任意一點，則點到拋物線的準線和直線的距離之和的最小值為（

）A． B．4 C． D．5【答案】C【分析】點到直線的距離為，到準線的距離為，利用拋物線的定義得，當，和共線時，點到直線和準線的距離之和的最小，由點到直線的距離公式求得答案．【詳解】解：由拋物線知，焦點，準線方程為，根據(jù)題意作圖如下；點到直線的距離為，點到的距離為；由拋物線的定義知：，所以點到直線和準線的距離之和為，且點到直線的距離為，所以點到直線和準線的距離之和最小值為．故選：C．7．已知均為銳角，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用題目信息以及平方關系分別計算得角的正弦、余弦值，再利用兩角差的正弦公式即可求得結果.【詳解】由得，又，即又均為銳角，所以故選：C8．已知一個幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖是半徑為2且圓心角為的扇形，則該幾何體的體積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)三視圖可推得其為圓錐，根據(jù)圓錐體積公式即可得到答案.【詳解】由三視圖可知,該幾何體是底面半徑為2，高為2的圓錐的,所以體積.故選：D.9．已知定義在上的奇函數(shù)滿足，且當時，．若關于的方程在上有且僅有四個實數(shù)解，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先判斷函數(shù)的周期，并根據(jù)條件求，并畫出函數(shù)在區(qū)間的圖象，轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)的交點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍.【詳解】因為，所以函數(shù)的周期為8，，又函數(shù)是奇函數(shù)，所以，所以，得，當時，，利用函數(shù)是奇函數(shù)，畫出函數(shù)在區(qū)間的圖象，若方程在上有且僅有四個實數(shù)解，則函數(shù)與函數(shù)有4個交點，即則.故選：D10．已知直線與雙曲線的兩條漸近線交于兩點，且點在第一象限.為坐標原點，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．5【答案】B【分析】根據(jù)給定的雙曲線方程求出漸近線方程，再與直線方程聯(lián)立求出點A，B的坐標，然后列式求出a，b的關系即可.【詳解】雙曲線的漸近線方程為或，顯然直線與直線交點在第一象限，則有，即，由解得，即點，由解得，即點，而，即，整理得，所以雙曲線的離心率.故選：B11．在中，角所對的邊分別為，面積為，且.當取得最大值時，的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)面積公式以及正弦定理得，進而根據(jù)不等式求解的最值，即可得，，進而根據(jù)余弦定理即可求解.【詳解】由得,由正弦定理得，因此，當且僅當時取等號，故當時，取到最大值3，此時，，故，故選：A12．已知曲線與曲線在處的切線互相平行，記，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)切線平行可得斜率相等，即，構造函數(shù)利用導數(shù)求解單調(diào)性進而判斷其零點，得，即可根據(jù)排除求解.或者構造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性進而得到不等式，即可利用放縮法進行求解.【詳解】由題意知：，，由于兩曲線在處的切線互相平行，因此，記，故當時，，此時單調(diào)遞增，當時，，此時單調(diào)遞減，且，當時，，故在至多一個根，而，故，因此的根滿足，所以，設，因此在單調(diào)遞增，則，故，所以故，設，當時，，當時，，因此當時，取最小值，又，，因此當時，，因此在單調(diào)遞減，故，因而，因此，由，得，，由因此，故選：B【點睛】本題考查了數(shù)列以及不等式還有導數(shù)的綜合運用，求某點處的切線方程較為簡單，根據(jù)切線得到等量關系，構造新的函數(shù)，利用導數(shù)研究其單調(diào)性，進而可判斷原函數(shù)的單調(diào)性.在證明不等式時，常采用兩種思路：求直接求最值和等價轉(zhuǎn)化.