地球物理計(jì)算方法-2018秋第四章方程求根

地球物理計(jì)算方法

地球物理與信息技術(shù)學(xué)院1.本周應(yīng)當(dāng)完成上機(jī)編程環(huán)節(jié)；2.下周應(yīng)當(dāng)完成讀書(shū)報(bào)告的初稿并準(zhǔn)備匯報(bào)材料；3.分組匯報(bào)時(shí)間：11月5日（第九周周一）上課時(shí)間。讀書(shū)報(bào)告任務(wù)課堂情況反饋復(fù)習(xí)問(wèn)題（方程求根）數(shù)值方法（迭代法加速、牛頓法）誤差分析（局部收斂、收斂速度）上節(jié)課講了些什么？

（1）對(duì)初值的要求比較高，x*未知，如何求；

（用近似）（2）如果迭代過(guò)程是整體收斂的，則一定局部收斂；反之

則不成立復(fù)習(xí)壓縮映像原理局部收斂定理適用區(qū)間[a,b]（可擴(kuò)展至（-∞，+∞））壓縮性條件(近似)封閉性條件∈[a,b]自然成立（見(jiàn)證明過(guò)程）結(jié)論[a,b]區(qū)間內(nèi)任意初值x0均收斂x0在x*鄰域內(nèi)收斂（或在初值x0附近收斂）復(fù)習(xí)7收斂速度定義：如果迭代誤差ek=x*-xk，當(dāng)時(shí)成立則迭代過(guò)程p階收斂，p=1,線性收斂，p=2，平方收斂；復(fù)習(xí)8特別:復(fù)習(xí)9根據(jù)微分中值定理:所以這樣可以得到:線性收斂此結(jié)論可作為壓縮映像原理的一個(gè)推論：在滿足封閉性與壓縮性條件的前提下，有復(fù)習(xí)10根據(jù)泰勒展開(kāi):所以這樣可以得到:平方收斂復(fù)習(xí)xyy=xy=

φ(x)x*x0P(x0,x1)x1P(x1,x2)P(,)復(fù)習(xí)迭代加速公式12迭代公式：優(yōu)點(diǎn)：加速迭代速度缺點(diǎn)：需要每次計(jì)算迭代函數(shù)的斜率L復(fù)習(xí)xyy=xy=

φ(x)x*x0P(x0,x1)x1x2P(x1,x2)P(,)復(fù)習(xí)埃特金加速算法14上述迭代校正方法為埃特金加速迭代方法迭代：迭代：校正：復(fù)習(xí)15函數(shù)線性化整理得到：作為f(x)=0的新的近似根xk+1單根復(fù)習(xí)則有如下著名的牛頓公式：相應(yīng)的迭代函數(shù)是復(fù)習(xí)k+1次近似根：過(guò)Pk切線與x軸的交點(diǎn)。幾何意義：Newton法又稱為Newton切線法或切線法復(fù)習(xí)18牛頓迭代法的收斂性分析對(duì)于newton公式：是否等于0(線性或高階）?至少2階（平方收斂）利用收斂速度定義：對(duì)f(x)泰勒公式展開(kāi)所以20設(shè)x*是方程f(x)=0

的單根,且f(x)在x*的某鄰域內(nèi)有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù),則牛頓法在x*附近局部收斂,且至少二階收斂,有局部收斂性推論21例

試用牛頓迭代法求解在x0=1.5附近的根。相應(yīng)于該方程的牛頓迭代公式為取x0=1.5，迭代得到x2=1.32520，x3=1.32472。取x0=0.6，迭代得到x1=17.9

解通常,牛頓迭代法的收斂性依賴于初始值x0

的選取,如果x0偏離所求的根x*比較遠(yuǎn),則牛頓法可能發(fā)散。22牛頓法特點(diǎn)

23x*x0x0x02、開(kāi)方公式

求解：根據(jù)牛頓公式，可以得到：

迭代函數(shù)直觀解釋（算術(shù)平均）：

1.4142141.4142141.4142161.4666671.5Xk45321用開(kāi)方法構(gòu)造迭代格式：開(kāi)方法的收斂性如果迭代格式是收斂的，應(yīng)該滿足：構(gòu)造下式(x>0)：并形成逐步遞推令，則由上式得對(duì)任意，總有，所以．定理

