2018屆四川省雅安市高三下學(xué)期三診數(shù)學(xué)（理）試題（解析版）

雅安市高中2015級第三次診斷性考試數(shù)學(xué)（理科）試題一、選擇題（本大題共12個小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.若復(fù)數(shù)滿足，則的虛數(shù)是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】∵復(fù)數(shù)滿足∴∴的虛數(shù)是故選C.2.已知集合，，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】∵集合∴∵集合∴故選B.3.《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表作，其中《方田》章計算弧田面積所用的經(jīng)驗公式為：弧田面積（弦×矢+矢）.弧田（如圖），由圓弧和其所對弦所圍成，公式中“弦”指圓弧所對弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差.按照上述經(jīng)驗公式計算所得弧田面積與其實際面積之間存在誤差.現(xiàn)有圓心角為，半徑等于米的弧田.按照上述方法計算出弧田的面積約為（）A.平方米B.平方米C.平方米D.平方米【答案】B【解析】因為圓心角為，半徑等于4米，所以圓心到弦的距離為|OB|=2，，所以矢等于4-2=2米，弦長為所以弧田的面積約為，故選B。4.若實數(shù)，滿足，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】畫出可行域如圖所示：聯(lián)立，解得.由得，平移直線，由圖象可知當(dāng)直線經(jīng)過點時，的截距最大，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為.故選C.點睛：求線性目標(biāo)函數(shù)的最值，當(dāng)時，直線過可行域且在軸上截距最大時，值最大，在軸截距最小時，值最小；當(dāng)時，直線過可行域且在軸上截距最大時，值最小，在軸上截距最小時，值最大.5.已知展開式的各個二項式系數(shù)的和為，則的展開式中的系數(shù)（）A.B.C.D.【答案】A【解析】∵展開式的各個二項式系數(shù)的和為∴，則，即.設(shè)的通項公式為.令，則.∴的展開式中的系數(shù)為.故選A.點睛：求二項展開式有關(guān)問題的常見類型及解題策略：(1)求展開式中的特定項，可依據(jù)條件寫出第項，再由特定項的特點求出值即可；(2)已知展開式的某項，求特定項的系數(shù)，可由某項得出參數(shù)項，再由通項寫出第項，由特定項得出值，最后求出其參數(shù).6.某幾何體的三視圖如圖所示，其中，正視圖、俯視圖都是矩形，側(cè)視圖是直角三角形，則該幾何體的體積等于（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由三視圖可得該幾何體是直三棱柱，底面是直角邊長分別為1和的直角三角形，高為2.∴該幾何體的體積等于故選B.7.已知函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】∵函數(shù)∴，即函數(shù)在上為奇函數(shù).∵∴恒成立，即函數(shù)在上為減函數(shù).∵∴∴，即.∴故選D.8.執(zhí)行如圖的程序框圖，如果輸入，則輸出的（）A.B.C.D.【答案】C【解析】輸入p=8，給循環(huán)變量n賦值1，累加變量S賦值0．判斷1＜8成立，執(zhí)行S=0+=，n=1+1=2；判斷2＜8成立，執(zhí)行S=，n=2+1=3；判斷3＜8成立，執(zhí)行S=，n=3+1=4；判斷4＜8成立，執(zhí)行S=，n=4+1=5；判斷5＜8成立，執(zhí)行S=，n=5+1=6；判斷6＜8成立，執(zhí)行S=，n=6+1=7；判斷7＜8成立，執(zhí)行S==，n=7+1=8；判斷8＜8不成立，輸出S=．故選C．9.過雙曲線的左焦點作直線交雙曲線的兩條漸近線于，兩點，若為線段的中點，且，則雙曲線的離心率為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】由題意可得雙曲線的漸近線的方程為.∵為線段的中點，∴，則為等腰三角形.∴由雙曲線的的漸近線的性質(zhì)可得∴∴，即.∴雙曲線的離心率為故選C.點睛：本題考查了橢圓和雙曲線的定義和性質(zhì)，考查了離心率的求解，同時涉及到橢圓的定義和雙曲線的定義及三角形的三邊的關(guān)系應(yīng)用，對于求解曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出，代入公式；②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于的齊次式，轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范圍)．10.已知、、是球的球面上三點，，，，且棱錐的體積為，則球的表面積為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】∵A，B，C是球O的球面上三點∴截面圓的圓心為AC中點，半徑為2∵棱錐O?ABC的體積為，，∴球O的表面積為：，本題選擇D選項.點睛：與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時要認(rèn)真分析圖形，明確切點和接點的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點為正方體各個面的中心，正方體的棱長等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點均在球面上，正方體的體對角線長等于球的直徑.11.