無論是那種方式，都要敢于構造函數(shù)，構造有效的函數(shù)往往是解題的關鍵.四、填空題13．已知非零向量滿足，且，則向量夾角的大小為___________.【答案】【分析】直接根據(jù)數(shù)量積的定義公式計算即可.【詳解】，，得，又，故答案為：.14．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，且在上有最大值．則的取值范圍為__________．【答案】【分析】通過函數(shù)在上單調(diào)遞增，求出的范圍，再根據(jù)在上有最大值可得，進而即得.【詳解】由，可得，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以，又函數(shù)在上有最大值，所以，即，綜上，.故答案為：.15．已知函數(shù).若存在，，使得曲線在，處的切線互相垂直，則實數(shù)a的取值范圍為________.【答案】【分析】將化為分段函數(shù)并求導，根據(jù)導數(shù)的幾何意義得，即，再由推出，代入可求出結果.【詳解】，，因為，且，所以,，所以，，所以，所以，又，得，所以，即.故答案為：16．如圖，三棱錐的側(cè)面展開圖在以為圓心，2為半徑的圓上，其中為三棱錐的頂點在展開圖中的對應點.已知，則三棱錐的外接球的半徑為___________.【答案】【分析】根據(jù)題意畫圖，設點是點在平面上的射影，可得點是的外心，根據(jù)正余弦定理求得外接圓半徑，確定高度的值，在結合圖形則三棱錐的外接球的球心在射線上，利用勾股定理計算可得三棱錐的外接球的半徑.【詳解】解：如圖，在三棱錐，設點是點在平面上的射影，連接，則平面，又平面，所以，由題可得，所以，則點是的外心，為外接圓半徑，則三棱錐的外接球的球心在射線上，又在中，可得，，由余弦定理得，又，所以，由正弦定理得，所以，則，設三棱錐的外接球的半徑為，則在中，，可得，即，解得.故三棱錐的外接球的半徑為.故答案為：.五、解答題17．在如圖所示的七面體中，底面為正方形，平面.已知.(1)設平面平面，證明：平面；(2)若平面平面，求的長.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由線面平行的判定定理可得∥平面，再利用線面平行的性質(zhì)定理可證得∥，然后由線面平行的判定定理可得結論；（2）以為原點，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標系，設，表示出平面和平面的法向量，然后由兩平面垂直列方程可求得結果.【詳解】（1）證明：因為底面為正方形，所以∥，因為平面，平面，所以∥平面，因為平面，平面平面，所以∥，因為平面，平面，所以平面；（2）因為平面，平面，所以，因為底面為正方形，所以，所以兩兩垂直，所以以為原點，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標系，設（），因為，，底面為正方形，可得，所以，所以，，設平面和平面的法向量分別為，則，，令，，則，因為平面平面，所以，解得或（舍去），所以的長為.18．已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，前項和為，且.(1)若，證明：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)若，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）代入，利用得，分別求出和，進而可得，根據(jù)可證明等差數(shù)列；（2）（1）代入，利用得，分別求出和，再利用分組求和法求出，再利用裂項相消法求數(shù)列的前項和.【詳解】（1）當時，①，當時，②，①-②得，，所以數(shù)列的奇數(shù)項成等差數(shù)列，偶數(shù)項也為等差數(shù)列，又時，，代入得，，，綜合得，當時，故數(shù)列是以1為首項，1為等差數(shù)列的等差數(shù)列；（2）當時，①，當時，②，①-②得，，所以數(shù)列的奇數(shù)項成等差數(shù)列，偶數(shù)項也為等差數(shù)列，又時，，代入得，，，則，.19．最近幾年，新型冠狀病毒肺炎席卷全球，在病毒爆發(fā)之初，我國迅速建立防疫機制，通過將與新冠肺炎確診患者接觸過的人員分為“密接”和“次密接”兩類人群，并對兩類人群分別加以不同程度的隔離措施，有效地預防了新冠肺炎病毒的傳播.