李賢平概率論基礎(chǔ)23課件

2.3

伯努利試驗與直線上的隨機(jī)游動Ch2：條件概率與統(tǒng)計獨(dú)立性§3伯努利試驗與直線上的隨機(jī)游動一、伯努利概型三、直線上的隨機(jī)游動二、伯努利概型中的一些分布一、伯努利概型

如果隨機(jī)試驗E只有兩個可能的結(jié)果，如:擲一枚硬幣，只出現(xiàn)“正面”或“反面”；考察一條線路，只有“通”與“不通”；傳遞一個信號，只有“正確”與“錯誤”；播下一顆種子，了解它“發(fā)芽”與否；觀察一臺機(jī)器“開動”與否…這種隨機(jī)試驗稱為伯努利(Bernoulli)試驗.伯努利試驗n重伯努利試驗（記作En):n次獨(dú)立

重復(fù)的伯努利試驗.n重伯努利試驗n重伯努利試驗的特點(diǎn):每次試驗最多出現(xiàn)兩個可能結(jié)果之一A在每次試驗種出現(xiàn)的概率p保持不變各次試驗相互獨(dú)立共進(jìn)行了n次試驗n重伯努利試驗的樣本空間：可列重伯努利試驗（記作E∞）：樣本點(diǎn)w=(w1,w2,...,wn,...)

樣本點(diǎn)個數(shù)不可列,無限樣本空間。可列重伯努利試驗例1200件產(chǎn)品中,有190件合格品,10件次品,現(xiàn)從中隨機(jī)抽取一件,令A(yù)表示取得次品，則：此為兩點(diǎn)分布.“擲硬幣”、“嬰兒性別”等試驗均為兩點(diǎn)分布.

在n重Bernoulli試驗中,事件A恰好發(fā)生k次的概率記為，則2.二項分布稱b(k;n,p)決定的概率分布為二項分布。例2、設(shè)一批產(chǎn)品中有a件是次品,b件是正品.現(xiàn)有放回地從中抽取n件產(chǎn)品.求:事件A={n件產(chǎn)品中恰有k件次品}的概率其中，k=0,1,2,…,n.解:屬于

n重伯努利分布,且：分析：此為10重伯努利試驗，令A(yù)—痊愈（2）藥物本身無效時，（1）藥物本來有效的情況下，令k—痊愈的人數(shù)，“被否定”=“k=0,1,2,3”課堂練習(xí)：設(shè)一批產(chǎn)品中有30％的產(chǎn)品是一級品.現(xiàn)對該產(chǎn)品中進(jìn)行重復(fù)抽樣檢查,共取5個樣品。求：(1)取出的5個樣品中恰有2個一級品的概率(2)取出的5個樣品中至少有2個一級品的概率(1)解:(2)A:“5個樣品中至少有2個一級品”

在伯努利試驗中，“事件A在第k次才首次出現(xiàn)”的概率,記為：，顯然：3.幾何分布相繼的伯努利試驗中，要多長時間才會出現(xiàn)第r次成功記Ck={第r次成功發(fā)生在第k次}記f(k;r,p)=P(Ck)Ck={前k-1次成功r-1次,且第k次成功}，則：稱

f(k;r,p)為帕斯卡分布，當(dāng)r=1時,即為幾何分布4.帕斯卡分布例5、分賭注問題

甲、乙兩賭徒按某種方式下注賭博，先勝t局者將贏得全部賭注，但進(jìn)行到甲勝r局、乙勝s局(r<t,s<t)時，因故不得不中止。試問如何分配這些賭注才公平合理？建議：用r:s

來分配用最終甲乙取勝的概率P甲:P乙來分配分析：甲若想獲勝，需要再勝n=t-r局乙若想獲勝，需要再勝m=t-s局記A={每局中甲獲勝},P(A)=p,P(Ac)=q甲獲勝，當(dāng)且僅當(dāng)：甲再勝n局時，乙再勝的局?jǐn)?shù)k<m，即A的第n次成功發(fā)生在第n+k次(k<m)試驗：例6、巴拿赫火柴問題：兩盒火柴，各裝n根,每次抽煙時任取一盒用一根，求發(fā)現(xiàn)一盒用光時，另一盒有k根的概率?？醋鱬=1/2的伯努利試驗。一盒取過n+1次而另一盒取過n-k次：由對稱性，所求概率為：5

推廣的伯努利試驗與多項分布二項分布的推廣n次重復(fù)獨(dú)立試驗每次實驗有多個可能結(jié)果記每次實驗的所有可能結(jié)果為：由此概率確定的分布稱為多項分布，r=2時，退化為二項分布無限制隨機(jī)游動假定質(zhì)點(diǎn)的初始位置在原點(diǎn)。特別有注意對該式令用洛比達(dá)法則求極限也可以獲得例7、賭徒輸光問題甲乙賭本分別為a元及b元，每局賭注為1元，甲獲勝的概率為p，試求甲輸光的概率。分析：可看成兩端帶有吸收壁的隨機(jī)游動模型。以Pa記甲從a出發(fā)而在0點(diǎn)被吸收（賭本輸光），贏一局看成向右走一步，輸一局看成向左走一步，則：注解：若a＜＜b，則不管甲贏一局的概率是多少，都終輸光。平面上的隨機(jī)游動

一質(zhì)點(diǎn)從平面上某點(diǎn)出發(fā)，等可能地向上下左右方向移動，每次移動的距離為1，求經(jīng)過2n次移動后回到出發(fā)點(diǎn)的概率分析：從某點(diǎn)出發(fā)，向上下左右四個方向移動的概率均為1/4，可以歸結(jié)為多項分布的問題。若要在2n次移動后回到原來的出發(fā)點(diǎn)，則向左移動的次數(shù)(k)與向右移動的次數(shù)應(yīng)該相等，向上移動的次數(shù)(m)與向下移動的次數(shù)也應(yīng)該相等，而總移動次