數(shù)形結(jié)合例談例談數(shù)形結(jié)合

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數(shù)形結(jié)合思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想。數(shù)形結(jié)合就是通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化、相輔相成來解決數(shù)學(xué)問題的一種思想方法。它既是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)思想，又是一種常用的數(shù)學(xué)方法。數(shù)形高明結(jié)合，可達(dá)成事半功倍的效果。

數(shù)形結(jié)合；延遲；詮釋；共贏

數(shù)與形是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的兩個(gè)重要方面，把數(shù)以及數(shù)量關(guān)系和空間圖形結(jié)合起來去分析問題、解決問題，就是數(shù)形結(jié)合思想。利用“數(shù)形結(jié)合”方法能使“數(shù)”和“形”統(tǒng)一起來，借助于“形”的直觀來理解抽象的“數(shù)”、運(yùn)用“數(shù)”與“式”來細(xì)致、入微地刻畫“形”的特征，直觀與抽象相互合作，取長補(bǔ)短，從而順?biāo)?、有效地解決問題。

例如，我們常用畫線段圖的方法來解允許用題，這是用圖形來代替數(shù)量關(guān)系的一種方法。我們又可以通過代數(shù)方法來研究幾何圖形的周長、面積、體積等，這些都表達(dá)了數(shù)形結(jié)合的思想。這里，筆者舉幾個(gè)數(shù)形結(jié)合的高明的例子，談?wù)勂湓谛W(xué)數(shù)學(xué)課堂上的應(yīng)用。

一、“數(shù)”對“形”的延遲

案例1：蘇教版《梯形的面積》有這樣一道習(xí)題：

學(xué)生很快就列出了算式：（9+16）×8÷2，也總結(jié)出計(jì)算鋼管根數(shù)的方法和梯形面積的計(jì)算方法好像。教師接著又對習(xí)題做了深入的處理：

師：1+2+3+4+5+……+100=

生：（1+100）×100÷2。

師：這道題的解題方法和梯形面積的計(jì)算方法有聯(lián)系嗎？

生：1相當(dāng)于梯形的上底，100相當(dāng)于梯形的下底，100個(gè)數(shù)字相當(dāng)于梯形的高。

這時(shí)，教師向?qū)W生做了講解：1+2+3+4+5+……+100相當(dāng)于一堆鋼管一共有100層，第一層有一根鋼管，最下面一層有100根鋼管，再運(yùn)來一模一樣的一堆鋼管，倒過來放，第一層有100根鋼管，最下面一層有1根鋼管，兩堆鋼管合并成一堆后，每一層都有（100+1）、（99+2）、（98+3）……（1+100）根鋼管，總共有100層，兩隊(duì)鋼管就有101×100根，每一堆就有101×100÷2根。

在這道題的處理上，教師把等差數(shù)列的簡樸學(xué)識(shí)和梯形的面積計(jì)算相結(jié)合，扶助學(xué)生理解了等差數(shù)列的求和方法，記住了鋼管根數(shù)的計(jì)算公式，充分發(fā)揮了這道題的作用，使得兩個(gè)學(xué)識(shí)得到了貫穿、提煉和升華。

二、“形”對“數(shù)”的詮釋

案例2：在講解《異分母分?jǐn)?shù)加減法》時(shí)，學(xué)生如何理解異分母分?jǐn)?shù)加減法為什么要通分？我們曾經(jīng)這樣處理：

教師講解并在黑板上板書：

但有好多學(xué)生仍不理解。我們又借助于幾何畫板軟件將上述“理性”的抽象思維過程形象化、視覺化，即教師充分利用分?jǐn)?shù)的直觀圖，將數(shù)與形結(jié)合起來，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)只有平均分得的份數(shù)一致，也就是分?jǐn)?shù)單位一致，分子才能相加、減的道理，直觀地理解“通分”的必要性及異分母分?jǐn)?shù)加減法的算理。

利用數(shù)形結(jié)合的方法，學(xué)生表象明顯，記憶深刻，對算理的理解透徹，既知其然又知其所以然。事實(shí)上也是形象思維與抽象思維協(xié)同應(yīng)用的一種過程，其教學(xué)效果顯而易見。

三、“數(shù)”與“形”的雙贏

案例3：在教學(xué)六年級(jí)的《可能性》時(shí)，教師出示以下一道題：

以下幾個(gè)布袋中摸到紅球的可能性分別是幾分之幾？

生：第一個(gè)袋子里摸到紅球的可能性是3/5，其次個(gè)袋子里摸到紅球的可能性是4/5、第三個(gè)袋子里摸到紅球的可能性是2/5、第四個(gè)袋子里摸到紅球的可能性是5/5、第五個(gè)袋子里摸到紅球的可能性是0、第六個(gè)袋子里摸到紅球的可能性是1/5。

師：請把上面幾個(gè)數(shù)填寫在帶箭頭的直線上。

（課件出示）

在學(xué)生依次填完后，教師又問：大家看一看，摸到紅球的可能性在什么范圍之內(nèi)？

生：在0~1之間。

師:可能性是0，還可以怎么說？

生：可能性是0就是不成能。

師：可能性是1，還可以怎么說？

生：確定。

生：百分之百。

師：事情發(fā)生的可能性可能超過1嗎？為什么？

生：可能性不成能超過1，最多是全部，也就是1，百分之百，確定發(fā)生。

……

上述課堂高明地把數(shù)軸（小學(xué)階段稱為帶箭頭的直線）和用分?jǐn)?shù)表示事情發(fā)生的可能性有機(jī)結(jié)合在一起，通過數(shù)軸的演示，學(xué)生明確了可能性的取值范圍；通過在數(shù)軸上填數(shù)，加深了學(xué)生對數(shù)軸、及分?jǐn)?shù)意義的理解，為后繼學(xué)習(xí)打下了根基。

總之，數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)問題解決的重要方法，也是一種重要的數(shù)學(xué)思想，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)有意