已知某確診陽性患者確診當天的“密接”人員有2人，“次密接”人員有3人，且每個“密接”人員被感染的概率為，每個“次密接"人員被感染的概率為(1)求在這五人中，恰好有兩人感染新冠肺炎的概率；(2)設這五人中，感染新冠肺炎的人數(shù)為隨機變量，求的數(shù)學期望.【答案】(1)(2)【分析】對于（1），分別求出“密接”人員感染兩人的概率，“次密接”人員感染兩人的概率，“密接”人員，“次密接”人員各感染一人概率，則恰好有兩人感染新冠肺炎的概率為；對于（2），可得感染人數(shù)可能為，分別算出概率，得分布列，求得期望即可.【詳解】（1）“密接”人員感染兩人的概率，“次密接”人員感染兩人的概率，“密接”人員，“次密接”人員各感染一人概率，則恰好有兩人感染新冠肺炎的概率；（2）對于（2），可得感染人數(shù)可能為.則，，，，，.得分布列如下：012345則.20．已知橢圓的上?下頂點分別為，點在橢圓內(nèi)，且直線分別與橢圓交于兩點，直線與軸交于點．已知．(1)求橢圓的標準方程；(2)設的面積為的面積為，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)條件列式求，可求橢圓方程；（2）利用直線與橢圓方程聯(lián)立求點的坐標，再求直線的方程，得點的坐標，并利用坐標表示，并根據(jù)的范圍，求的取值范圍．【詳解】（1），,，因為，所以，解得：，所以橢圓方程；（2），所以直線方程是，聯(lián)立，，得或，即，所以直線方程是，聯(lián)立，得，得或，,，直線的方程，令，得，即,,，因為點在橢圓內(nèi)，所以，又，得，，設，【點睛】關鍵點點睛：本題考查直線與橢圓方程聯(lián)立的綜合應用，本題的關鍵是計算繁瑣，尤其求點的坐標和直線的方程時，注意化簡的準確性.21．已知函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù).(1)若在區(qū)間上單調(diào)遞增，求的取值范圍；(2)設函數(shù)，證明：存在唯一的正實數(shù)，使得恰好有兩個零點.【答案】(1)；(2)見解析；【分析】（1）由題意可得在上恒成立，又因為，在上單調(diào)遞增，所以，求解即可；（2）化簡得，又因為在定義域上單調(diào)遞減，易得在上無零點，要使恰有兩個零點，只需在上恰有1個零點，利用導數(shù)求證即可.【詳解】（1）解：因為，所以，由題意可得在上恒成立，易知，在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以實數(shù)的取值范圍為；（2）證明：因為，又因為，，易知在定義域上單調(diào)遞減，所以當時，，即在上無零點，因為，所以，使，又因為，，所以，所以，因為當時，，所以若恰有兩個零點，只需在上恰有1個零點，因為，所以，使，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又因為，若，則在上恒成立，所以單調(diào)遞減，所以，即不合題意；若，則，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又因為當趨于0時，趨于，且，所以，將代入得，設，則，所以單調(diào)遞增，所以，，所以存在唯一，使，即存在唯一的正實數(shù)，使得恰好有兩個零點.得證.【點睛】方法點睛：導函數(shù)處理零點個數(shù)問題，由于涉及多類問題特征（包括單調(diào)性，特殊位置的函數(shù)值符號，隱零點的探索、參數(shù)的分類討論等），需要學生對多種基本方法，基本思想，基本既能進行整合，注意思路是通過極值的正負和函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)的走勢，從而判斷零點個數(shù)，較為復雜和綜合的函數(shù)零點個數(shù)問題，分類討論是必不可少的步驟，在哪種情況下進行分類討論，分類的標準，及分類是否全面，都是需要思考的地方.22．在極坐標系中，圓的極坐標方程為，直線的極坐標方程為．以極點為坐標原點，以極軸為軸的正半軸，建立平面直角坐標系．(1)求圓及直線的直角坐標方程；(2)若射線分別與圓和直線交于兩點，其中，求的最大值．【答案】(1)，.(2).【分析】（1）直接利用轉(zhuǎn)換關系式，把極坐標方程轉(zhuǎn)換成直角坐標方程；（2）將代入可得與表達式，得到，化簡得到，根據(jù)的范圍，即可得到最大值.【詳解】（1）解：因為，，所以由可得，，化為普通方程為，，即.由可得，，由，，可得.（2）解：將