已知函數(shù)只有一個零點，則實數(shù)的取值范圍為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】∵函數(shù)∴若函數(shù)只有一個零點，則是唯一的零點，故無零點，等價于與無交點.畫出函數(shù)的圖象，如圖所示：由圖象可得.設(shè)與的切點坐標(biāo)為.∴，則，即.∴時，圖象無交點，即函數(shù)只有一個零點.故選D.點睛：已知函數(shù)有零點求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．12.在直角梯形，，，，，，分別為，的中點，點在以為圓心，為半徑的圓弧上變動（如圖所示）.若，其中，則的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】建立如圖所示的坐標(biāo)系：則，，，，，即，，.∵∴∴，∴，∴∵∴∴故選A.二、填空題（本大題每題5分，共20分，將答案填在答題紙上）13.函數(shù)的圖象在區(qū)間上的對稱軸方程為__________．【答案】【解析】∵函數(shù)∴令，即∴當(dāng)時，函數(shù)的圖象在區(qū)間上的對稱軸方程為.故答案為.14.已知數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，滿足：，，則__________．【答案】【解析】∵數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列∴，即；.∴故答案為.15.某企業(yè)節(jié)能降耗技術(shù)改造后，在生產(chǎn)某產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量（噸）與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗（噸）的幾組對應(yīng)數(shù)據(jù)如表所示.若根據(jù)表中數(shù)據(jù)得出的線性回歸方程為，則表中空格處的值為__________．【答案】4.5【解析】由題意可知：產(chǎn)量的平均值為.∵線性回歸方程為，且線性回歸方程過樣本中心點∴∴表中空格處的值為故答案為.16.已知是拋物線的焦點，點，在該拋物線上且位于軸的兩側(cè)，（其中為坐標(biāo)原點），則與面積之和的最小值是__________．【答案】3【解析】設(shè)直線的方程為，點，，直線與軸的交點為.聯(lián)立，可得，根據(jù)韋達定理可得.∵∴，即.∴或（舍），即.∵點，位于軸的兩側(cè)∴不妨令點在軸的上方，則.∵∴，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.∴與面積之和的最小值是3.故答案為3.點睛：本題考查了直線與拋物線的位置關(guān)系及基本不等式求最值的應(yīng)用，著重考查了推理與運算能力，其中通過韋達定理和推出的表達式和運用基本不等式是解答的關(guān)鍵．學(xué)￥科￥網(wǎng)...學(xué)￥科￥網(wǎng)...學(xué)￥科￥網(wǎng)...學(xué)￥科￥網(wǎng)...學(xué)￥科￥網(wǎng)...學(xué)￥科￥網(wǎng)...學(xué)￥科￥網(wǎng)...學(xué)￥科￥網(wǎng)...三、解答題：（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；（2）在中，三內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知，若，且，求的值.【答案】（Ⅰ）最小正周期：，單調(diào)遞增區(qū)間為：；（Ⅱ）.【解析】試題分析：（1）根據(jù)三角恒等變換可得，從而可得函數(shù)的最小正周期，再根據(jù)可解得單調(diào)增區(qū)間；（2）由，可得的值，再根據(jù)及，即可解得，結(jié)合余弦定理，即可求得的值.試題解析：（1）.∴最小正周期：，由可解得：.∴的單調(diào)遞增區(qū)間為：;（2）由可得：.∵∴又∵，∵∴，∴∴.18.某校初一年級全年級共有名學(xué)生，為了拓展學(xué)生的知識面，在放寒假時要求學(xué)生在假期期間進行廣泛的閱讀，開學(xué)后老師對全年級學(xué)生的閱讀量進行了問卷調(diào)查，得到了如圖所示的頻率分布直方圖（部分已被損毀），統(tǒng)計人員記得根據(jù)頻率直方圖計算出學(xué)生的平均閱讀量為萬字.根據(jù)閱讀量分組按分層抽樣的方法從全年級人中抽出人來作進一步調(diào)查.（1）從抽出的人中選出人來擔(dān)任正副組長，求這兩個組長中至少有一人的閱讀量少于萬字的概率；（2）為進一步了解廣泛閱讀對今后學(xué)習(xí)的影響，現(xiàn)從抽出的人中挑選出閱讀量低于萬字和高于萬字的同學(xué)，再從中隨機選出人來長期跟蹤調(diào)查，求這人中來自閱讀量為萬到萬字的人數(shù)的概率分布列和期望值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析.【解析】試題分析：設(shè)閱讀量為5萬到7萬的小矩形的面積為，閱讀量為7萬到9萬的小矩形的面積為，由頻率分布直方圖的性質(zhì)列出方程組，求出，，按分層抽樣的方法在各段抽得的人數(shù)依次為：2人，4人，6人，5人，3人．從而求出這兩個組長中至少有一人的閱讀量少于7萬字的概率；（2）設(shè)3人中來自閱讀量為11萬到13萬的人數(shù)為隨機變量，由題意知隨機變量的所有可能的取值為1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出的分布列和期望．