數(shù)列專項-超全高中數(shù)學數(shù)列通項解法專題總結

nnannan超全高中數(shù)數(shù)列通項法專題總結一、

累加法逐差相減法1an

d為常數(shù)差數(shù)列n2

n

，變形an

n

f，前提ff(n求nf(nf(n2)f(1)

等式累加得:f(1)fn

f(例1:已知數(shù)列a滿an1

11a，。2n例2：已知數(shù){a}中an1

2

2

a

2

2

，k（1）,a（2求{a}的通項公式35n二、累法（逐商相法）1an

qa（q為常數(shù)比數(shù)列na2af()a，變形為f(n)，前提(n可nnnnf(nnf(nn2f1

n個等式累乘得

(1)f(2)

f(例1:已知數(shù)列a滿an1

2a3

a，a。例2:已a，a三、公法

3n(na。3n(n2)ann

n

n

(nn

6nnnnnnn6nnnnnnnr例1：知各項均為正數(shù)的數(shù)列a}的前n項和S滿S＞1且6=(n∈{a}的通項公式。n解由

1=(a2)解=1=2由已知＞因a=211111111又=(a2)(2)6(an

ann

=0n

a＞0n

n從而{}是首項2為的等差數(shù)列}的通項=2+3(n-1)=3n-1.n例2：知數(shù)S4nnn

2

1

.（1）a

n

a的關系）求通項公a.nn四、待系數(shù)法1、n

（其中q均為常數(shù)，((原遞推公式轉化為：nn

p()，其tn

，ba，pb等比數(shù)列n例：知數(shù)列a中，an

n

2a.n2an

pan

n

，兩邊同除

n

，

pnn例：知數(shù)列a中an1

51,a)62

，a。n3a

n

pa

rn

(pa0)n

a

log

pa

log

p

log

a

r

a

log

p等式兩取數(shù)轉化為

n

pan例：知數(shù)列｝中aan1

1a

(，求數(shù)n例已知數(shù)列{}的各項都是正,且:n0

12

an.求數(shù)n{}的通項公nn4

n

pa(0)n利用待系法造等比數(shù)列即

n

(y(y)n

與已知遞推式比

nnnnrnnnnr較，解出x,

,從轉化為

pn

的等比數(shù)列。例1:設列

n

4,aa1

n

n(

，求

a

n

.5

n

pnn

或

a

n

pqn

n轉化為

2n

2

等數(shù)列求解。例1:在列

{}n

中，

a1

n

n

n

，求

a

n例2:在列

{}n

中，

aaa1

n

n

，求

a

n五、取法a1a1a，兩邊取倒：aaaannn

，qb等n比數(shù)列，更一般a

n

ranpan例：知數(shù)列{}，=a

an1n

N=？例若數(shù)列的遞推公式a1

12(N)求這個數(shù)列的通項公式。ann例：知數(shù)列{}滿時an1

n

an

n

，求通項公式。na例：知數(shù)列｛a｝滿足n3

，求數(shù)列｛｝的通項公式。例：數(shù)列｛a｝中，a=1，an

n

=

2aa2

n∈N，求通項a．n六、特方程法1、已知數(shù)列{a}的項滿足：a對nN，都an

pa

（其中p、qrh

hR，且r方

pxrx

為數(shù)n程.（1）當特征方程有兩個相同的特征x時，（i）a,則數(shù){}為常數(shù)數(shù)列

nnnn1n2xnnnn1n2x1（ii）a，則數(shù){}為等差數(shù)列。ana（2）當特征方程有兩個相異的特征根x、x時，則數(shù){nan2

}為等比數(shù)列。說明）,的順序是任意的2a（ii）n與n互為相反數(shù)，如果一個為整數(shù)，一個為分數(shù)，為了計aan2na算方便，可取為整數(shù)。an例1：知數(shù){}滿足性質(zhì)：對N,n通項公式.

4an,a{a}的an（1）特征方程求根：x

4x

,

x(xx，（2根據(jù)根的情況判斷等比或等差并求出

222（3）驗證：nn

5anannaaannana（4）換元：b，b，則baan

bnn

n（5）反解(

n

anan

，n

(例：知數(shù)列{}首an

35

an

3an2n

．（Ⅰ）{}的通項公式；n解：其中數(shù)式的求解如下：n3x數(shù)列a相應的特征方程為x，特征根12

12n12122212n121222a3所以數(shù){n}為等比數(shù)列，a，a11na得數(shù){n}的首項公比是，a311n所以

a2n解之得a3n

2、形如n

pan

qa(p,q是常）的數(shù)n形am,ama112n

n

(pq是常數(shù)）的二階遞推數(shù)列都可用特征根n法求得通，其特征方程為

2

px…①（1）若①有二異

則可n

2

(c,c是待定常數(shù)）1（2）若①有二重則可a)(c,c是待定常數(shù)）n121再利m,am,可求c，進而求1121例1：已知數(shù){a}滿aan1

n

(Nn

*

)，求數(shù){a}的通n解：其特征方程為

解xx21n

2

n

，由

ac12ac2

，得

，

an

n例2已知數(shù){}an2

n

(nn

*

)，求數(shù){a}的通n解：其特征方程4

1x，解得x，acn1

n

，由

c)2cc)24

，得，c2

n

2七、雙列型

nnnnnnn根據(jù)所給兩個數(shù)列遞推公式的關系，靈活采用加