開(kāi)方公式對(duì)于任意初值均平方收斂．29牛頓法的缺點(diǎn)

牛頓法的改進(jìn)與推廣簡(jiǎn)化牛頓法：導(dǎo)數(shù)項(xiàng)取常數(shù)值下山法：牛頓法局部微調(diào)弦截法：去掉導(dǎo)數(shù)項(xiàng)快速弦截法：弦截法加速重根：修正的牛頓法

牛頓法的改進(jìn)與推廣簡(jiǎn)化牛頓法：導(dǎo)數(shù)項(xiàng)取常數(shù)值下山法：牛頓法局部微調(diào)弦截法：去掉導(dǎo)數(shù)項(xiàng)快速弦截法：弦截法加速重根：修正的牛頓法

32簡(jiǎn)化牛頓法：導(dǎo)數(shù)項(xiàng)取常數(shù)值，令f’(x)=f’(x0)=C迭代函數(shù)：k+1次近似根：過(guò)Pk與P0點(diǎn)切線平行的直線與x軸的交點(diǎn)。幾何意義：簡(jiǎn)化Newton法又稱為平行弦法牛頓法的改進(jìn)與推廣簡(jiǎn)化牛頓法：導(dǎo)數(shù)項(xiàng)取常數(shù)值下山法：牛頓法局部微調(diào)弦截法：去掉導(dǎo)數(shù)項(xiàng)快速弦截法：弦截法加速重根：修正的牛頓法

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012341.51.347831.325201.324721.324723、牛頓下山法01230.617.911.946807.98552

通常,牛頓迭代法的收斂性依賴于初始值x0

的選取,如果x0偏離所求的根x*比較遠(yuǎn),則牛頓法可能發(fā)散。局部收斂性37為了防止迭代發(fā)散,我們對(duì)牛頓迭代法的迭代過(guò)程再附加一項(xiàng)要求,即具有單調(diào)性。滿足這項(xiàng)要求的算法稱下山法。選擇方法：松弛法。函數(shù)值單調(diào)約束迭代如果一致收斂，那么f(xk)->0其中λ(0<λ<1)為下山因子將牛頓迭代法與下山法結(jié)合起來(lái)使用,即在下山法保證函數(shù)值下降的前提下,用牛頓迭代法加快收斂速度。把這一算法稱為牛頓下山法。下山因子的選擇是個(gè)逐步探索的過(guò)程，設(shè)從λ=1開(kāi)始反復(fù)將λ減半進(jìn)行試算,即逐次取λ為從中挑選下山因子，直至找到其中某個(gè)λ使單調(diào)性條件:成立，則稱“下山成功”，否則“下山失敗”，這時(shí)需另選初值重算。下山因子的選擇40牛頓下山法的迭代公式：kxkxkxkf(xk)012341.51.347831.325201.324720.617.9發(fā)散0.6-1.3841.140625-0.6566431.361810.18661.326280.006671.324720.0000086牛頓下山法42二分法迭代方法的收斂性迭代法的加速牛頓方法弦截法牛頓法的改進(jìn)與推廣簡(jiǎn)化牛頓法：導(dǎo)數(shù)項(xiàng)取常數(shù)值下山法：牛頓法局部微調(diào)弦截法：去掉導(dǎo)數(shù)項(xiàng)快速弦截法：弦截法加速重根：修正的牛頓法

441、弦截法

稱為弦截法迭代公式.（單點(diǎn)弦截法）k+1次近似根：弦線P0Pk與x軸的交點(diǎn)。幾何意義：弦截法又稱為割線法收斂速度：在單根附近線性收斂收斂性對(duì)弦截迭代公式求導(dǎo)當(dāng)：

迭代時(shí)每次用到前兩步的信息。在單根附近收斂，收斂階為p=1.618。(p＞1時(shí)又稱為超線性收斂)快速弦截法k+1次近似根：弦線Pk-1Pk與x軸的交點(diǎn)。幾何意義：

k2340.567540.567150.56714

快速弦截法算法實(shí)現(xiàn)

51下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是：牛頓迭代法的收斂階數(shù)至多為二階不滿足壓縮映像原