試題解析：(1)設(shè)閱讀量為5萬到7萬的小矩形的面積為，閱讀量為7萬到9萬的小矩形的面積為，則：，∴，∴按分層抽樣的方法在各段抽得的人數(shù)依次為：2人，4人，6人，5人，3人.∴或或或，∴從抽出的20人中選出2人來擔(dān)任正副組長，這兩個組長中至少有一人的閱讀量少于7萬字的概率為.(2)設(shè)3人中來自閱讀量為11萬到13萬的人數(shù)為隨機變量.由題意知隨機變量的所有可能的取值為1，2，3.∴故的分布列為∴，∴這3人來自閱讀量為11萬到13萬的人數(shù)的期望值為.19.如圖，在四棱錐中，底面，為的中點，底面為直角梯形，，，且.（1）求證：平面，平面平面；（2）若與平面所成角的正弦值為，求二面角的余弦值.【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）.【解析】試題分析：（1）設(shè)中點是，連接，可推出為平行四邊形，，從而平面，推導(dǎo)出，，從而底面，由此能證明平面平面；（2）根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面和平面的一個法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值．試題解析：（1）證明：設(shè)中點是，連接則，，為平行四邊形，，平面，平面，平面，為直角梯形，，，且.，，底面底面底面平面平面.（2）與平面所成角的正弦值為，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：平面的法向量，平面的法向量，.二面角的余弦值為.點睛：此題主要考查立體幾何中線面直線及面面垂直的證明，二面角的三角函數(shù)值的求解，以及坐標(biāo)法在解決立體幾何問題中的應(yīng)用等有關(guān)方面的知識和技能，屬于中檔題型，也是常考題型.坐標(biāo)法在解決立體幾何中的一般步驟，一是根據(jù)圖形特點，建立空間直角坐標(biāo)系；二是將幾何中的量轉(zhuǎn)化為向量，通過向量的運算；三是將運算得到的結(jié)果翻譯為幾何結(jié)論.20.已知橢圓：過點，且離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）過的直線交橢圓于，兩點，判斷點與以線段為直徑的圓的位置關(guān)系，并說明理由.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析.【解析】試題分析：（1）由橢圓過點，且離心率為，列出方程組，解方程組，即可求得橢圓的方程；（2）法一：先討論斜率為零時，再討論斜率不為零時，設(shè)直線方程，代入橢圓方程，利用韋達定理及兩點之間的距離公式，即可求得，即可判斷點G在以AB為直徑的圓外；法二：先討論斜率為零時，再討論斜率不為零時，設(shè)直線方程，設(shè)直線方程，代入橢圓方程，利用韋達定理及向量的坐標(biāo)運算，求得，則為銳角，即可判斷點G在以AB為直徑的圓外．試題解析：（1）橢圓E：過點，且離心率為，即，橢圓的方程.（2）法一：當(dāng)?shù)男甭蕿闀r，顯然G與以線段AB為直徑的圓的外面，當(dāng)?shù)男甭什粸闀r，設(shè)的方程為：，點AB中點為．由得，所以從而.所以.，故，所以，故G在以AB為直徑的圓外．法二：當(dāng)?shù)男甭蕿闀r，顯然G與以線段AB為直徑的圓的外面，當(dāng)?shù)男甭什粸闀r，設(shè)的方程為：，設(shè)點，則，由得，.，又不共線，所以為銳角，故點G在以AB為直徑的圓外．21.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）設(shè)為整數(shù)，且對于任意正整數(shù).若恒成立，求的最小值.【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）3.【解析】試題分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）求出（當(dāng)時取得“=”），令，，累乘整理即可得的最小值．試題解析：（1）由題意得.當(dāng)時，令，解得∴在(0，)上單調(diào)遞增，當(dāng)時，顯然無單調(diào)區(qū)間，當(dāng)時，令，解得∴在(0，)上單調(diào)遞增，綜上：當(dāng)時，無單調(diào)區(qū)間，時，減區(qū)間為，增區(qū)間為(0，).（2）令，由（1）可知的最小值為.，(當(dāng)時取得“=”)，令，.∴，∴，兩邊進行次方得，∴的最小值為3.點睛：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性以及不等式恒成立問題，屬于中檔題.對于函數(shù)恒成立或者有解求參的問題，常用方法有：變量分離，參變分離，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題；或者直接求函數(shù)最值，使得函數(shù)最值大于或者小于0；或者分離成兩個函數(shù)，使得一個函數(shù)恒大于或小于另一個函數(shù)；在導(dǎo)數(shù)解決不等式問題，常用到一些恒成立的式子進行放縮，本題就是一個常見不等式.請考生在22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分，做答時請寫清題號.22.選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系中，已知圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的參數(shù)方程為：（為參數(shù)）.（1）求圓和